Hendra Gunawan. 23 April 2014
|
|
- Suharto Sanjaya
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/ April 2014
2 Kuliah ang Lalu Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang 13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar 13.5 Penggunaan Integral Lipat Dua 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 2
3 Kuliah Hari Ini Persamaan Diferensial Linear Orde 2, Homogen 15.2 Persamaan Diferensial Linear Orde 2, Tak Homogen 15.3 Penggunaan Persamaan Diferensiali Orde 2 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 3
4 MA1201 MATEMATIKA 2A 15.1 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE 2, HOMOGEN Menentukan solusi umum dan solusi ikhusus persamaan diferensial linear orde 2 homogen 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 4
5 Persamaan Diferensial Orde 2 Banak masalah dalam fisika ang dapat dirumuskan sebagai persamaan diferensial orde 2, misalna gerak harmonik sederhana ang terjadi pada pegas bergetar/berosilasi. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 5
6 Bentuk Umum Persamaan Diferensial Biasa Orde n Misal = (x) () adalah dlhsuatu fungsi ang tidak diketahui rumusna, namun memenuhi suatu persamaan F( x,, (1),..., ( n) dengan (k) menatakan turunan ke k dari, dengan k = 1,, n. Persamaan ini disebut persamaan diferensial biasa (PDB) orde n. ) 0, 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 6
7 Contoh & Solusi (Umum) PDB 1. 2 cos x = 0 merupakan PDB orde x 2 = 0 merupakan PDB orde ( ) 2 + e x = 0 merupakan PDB orde 3. Fungsi = f(x) disebut solusi suatu PDB apabila PDB tsb menjadi kesamaan ketika dan turunanturunanna disubstitusikan ke dalam PDB tsb. Sebagai contoh, = 2 sin x + 5 merupakan suatu solusi (khusus) PDB orde 1 di atas. Solusi umum PDB orde 1 di atas adlh = 2 sin x + C, dengan C konstanta sembarang. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 7
8 PDB Linear Orde n PDB ang berbentuk ( n) a 1 ( x) ( n1)... a n1 ( x) (1) a n ( x) k( x) disebut PDB linear orde n. Perhatikan bahwa dan turunan turunannaturunanna memiliki pangkat 1 semuana. Karena itu, PDB orde 3 pada slide sebelumna bl bukan PDB linear, karena mengandung ( ) 2. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 8
9 PDB Linear Orde 2, dengan Koefisien Konstanta PDB linear orde2 berbentuk ' ' a ( x) ' a ( x) k( x). 1 2 Pada kesempatan ini, kita hana akan membahas PDB linear orde 2 dengan koefisien konstanta, ang berbentuk: ' ' a ' a k ( x ). 1 2 Jika k(x) = 0, maka PDB tsb disebut PDB homogen. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 9
10 Solusi Umum PDB Linear Orde 2, dengan Koefisien Konstanta Jika u 1 (x) dan u 2 (x) merupakan dua solusi PDB linear orde 2 homogen ' ' a ' a 1 2 ang saling bebas, maka solusi umum PDB tsb adalah 0 C u ( x) C u ( x), dgn C 1 dan C 2 menatakan konstanta sembarang. [Verifikasinadipapan pp tulis!] 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 10
11 Persamaan Karakteristik Untuk mencari solusi PDB linear orde 2 homogen ' ' a ' a 1 2 [*] kita misalkan = e rx (mengapa?). Mk Maka, kita peroleh rx e 0, ( r 2 a r a2) e 1 Karena e rx 0, maka mestilah r 2 a r 1 a Persamaaninidisebut esa aa dsebutpersamaankarakteristik aa aa st untuk PDB di atas. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan
12 Teorema A (Akar Real Berbeda) Jika persamaan karakteristik mempunai dua akar real berbeda, r 1 dan r 2, maka solusi umum PDB [*] ]adalah C e 1 C e 2, 1 2 dengan C 1 dan C 2 konstanta sembarang. r x r x 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 12
13 Contoh 1 Tentukan solusi umum PDB orde 2 ' ' 5' 6 Jawab: Persamaan karakteristik PDB ini adalah r 2 5 r 6 Persamaan ini mempunai akar r 1 = 2 dan r 2 = 3. Jadi solusi umum PDB di atas adalah C e 1 2x C e x. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 13
14 Contoh 1 (lanjutan) Jika diketahui informasi tambahan, misal sarat awal (0) = 0 dan (0) = 1, maka kita peroleh C 1 + C 2 = 0 2C 1 + 3C 2 = 1. (Persamaan kedua diperoleh dari = 2C 1 e 2x + 3C 2 e 3x.) Dari kedua persamaan tsb, kita dapatkan C 1 = 1 dan C 2 = 1. Jadi kita peroleh solusi khusus ang memenuhi sarat awal di atas, aitu = e 2x + e 3x. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 14
15 Teorema B (Akar Real Kembar) Jika persamaan karakteristik mempunai dua akar real kembar, r 1 = r 2, maka solusi umum PDB [*] []adalah C e 1 dengan C 1 dan C 2 konstanta sembarang. r 1 x C 2 xe r 1 x, 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 15
