ANALISIS KONSTRUKSI DAN SIFAT BCH CODE

Transkripsi

1 KNM XVI -6 Jul 202 UNPAD, Jatnangor ANALISIS KONSTRUKSI DAN SIFAT BCH CODE ACHMAD FAHRUROZI, M.SI,2, SRI MARDIYATI, M.KOM 2 Unverstas Gunadara Depok, achad.fahruroz@yahoo.co.d 2 Unverstas Indonesa Depok, sr_ath@sc.u.ac.d Abstract Pada akalah n, akan dbahas suatu etode pengkodean, dana ketka pesan-pesan yang berbentuk k-tuple akan dkr, aka pesan-pesan tersebut dubah enjad code yang erupakan kupulan n-tuple codeword, dengan n> k. Codeword tersebut terdr dar k sbol yang erupakan pesan yang berkorespondens dengan codeword tersebut, dan (n-k) sbol yang dsebut bt party check. Sbol yang dgunakan adalah eleen-eleen dar suatu lapangan hngga GF( q), q = 2, N. Untuk eperoleh bt party check n, dgunakan algorta BCH code, dana code yang dhaslkan apu endeteks dan engkoreks error yang terjad pada proses pengran pesan-pesan. Keapuan suatu code dala engontrol error (endeteks dan atau engkoreks error) tergantung pada jarak nu antar codeword dala code tersebut. Kata kunc: pesan, lapangan hngga, codeword, code, jarak nu.. Pendahuluan Pengkodean nforas adalah suatu cara yang dgunakan untuk elndung nforas yang dkr dar gangguan yang ungkn terjad pada eda pengran. Untuk elakukan n, sebelu dkr, nforas yang berupa huruf, karakter ataupun suara dubah terlebh dahulu enjad pesan-pesan yang berbentuk k-tuple, dana koponenkoponennya adalah anggota lapangan hngga. Pesan-pesan tersebut keudan dubah enjad kupulan n-tuple yang dsebut codeword elalu proses encodng. Hasl dar etode pengkodean nforas tersebut dsebut code. Gagasan engena cara pengkodean nforas sehngga suatu kesalahan dapat ddeteks dan juga dapat dperbak pertaa kal dkebangkan oleh luwan bernaa R.W. Hang. Dala perkebangannya, uncul berbaga cara pengkodean nforas yang berbedabeda, yang elk proses konstruks dan sfat yang berbeda satu dengan lannya. Berbaga jens code yang dhaslkan tersebut tdak hanya daplkaskan pada koputer saja, tetap beranfaat untuk berbaga aspek kehdupan sehar-har, khususnya teknolog kounkas dgtal. Salah satu jens atau kelopok code yang epunya nla kegunaan yang bak adalah cyclc code. Pada akalah n akan dbahas engena konstruks BCH code yang terasuk ke dala kelopok cyclc code.

