JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 1, 11-19, April 2003, ISSN :

Transkripsi

1 Vol. 6. No., -9, Aprl 23, ISSN : EFISIENSI PENGGUNAAN V-CYCLE DALAM METODE FUNGSI WALSH UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL FREDHOLM LINEAR Purnam Wdyanngsh Jurusan Matematka FMIPA UNS Abstract Uljanov and Blyth have developed a new numercal method for the soluton of lnear Fredholm ntegral equatons usng Walsh functons. The approxmate soluton s constructed by rewrtng the functons as truncated (to m terms) Walsh seres and the kernel as truncated double Walsh seres. For the equatons, ths method gves lnear systems. The systems then solved usng Gauss elmnaton. In order to mprove the effcency, the dea of multgrd, especally v-cycle, s proposed to solve the lnear systems. Here, numercal experment wth standard test problems for numercal soluton of lnear Fredholm ntegral equatons show that ths approach s effectve n mprovng the effcency of the Walsh functon method. Key words : Walsh functons, ntegral equatons, multgrd.. PERSAMAAN INTEGRAL FREDHOLM LINEAR Persamaan ntegral banyak muncul dalam bdang mekanka, fska, matematka, dan bdang lannya. Dengan memanfaatkan syarat batasnya, persamaan dferensal dapat juga dsajkan sebaga persamaan ntegral. Dalam tulsan n hanya dperhatkan persamaan ntegral Fredholm lnear tpe dua yang mempunya bentuk umum y( x) = g( x) + K( x, t) y( t) dt (.) dengan fungs g(x) dan kernel K(x,t) dketahu sedang y(x) adalah fungs yang akan dtentukan.

2 Efsens Penggunaan V-Cycle (Purnam Wdyanngsh) 2. METODE FUNGSI WALSH Suatu algortma baru (yang kemudan dsebut metode fungs Walsh) untuk menyelesakan persamaan ntegral Fredholm lnear dan nonlnear dkembangkan oleh Uljanov dan Blyth [2, 5]. Dalam metode fungs Walsh untuk persamaan ntegral Fredholm lnear tpe dua (.), Uljanov dan Blyth mengekspanskan fungs yang ada sebaga deret fungs Walsh berhngga dan kernelnya ddekat dengan deret fungs Walsh rangkap berhngga, yatu (setelah dgunakan konvens penjumlahan Ensten) dengan y( x) cw ( x), g( x) g W ( x), dan K( x, t) a W ( x) W ( t) (2.) j j c = y( x) W ( x) dx dan a = K( x, t) W ( x) W ( t) dtdx, j j, j =,,, m-, m = 2 n, n N. Dengan (2.), Uljanov dan Blyth menunjukkan persamaan (.) dapat dsajkan sebaga sstem persamaan lnear c = g + Ac dengan c = (c ), g = (g ), dan A = (a j ). (2.2) In berart bahwa menyelesakan persamaan ntegral (.) dengan metode fungs Walsh adalah ekuvalen dengan menyelesakan sstem persamaan lnear (2.2). Terhadap sstem lnear n, selanjutnya Uljanov dan Blyth menyelesakannya dengan elmnas Gauss. Ekspermen numerk menunjukkan bahwa metode fungs Walsh yang dterapkan pada persamaan ntegral Fredholm adalah konvergen secara kuadratk [2, 4, 5, 6, 7], sesua dengan metode yang dkembangkan oleh Blyth dan Sloss untuk penyelesaan persamaan dferensal dan persamaan ntegral Volterra [, 9,,, 2, 3]. 3. V-CYCLE Untuk menyelesakan sstem (2.2) dapat juga dgunakan teknk teras. Untuk m cukup besar dan dengan melhat operas armetk yang dperlukan, teknk teras n lebh efsen dbandngkan elmnas Gauss (May [7], hal. ). Menurut Brggs [3], metode multgrd merupakan teknk yang sangat efsen untuk menyelesakan sstem lnear yang terbentuk dalam penyelesaan 2

