BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA"

Transkripsi

1 BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tujuan Pembelajaran Umum: 1 Mahasiswa mampu memahami konsep dasar persamaan diferensial 2 Mahasiswa mampu menggunakan konsep dasar persamaan diferensial untuk menyelesaikan masalah-masalah teknik Tujuan Pembelajaran Khusus: 1 Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian persamaan diferensial 2 Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan diferensial orde satu dengan metode pemisahan variabel, substitusi, faktor pengintegralan, dan persamaan Bernoulli 3 Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan diferensial linear orde dua dengan metode koefisien tak tentu tentu dan metode variasi parameter 4 Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah penerapan persamaan diferensial dalam bidang teknik mesin, seperti mekanika dan lenturan pada batang 31 Pendahuluan Beberapa pemodelan pada masalah teknik dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial, misalnya masalah mekanika dan lenturan pada batang Oleh karena itu, materi persamaan diferensial penting dipelajari oleh mahasiswa jurusan teknik agar dapat menyelesaikan masalah teknik yang ditekuninya Sebuah persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan atau diferensial Orde sebuah persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan Persamaan diferensial orde satu adalah persamaan dengan turunan tertingginya turunan pertama, demikian seterusnya Sebagai contoh, dapat dilihat persamaan-persamaan berikut ini adalah persamaan diferensial orde satu adalah persamaan diferensial orde dua Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) adalah persamaan yang hanya melibatkan satu variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial yang melibatkan lebih dari satu variabel bebas disebut persamaan diferensial parsial (partial differential equation) Persamaan diferensial yang disertai nilai awal disebut masalah nilai awal, sedangkan yang disertai nilai batas disebut masalah nilai batas Nilai awal sebuah persamaan diferensial adalah nilai fungsi ataupun nilai turunan fungsi yang diberikan pada kondisi awal, misalnya y(0) = 2, y (0) = 1, dan Matematika Terapan 2 untuk TPKM 1

2 seterusnya Nilai batas adalah nilai fungsi ataupun nilai turunan fungsi yang diberikan pada kondisi tertentu, misalnya y(1) = 0, y (5) = 12, dan seterusnya Penyelesaian persamaan diferensial adalah persamaan berbentuk atau berbentuk, dengan C konstanta Penyelesaian persamaan diferensial ada dua macam, yaitu 1 penyelesaian umum yaitu penyelesaian yang masih mengandung konstanta, penyelesaian ini diperoleh jika tidak diberikan nilai awal ataupun nilai batas; 2 penyelesaian khusus yaitu penyelesaian yang tidak mengandung konstanta karena telah disubstitusi oleh nilai awal dan nilai batas yang diberikan Metode penyelesaian persamaan diferensial bergantung pada orde dan bentuk persamaannya Untuk persamaan diferensial orde satu terdapat beberapa metode Metode penyelesaian yang cocok untuk persamaan pada contoh nomor satu di atas adalah metode pemisahan variabel Teknik penyelesaiannya akan diuraikan dibawah ini 32 Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Satu Metode penyelesaian persamaan diferensial orde satu bergantung pada bentuk persamaannya Pembahasan akan diawali dari bentuk persamaan yang paling sederhana yang dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel, sampai pada persamaan yang agak rumit yaitu persamaan Bernoulli 321 Persamaan dengan Variabel Terpisah Persamaan diferensial ini berbentuk Penyelesaian persamaan ini diperoleh dengan metode pemisahan variabel, yaitu: Contoh 1: Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu Langkah 1 Pisahkan suku-suku yang mengandung variabel dan variabel, sehingga persamaan menjadi Langkah 2 Kemudian lakukan integral pada kedua ruas Matematika Terapan 2 untuk TPKM 2

3 Penyelesaian yang diperoleh adalah Contoh 2: Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu Langkah 1 Pemisahan suku-suku yang mengandung variabel, menghasilkan persamaan dan variabel Langkah 2 Sebelum menghitung integral, sederhanakan dulu fungsi-fungsi integran di kedua ruas, sehingga persamaan di atas menjadi Setelah diintegralkan dan disederhanakan bentuknya maka penyelesaian yang diperoleh adalah 322 Persamaan yang Direduksi menjadi Persamaan Terpisah (Pemisalan) Proses reduksi dari persamaan yang variabelnya tidak dapat dipisahkan menjadi dapat dipisahkan adalah dengan substitusi Secara khusus pada subbab ini dibahas persamaan yang berbentuk sehingga disubstitusi oleh persamaan Metode ini dikenakan pada persamaan diferensial linear orde satu homogen yaitu persamaan diferensial yang mengandung variabel x dan variabel y yang berderajat sama (pangkat tertinggi variabel x dan y sama) Persamaan diferensial homogen ini disubstitusi oleh persamaan, dengan dan oleh turunannya yaitu sehingga hasilnya dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel Uraiannya dapat dilihat pada contoh berikut Contoh 1: Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu Matematika Terapan 2 untuk TPKM 3

4 Langkah 1 Substitusi persamaan dan pada persamaan diferensial, sehingga persamaan menjadi atau Ini adalah persamaan diferensial baru yang dihasilkan setelah substitusi Perhatikan, variabelnya sekarang adalah v dan x! Langkah 2 Lakukan penyelesaian dengan metode pemisahan variabel! Penyelesaian yang diperoleh adalah Contoh 2: Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu Langkah 1 Substitusi persamaan dan pada persamaan diferensial sehingga persamaan menjadi Langkah 2 Lakukan penyelesaian dengan metode pemisahan variabel Penyelesaian yang diperoleh adalah 323 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu Metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear (persamaan diferensial yang variabel y -nya berderajat satu) yaitu metode faktor pengintegralan Bentuk umum persamaan diferensial linear ini yaitu dengan P dan Q masing-masing konstanta atau fungsi dalam x Faktor pengintegralan (Fi) adalah eksponen pangkat integral dari fungsi P terhadap variabel x Ditulis dengan atau konstanta Matematika Terapan 2 untuk TPKM 4

5 Langkah-langkah penyelesaian: 1 Kalikan Fi dengan semua suku pada persamaan diferensial, yaitu Perhatikan bahwa ruas kiri ekivalen dengan sehingga diperoleh jika kedua ruas dikalikan dengan dx 2 Integralkan ruas kiri dan ruas kanan, diperoleh Karena setiap penyelesaian langkah-langkahnya sama, untuk selanjutnya setelah diperoleh Fi, persamaan yang diperoleh pada langkah kedua dapat langsung digunakan Perhatikan contoh-contoh berikut ini! Contoh 1: Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu! Langkah 1 Bandingkan persamaan diferensial pada soal dengan bentuk umum persamaan diferensial Linear, diperoleh fungsi dan fungsi Langkah 2 Tentukan Fi yaitu Perhatikan, walaupun integral tak tentu, hasil akhirnya tidak ditambahkan konstanta C Langkah 3 Tuliskan persamaan, dalam hal ini ekivalen dengan persamaan Langkah 4 Selesaikan integral pada ruas kanan dengan metode pengintegralan parsial Penyelesaian yang diperoleh adalah Contoh 2: Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu! Matematika Terapan 2 untuk TPKM 5