2 2. Teor Codng Untuk ebahas keapuan suatu code dala endeteks sekalgus engkoreks error yang terjad, dperlukan beberapa pengertan yang berkatan dengan suatu code C. Berkut dberkan pengertan tentang jarak Hang dan bobot Hang dala suatu code C. () Jarak Hang antara dua codeword berbentuk n-tuple x = ( x, x2,, x n ) dan y = ( y, y2,, y n ) dala C, dlabangkan d( x, y ), adalah banyaknya koordnat dala x dan y yang berbeda. () Bobot Hang dar codeword berbentuk n-tuple x = ( x, x2,, x n ) dala C, dlabangkan wx, ( ) adalah banyaknya koordnat x yang tak-nol. Jarak nu suatu code C, dlabangkan d n ( C ), atau juga serng dsngkat d n, ddefnskan sebaga [5] d = n d( u, v) Msal C adalah code dengan d engkoreks aksu d t = 2 n n uv, C u v = d. Maka C elk keapuan kontrol error: error dan endeteks aksu d error [5]. Suatu code C yang erupakan (n,k)-blok code dsebut grup code jka C erupakan subruang dar GF( q ) n, dana GF( q ) n enyatakan suatu ruang vektor berdens n atas lapangan hngga GF( q ) sekalgus erupakan lapangan perluasan dar lapangan GF( q ). Sehngga proses encodng suatu grup code secara uu dapat juga dpandang sebaga sebuah transforas dar ruang vektor GF( q ) k ke ruang vektor GF( q ) n. Sehngga proses encodng suatu code dapat elbatkan atrks generator G yang berukuran nk. x Berkut n adalah sfat yang dlk oleh suatu grup code: Teorea : Msalkan d n adalah jarak nu dar suatu grup code C. Maka d n adalah nu dar bobot Hang seua codeword tak-nol dala C. Dtuls dn = n { w( x) 0 x C} [7] T Suatu code dapat pula dbangun dengan encar solus dar persaaan Hx = 0, dana H dsebut atrks party check yang berbentuk H = ( A In k), dana A adalah sebarang atrks berukuran n k x k dan I n k adalah atrks denttas berukuran n k x n k. Code yang dbangun tersebut dsebut lner code. Suatu lner code juga erupakan suatu grup code. Suatu lner (n,k) code C dkatakan suatu cyclc code jka untuk setap codeword ( a, a,..., a ) dala C, aka pergantan secara sklk enjad n-tuple 2 n ( a2, a,..., an, a ) juga erupakan codeword dala C [5]. n Suatu cyclc code dapat dbangun dar suatu polnoal generator g( x ) ebag x dala GF( q)[ x ]. Berkut adalah sfat yang dlk oleh suatu cyclc code C: Teorea 2: Msal C = g( x) adalah cyclc code dan salkan α adalah akar prtf ke-n dar unt atas Z 2. Jka s buah pangkat berurutan dar α adalah akar dar g( x ), s < n, aka jarak nu dar code C palng kecl adalah s + []. KNM XVI - -6 Jul 202 UNPAD, Jatnangor

3 . Konstruks BCH code BCH code adalah suatu contoh bnary code, yang dperkenalkan oleh dua orang luwan, R. C. Bose dan D. V. Ray-Chaudhur engacu pada peneuan A. Hocquenghe. Sste kounkas dan nforas Eropa dan trans-atlantk enggunakan BCH code yang berbentuk (255,2)-blok code [5]. Berkut dberkan algorta konstruks BCH code:. Tentukan panjang codeword n = 2, untuk suatu N dan tentukan juga jarak BCH d N dan d ( n )/2. 2. Car nu polnoal untuk α, dlabangkan ( x ), dana α adalah akar prtf ke-n dar unt dan =,2,...,2r. Tentukan polnoal generator g( x ), yatu g( x) = lc ( x), 2( x),..., 2r ( x) n k 4. Bentuk polnoal ux ( ) = x x ( )od gx ( ), dana 2 ( ) k k x = ax + ax a k adalah polnoal yang berkorespondens dengan pesan = ( a, a2,..., ak ), a Z2 5. Sehngga dperoleh codeword c yang berkorespondens dengan polnoal n k cx ( ) = x x ( ) + ux ( ). Dala algorta tersebut, dapat danalsa beberapa hal, yatu Polnoal nal untuk α dtentukan dengan enggunakan teorea berkut: Teorea : Msal ξ adalah eleen GF( p ) dan sal ξ enyatakan polnoal nal dar ξ. Msalkan α adalah eleen prtf dala GF( p ) dan salkan j ξ = α. Jka ada dala cyclotoc coset C, aka ξ = ( x α ) [7]. Pada Langkah, karena polnoal generator g( x) = lc[ ( x), ( x),..., ( x) ] j C 2 2r dana ( x ) adalah polnoal nal untuk α, aka polnoal generator 2 2r tersebut djan elk palng sedkt 2r akar berurutan, yatu α, α,..., α. Selan tu, karena α adalah akar prtf ke-n dar unt, aka polnoal generator n g( x ) juga djan ebag x. n k Pada Langkah 4, dapat dlhat bahwa polnoal ux ( ) = x x ( )od gx ( ) akan berderajat kurang dar derajat g( x ). Sehngga, jka deg g( x) = s, aka deg ux ( ) s. Karena BCH code adalah suatu cyclc code yang dbangun oleh g( x) aka dperoleh hubungan s = n k, s = deg g( x) () s Anda deg ux ( ) = s, aka koefsen dala ux ( ) = u0 + ux us x akan langsung enjad n-k koponen terakhr pada codeword yang dhaslkan. Jka deg ux ( ) = v< s, aka uxakan ( ) dtuls sebaga 2 ( ) 0 s 0 s... v v ux = x + x + + us vx + us v+ x us v+ ( v ) x+ us, yang daksudkan untuk enjan koefsen ux ( ) selalu enjad s = n k koponen terakhr pada codeword yang dhaslkan. Dengan kata lan, jka KNM XVI - -6 Jul 202 UNPAD, Jatnangor

