Persamaan Diferensial

Transkripsi

1 TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Non Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Non Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Solusi umum merupakan jumlah dari solusi PD homogen (y h ) dan solusi pelengkap (y p ) dan dituliskan sebagai : y = y h + y p (12) Solusi homogen (y h ) dicari seperti pembahasan sebelumnya, sedangkan solusi pelengkap (y p ) menggunakan 2 metode yaitu : 1. Metode koefisien tak tentu 2. Metode variasi parameter 1

2 1. Metode Koefisien Tak Tentu Jika f(x) merupakan fungsi polinom, eksponen, sinus, atau cosinus, maka solusi pelengkap y p dapat dimisalkan sebagai jumlah dari f(x) dan semua turunannya seperti tabel berikut : f(x) Y p x n A n x n + A n-1 x n A 1 x + A 0 e ax x e ax sin ax cos ax A e ax A e ax + B x e ax A cos ax + B sin ax A sin ax + B cos ax Selanjutnya y p, y p, dan y p disubstitusikan kedalam PD untuk mencari nilai dari koefisiennya. Contoh 4 : Tentukan solusi umum dari PD : y y = - 3 e 2x Jawab : Akar karakteristik PD, m = E 1 Solusi homogen, y h = C 1 e x + C 2 e x Solusi pelengkap, y p = A e 2x 2

3 Substitusikan solusi pelengkap dan turunan keduanya ke dalam PD : 4 A e 2x - A e 2x = - 3 e 2x didapatkan A = -1, sehingga solusi pelengkap : y p = - e 2x Solusi umum PD : y = C 1 e x + C 2 e x -e 2x Contoh 5 : Tentukan solusi umum dari PD : y + y = 6 sin 2x Jawab : Akar karakteristik PD, m = E 1 Solusi homogen, y h = C 1 + C 2 sin x Solusi pelengkap, y p = A cos 2x + B sin 2x 3

4 Substitusikan solusi pelengkap dan turunan keduanya ke dalam PD, didapatkan A = 0, dan A = - 2, sehingga solusi pelengkap : y p = - 2 sin 2x Solusi umum PD : y = C 1 + C 2 sin x- 2 sin 2x Diagram Alir Penyelesaian dengan Metode Koefisien Tak Tentu 4

5 2. Metode Variasi Parameter Metode untuk menentukan penyelesaian khusus PD linier non homogen dengan koefisien variabel. Prinsip metode ini adalah mengubah variabel konstanta C k dengan variasi parameter v k (x). Misal pada PD non homogen orde 2 konstanta C 1 dan C 2 pada solusi umum PD homogen y h = C 1 (x) + C 2 y 2 (x) diubah dengan variasi parameter v 1 (x) dan v 2 (x), sehingga solusi khusus PD non homogen y p = v 1 (x) (x) + v 2 (x) y 2 (x). Metode ini lebih umum daripada metode koefisien tak tentu yang memeperhatikan bentuk fungsi f(x). Jika y h = C 1 + C 2 y 2 merupakan solusi homogen PD : y + py + qy = f(x), maka solusi pelengkap dimisalkan : y p = v 1 + v 2 y 2 Fungsi v 1 (x) dan v 2 (x) merupakan fungsi parameter, jika solusi pelengkap diturunkan sekali lagi : y p = (v 1 + v 2 y 2 ) + (v 1 + v 2 y 2 ) Dipilih persamaan syarat : v 1 + v 2 y 2 = 0, sehingga diperoleh turunan keduanya : y p = (v 1 + v 2 y 2 ) + (v 1 + v 2 y 2 ) 5

6 Substitusikan y p, y p, dan y p ke dalam PD, dan diperoleh : v 1 + v 2 y 2 = f(x) Fungsi parameter v 1 (x) dan v 2 (x) diperoleh dari solusi SPL dalam v 1 dan v 2 : v 1 + v 2 y 2 = 0 v 1 + v 2 y 2 = f(x) Dengan metode Crammer diperoleh : v 1 = v 2 = 0 y 2 f(x) y 2 y 2 y 2 0 f(x) y 2 y 2 v 1 = v 2 = y 2 f(x) y 2 y 2 f(x) y 2 y 2 dx dx 6

7 Contoh 6 : Tentukan solusi umum dari PD : y + y = sec x Jawab : Akar karakteristik PD, m = E i Solusi homogen, y h = C 1 + C 2 sin x Solusi pelengkap, y p = v 1 (x) cos 2x + v 2 (x) sin 2x Fungsi parameter v 1 (x) dan v 2 (x) diselesaikan dari SPL berikut : v 1 (x) + v 2 (x) sin x = 0 -v 1 (x) sin x + v 2 (x) = sec x Dengan metode Crammer diperoleh : 0 y 2 v 1 = f(x) y 2 = y 2 y 2 v 1 (x) = ln () 0 sec x sin x sin x sin x sin x sec x = = tan x 1 7

8 v 2 = 0 f(x) y 2 y 2 = sin x sin x 0 sec x sin x = sec x 1 = 1 v 2 x = x Solusi pelengkap : y p = ln () + x sin x Solusi umum PD : y = C 1 + C 2 sin x + ln () + x sin x Diagram Alir Penyelesaian dengan Metode Variasi Parameter 8

9 Latihan : Tentukan solusi umum PD berikut : 1. y -4y +2yJ2x 2 4. y -2y +yje x 2. y +3y +2yJ12x 2 5. y +yj 3. y -3y -4yJe -x 6. y +yjtan x Tentukan solusi khusus PD berikut : 7. y +yj2x ; y(0)j1, y (0)J2 8. y +2y +yjx ; y(0)j-2, y (0)J2 9. y +2y +5yJ8e -x ; y(0)j0, y (0)J8 10. y +yj10e x ; y(0)j0, y (0)J0 Terima kasih dan Semoga Lancar Studinya! 9