16 Contoh 2 Tentukan solusi khusus PDB orde 2 ' ' 4' 4 g memenuhi sarat batas (0) = 0 dan (1) = e 2. Jawab: Persamaan karakteristik PDB ini adalah r 2 4r Persamaan ini mempunai akar kembar r 1,2 = 2. Jadi solusi umum PDB di atas adalah C e 1 2x 4 C 2 0, 0. xe 2x. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 16
17 Contoh 2 (lanjutan) Substitusikan kedua sarat batas, kita peroleh C 1 = 0 C 1 e 2 + C 2 e 2 = e 2. Jadi C 1 = 0 dan C 2 = 1, sehingga solusi khusus ang kita cari adalah = xe 2x. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 17
18 Teorema C (Akar Kompleks) Jika persamaan karakteristik mempunai dua akar kompleks sekawan, r 1,2 = a ± bi, maka solusi umum PDB [*] ]adalah e ax ( 2 C1 cosbx C sin bx), dengan C 1 dan C 2 konstanta sembarang. Catatan: Di sini i = 1 menatakan bilangan imajiner ang memenuhi i 2 = 1. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 18
19 Contoh 3 Tentukan solusi umum PDB orde 2 ' ' 4' 5 Jawab: Persamaan karakteristik PDB ini adalah r 2 4 r Persamaan ini mempunai akar kompleks r 1,2 = 2 ± i. Jadi solusi umum PDB di atas adalah e 2x ( C cosx C 1 2 sinx). 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 19
20 Soal Dengan cara serupa, kita dapat menelesaikan PDB linear orde n ang homogen. 1. Tentukan solusi umum PDB orde 3 ' '' '' 20 ' Tentukan solusi umum PDB orde 4 (4) 0. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 20
21 MA1201 MATEMATIKA 2A 15.2 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE 2, TAK HOMOGEN Menentukansolusi khusus dan solusi umum persamaan diferensial linear orde 2 tak homogen 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 21
22 PDB Linear Orde 2, Tak Homogen PDB linear orde 2 tak homogen, dengan koefisien konstanta, secaraumum berbentuk ' ' a ' a 2 a a k x 1 k ( x ), dengan k(x) 0. Jika p adalah solusi khusus persamaan tak homogen di atas dan h adalah dlh solusi umum pers. homogen ' a ' a 0, ' 1 2 maka solusi umum persamaan tak homogen di atas adalah: = h + p. p Bagaimana mendapatkan p? 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 22
23 Metode Koefisien Tak Tentu Kita dapat memperoleh solusi khusus p dengan cara coba coba, dengan prinsip: 1. Jika k(x) polinom, maka p juga polinom. 2. Jika k(x) = a.e cx, maka p = Ae cx. 3. Jika k(x) = a.cos acosrx + b.sin bsinrx, maka p = A.cos rx + B.sin rx. Catatan. Bilangan A dan B merupakan koefisien ang harus dicari. Karena itu metode ini dikenal sebagai Metode Koefisien Tak Tentu. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 23
24 Contoh/Latihan 1 Tentukan solusi umum dari ' ' 5 ' 6 x. Jawab: Solusi persamaan homogenna adalah h = C 1 e 2x + C 2 e 3x. Untuk mencari solusi khusus, misalkan p = Ax + B (mengapa?). Maka p = A dan p = 0. Substitusikan ke PDB di atas: 5A + 6(Ax + B) = x. Jadi 6A = 1 dan 5A + 6B = 0, sehingga A = 1/6 dan B = 5/36. Jadi solusi umum PDB di atas adl = C 1 e 2x + C 2 e 3x + x/6 + 5/36. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 24
25 Contoh/Latihan 2 Tentukan solusi umum dari '' 4 ' 4 4 e Jawab: Solusi persamaan homogenna adalah h = C 1 e 2x + C 2 xe 2x. Untuk mencari solusi khusus, misalkan p = x. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 25
26 Contoh/Latihan 3 Tentukan solusi umum dari '' 5 ' 6 5 e Jawab: Solusi persamaan homogenna adalah h = C 1 e 2x + C 2 e 3x. Untuk mencari solusi khusus, misalkan p = 2x. 4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 26
27 Soal Tentukan solusi umum/khusus dari ' ' 4' x; ( 0) 0, '(0) 1. ' ' 4 ' 5 sin x. 2x '' 4' 4 e. 2x '' 4' 4 e /23/2014 (c) Hendra Gunawan 27
Hendra Gunawan. 25 April 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 April 014 Kuliah yang Lalu 15.11 Persamaan Diferensial Linear Orde, Homogen 15. Persamaan Diferensial Linear Orde, Tak Homogen 15.3 Penggunaan Persamaan
Lebih terperinciPD Orde 2 Lecture 3. Rudy Dikairono
PD Orde Lecture 3 Rudy Dikairono Today s Outline PD Orde Linear Homogen PD Orde Linear Tak Homogen Metode koefisien tak tentu Metode variasi parameter Beberapa Pengelompokan Persamaan Diferensial Order
Lebih terperinciNurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2
Nurdininta Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 2 PDB ORDE II Bentuk umum : + p() + g() = r() p(), g() disebut koefisien jika r() = 0, maka Persamaan Differensial diatas disebut homogen, sebalikna disebut