6 Langkah 1 Tuliskan persamaan diferensial pada soal sesuai dengan bentuk umum persamaan diferensial Linear Hal ini penting dilakukan untuk mendapatkan fungsi P dan Q dengan tepat Untuk persamaan diferensial pada contoh ini, bagi setiap sukunya dengan x sehingga persamaan diferensial menjadi Langkah 2 Bandingkan persamaan diferensial ini dengan bentuk umum persamaan diferensial Linear maka diperoleh fungsi dan fungsi Langkah 3 Tentukan Fi yaitu Langkah 4 Tuliskan persamaan, dalam hal ini ekivalen dengan persamaan Langkah 5 Selesaikan integral pada ruas kanan Penyelesaian yang diperoleh adalah Contoh 3: Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu Langkah 1 Bandingkan persamaan diferensial ini dengan bentuk umum persamaan diferensial linear maka diperoleh fungsi dan fungsi Langkah 2 Tentukan Fi yaitu Langkah 3 Tuliskan persamaan, dalam hal ini ekivalen dengan persamaan Langkah 4 Selesaikan integral pada ruas kanan Karena hasil integral pada langkah 4 ada dua macam, penyelesaian yang diperoleh juga dua macam, yaitu atau Matematika Terapan 2 untuk TPKM 6

7 324 Persamaan Bernoulli Bentuk umum Persamaan Bernoulli adalah dengan P dan Q masing-masing konstanta atau fungsi dalam x, dan n bilangan asli Langkah-langkah Penyelesaian: 1 Bagi setiap suku persamaan diferensial dengan 2 Misalnya, kemudian tentukan 3 Substitusi persamaan diferensial dengan y dan dy pada langkah 2 sehingga diperoleh persamaan yang baru yaitu 4 Selesaikan dengan metode faktor pengintegralan Untuk lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini! Contoh 1: Langkah 1 Bandingkan persamaan diferensial pada soal dengan bentuk umum persamaan bernoulli, diperoleh Bagilah persamaan diferensial dengan, diperoleh Langkah 2 Misalnya, diperoleh Langkah 3 Substitusikan hasil langkah 2 pada persamaan diferensial di langkah 1, diperoleh persamaan diferensial yang baru yaitu Langkah 4 Selesaikan persamaan diferensial di langkah 3 dengan metode faktor Matematika Terapan 2 untuk TPKM 7

8 pengintegralan Penyelesaian yang diperoleh adalah Contoh 2: Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu Langkah 1 Tuliskan persamaan diferensial pada soal dalam bentuk umum persamaan bernoulli, untuk mendapatkan n yang tepat, yaitu diperoleh Bagilah persamaan diferensial ini dengan, diperoleh Langkah 2 Misalnya, diperoleh Langkah 3 Substitusikan hasil langkah 2 pada persamaan diferensial di langkah 1 sehingga diperoleh persamaan diferensial yang baru yaitu Langkah 4 Selesaikan persamaan diferensial di langkah 3 dengan metode faktor pengintegralan Penyelesaian yang diperoleh adalah Matematika Terapan 2 untuk TPKM 8

9 Latihan 1 A Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde satu berikut ini dengan metode pemisahan variabel atau metode substitusi! B Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensial orde satu berikut ini dengan metode pemisahan variabel atau metode substitusi! 5 Matematika Terapan 2 untuk TPKM 9

10 Latihan 2 A Tentukan Penyelesaian Umum dari Persamaan Diferensial Orde Satu berikut ini dengan Metode Faktor Pengintegralan atau Metode untuk Persamaan Bernoulli! B Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensial orde satu berikut ini dengan metode faktor pengintegralan! 33 Penerapan Persamaan Diferensial Orde Satu Pada subbab ini akan dibahas penerapan persamaan diferensial orde satu untuk masalah mekanika (gerak lurus) dan tekanan udara Langkah-langkah penyelesaian: 1 Rumuskan model matematika soal yang diberikan, yaitu dalam bentuk persamaan diferensial orde satu! 2 Tentukan penyelesaian umum dan khususnya! 3 Jawab pertanyaan pada soal! Matematika Terapan 2 untuk TPKM 10

11 Contoh 1 (Gerak Lurus) Soal: Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus Jarak tempuh pada saat t dinyatakan oleh y, kecepatan benda pada saat t dinyatakan oleh v Jika diketahui kecepatan benda linear, yaitu Jika, Tentukan jarak tempuh y pada saat! 1 Persamaan diferensial orde satu dengan syarat 2 Penyelesaian: Jadi, penyelesaian umum: Penyelesaian khusus diperoleh dengan mensubstitusi syarat pada penyelesaian umum maka, atau Jadi, penyelesaian khusus: 3 Jadi, atau jarak tempuh pada saat adalah 65 m Contoh 2: (Tekanan Udara) Soal: Dari pengamatan diketahui bahwa makin tinggi jarak dari permukaan laut maka makin rendah tekanan udaranya Laju perubahan tekanan sebanding dengan tekanan pada ketinggian tersebut Misalkan tekanan permukaan laut dinyatakan oleh Jika tekanan pada ketinggian 6000 m adalah ½ dari tekanan permukaan laut, tentukan tekanan udara pada setiap ketinggian! Diketahui: y = tekanan pada ketinggian x = tekanan pada setiap ketinggian x = ketinggian dari permukaan laut Syarat batas: Syarat awal: tekanan permukaan laut Persamaan diferensial: (k negatif karena y mengecil ketika x membesar) Matematika Terapan 2 untuk TPKM 11

12 Ditanyakan: Penyelesaian: Jadi, penyelesaian umumnya adalah Substitusi syarat awal pada penyelesaian umum, diperoleh Jadi, (*) Substitusi syarat batas pada (*), diperoleh Jadi, penyelesaian khususnya adalah Dengan demikian, tekanan udara pada setiap ketinggian (pada ketinggian x) adalah dengan tekanan permukaan laut Contoh 3: (Hukum Pendinginan Newton) Soal: Dari pengamatan diketahui bahwa jika sebuah benda dimasukkan ke dalam sebuah medium yang suhunya berbeda dengan suhu benda tersebut maka terjadi perubahan suhu terhadap waktu Laju perubahan suhu ini berbanding lurus dengan selisih suhu benda terhadap suhu medium Misalnya, sebuah bola tembaga dipanaskan sampai suhu C Kemudian bola panas ini dicelupkan ke dalam air yang suhunya dipertahankan tetap sebesar 30 0 C Setelah 3 menit suhu bola menjadi 70 0 C Tentukan waktu t ketika suhu bola menjadi 31 0 C! Diketahui: = suhu benda pada saat t ( 0 C) t = waktu (menit) t = 0 (saat bola panas mulai dicelupkan ke dalam air) laju perubahan suhu benda terhadap waktu Syarat awal: Syarat batas: Matematika Terapan 2 untuk TPKM 12

13 Persamaan diferensial: (k negatif karena T mengecil ketika t membesar) Ditanyakan: Penyelesaian: Jadi, penyelesaian umumnya adalah Substitusi syarat awal pada penyelesaian umum, diperoleh Jadi, (*) Substitusi syarat batas pada (*), diperoleh Jadi, penyelesaian khususnya adalah Pada saat suhu bola mencapai diperoleh Dengan demikian, waktu yang dibutuhkan agar suhu bola mencapai 22,75 menit adalah Latihan 3 1 Volume air dalam bejana adalah V m 3 pada kedalaman h m Jika kecepatan perubahan V terhadap h adalah, tentukan volume air di dalam bejana pada kedalaman 2 m! 2 Sebuah mobil mulai dalam keadaan diam kemudian berjalan hingga mencapai kecepatan 100 m/detik selama 30 detik Jika percepatannya konstan, berapakah jarak yang ditempuh selama 30 detik itu? Matematika Terapan 2 untuk TPKM 13