4 n k n n 2 cx ( ) x x ( ) ux ( ) cx cx 2... c n = + = + + +, aka codeword yang dhaslkan c= c, c2,..., ck, ck+,..., cn, dana ( c, c2,..., ck ) = dan adalah adalah ( ) ( c,..., c, c ) u k+ n n =. n k Sedangkan pada Langkah 5, perkalan x x ( ) adalah suatu anpulas agar pesan berada pada k koponen pertaa dala codeword yang dhaslkan. Teorea berkut eberkan hubungan antara jarak d yang dtentukan pada defns BCH code dan jarak nu pada BCH code tersebut. Teorea 4: BCH code yang dbangun dengan polnoal generator g( x ) sepert d atas elk jarak nu dn d [5]. Teorea 5: Suatu BCH code dengan panjang n = 2 dan jarak nu palng sedkt d = 2r+, elk bt party check aksu sebanyak r. Dengan kata lan, n k r [8]. Lebh lanjut, karena jarak nu dn d = 2r+ dan karena keapuan koreks dn error t = 2, aka jelas bahwa t r. Jad, berdasarkan Teorea 5 dperoleh: n k t Msalkan suatu BCH code adalah lner (n,k) code, aka berkut n dberkan hubungan antara panjang code (n), panjang pesan (k), dan keapuan koreks error aksu (t) yang dlk oleh BCH code tersebut. Tabel. Hubungan n, k dan t pada BCH (n,k) code dengan n=7, 5,, 6 dan 255 n k t n k t n k t n k t n k t n k t Pada tabel terlhat bahwa panjang pesan yang dapat dkr (k) dan keapuan koreks aksu (t) berubah-ubah secara tak teratur. Hal n dpengaruh oleh bentuk polnoal generator dar BCH code. Karena polnoal generator g( x) = lc ( x), ( x),..., ( x), aka bentuknya bergantung pada polnoal 2 2r k nal dar α yang besar pangkatnya bergantung pada julah eleen dala suatu cyclotoc coset. Sebaga contoh, sal dabl n = 5. Perhatkan bahwa terdapat 5 buah cyclotoc coset s (od 5), 0< s 5 yang berbeda, yatu: KNM XVI - -6 Jul 202 UNPAD, Jatnangor