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 27 Januari 2017 Bab Sebelumnya 7. Teknik Pengintegralan 7.1 Aturan Dasar Pengintegralan 7.2 Pengintegralan Parsial 7.3 Integral Trigonometrik
Lebih terperinciHendra Gunawan. 26 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 26 Februari 2014 9.6 Deret Pangkat Kuliah yang Lalu Menentukan selang kekonvergenan deret pangkat 9.7 Operasi pada Deret Pangkat Mlkk Melakukan
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen & Non Homogen Tk. n (Differential: Linier Homogen & Non Homogen Orde n) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5 KUANTOR II: METODE MEMILIH (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Masih Berurusan dengan Kuantor Sekarang kita akan membahas metode memilih,
Lebih terperinciPecahan Parsial (Partial Fractions)
oki neswan (fmipa-itb) Pecahan Parsial (Partial Fractions) Diberikan fungsi rasional f (x) p(x) q(x) f (x) r(x) : Jika deg p deg q; maka r (x) ^p (x) q(x) ; dengan deg r < deg q: p (x) q (x) r (x) ^p (x)
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
Lebih terperinciPersamaan Di erensial Orde-2
oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II [MA4] PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka Persamaan
Lebih terperinciHendra Gunawan. 5 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 5 Februari 2014 Bab Sebelumnya 7. Teknik Pengintegralan 7.1 Aturan Dasar Pengintegralan 7.2 Pengintegralan Parsial il 7.3 Integral Trigonometrik
Lebih terperinciPersamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial
Lebih terperinciHendra Gunawan. 16 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 16 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Diketahui g(x) = x 3 /3, x є [ 2,2]. Hitung nilai rata rata g pada [ 2,2] dan tentukan c є ( 2,2)
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar ang akan digunakan sebagai landasan berpikir seperti beberapa teorema dan definisi ang berkaitan dengan penelitian ini. Dengan begitu
Lebih terperinciUniversitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde II
Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Persamaan Diferensial Orde II PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Non Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Non Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Solusi umum merupakan jumlah
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya PD linier homogen orde 2 Bentuk
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN
LINIER NON HOMOGEN Contoh PD linier non homogen orde 2. Bentuk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : y + f(x) y + g(x) y = r(x) ( 2-35) Solusi umum y(x) akan didapatkan
Lebih terperinciBAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 - II
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE - II.Persamaan Homogen dengan Koefisien Konstan Suatu persamaan linier homogen y + ay + by = 0 (1) mempunyai koefisien a dan b adalah konstan. Persamaan ini mempunyai
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdininta Athari Definisi PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang memuat satu atau lebih turunan fungsi ang tidak diketahui. Jika persamaan
Lebih terperinciBAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER Bentuk umum PD orde-n adalah PD yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier. Contoh: Jika F(x) pada persamaan (3.1) sama dengan nol maka
Lebih terperinciBAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) Banak masalah dalam kehidupan sehari-hari ang dapat dimodelkan dalam persamaan diferensial. Untuk menelesaikan masalah tersebut kita perlu menelesaikan pula persamaan
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) A. PENGERTIAN Persamaan yang mengandung variabel dan beberapa fungsi turunan terhadap variabel tersebut. CONTOH : + 5 5 0 disebut PD orde I + 6 + 7 0 disebut PD orde II B. PEMBENTUKAN
Lebih terperinciHendra Gunawan. 13 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0
Lebih terperinciMetode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian PD Linier Homogen Tak Homogen orde-2 Matematika Teknik I_SIGIT KUSMARYANTO
Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen orde-2 Solusi PD pada PD Linier Tak Homogen ditentukan dari solusi umum PD Linier Homogen dan PD Linier Tak Homogen.