14 3 Sebuah roket ditembakkan lurus ke atas dengan kecepatan Jika setelah 20 detik mesin roket itu dimatikan, berapakah ketinggian yang dicapai roket itu sebelum jatuh kembali? (tekanan udara diabaikan) 4 Sebuah benda yang suhunya 100 dibawa ke ruangan yang suhunya 22 Setelah 20 menit, suhu benda berubah menjadi 70 Berapa waktu yang dibutuhkan agar suhu benda tersebut mencapai 40? 5 Harga sebuah suku cadang sebuah mesin Rp 8 juta Harga suku cadang ini mengalami penurunan dengan rumus H menunjukkan harga suku cadang setelah t tahun pembelian Berapakah harga suku cadang tersebut setelah 4 tahun? 6 Muatan listrik yang diterima oleh kondensor dari sebuah rangkaian listrik yang dialiri arus sebesar I ampere dalam waktu t detik adalah Q coulomb Jika arus dan Q = 0 pada saat detik, tentukan muatan positif terbesar pada kondensor! 34 Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua Bentuk umum dari Persamaan Diferensial Orde Dua adalah Jika (31) persamaan (31) disebut persamaan diferensial orde dua tak homogen, tetapi jika persamaan ini disebut persamaan diferensial orde dua homogen Sebagai contoh persamaan diferensial orde dua tak homogen yaitu persamaan Pada contoh ini, berarti dan 341 Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen Persamaan diferensial orde dua homogen diselesaikan dengan dua langkah yaitu: 1 Tuliskan persamaan karakteristik dari persamaan (32), yaitu: Kemudian tentukan akar-akarnya 2 a Jika dan real, penyelesaian homogennya adalah (32) b Jika dan real, maka penyelesaian homogennya adalah c Jika (bilangan kompleks), maka penyelesaian homogennya adalah Matematika Terapan 2 untuk TPKM 14

15 Penyelesaian umum dari persamaan diferensial orde dua homogen ini adalah penyelesaian homogennya Contoh 1: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde dua homogen Persamaan karakteristiknya adalah Karena kedua akarnya real dan berbeda, yaitu dan 1, maka penyelesaian homogennya adalah Jadi penyelesaian umumnya adalah Contoh 2: Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensial orde dua tak homogen atau tentukan penyelesaian masalah nilai awal berikut ini! Karena ruas kiri persamaan ini sama dengan contoh 1 umumnya adalah maka penyelesaian Untuk memperoleh nilai dari konstanta A dan B, substitusikan syarat awal pada penyelesaian umum Karena, diperoleh Karena dan, diperoleh Jadi dan Jadi, penyelesaian khususnya adalah 342 Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua Tak Homogen Penyelesaian umum dari persamaan diferensial orde dua tak homogen adalah gabungan dari penyelesaian homogen dan integral khusus ditulis Penyelesaian ini disebut juga penyelesaian umum lengkap Penyelesaian homogen diperoleh dengan cara yang telah dijelaskan pada subbab 341 Persamaan diferensial orde dua tak homogen dimisalkan sebagai persamaan diferensial orde dua homogen dalam hal ini Integral Khusus dapat diperoleh dari metode koefisien tak tentu ataupun metode variasi parameter Kedua metode ini memiliki kekurangan dan kelebihan Metode koefisien tak tentu terbatas hanya untuk integral khusus berbentuk fungsi eksponen, polinom, trigonometri (sinus dan cosinus) ataupun kombinasi ketiganya Pada metode variasi parameter, bentuk fungsi integral khususnya tidak terbatas pada tiga jenis fungsi tadi Akan tetapi, Matematika Terapan 2 untuk TPKM 15

16 dalam metode ini digunakan penghitungan integral pada bagian akhir penyelesaiannya a Metode Koefisien Tak Tentu Untuk memperoleh dengan metode koefisien tak tentu, perhatikan pada ruas kanan persamaan diferensial orde dua tak homogen dan tabel berikut! Tabel 2 Bentuk Umum Integral Khusus No Bentuk Umum dari 1 Eksponen x, yaitu 2 Polinom berderajat n 3 atau 4 atau Bentuk umum dari adalah pemisalan untuk integral khusus Jika telah ditentukan bentuk umumnya, selanjutnya bentuk umum ini dihitung turunan pertama dan turunan keduanya Setelah itu, hasilnya disubstitusikan pada persamaan diferensial orde dua tak homogen sehingga diperoleh yang sesungguhnya Contoh 1: Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde dua tak homogen Dari contoh sebelumnya, diketahui bahwa penyelesaian homogennya adalah Karena ruas kanan merupakan polinom berderajat dua, pemisalan untuk adalah, dan,! Substitusikan atas, diperoleh pada persamaan diferensial orde dua tak homogen di Matematika Terapan 2 untuk TPKM 16

17 sehingga Jadi, Dengan demikian, penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensial orde dua tak homogen di atas adalah Contoh 2 Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde dua tak homogen Bentuk homogen persamaan diferensial orde dua tak homogen di atas adalah Jadi, persamaan karakteristiknya adalah Akar-akar dari persamaan karakteristik ini Menurut langkah 2 penyelesaian homogennya adalah Bentuk pada persamaan diferensial ini berupa fungsi trigonometri dengan sehingga dengan bantuan tabel diperoleh pemisalan yaitu,, dan! Substitusikan pada persamaan diferensial tak homogen, diperoleh sehingga Jadi, Dengan demikian, penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensial orde dua tak homogen di atas adalah Matematika Terapan 2 untuk TPKM 17

18 Contoh 3: Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde dua tak homogen Dari contoh sebelumnya, diketahui bahwa penyelesaian umumnya adalah Karena ruas kanan merupakan kombinasi dari polinom berderajat satu dan eksponen, pemisalan untuk adalah, dan,! Substitusikan di atas, diperoleh pada persamaan diferensial orde dua tak homogen sehingga Jadi, Dengan demikian, penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensial orde dua tak homogen di atas adalah Contoh 4: Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde dua tak homogen! Dari contoh sebelumnya, diketahui bahwa penyelesaian umumnya adalah Karena ruas kanan merupakan eksponen x, pemisalan untuk adalah Matematika Terapan 2 untuk TPKM 18

19 Hasil dari substitusi homogen di atas adalah pada persamaan diferensial orde dua tak Hasil dari substitusi ini tidak diperoleh simpulan apa pun karena bentuk umum sama dengan salah satu suku pada penyelesaian homogen Jadi, harus dipilih pemisalan yang lain, yaitu (dikalikan dengan variabelnya) Jika masih sama dengan suku lain pada penyelesaian homogen, dikalikan dengan variabelnya satu kali lagi Pada soal ini, pemisalan tidak lagi sama dengan salah satu suku pada penyelesaian homogennya sehingga tidak perlu diganti dengan pemisalan yang lain Hasil dari substitusi homogen di atas adalah pada persamaan diferensial orde dua tak sehingga diperoleh Jadi, Dengan demikian, penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensial orde dua tak homogen di atas adalah b Metode Variasi Parameter Integral khusus pada metode variasi parameter diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut 1 hitung determinan Wronski dari penyelesaian homogen Misalnya penyelesaian homogen adalah, maka determinan Wronskinya adalah Matematika Terapan 2 untuk TPKM 19

20 2 hitung integral khususnya, yaitu Contoh: Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde dua tak homogen ini dengan metode variasi parameter! Dari contoh 2 pada pembahasan metode koefisien tak tentu, diketahui bahwa penyelesaian umum persamaan diferensial orde dua homogen adalah Penyelesaian ini merupakan penyelesaian homogen, maka determinan Wronskinya adalah dan integral khususnya adalah Dengan demikian, penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensial orde dua tak homogen di atas adalah atau ( ) Latihan 4 A Tentukan penyelesaian umum dari persamaan diferensial orde dua tak homogen berikut ini! Matematika Terapan 2 untuk TPKM 20

