Pemodelan Teknik Kimia Bebarapa Contoh Aplikasi Persamaan Diferensial (oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.)

Transkripsi

1 Pemodelan Teknik Kimia Bebarapa Contoh Aplikasi Persamaan Diferensial (oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.) Contoh #: Kepedulian terhadap Iklan Suatu produk sereal baru (diberi nama Oat Puff ) diperkenalkan melalui kampane iklan untuk populasi juta pelanggan potensial. Tingkat di mana penduduk mendengar (peduli) tentang produk tersebut diasumsikan sebanding dengan jumlah orang ang belum menadari adana produk sereal tersebut. Pada akhir tahun pertama (tahun ke ), setengah dari populasi telah mendengar dari produk. Berapa banak orang atau populasi ang akan pernah mendengar tentang hal tersebut pada akhir tahun ke 2? Solusi: Bila kita gunakan vaiabel sebagai suatu bilangan atau jumlah (dalam jutaan) orang pada waktu t ang telah mendengar tentang produk sereal tersebut. Hal ini berarti bahwa adalah jumlah orang ang belum mendengar, sedangkan d dt adalah suatu laju dalam hal mana suatu penduduk mendengar tentang produk dimaksud. Dari asumsi ang diberikan, maka Anda dapat menulis persamaan diferensial (PD) ang terbentuk sebagai berikut: d dt k () Laju perubahan adalah sebanding dengan selisih antara dan Persamaan diferensial di atas, dengan menggunakan teknik pemisahan variabel dalam suatu persamaan matematis umumna, maka dapat disusun ulang menjadi: d kdt (-) Jika kita integralkan kedua suku di atas sebagai berikut d k dt (-2) Hasil integralna adalah atau ln kt c (-3)

2 ln kt c (-4) Jika kita ekponenkan kedua suku di atas, dan kemudian dilakukan penusunan ulang hasilna dengan penulisan konstanta C e c, maka akan didapatkan solusi atau jawab umum dari PD di atas sebagai berikut: Ce kt (jawab umum) (-5) Untuk mencari harga-harga konstanta C dan k, maka dapat digunakan data kondisi awal ang diberikan. Artina, pada saat t 0 diketahui bahwa 0, maka dapat ditentukan bahwa C. Demikian pula, karena diketahui bahwa pada saat t harga 0,5 maka 0,5 e k, ang berarti bahwa k ln 2 0,693. Sehingga, dapat diperoleh jawab khusus dari PD di atas adalah: 0,693t e (jawab khusus) (-6) Model ini ditunjukkan secara grafik seperti pada gambar di bawah ini. Menggunakan model tersebut, saudara dapat menentukan jumlah orang ang telah mendengar tentang produk tersebut pada akhir tahun ke 2, sebagai berikut: 0,693( ) e 2 0,75 juta orang orang

3 Contoh #2: Pemodelan Reaksi Kimia Selama terjadina suatu reaksi kimia dalam satu reaktor dengan volume konstan, spesi A diubah menjadi spesi B ang sebanding dengan kuadrat dari konsentrasi spesi A (reaksi orde 2). Pada saat awal, digunakan 60 mol spesi A, dan setelah jam terjadina reaksi kimia, ternata terdapat 0 mol spesi A ang tersisa atau tidak terkonversi menjadi spesi B. Berapakah jumlah tersisa dari spesi A setelah 2 jam reaksi? Solusi: Dimisalkan adalah jumlah mol spesi A ang belum terkonversi pada setiap saat t. Dari asumsi ang diberikan tentang laju konversi seperti pernataan (Contoh #2) di atas, maka saudara dapat menulis persamaan diferensial ang terbentuk sebagai berikut. d dt k 2 (2) Laju perubahan sebanding dengan kuadrat Dari persamaan diferensial ang menggambarkan (model) perubahan spesi A dalam reaksi kimia seperti di atas, dapat disusun ulang (penulisan persamaan matematisna) dengan menggunakan teknik pemisahan variabel menjadi: d 2 2 d k dt (2-) Jika kita integralkan kedua suku di atas sebagai berikut d k dt 2 (2-2) Hasil integralna adalah kt c (2-3) Jika kita lakukan penusunan ulang dari persamaan di atas, maka hasilna adalah jawab umum dari PD di atas, aitu sebagai berikut: kt c (jawab umum) (2-4) Harga-harga konstanta c dan k seperti di atas dapat dicari dengan menggunakan data kondisi awal. Yaitu, bahwa pada saat t 0 diketahui bahwa 60, ang berarti bahwa

4 c. Selanjutna, dengan cara ang sama, pada saat t harga 0 maka diperoleh 60 0 k 60 ang berarti bahwa k 2. Sehingga, dapat diperoleh jawab khusus dari PD di atas sebagai berikut: t 2 60 (subtitusi untuk k dan c ) 60 (jawab khusus) (2-5) 5t Dengan menggunakan model seperti di atas, maka saudara dapat menentukan jumlah dari spesi A ang tidak terkonversi (menjadi B) setelah reaksi berlangsung selama 2 jam, aitu: ,45 mol Perhatikan gambar profil perkembangan jumlah spesi A seperti di bawah ini. Terjadina reaksi konversi kimia sangatlah cepat pada jam pertama. Kemudian, setelah sejumlah mol spesi A terkonversi, maka konversina menjadi lebih melambat.