3 Vol. 6. No., -9, Aprl 23, ISSN : masalah syarat batas. Dalam perkembangannya, Hemker dan Schppers [5] menulskan bahwa metode multgrd n ternyata dapat dgunakan untuk menentukan penyelesaan sstem persamaan nonsparse lnear yang muncul dalam penyelesaan numerk persamaan ntegral. D sn metode multgrd, khususnya v- cycle, dgunakan untuk lebh menngkatkan efsens teknk teras. Dalam v-cycle n, operator untuk menstransfer nformas antar grd mengacu pada artkel oleh Wdyanngsh [8]. Gambar menunjukkan v-cycle 3 level. Notas ν dan ν 2 adalah banyaknya teras pada grd yang terkat. 4. BIAYA PERHITUNGAN (COMPUTATION COST) Untuk menentukan efsensnya, dgunakan baya perhtungan yang dsajkan dalam unt work. Banyaknya operas artmetk (khususnya dan ) untuk menyelesakan sstem persamaan lnear pada grd fnest order m dengan sekal teras adalah m 2. Banyaknya operas artmetk pada grd fnest n dsebut baya perhtungan yang besarnya satu unt work, dsngkat UW [3, 8]. Unt n selanjutnya dpaka untuk mengestmas baya perhtungan elmnas Gauss dan v- cycle. Karena banyaknya operas artmetk dalam elmnas Gauss adalah /3(m 3 +3m 2 - m), baya perhtungan teknk n adalah 2 3m 3 2 ( m 3 m m) + UW. Baya untuk melakukan satu sweep v-cycle dengan ν = ν 2 = adalah 2 m ( + + ( ) + ( ) +...) UW

4 Efsens Penggunaan V-Cycle (Purnam Wdyanngsh) Baya operator vektor ntergrd dabakan. 5. APLIKASI Untuk semua perhtungan yang dperlukan dsusun program yang meng gunakan software Mathematca. Sebaga aplkas, dberkan dua kasus dmana untuk menentukan penyelesaannya dgunakan kombnas metode fungs Walsh dan elmnas Gauss serta metode fungs Walsh dan v-cycle. In berart sstem persamaan lnear yang dperoleh karena penggunaan metode fungs Walsh dsampng dselesakan secara langsung juga dselesakan secara teratf dengan v- cycle. Kasus 5.. Dperhatkan persamaan ntegral Fredholm yang dambl dar kasus kedua Uljanov dan Blyth [5], yatu xt (5.) y( x) = e x x x( e ) y( t) dt yang mempunya penyelesaan eksak y(x) =. Kernel dalam kasus n terlebh dahulu ddekat dengan ekspans deret Taylor berhngga, x(e xt ) x 2 t + x 3 t 2 /2 + x 4 t 3 /6, baru kemudan ddekat dengan deret fungs Walsh rangkap. Tolerans error yang dgunakan untuk masng-masng m tampak dalam Tabel. Nla n merupakan error apabla dgunakan elmnas Gauss dalam penyelesaan sstem persaman lnear yang terbentuk karena penggunaan metode fungs Walsh. Tabel. Tolerans error yang dgunakan untuk menyelesakan persamaan (5.) m TolErr Dengan menggunakan tolerans error Tabel, persamaan (5.) dselesakan dengan menggunakan v-cycle. Banyaknya pengulangan v-cycle (dan UW) yang dperlukan untuk berbaga pemlhan nla m, apabla dambl ν = ν 2 =, tampak dalam Tabel 2. 4