21 B Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan diferensial orde dua tak homogen berikut ini! 35 Penerapan Persamaan Diferensial Orde Dua Pada subbab ini akan dibahas masalah mekanika dan lenturan pada batang yang mengandung bentuk-bentuk persamaan diferensial orde dua tak homogen Pembahasan ini diharapkan akan memberikan gambaran tentang penerapan persamaan diferensial orde dua tak homogen pada teknik sipil a Mekanika Hukum dasar mekanika atau dinamika adalah hukum Newton, yaitu Matematika Terapan 2 untuk TPKM 21

22 dengan m massa objek yang bergerak, v kecepatan, t waktu, dan F gaya total yang bekerja pada projek itu Besaran mv dinamakan momentum Jika m konstan, persamaan di atas menjadi dengan a percepatan Pada permukaan bumi, massa m dihubungkan dengan bobot W oleh W = mg dengan g percepatan gravitasi bumi Contoh: Mobil yang sedang melaju dengan kecepatan 144 km/jam tiba-tiba direm, mengakibatkan percepatan negatif konstan 10 m/det 2, berapa lamakah mobil itu akan berhenti dan berapa jarak yang ditempuh mobil sampai berhenti? Misalnya jarak tempuh mobil setelah direm pada waktu t detik adalah y(t) Waktu dan posisi saat mobil di rem diasumsikan pada t = 0 dan y = 0 Jadi, Karena kecepatan mobil 144 km/jam = 40 m/det, kecepatan awal mobil Selanjutnya, percepatan mobil diartikan sebagai turunan kedua yaitu Dengan demikian, model matematika masalah tersebut adalah dengan syarat awal (33) Persamaan (33) merupakan persamaan diferensial orde dua tak homogen Jika diselesaikan dengan cara seperti pada subbab sebelumnya diperoleh persamaan karakteristik sehingga penyelesaian homogennya adalah Jika integral khususnya diperoleh dengan metode koefisien tak tentu, pemisalan untuknya adalah sehingga Oleh karena itu, Jadi, penyelesaian umumnya adalah Matematika Terapan 2 untuk TPKM 22

23 Dengan mensubstitusikan syarat awal pada penyelesaian umum, diperoleh dan B sehingga diperoleh penyelesaian khusus Persamaan diferensial orde dua tak homogen (33) dengan nilai dapat diselesaikan dengan integral langsung Cara ini akan memberikan penyelesaian khusus yang sama Ketika mobil berhenti, turunan pertama penyelesaian khusus memberikan persamaan dan diperoleh Jadi, mobil hanya bergerak selama 4 detik setelah direm dan jarak tempuh setelah direm adalah b Oscilasi Harmonik Sebuah pegas tergantung secara vertikal pada suatu titik tetap Pada ujung pegas diikatkan beban dengan massa m Jika beban tersebut ditarik ke bawah kemudian dilepaskan, maka beban bergerak naik turun Bagaimana persamaan gerak beban tersebut pada setiap waktu? Untuk merumuskan persamaan gerak beban ini, diambil asumsi gerakan beban hanya vertikal karena massa pegas diabaikan (perbandingan massa beban >> massa pegas) Latihan 5 1 Sebuah mobil mencapai kecepatan 80 km/jam, tanpa kecepatan awal Jika percepatannya konstan, berapakah jarak yang ditempuh dalam waktu 10 menit? 2 Sebuah bola menggelinding di permukaan tanah dengan kecepatan awal 35 kaki/detik Jika bola mengalami perlambatan sebesar 7 kaki/detik 2, berapakah jarak tempuh bola hingga berhenti? 3 Sebuah benda dengan berat 80 Newton dapat meregangkan pegas sejauh 5 cm Tentukanlah persamaan gerak benda tersebut dalam y (t) jika a benda ditarik ke bawah sejauh 8 cm; b benda ditarik ke bawah sejauh 4 cm dengan kecepatan awal 1,5 m/det; c benda didorong ke atas sejauh 8 cm; d benda didorong ke atas sejauh 4 cm dengan kecepatan awal 1,5 m/det! Matematika Terapan 2 untuk TPKM 23

24 4 Tentukanlah persamaan gerak benda yang dihasilkan pada soal nomor 3, jika sistem diberikan a redaman sebesar 100 kg/detik; b redaman sebesar 120 kg/detik dan gaya luar F(t) = 2 sin t Newton! Matematika Terapan 2 untuk TPKM 24

Kuliah PD. Gaya yang bekerj a pada suatu massa sama dengan laju perubahan momentum terhadap waktu.

Kuliah PD. Gaya yang bekerj a pada suatu massa sama dengan laju perubahan momentum terhadap waktu. Kuliah PD Pertemuan ke-1: Motivasi: 1. Mekanika A. Hukum Newton ke-: Gaya yang bekerj a pada suatu massa sama dengan laju perubahan momentum terhadap waktu. Misalkan F: gaya, m: massa benda, a: percepatan,

Lebih terperinci

MEKANIKA UNIT. Pengukuran, Besaran & Vektor. Kumpulan Soal Latihan UN

MEKANIKA UNIT. Pengukuran, Besaran & Vektor. Kumpulan Soal Latihan UN Kumpulan Soal Latihan UN UNIT MEKANIKA Pengukuran, Besaran & Vektor 1. Besaran yang dimensinya ML -1 T -2 adalah... A. Gaya B. Tekanan C. Energi D. Momentum E. Percepatan 2. Besar tetapan Planck adalah

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 25 April 2014

Hendra Gunawan. 25 April 2014 MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 April 014 Kuliah yang Lalu 15.11 Persamaan Diferensial Linear Orde, Homogen 15. Persamaan Diferensial Linear Orde, Tak Homogen 15.3 Penggunaan Persamaan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial merupakan persamaan yang didalamnya terdapat beberapa derivatif. Persamaan diferensial menyatakan hubungan antara derivatif dari satu variabel

Lebih terperinci

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial Orde Satu Jurusan Matematika FMIPA-Unud Senin, 18 Desember 2017 Orde Satu Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak 3 4 Orde Satu Pendahuluan Dalam subbab

Lebih terperinci

J U R U S A N T E K N I K S I P I L UNIVERSITAS BRAWIJAYA. TKS-4101: Fisika. Hukum Newton. Dosen: Tim Dosen Fisika Jurusan Teknik Sipil FT-UB

J U R U S A N T E K N I K S I P I L UNIVERSITAS BRAWIJAYA. TKS-4101: Fisika. Hukum Newton. Dosen: Tim Dosen Fisika Jurusan Teknik Sipil FT-UB J U R U S A N T E K N I K S I P I L UNIVERSITAS BRAWIJAYA TKS-4101: Fisika Hukum Newton Dosen: Tim Dosen Fisika Jurusan Teknik Sipil FT-UB 1 Mekanika Kinematika Mempelajari gerak materi tanpa melibatkan

Lebih terperinci

MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU 1 Persamaan diferensial orde satu Persamaan diferensial menyatakan hubungan dinamik antara variabel bebas dan variabel tak bebas, maksudnya

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan

BAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa hal yang digunakan sebagai landasan pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Non Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Non Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Solusi umum merupakan jumlah

Lebih terperinci

KISI KISI UJI COBA SOAL

KISI KISI UJI COBA SOAL KISI KISI UJI COBA SOAL Materi Indikator Soal Alat Evaluasi (soal) Gerak Lurus Disajikan 1. Perhatikan gambar dibawah ini! dengan gambar diagram S R O P Q T Kecepatan cartesius, Siswa dan -6-5 -4-3 -2-1

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )

II. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( ) II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan

Lebih terperinci

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I 7 INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Memahami konsep dasar integral, teorema-teorema, sifat-sifat, notasi jumlah, fungsi transenden dan teknik-teknik pengintegralan. Materi