5 Contoh #3: Pemodelan suatu Campuran Bahan Kimia Sebuah tangki berisi 50 liter larutan 0% alkohol (etanol) dalam air. Kemudian, larutan kedua ang terdiri dari 50% alkohol ditambahkan ke dalam tangki dengan laju penuangan sebesar 5 liter per menit dan dalam hal ini tangki mengalami pengadukan secara sempurna (well mixing). Secara bersamaan, tangki juga mengalami pengosongan (di bagian bawahna) dengan laju alir sebesar 5 liter per menit juga, seperti ang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Dengan asumsi bahwa larutan diaduk secara sempurna seperti di atas, berapa banak kah jumlah alkohol ang akan berada di dalam tangki setelah waktu 0 menit? massa alkohol dalam tangki setiap waktu Solusi: Bila kita gunakan variabel sebagai jumlah (volume) alkohol dalam tangki di setiap saat t, sedangan q in dan q out masing-masing sebagai laju alir larutan (campuran) alkohol-air ang memasuki dan keluar tangki dalam liter/menit. Dengan menggunakan variabel-variabel sebagai representasi proses pengadukan dalam tangki sebagai berikut: = volume (dinamik) alkohol ang berada dalam tangki 50-liter setiap saatna = konsentrasi (dinamik) alkohol ang berada dalam tangki 50 qin 5 L/menit Cin 50% = konsentrasi alkohol ang memasuki tangki qout 5 L/menit Cout = konsentrasi alkohol ang keluar tangki (50 q q ) 50 in out Maka, dapat disusun neraca massa alkohol dalam tangki pencampuran seperti di atas sebagai berikut:

6 Laju Akumulasi Alkohol Laju Alkohol Masuk Laju Alkohol Keluar = q C q C in in out out atau, dalam bentuk persamaan diferensial: d dt ,5 0 (3) Laju akumulasi alkohol adalah sama dengan laju alir alkohol ang masuk dikurangi dengan laju alir alkohol ang keluar Dalam persamaan diferensial seperti di atas, jumlah alkohol ang memasuki reaktor (ang awalna berisi larutan 50% alkohol) setiap menitna adalah sebesar 7,5 (suatu konstanta): Dalam bentuk baku, persamaan diferensial linier ang terbentuk adalah sebagai berikut : 7,5 (PD linier, dalam bentuk standar) (3-) 0 PD (Persamaan Diferensian) di atas merupakan persamaan diferensial linier ang bentuk umuna adalah sebagai berikut (liihat juga "Lecture Notes" ang berjudul: Chapter 2 - First Order Differential Equations, halaman 0-): p() t g() t (3-2) Jika p() t dan gt () masing-masing berupa konstanta bukan nol, maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai: a b a 0 (3-3) Bentuk persamaan diferensial linier seperti di atas, dengan menggunakan metode faktor integrasi, langkah-langkah pencarian solusina adalah sebagai berikut: pt () a (3-4) 0 gt () b 7,5 (3-5) Nilai faktor integrasina adalah at exp adt e (3-6)

7 Maka, bentuk solusi umum dari PD dimaksud adalah: at at at b at b at e e b dt e e c ce a a (3-7) Sehingga, diperoleh persamaan berikut: b 7,5 t at a t 0 ce ce 75 ce (3-8) a 0 Karena harga 0% 50 5 pada saat awal ( t 0 ), maka diperoleh harga c 60 Maka, bentuk solusi khusus dari PD di atas adalah: t 0 e (3-9) Menggunakan seperti di atas (Persamaan 3-9.), maka dapat dihitung jumlah (volume) alkohol di dalam tangki pada menit ke 0 ( pada saat t 0 ) sebagai berikut: ,93 liter 0 0 e

8 Latihan di Rumah. Carilah solusi ( x ) secara implisit dari PD berikut: d dx cos( x) 2 2. Tentukan solusi eksplisit ( x ) dari PD berikut: d x x dx , (0) 3. Pada saat awal (t = 0), tangki berisi Q 0 kilogram NaCl ang dilarutkan dalam 00 liter air. Dengan menganggap ang mengandung 0,33 kilogram/l garam memasuki tangki pada laju alir liter/menit. Pada saat ang sama, larutan atau campuran ang diaduk secara sempurna tersebut dikuras dari tangki dengan laju alir ang sama. (a). Hitung lah konsentrasi garam di dalam tangki setiap saat t 0! (b). Pada saat t, aitu setelah waktu ang lama, adakah jumlah batas dari Q L? 4. Suatu tangki mengandung 50 kilogram NaCl ang dilarutkan dalam 00 kilogram air. Kapasitas tangki adalah 500 liter. Sejak awal (aitu t 0 ), sebanak 250 gram garam per liter dimasukkan ke dalam tangki dengan laju alir 4 kg/menit, dan diaduk secara sempurna sambil dikuras dari tangki dengan laju alir 2 litee/menit. Tentukanlah: (a) waktu t pada saat cairan (campuran) meluap dari tangki! (b). Jumlah NaCl sesaat sebelum meluap! (c). Konsentrasi dari NaCl pada saat meluap!