5 Vol. 6. No., -9, Aprl 23, ISSN : Sebaga pembandng, pada bars kedua dberkan UW yang dperlukan apabla dgunakan elmnas Gauss. Dengan memperhatkan UW, tampak bahwa penggunaan v-cycle dapat menngkatkan efsens elmnas Gauss. Penggunaan v- cycle 3 level dalam kasus n tampak merupakan plhan terbak, karena dapat mengurang baya perhtungan terbesar. Msal untuk m = 52, penggunaan v- cycle 3 level dapat mengurang UW (97%) dbandngkan penggunaan elmnas Gauss, yang merupakan metode standar yang dgunakan Uljanov dan Blyth [2, 5]. Tabel 2. Banyaknya pengulangan v-cycle dan UW yang dperlukan untuk menyelesakan persamaan (5.) dengan tolerans error Tabel m Gauss v 2 level 4 (9.) 4 (9.) 4 (9.) 4 (9.) 4 (9.) 4 (9.) 4 (9.) v 3 level 2 4 4(.25) 3 (7.67) 3 (7.67) 3 (7.67) (5.37) (.25) v 4 level (7.92) 3 (7.92) 3 (7.92) (.56) (.56) v 5 level 4 3 (7.98) 3 (7.98) 3 (7.98) (.64) v 6 level 3 (7.99) 3 (7.99) 3 (7.99) v 7 level 3 (8.) 3 (8.) v 8 level 3 (8.) Kasus 5.2. Sebaga kasus ke-2 dperhatkan persamaan ntegral Volterra lnear yang dambl dar Jerr [6] hal. 4, yatu x (5.2) y( x) = sn x + 2cos( x t) y( t) dt yang mempunya penyelesaan eksak y(x)=xe x. Persamaan ntegral (5.2) dapat dnyatakan sebaga persamaan ntegral Fredholm lnear (lhat Golberg [4]) 5

6 Efsens Penggunaan V-Cycle (Purnam Wdyanngsh) y( x) sn x K( x, t) y( t) dt = + dengan (, ) K x t = 2cos( x t), t x (5.3), x < t Sama sepert dalam Kasus 5., tolerans error yang dgunakan untuk kasus n dapat dtentukan dan tampak dalam Tabel 3. Tabel 3. Tolerans error yang dgunakan untuk menyelesakan persamaan (5.3) m TolError Dengan memperhatkan tolerans error dalam Tabel 3, v-cycle daplkaskan untuk menyelesakan sstem persamaan lnear yang terbentuk. Dengan tetap mengambl ν = ν 2 =, banyaknya pengulangan v-cycle yang dperlukan dan juga UW yang ekuvalen dengannya terlhat dalam Tabel 4. Tabel 4. Banyaknya pengulangan v-cycle dan UW yang dperlukan untuk menyelesakan persamaan (5.3) dengan tolerans error Tabel 3 m Gauss v 2 level 5 (.25) 5 (.25) 5 (.25) 5 (.25) 5 (.25) 5 (.25) 5 (.25) v 3 level 5 (2.8) 4 (.25) 4(.25) 3 (7.67) 3 (7.67) 3 (7.67) v 4 level 4 (.56) 4 (.56) 3 (7.92) 3 (7.92) 3 (7.92) v 5 level 4 (.64) 3 (7.98) 3 (7.98) 3 (7.98) v 6 level 3 (7.99) 3 (7.99) 3 (7.99) v 7 level 3 (8.) 3 (8.) v 8 level 3 (8.) Berdasar Tabel 4, penggunaan v-cycle tetap dapat menngkatkan efsens elmnas Gauss. V-cycle 3 level juga merupakan plhan terbak. Sebaga contoh untuk m = 256, v-cycle 3 level dapat menngkatkan efsens elmnas Gauss secara sangat sgnfkan, yatu 9%. Untuk m = 52, penngkatan efsens yang dapat dcapa adalah 64.3 UW atau 95.5 %. 6