Lebih terperinci

1 Soal latihan UTS Ganjil IPA-Fisika kelas VIII Semester 1 A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar! 1. Perhatikan beberapa pernyataan berikut: 1) Dapat merubah kecepatan benda 2) Dapat berupa

Lebih terperinci

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. syarat batas, deret fourier, metode separasi variabel, deret taylor dan metode beda

BAB II KAJIAN TEORI. syarat batas, deret fourier, metode separasi variabel, deret taylor dan metode beda BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang beberapa teori dasar yang digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab III. Beberapa teori dasar yang dibahas, diantaranya teori umum tentang persamaan

Lebih terperinci

Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika

Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika 14.1 APLIKASI INTEGRAL A. Usaha Dan Energi Hampir semua ilmu mekanika ditemukan oleh Issac newton kecuali konsep energi. Energi dapat muncul dalam berbagai

Lebih terperinci

SOAL SELEKSI PENERIMAAN MAHASISWA BARU (BESERA PEMBAHASANNYA) TAHUN 1993

SOAL SELEKSI PENERIMAAN MAHASISWA BARU (BESERA PEMBAHASANNYA) TAHUN 1993 SOAL SELEKSI PENERIMAAN MAHASISWA BARU (BESERA PEMBAHASANNYA) TAHUN 1993 BAGIAN KEARSIPAN SMA DWIJA PRAJA PEKALONGAN JALAN SRIWIJAYA NO. 7 TELP (0285) 426185) 1. Peluru ditembakkan condong ke atas dengan

Lebih terperinci

D. 30 newton E. 70 newton. D. momentum E. percepatan

D. 30 newton E. 70 newton. D. momentum E. percepatan 1. Sebuah benda dengan massa 5 kg yang diikat dengan tali, berputar dalam suatu bidang vertikal. Lintasan dalam bidang itu adalah suatu lingkaran dengan jari-jari 1,5 m Jika kecepatan sudut tetap 2 rad/s,

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap

Lebih terperinci

Catatan Kuliah FI1101 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi

Catatan Kuliah FI1101 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi Catatan Kuliah FI111 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi Agus Suroso update: 4 November 17 Osilasi atau getaran adalah gerak bolak-balik suatu benda melalui titik kesetimbangan. Gerak bolak-balik tersebut

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dikemukakan teori-teori yang mendukung pembahasan penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen dengan menggunakan metode fungsi green antara lain: persamaan

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA TEKNIK

MODUL MATEMATIKA TEKNIK MODUL MATEMATIKA TEKNIK Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2011 Linear

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

GERAK HARMONIK. Pembahasan Persamaan Gerak. untuk Osilator Harmonik Sederhana

GERAK HARMONIK. Pembahasan Persamaan Gerak. untuk Osilator Harmonik Sederhana GERAK HARMONIK Pembahasan Persamaan Gerak untuk Osilator Harmonik Sederhana Ilustrasi Pegas posisi setimbang, F = 0 Pegas teregang, F = - k.x Pegas tertekan, F = k.x Persamaan tsb mengandung turunan terhadap

Lebih terperinci

KERJA DAN ENERGI. 4.1 Pendahuluan

KERJA DAN ENERGI. 4.1 Pendahuluan IV KERJA DAN ENERGI Kompetensi yang ingin dicapai setelah mempelajari bab ini adalah kemampuan memahami, menganalisis dan mengaplikasikan konsep-konsep kerja dan energi pada kehidupan sehari-hari ataupun

Lebih terperinci

digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3

digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3 Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat

Lebih terperinci

USAHA DAN ENERGI. Fisika Dasar / Fisika Terapan Program Studi Teknik Sipil Salmani, ST., MT., MS.

USAHA DAN ENERGI. Fisika Dasar / Fisika Terapan Program Studi Teknik Sipil Salmani, ST., MT., MS. USAHA DAN ENERGI Fisika Dasar / Fisika Terapan Program Studi Teknik Sipil Salmani, ST., MT., MS. SOAL - SOAL : 1. Pada gambar, kita anggap bahwa benda ditarik sepanjang jalan oleh sebuah gaya 75

Lebih terperinci

K13 Revisi Antiremed Kelas 10 Fisika

K13 Revisi Antiremed Kelas 10 Fisika K13 Revisi Antiremed Kelas 10 Fisika Persiapan Penilaian Akhir Semester (PAS) Genap Halaman 1 01. Dalam getaran harmonik, percepatan getaran... (A) selalu sebanding dengan simpangannya (B) tidak bergantung

Lebih terperinci

1. Sebuah benda diam ditarik oleh 3 gaya seperti gambar.

1. Sebuah benda diam ditarik oleh 3 gaya seperti gambar. 1. Sebuah benda diam ditarik oleh 3 gaya seperti gambar. Berdasar gambar diatas, diketahui: 1) percepatan benda nol 2) benda bergerak lurus beraturan 3) benda dalam keadaan diam 4) benda akan bergerak

Lebih terperinci

LATIHAN SOAL MENJELANG UJIAN TENGAH SEMESTER STAF PENGAJAR FISIKA TPB

LATIHAN SOAL MENJELANG UJIAN TENGAH SEMESTER STAF PENGAJAR FISIKA TPB LATIHAN SOAL MENJELANG UJIAN TENGAH SEMESTER STAF PENGAJAR FISIKA TPB Soal No. 1 Seorang berjalan santai dengan kelajuan 2,5 km/jam, berapakah waktu yang dibutuhkan agar ia sampai ke suatu tempat yang

Lebih terperinci

ENERGI POTENSIAL. dapat dimunculkan dan diubah sepenuhnya menjadi tenaga kinetik. Tenaga

ENERGI POTENSIAL. dapat dimunculkan dan diubah sepenuhnya menjadi tenaga kinetik. Tenaga ENERGI POTENSIAL 1. Pendahuluan Energi potensial merupakan suatu bentuk energi yang tersimpan, yang dapat dimunculkan dan diubah sepenuhnya menjadi tenaga kinetik. Tenaga potensial tidak dapat dikaitkan

Lebih terperinci

Kinematika Sebuah Partikel

Kinematika Sebuah Partikel Kinematika Sebuah Partikel oleh Delvi Yanti, S.TP, MP Bahan Kuliah PS TEP oleh Delvi Yanti Kinematika Garis Lurus : Gerakan Kontiniu Statika : Berhubungan dengan kesetimbangan benda dalam keadaan diam

Lebih terperinci

SOAL UN FISIKA DAN PENYELESAIANNYA 2005

SOAL UN FISIKA DAN PENYELESAIANNYA 2005 2. 1. Seorang siswa melakukan percobaan di laboratorium, melakukan pengukuran pelat tipis dengan menggunakan jangka sorong. Dari hasil pengukuran diperoleh panjang 2,23 cm dan lebar 36 cm, maka luas pelat

Lebih terperinci

Antiremed Kelas 10 FISIKA

Antiremed Kelas 10 FISIKA Antiremed Kelas 0 FISIKA Dinamika, Partikel, dan Hukum Newton Doc Name : K3AR0FIS040 Version : 04-09 halaman 0. Gaya (F) sebesar N bekerja pada sebuah benda massanya m menyebabkan percepatan m sebesar

Lebih terperinci

LATIHAN USAHA, ENERGI, IMPULS DAN MOMENTUM

LATIHAN USAHA, ENERGI, IMPULS DAN MOMENTUM LATIHAN USAHA, ENERGI, IMPULS DAN MOMENTUM A. Menjelaskan hubungan usaha dengan perubahan energi dalam kehidupan sehari-hari dan menentukan besaran-besaran terkait. 1. Sebuah meja massanya 10 kg mula-mula