5 C 0 = { 0} C = {, 6,2,9} C 7 = { 7,4,,} C = { } C = { }, 2, 4,8 5 5,0 Maka akan terdapat 5 buah polnoal nal berbeda, asng-asng untuk α, αα,, α dan α. Jka dplh d =, aka perlu dcar polnoal nal untuk α 2 dan α. Karena, 2 C, aka polnoal nal untuk α dan α 2 saa, yatu polnoal prtf, dan karena julah eleen C adalah 4, aka polnoal generator akan berderajat epat. Sehngga berdasarkan persaaan (), panjang pesan yang dapat dkr adalah 5 4 =. Sedangkan jka dplh d = 5, perlu dcar polnoal nal 2 untuk α, α, α dan α 4, dana hanya akan terdapat dua polnoal nal yang berbeda, yatu polnoal nal untuk α dan polnoal nal untuk α. Karena anggota cyclotoc coset C = {, 2, 4,8} dan C = {, 6,2,9} total berjulah 8, aka derajat dar polnoal generator adalah 8 (polnoal generator g( x ) adalah hasl perkalan dar dua buah polnoal nal berderajat epat). Sehngga panjang pesan yang dapat dkr adalah 5 8 = 7. Sedangkan jka dplh d =7, aka perlu dcar polnoal nal untuk α, α, α, α, α dan α, dana akan terdapat tga polnoal nal yang berbeda, yatu polnoal nal untuk α, α dan α 5. Karena anggota cyclotoc coset C = { }, C = { }, dan { }, 2, 4,8, 6,2,9 C 5 = 5,0 berjulah total 0, aka derajat dar polnoal generator adalah 0. Sehngga enyebabkan panjang pesan yang dapat dkr adalah 5 0 = 5. Jad, saat jarak BCH d yang dtuju berturut-turut dplh, 5 dan 7, nla k yang dperoleh adalah, 7 dan 5, dana terlhat bahwa polanya tdak teratur (dala hal n, berart tdak elk selsh yang tetap). Keapuan koreks error aksu juga elk pola perubahan yang tdak teratur untuk d yang berbeda-beda. Penjelasan untuk hal tersebut adalah karena saat kta enetapkan jarak BCH d pada algorta encodng, aka kadangkala jarak nu dar BCH code yang terbentuk lebh besar dar d. Sebaga contoh, untuk n =, jka dplh d = 7, aka dapat dhtung jarak nu dar BCH code yang terbentuk adalah 7, sehngga keapuan koreks error aksu adalah t =. Sedangkan jka dplh d = 9, aka jarak nu dar code yang terbentuk adalah. Perhatkan contoh berkut. Untuk d = 5, polnoal generator yang terbentuk adalah g ( x) = lc ( x), ( x), ( x), ( x) = ( x) ( x) Untuk d = 7, polnoal generator yang terbentuk adalah g ( x) = lc ( x), ( x),..., ( x) [ 2 6 ] Karena cyclotoc coset (od ) C 5 = { 5,0, 20, 9,8}, 6 { 6,2, 24,7,} C = { } dan { } 7 7,4, 28, 25,9 ( x) = ( x). Sehngga 6 C =, C 8 = 8,6,,2,4, aka polnoal nal g( x) = lc ( x), 2( x), ( x), 4( x). 5( x) = g2( x) 5( x) Sedangkan untuk d = 9, polnoal generator yang terbentuk adalah g4( x) = lc[ ( x), 2( x),..., 8( x) ] sedangkan polnoal nal 8( x) = 4( x). Sehngga g ( x) = lc ( x), ( x),..., ( x). ( x) = g ( x). ( x) KNM XVI - -6 Jul 202 UNPAD, Jatnangor 5

6 Sedangkan untuk d =, polnoal generator yang terbentuk adalah g5( x) = lc[ ( x), 2( x),... 9( x), 0( x) ] Karena C9 = { 9,8, 7,4, 28} = C7 dan C0 = { 0, 20, 9,8, 5} = C5, aka polnoal nal 9( x) = 7( x) dan 0( x) = 5 ( x). Sehngga g5( x) = lc[ ( x), 2( x),..., 9( x), 0( x) ] = lc[ ( x), 2( x),..., 8( x) ] = g4( x) Terlhat bahwa, untuk d = 9 dan d =, polnoal generator yang terbentuk adalah saa, sehngga jka dplh d = 9, BCH code yang terbentuk akan saa dengan BCH code yang terbentuk jka dplh d =. Sehngga C = g4( x) = g5( x) dan elk keapuan koreks error aksu t = 5. Lebh lanjut, dapat dperhatkan bahwa: Untuk d =, g6( x) = g5( x) ( x) Untuk d = 5, g7( x) = g6( x) Sehngga untuk d = 9 dan d =, polnoal generator dar code yang terbentuk adalah saa. Begtu juga untuk d = dan d =5, code yang terbentuk elk polnoal generator yang saa. Sedangkan untuk d lannya, polnoal generator dar code yang terbentuk berbeda-beda. Keudan perhatkan pada tabel, untuk n =, terjad lopatan nla t dar 2,, keudan 5, dan keudan 7. Nla t = 4 dan t = 6 dlopat berkatan dengan kesaaan pada g5( x) = g4( x) dan g7( x) = g6( x). Jad, dapat dteukan pola saat g ( ) ( ) + x = g x, sedangkan g( x) g ( x) dan g+ 2( x) g+ ( x) aka nla t akan lopat dar t = ke t = +. Dapat danalsa pola yang lebh uu, yatu bahwa pada saat g ( x) = g ( x) =... = g ( x), untuk suatu, j, v dan berlaku + j + j + j v g+ j v( x) g+ j v ( x) dan g ( ) ( ) + j+ x g+ jx, aka akan terjad lopatan nla t pada tabel dar t = + j v ke t = + j Hasl Sulas Berkut dberkan output dar contoh konstruks BCH code. Pertaa, dplh dahulu panjang code n = 2 dengan cara enentukan nla untuk. Lalu dplh d yang dngnkan, dana d yang dplh harus erupakan blangan ganjl dan elk batas bawah (karena bentuk jarak BCH d yang dplh adalah dbch = 2r+, sehngga polnoal generator terdefns untuk r ). Sedangkan batas atas untuk nla d yang bsa dplh adalah 2. Hal n karena untuk d = 2 +, aka panjang pesan adalah, dan hal tersebut tdak dperbolehkan dala MATLAB. Dala aplkasnya, jka panjang pesan hanya, aka hanya ungkn dkrkan 2 sbol, dan code dengan panjang pesan tdak pernah dgunakan. Sedangkan untuk d 2 +, BCH code tdak terdefns. asukan nla pangkat yang dngnkan! =5 Panjang code adalah n =. asukkan nla d yang dngnkan, dengan syarat d ganjl dan <= 5! d = Panjang pesan yang bsa dkr adalah k =. KNM XVI - -6 Jul 202 UNPAD, Jatnangor