7 Vol. 6. No., -9, Aprl 23, ISSN : KESIMPULAN Ekspermen numerk menunjukkan bahwa kombnas metode fungs Walsh dan v-cycle dapat dterapkan untuk menngkatkan efsens metode fungs Walsh. Aplkas metode n dan juga penggunaan de lannya akan penuls lakukan dalam masalah tes standar yang lebh luas guna dperolehnya suatu algortma baru yang lebh bak dalam penyelesaan masalah ntegral Fredholm. DAFTAR PUSTAKA. Blyth,W. F. and B. G. Sloss, Walsh functons and applcatons to dfferental and ntegral equatons, The Role of Mathematcs n Modern Engneerng, st Bennal Engneerng Mathematcs Conference: AEMC94 (Alan K. Easton and Joseph M. Stener, eds.), The Engneerng Mathematcs Group (EMG), Australan and New Zealand Industral and Aplled Mathematcs (ANZIAM), Australan Mathematcs Socety and Student ltterature, pp , Blyth, W. F. and V. Uljanov, Numercal soluton of weakly sngular Fredholm ntegral equatons usng Walsh functons, Computatonal Technques and Applcatons: CTAC-95 (R. L. May and A. K. Easton, eds.), World Scentfc Publshng Co., pp , Brggs, W. L., A multgrd tutoral, SIAM, Phladelpha, Golberg, M. A., A survey of numercal methods for ntegral equatons, Soluton Methods for Integral Equatons: Theory and Applcatons (New York) (M. A. Golberg, ed.), Plenum Publshng Co., pp. -58, Hemker, P. W. and H. Schppers, Multple grd methods for the soluton of Fredholm ntegral equatons of the second knd, Mathematcs of Computatons 36 no. 53, , Jerr, A. J., Introducton to ntegral equatons wth applcatons, Marcel Dekker, Inc., New York, May, R. L., Numercal lnear algebra, Royal Melbourne Insttute of Technology Ltd, RMIT, Melbourne, Australa,

8 Efsens Penggunaan V-Cycle (Purnam Wdyanngsh) 8. McCormck, S. F. (ed.), Multgrd methods, Fronter n Appled Mathematcs, SIAM, Sloss, B. G., Numercal soluton of dfferental equatons usng Walsh functons, Master's thess, RMIT, Melbourne, Australa, Sloss, B. G., Walsh functons and applcatons to numercal analyss, Ph.D. thess, RMIT, Melbourne, Australa, Sloss, B. G. and W. F. Blyth, A-pror error estmates for Corrngton's Walsh functon method, J. Frankln Insttute 33B no. 3, , Sloss, B. G. and W. F. Blyth, A pseudospectral Walsh functon method, Journal of the Frankln Insttute 329 no. 4, , Sloss, B. G. and W. F. Blyth, A Walsh functon method for the nonlnear Volterra ntegral equaton, Research Report 5, RMIT, Melbourne, Vc. Australa, December Uljanov, V. and W. F. Blyth, Numercal soluton of functonal dfferental equatons usng Walsh functons, Computatonal Technques and Applcatons: CTAC93 (D. Streward, D. Sngleton, and D. Gardner, eds.), Computatonal Mathematcs Group, World Scentfc Publshng Co, Uljanov, V. and W. F. Blyth, Numercal soluton of Urysohn ntegral equatons usng Walsh functons, The Role of Mathematcs n Modern Engneerng: st Bennal Engneerng Mathematcs Conference: AEMC94 (Alan K. Easton and Joseph M. Stener, eds.), The Engneerng Mathematcs Group (EMG), Australan and New Zealand Industral and Aplled Mathematcs (ANZIAM), Australan Mathematcs Socety and Student ltterature, pp , Wdyanngsh, P. dan Paman, Penyelesaan persamaan ntegral Fredhol lnear dengan metode fungs Walsh va transformas, Prosdng Semnar Nasonal Pembelajaran dan Pengembangan Matematka dalam Rangka Menngkatkan Kualtas Sumber Daya Manusa, Jurusan Penddkan Matematka FMIPA UNY, pp. 7-2, Wdyanngsh, P. dan R. A. Yuana, Penerapan metode fungs Walsh dalam penyelesaan persamaan ntegral Fredholm lnear, Prosdng Semnar 8

9 Vol. 6. No., -9, Aprl 23, ISSN : Nasonal Pembelajaran dan Pengembangan Matematka dalam Rangka Menngkatkan Kualtas Sumber Daya Manusa, Jurusan Penddkan Matematka FMIPA UNY, pp. 2-23, Wdyanngsh, P., Effcency of Walsh functon method n solvng lnear Volterra ntegral equatons usng v-cycle, MIHMI 6 no. 3, 55-6, 2. 9