Lebih terperinci

D. 6,25 x 10 5 J E. 4,00 x 10 6 J

D. 6,25 x 10 5 J E. 4,00 x 10 6 J 1. Besarnya usaha untuk menggerakkan mobil (massa mobil dan isinya adalah 1000 kg) dari keadaan diam hingga mencapai kecepatan 72 km/jam adalah... (gesekan diabaikan) A. 1,25 x 10 4 J B. 2,50 x 10 4 J

Lebih terperinci

ANTIREMED KELAS 11 FISIKA

ANTIREMED KELAS 11 FISIKA ANTIRMD KLAS 11 FISIKA Persiapan UAS 1 Fisika Doc. Name: AR11FIS01UAS Version : 016-08 halaman 1 01. Jika sebuah partikel bergerak dengan persamaan posisi r = 5t + 1, maka kecepatan rata-rata antara t

Lebih terperinci

UM UGM 2017 Fisika. Soal

UM UGM 2017 Fisika. Soal UM UGM 07 Fisika Soal Doc. Name: UMUGM07FIS999 Version: 07- Halaman 0. Pada planet A yang berbentuk bola dibuat terowongan lurus dari permukaan planet A yang menembus pusat planet dan berujung di permukaan

Lebih terperinci

PEMBENTUKAN MODEL : AYUNAN (OSILASI) BEBAS. Husna Arifah,M.Sc

PEMBENTUKAN MODEL : AYUNAN (OSILASI) BEBAS. Husna Arifah,M.Sc PEMBENTUKAN MODEL : AYUNAN (OSILASI) BEBAS Husna Arifah,M.Sc Email : husnaarifah@uny.ac.id MEMBANGUN MODEL Suatu pegas yang digantungkan secara vertikal dari suatu titik tetap. Diujung bawah pegas diikatkan

Lebih terperinci

Jika sebuah sistem berosilasi dengan simpangan maksimum (amplitudo) A, memiliki total energi sistem yang tetap yaitu

Jika sebuah sistem berosilasi dengan simpangan maksimum (amplitudo) A, memiliki total energi sistem yang tetap yaitu A. TEORI SINGKAT A.1. TEORI SINGKAT OSILASI Osilasi adalah gerakan bolak balik di sekitar suatu titik kesetimbangan. Ada osilasi yang memenuhi hubungan sederhana dan dinamakan gerak harmonik sederhana.

Lebih terperinci

DERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L)

DERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L) DERET FOURIER Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang didefinisikan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Kompetensi

BAB I PENDAHULUAN. Kompetensi BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan

Lebih terperinci

USAHA DAN ENERGI 1 USAHA DAN ENERGI. Usaha adalah hasil kali komponen gaya dalam arah perpindahan dengan perpindahannya.

USAHA DAN ENERGI 1 USAHA DAN ENERGI. Usaha adalah hasil kali komponen gaya dalam arah perpindahan dengan perpindahannya. USAHA DAN ENERGI 1 U S A H A USAHA DAN ENERGI Usaha adalah hasil kali komponen gaya dalam arah perpindahan dengan perpindahannya. Jika suatu gaya F menyebabkan perpindahan sejauh sebesar W, yaitu W = F

Lebih terperinci

MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS 5 MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS Setelah mempelajari materi "Momentum Linear dan Impuls" diharapkan Anda dapat merumuskan konsep impuls dan momentum, keterkaitan antarkeduanya serta aplikasinya dalam kehidupan.

Lebih terperinci

BAB III APLIKASI METODE EULER PADA KAJIAN TENTANG GERAK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1.

BAB III APLIKASI METODE EULER PADA KAJIAN TENTANG GERAK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. BAB III APLIKASI METODE EULER PADA KAJIAN TENTANG GERAK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menentukan solusi persamaan gerak jatuh bebas berdasarkan pendekatan

Lebih terperinci

GMBB. SMA.GEC.Novsupriyanto93.wordpress.com Page 1

GMBB. SMA.GEC.Novsupriyanto93.wordpress.com Page 1 1. Sebuah benda bermassa 1 kg berputar dengan kecepatan sudut 120 rpm. Jika jari-jari putaran benda adalah 2 meter percepatan sentripetal gerak benda tersebut adalah a. 32π 2 m/s 2 b. 42 π 2 m/s 2 c. 52π

Lebih terperinci

TUJUAN :Mahasiswa memahami konsep ilmu fisika, penerapan besaran dan satuan, pengukuran serta mekanika fisika.

TUJUAN :Mahasiswa memahami konsep ilmu fisika, penerapan besaran dan satuan, pengukuran serta mekanika fisika. MATA KULIAH : FISIKA DASAR TUJUAN :Mahasiswa memahami konsep ilmu fisika, penerapan besaran dan satuan, pengukuran serta mekanika fisika. POKOK BAHASAN: Pendahuluan Fisika, Pengukuran Dan Pengenalan Vektor

Lebih terperinci

SOAL TRY OUT FISIKA 2

SOAL TRY OUT FISIKA 2 SOAL TRY OUT FISIKA 2 1. Dua benda bermassa m 1 dan m 2 berjarak r satu sama lain. Bila jarak r diubah-ubah maka grafik yang menyatakan hubungan gaya interaksi kedua benda adalah A. B. C. D. E. 2. Sebuah

Lebih terperinci

Pelatihan Ulangan Semester Gasal

Pelatihan Ulangan Semester Gasal Pelatihan Ulangan Semester Gasal A. Pilihlah jawaban yang benar dengan menuliskan huruf a, b, c, d, atau e di dalam buku tugas Anda!. Perhatikan gambar di samping! Jarak yang ditempuh benda setelah bergerak

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Kompetensi

BAB I PENDAHULUAN. Kompetensi BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan

Lebih terperinci

PR ONLINE MATA UJIAN: FISIKA (KODE A07)

PR ONLINE MATA UJIAN: FISIKA (KODE A07) PR ONLINE MATA UJIAN: FISIKA (KODE A07) 1. Gambar di samping ini menunjukkan hasil pengukuran tebal kertas karton dengan menggunakan mikrometer sekrup. Hasil pengukurannya adalah (A) 4,30 mm. (D) 4,18

Lebih terperinci

Department of Mathematics FMIPAUNS

Department of Mathematics FMIPAUNS Lecture 2: Metode Operator A. Metode Operator untuk Sistem Linear dengan Koefisien Konstan Pada bagian ini akan dibicarakan cara menentukan penyelesaian sistem persamaan diferensial linear dengan menggunakan

Lebih terperinci

Antiremed Kelas 11 FISIKA

Antiremed Kelas 11 FISIKA ntiremed Kelas 11 FISIK Usaha dan Energi - Latihan Soal Doc Name: R11FIS0501 Version : 2012-07 halaman 1 01. Grafik berikut adalah gaya yang diberikan pada suatu benda terhadap jarak yang ditempuh benda

Lebih terperinci

BAB I INTEGRAL TAK TENTU

BAB I INTEGRAL TAK TENTU BAB I INTEGRAL TAK TENTU TUJUAN PEMBELAJARAN: 1. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menentukan pengertian integral sebagai anti turunan. 2. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menyelesaikan

Lebih terperinci

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut : 1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Besaran merupakan frekuensi sudut, merupakan amplitudo, merupakan konstanta fase, dan, merupakan konstanta sembarang.

II LANDASAN TEORI. Besaran merupakan frekuensi sudut, merupakan amplitudo, merupakan konstanta fase, dan, merupakan konstanta sembarang. 2 II LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi osilasi harmonik sederhana yang disarikan dari [Halliday,1987],

Lebih terperinci

SOAL REMEDIAL KELAS XI IPA. Dikumpul paling lambat Kamis, 20 Desember 2012

SOAL REMEDIAL KELAS XI IPA. Dikumpul paling lambat Kamis, 20 Desember 2012 NAMA : KELAS : SOAL REMEDIAL KELAS XI IPA Dikumpul paling lambat Kamis, 20 Desember 2012 1. Sebuah partikel mula-mula dmemiliki posisi Kemudian, partikel berpindah menempati posisi partikel tersebut adalah...