7 Polnoal generator dar BCH code yang terbentuk adalah: g = GF(2) array. Array eleents = elk keapuan koreks aksu 5 error asukkan pesan sg = [ ] code = GF(2) array. Array eleents = Coluns through Coluns 2 through Output MATLAB contoh konstruks BCH code Pada output, akan dtaplkan panjang pesan k yang dapat dkrkan serta keapuan error aksu dar BCH code yang terbentuk setelah n dan d dtentukan. Pada contoh, jka nla k cukup besar, aka user dapat easukkan contoh pesan secara acak, dengan enggunakan perntah randnt(,k) pada MATLAB. Output terakhr dar progra tersebut adalah codeword yang bersesuaan dengan pesan yang dasukkan oleh user. 5. Kespulan BCH code dbangun oleh suatu polnoal generator yang erupakan least coon s ultple dar 2r = d polnoal nal untuk α, s =, 2,..., 2r. Untuk N, dapat dbentuk BCH code yang elk paraeter sebaga berkut:. n = 2 2. n k t. dn d Dala konstruks BCH code, terlebh dahulu dtentukan nla d, yang engakbatkan panjang pesan yang dapat dkr terbatas. Hal n dkarenakan dala konstruks BCH code, sebenarnya yang dlakukan adalah elh 2 k buah n-tuple yang terseda dala GF( q ) n untuk enjad codeword dala BCH code yang dkehendak sedekan sehngga jarak nu antar codeword tersebut lebh besar atau saa dengan d yang dtentukan d awal. Jarak nu dar BCH code yang terbentuk kadangkala lebh besar darpada d yang dtentukan pada awal konstruks. Hal tersebut dkarenakan polnoal generator untuk nla d yang berbeda dapat berbentuk saa. Kedua hal tersebut (keterbatasan panjang code yang dkr dan jarak nu BCH code yang terbentuk) berkatan dengan bentuk cyclotoc coset (od n) yang s epengaruh bentuk polnoal nal untuk α, dana s =, 2,..., d. Referens: [] Adas, Sarah S. (2008). Introducton to Algebrac Codng Theory. Jul 9, 20. < [2] Bhattacharya, P.B., S.K. Jan & S.R. Nagpaul Basc Abstract Algebra, second edton. Cabrdge Unversty Press., Cabrdge: 28-. [] Berlekap, E. R. (972). A Survey of Codng Theory. Journal of the Royal Statstcal Socety. Sere A (General), Vol. 5, No., pp [4] Hersten, I. N. (996). Abstract Algebra, nd edton. Prentce-Hall Inc., New Jersey: KNM XVI - -6 Jul 202 UNPAD, Jatnangor 7

8 [5] Judson, Thoas W. (997). Abstract Algebra Theory and Applcatons. VCU Matheatcs Textbook Seres. [6] Kobltz, Nel. (997). Algebrac Aspects of Cryptography, volue. Sprnger- Verlag, Berln: [7] Ldl, R. & G. Plz. (997). Appled Abstract Algebra, second edton. Sprnger- Verlag, Berln: 7-. [8] Veran, Lekh R. (996). Eleents of Algebrac Codng Theory. Chapan & Hall, 2-6 Boundary Row, London SE 8HN, UK. [9] Wallace, Hank. (200). Error Detectng and Correctng Usng the BCH Code. Septeber 28, KNM XVI - -6 Jul 202 UNPAD, Jatnangor