Lebih terperinci

BAB I BESARAN DAN SISTEM SATUAN

BAB I BESARAN DAN SISTEM SATUAN 1.1. Pendahuluan BAB I BESARAN DAN SISTEM SATUAN Fisika berasal dari bahasa Yunani yang berarti Alam. Karena itu Fisika merupakan suatu ilmu pengetahuan dasar yang mempelajari gejala-gejala alam dan interaksinya

Lebih terperinci

SOAL SELEKSI PENERIMAAN MAHASISWA BARU (BESERA PEMBAHASANNYA) TAHUN 1984

SOAL SELEKSI PENERIMAAN MAHASISWA BARU (BESERA PEMBAHASANNYA) TAHUN 1984 SOAL SELEKSI PENERIMAAN MAHASISWA BARU (BESERA PEMBAHASANNYA) TAHUN 1984 BAGIAN KEARSIPAN SMA DWIJA PRAJA PEKALONGAN JALAN SRIWIJAYA NO. 7 TELP (0285) 426185) 1. Besarnya usaha untuk menggerakkan mobil

Lebih terperinci

3. (4 poin) Seutas tali homogen (massa M, panjang 4L) diikat pada ujung sebuah pegas

3. (4 poin) Seutas tali homogen (massa M, panjang 4L) diikat pada ujung sebuah pegas Soal Multiple Choise 1.(4 poin) Sebuah benda yang bergerak pada bidang dua dimensi mendapat gaya konstan. Setelah detik pertama, kelajuan benda menjadi 1/3 dari kelajuan awal benda. Dan setelah detik selanjutnya

Lebih terperinci

PEMERINTAH KABUPATEN LOMBOK UTARA DINAS PENDIDIKAN PEMUDA DAN OLAHRAGA MUSYAWARAH KERJA KEPALA SEKOLAH (MKKS) SMA TRY OUT UJIAN NASIONAL 2010

PEMERINTAH KABUPATEN LOMBOK UTARA DINAS PENDIDIKAN PEMUDA DAN OLAHRAGA MUSYAWARAH KERJA KEPALA SEKOLAH (MKKS) SMA TRY OUT UJIAN NASIONAL 2010 PEMERINTAH KABUPATEN LOMBOK UTARA DINAS PENDIDIKAN PEMUDA DAN OLAHRAGA MUSYAWARAH KERJA KEPALA SEKOLAH (MKKS) SMA TRY OUT UJIAN NASIONAL 200 Mata Pelajaran : Fisika Kelas : XII IPA Alokasi Waktu : 20 menit

Lebih terperinci

BAB IV MOMENTUM, IMPULS DAN TUMBUKAN

BAB IV MOMENTUM, IMPULS DAN TUMBUKAN BAB IV MOMENTUM, IMPULS DAN TUMBUKAN 1. Momentum dan Impuls Momentum adalah banyaknya gerakan suatu benda yang besarnya berbanding lurus dengan massa dan kecepatan. Besarnya momentum dapat diketahuin melalui

Lebih terperinci

SOAL FISIKA UNTUK TINGKAT PROVINSI Waktu: 180 menit Soal terdiri dari 30 nomor pilihan ganda, 10 nomor isian dan 2 soal essay

SOAL FISIKA UNTUK TINGKAT PROVINSI Waktu: 180 menit Soal terdiri dari 30 nomor pilihan ganda, 10 nomor isian dan 2 soal essay SOAL FISIKA UNTUK TINGKAT PROVINSI Waktu: 180 menit Soal terdiri dari 30 nomor pilihan ganda, 10 nomor isian dan 2 soal essay A. PILIHAN GANDA Petunjuk: Pilih satu jawaban yang paling benar. 1. Grafik

Lebih terperinci

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI 1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dewasa ini pemodelan matematika telah berkembang seiring perkembangan matematika sebagai alat analisis berbagai masalah nyata. Dalam pengajaran mata kuliah pemodelan

Lebih terperinci

Integral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN

Integral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti

Lebih terperinci

Xpedia Fisika DP SNMPTN 05

Xpedia Fisika DP SNMPTN 05 Xpedia Fisika DP SNMPTN 05 Doc. Name: XPFIS9910 Version: 2012-06 halaman 1 Sebuah bola bermassa m terikat pada ujung sebuah tali diputar searah jarum jam dalam sebuah lingkaran mendatar dengan jari-jari

Lebih terperinci

4. Dibawah ini persamaan diferensial ordo dua berderajat satu adalah

4. Dibawah ini persamaan diferensial ordo dua berderajat satu adalah Pilihlah jawaban yang benar dengan cara mencakra huruf didepan jawaban yang saudara anggap benar pada lembar jawaban 1. Dibawah ini bentuk persamaan diferensial biasa linier homogen adalah a. y + xy =

Lebih terperinci

Bab III Elastisitas. Sumber : Fisika SMA/MA XI

Bab III Elastisitas. Sumber :  Fisika SMA/MA XI Bab III Elastisitas Sumber : www.lib.ui.ac Baja yang digunakan dalam jembatan mempunyai elastisitas agar tidak patah apabila dilewati kendaraan. Agar tidak melebihi kemampuan elastisitas, harus ada pembatasan

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan Diferensial Biasa Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa

Lebih terperinci

Uji Kompetensi Semester 1

Uji Kompetensi Semester 1 A. Pilihlah jawaban yang paling tepat! Uji Kompetensi Semester 1 1. Sebuah benda bergerak lurus sepanjang sumbu x dengan persamaan posisi r = (2t 2 + 6t + 8)i m. Kecepatan benda tersebut adalah. a. (-4t

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Konsep Dasar dan Pembentukan (Differential : Basic Concepts and Establishment ) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan

Lebih terperinci

D. 30 newton E. 70 newton. D. momentum E. percepatan

D. 30 newton E. 70 newton. D. momentum E. percepatan 1. Sebuah benda dengan massa 5 kg yang diikat dengan tali, berputar dalam suatu bidang vertikal. Lintasan dalam bidang itu adalah suatu lingkaran dengan jari-jari 1,5 m Jika kecepatan sudut tetap 2 rad/s,

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen & Non Homogen Tk. n (Differential: Linier Homogen & Non Homogen Orde n) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

Tarikan/dorongan yang bekerja pada suatu benda akibat interaksi benda tersebut dengan benda lain. benda + gaya = gerak?????

Tarikan/dorongan yang bekerja pada suatu benda akibat interaksi benda tersebut dengan benda lain. benda + gaya = gerak????? DINAMIKA PARTIKEL GAYA Tarikan/dorongan yang bekerja pada suatu benda akibat interaksi benda tersebut dengan benda lain Macam-macam gaya : a. Gaya kontak gaya normal, gaya gesek, gaya tegang tali, gaya

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan

Lebih terperinci

DASAR PENGUKURAN MEKANIKA

DASAR PENGUKURAN MEKANIKA DASAR PENGUKURAN MEKANIKA 1. Jelaskan pengertian beberapa istilah alat ukur berikut dan berikan contoh! a. Kemampuan bacaan b. Cacah terkecil 2. Jelaskan tentang proses kalibrasi alat ukur! 3. Tunjukkan

Lebih terperinci

BERKAS SOAL BIDANG STUDI : FISIKA

BERKAS SOAL BIDANG STUDI : FISIKA BERKAS SOAL BIDANG STUDI : MADRASAH ALIYAH SELEKSI TINGKAT PROVINSI KOMPETISI SAINS MADRASAH NASIONAL 2014 Petunjuk Umum 1. Silakan berdoa sebelum mengerjakan soal, semua alat komunikasi dimatikan. 2.

Lebih terperinci

K 1. h = 0,75 H. y x. O d K 2

K 1. h = 0,75 H. y x. O d K 2 1. (25 poin) Dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H ditembakkan sebuah bola kecil bermassa m (Jari-jari R dapat dianggap jauh lebih kecil daripada H) dengan kecepatan awal horizontal v 0. Dua buah

Lebih terperinci

D. 80,28 cm² E. 80,80cm²

D. 80,28 cm² E. 80,80cm² 1. Seorang siswa melakukan percobaan di laboratorium, melakukan pengukuran pelat tipis dengan menggunakan jangka sorong. Dari hasil pengukuran diperoleh panjang 2,23 cm dan lebar 36 cm, maka luas pelat

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 16 Oktober 2013

Hendra Gunawan. 16 Oktober 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 16 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Diketahui g(x) = x 3 /3, x є [ 2,2]. Hitung nilai rata rata g pada [ 2,2] dan tentukan c є ( 2,2)

Lebih terperinci

SASARAN PEMBELAJARAN

SASARAN PEMBELAJARAN OSILASI SASARAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mengenal persamaan matematik osilasi harmonik sederhana. Mahasiswa mampu mencari besaranbesaran osilasi antara lain amplitudo, frekuensi, fasa awal. Syarat Kelulusan

Lebih terperinci

Pilihan ganda soal dan impuls dan momentum 15 butir. 5 uraian soal dan impuls dan momentum

Pilihan ganda soal dan impuls dan momentum 15 butir. 5 uraian soal dan impuls dan momentum Pilihan ganda soal dan impuls dan momentum 15 butir. 5 uraian soal dan impuls dan momentum A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat! 1. Sebuah mobil bermassa 2.000 kg sedang bergerak dengan kecepatan

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen, suatu variabel dependen, dan satu atau lebih turunan dari

Lebih terperinci

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2.

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2. integral 13.1 PENGERTIAN INTEGRAL Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 6 2. Jadi, turunan fungsi = 2 =2 3. Setiap fungsi ini memiliki turunan

Lebih terperinci

USAHA, ENERGI & DAYA

USAHA, ENERGI & DAYA USAHA, ENERGI & DAYA (Rumus) Gaya dan Usaha F = gaya s = perpindahan W = usaha Θ = sudut Total Gaya yang Berlawanan Arah Total Gaya yang Searah Energi Kinetik Energi Potensial Energi Mekanik Daya Effisiensi

Lebih terperinci

Bab 7 Persamaan Differensial Non-homogen

Bab 7 Persamaan Differensial Non-homogen Bab 7 Persamaan Differensial Non-homogen Persamaan Differensial Orde- Non Homogen Bentuk hukum : d y dy + p( ) + Q( ) y R( ) (*) Dimana, P(), Q(), dan R() dapat juga berwujud suatu leoust Solusinya : y

Lebih terperinci

PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A

PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan

Lebih terperinci

SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA

SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA KEMAMPUAN IPA Matematika IPA Biologi Fisika Kimia IPA Terpadu 37 Universitas Indonesia 013 Kode Naskah Soal: 37 FISIKA Gunakan Petunjuk A dalam menjawab soal nomor 5

Lebih terperinci

Antiremed Kelas 11 Fisika

Antiremed Kelas 11 Fisika Antiremed Kelas 11 Fisika Usaha dan Energi - Latihan Campuran Halaman 1 01. Pernyataan berikut ini dapat digunakan untuk memperbesar energi potensial suatu benda, yaitu... (A) memperkecil kecepatan benda

Lebih terperinci

FISIKA IPA SMA/MA 1 D Suatu pipa diukur diameter dalamnya menggunakan jangka sorong diperlihatkan pada gambar di bawah.

FISIKA IPA SMA/MA 1 D Suatu pipa diukur diameter dalamnya menggunakan jangka sorong diperlihatkan pada gambar di bawah. 1 D49 1. Suatu pipa diukur diameter dalamnya menggunakan jangka sorong diperlihatkan pada gambar di bawah. Hasil pengukuran adalah. A. 4,18 cm B. 4,13 cm C. 3,88 cm D. 3,81 cm E. 3,78 cm 2. Ayu melakukan

Lebih terperinci

D. I, U, X E. X, I, U. D. 5,59 x J E. 6,21 x J

D. I, U, X E. X, I, U. D. 5,59 x J E. 6,21 x J 1. Bila sinar ultra ungu, sinar inframerah, dan sinar X berturut-turut ditandai dengan U, I, dan X, maka urutan yang menunjukkan paket (kuantum) energi makin besar ialah : A. U, I, X B. U, X, I C. I, X,

Lebih terperinci

BAB V PERSAMAAN LINEAR TINGKAT TINGGI (HIGHER ORDER LINEAR EQUATIONS) Persamaan linear tingkat tinggi menarik untuk dibahas dengan 2 alasan :

BAB V PERSAMAAN LINEAR TINGKAT TINGGI (HIGHER ORDER LINEAR EQUATIONS) Persamaan linear tingkat tinggi menarik untuk dibahas dengan 2 alasan : BAB V PERSAMAAN LINEAR TINGKAT TINGGI (HIGHER ORDER LINEAR EQUATIONS) Bentuk Persamaan Linear Tingkat Tinggi : ( ) Diasumsikan adalah kontinu (menerus) pada interval I. Persamaan linear tingkat tinggi

Lebih terperinci

Antiremed Kelas 11 FISIKA

Antiremed Kelas 11 FISIKA Antiremed Kelas FISIKA Persiapan UAS - Latihan Soal Doc. Name: K3ARFIS0UAS Version : 205-02 halaman 0. Jika sebuah partikel bergerak dengan persamaan posisi r= 5t 2 +, maka kecepatan rata -rata antara

Lebih terperinci

Soal-Jawab Fisika Teori OSN 2013 Bandung, 4 September 2013

Soal-Jawab Fisika Teori OSN 2013 Bandung, 4 September 2013 Soal-Jawab Fisika Teori OSN 0 andung, 4 September 0. (7 poin) Dua manik-manik masing-masing bermassa m dan dianggap benda titik terletak di atas lingkaran kawat licin bermassa M dan berjari-jari. Kawat

Lebih terperinci

BAB 2 GAYA 2.1 Sifat-sifat Gaya

BAB 2 GAYA 2.1 Sifat-sifat Gaya BAB 2 GAYA Dua bab berikutnya mengembangkan hukum statistika, yang merupakan suatu kondisi dimana suatu benda tetap diam. Hukum ini dapat dipakai secara universal dan dapat digunakan untuk mendesain topangan

Lebih terperinci

UN SMA IPA 2008 Fisika

UN SMA IPA 2008 Fisika UN SMA IPA 008 Fisika Kode Soal P67 Doc. Version : 0-06 halaman 0. Tebal pelat logam diukur dengan mikrometer skrup seperti gambar Tebal pelat logam adalah... (A) 4,8 mm (B) 4,90 mm (C) 4,96 mm (D) 4,98

Lebih terperinci

Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian PD Linier Homogen Tak Homogen orde-2 Matematika Teknik I_SIGIT KUSMARYANTO

Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian PD Linier Homogen Tak Homogen orde-2 Matematika Teknik I_SIGIT KUSMARYANTO Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen orde-2 Solusi PD pada PD Linier Tak Homogen ditentukan dari solusi umum PD Linier Homogen dan PD Linier Tak Homogen.

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika PDB dapat disusun dalam bentuk,

Lebih terperinci