Lebih terperinciSTANDAR KOMPETENSI KOMPETENSI DASAR. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah
STANDAR KOMPETENSI Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah KOMPETENSI DASAR Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah INDIKATOR Menentukan faktor, akar-akar
Lebih terperinciMatematika Teknik I. Prasyarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks
Kode Mata Kuliah : TE 318 SKS : 3 Matematika Teknik I Prasarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks Tujuan : Mahasiswa memahami permasalahan teknik dalam bentuk PD atau integral, serta
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
Orde Satu Jurusan Matematika FMIPA-Unud Senin, 18 Desember 2017 Orde Satu Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak 3 4 Orde Satu Pendahuluan Dalam subbab
Lebih terperinciCatatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut
Lebih terperinciTEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1
TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk
Lebih terperinciPersamaan Differensial Biasa
Bab 7 cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011 Persamaan Differensial Biasa Dalam banyak persoalan fisika, suatu topik sering dinyatakan dalam bentuk perubahan (laju perubahan). Telah disinggung sebelumnya
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciPOLINOM (SUKU BANYAK) Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.
POLINOM (SUKU BANYAK) Standar Kompetensi: Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar: 1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa
Lebih terperinciTinjauan Tentang Fungsi Harmonik. Oleh : Atmini Dhoruri Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY ABSTRAK
Tinjauan Tentang Fungsi Harmonik Oleh : Atmini Dhoruri Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY ABSTRAK Tujuan penulisan ini untuk mengkaji tentang pengertian fungsi harmonik, fungsi harmonik konjugat pada
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kompetensi
BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan
Lebih terperinciHendra Gunawan. 13 November 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 013/014 13 November 013 Latihan 1. Tentukan volume benda putar ang terbentuk bila daerah ang dibatasi oleh kurva = x dan = x diputar mengelilingi: a. sumbu
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU
BAB PERSAAA DIFERESIAL ORDER SATU PEDAHULUA Persamaan Diferensial adalah salah satu cabang ilmu matematika ang banak digunakan dalam memahami permasalahan-permasalahan di bidang fisika dan teknik Persamaan
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciBAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Lebih terperinciSUKU BANYAK. Secara umum sukubanyak atau polinom dalam berderajat dapat ditulis dalam bentuk berikut:
SUKU BANYAK A. Pengertian Suku Banyak Secara umum sukubanyak atau polinom dalam berderajat dapat ditulis dalam bentuk berikut: Dinamakan suku banyak (polinom) dalam yang berderajat dengan bilangan cacah
Lebih terperinciBAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu
Lebih terperinciHendra Gunawan. 4 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi
Lebih terperinciTeorema Faktor. Misalkan P (x) suatu polynomial, (x k) merupakan faktor dari P (x) jika dan hanya jika P (k) = 0
Teorema faktor adalah salah satu teorema pada submateri polynomial. Teorema ini cukup terkenal dan sangat berguna untuk menyelesaikan soal - soal baik level sekolah maupun soal level olimpiade. Berikut
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kompetensi
BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER Persamaan Differensial Linier Pengertian : Suatu persamaan differensial orde satu dikatakan linier jika persamaan tersebut dapat dituliskan sbb: y + p x y = r(x) (1) linier
Lebih terperinciBAB I PENGERTIAN DASAR
BAB I PENGERTIAN DASAR Kompetensi Dasar: Menjelaskan pengertian dan klasifikasi dari persamaan diferensial serta beberapa hal yang terkait. Indikator: a. Menjelaskankan pengertian persamaan diferensial.
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Orde Satu
Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5. Kalkulus Diferensial 5.1 Konsep Turunan Beberapa Definisi yang Setara Kekontinuan dan Keterdiferensialan secara Kontinu 5.2 Sifat-Sifat
Lebih terperinciHendra Gunawan. 18 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 18 September 2013 Review: Teorema Nilai Antara Jika f kontinu pada [a,b],, f(a) < 0 dan f(b) > 0 (atau sebaliknya, f(a) > 0 dan f(b) < 0), maka
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 10 Maret 01 Kuliah ang Lalu 10.1- Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem
Lebih terperinciAljabar Linear dan Matriks. Semester Pendek TA 2010/2011 S1 Teknik Informatika. Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom.
1. Introduction Mata Kuliah: Aljabar Linear dan Matriks Semester Pendek TA 2010/2011 S1 Teknik Informatika Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom. Sistem Persamaan Linear Sistem Linear m kali n : suatu himpunan
Lebih terperinciANALISA VARIABEL KOMPLEKS
ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu
Lebih terperinciAdalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel
Adalah : hubungan antara variabel bebas, variabel Bentuk Umum : bebas dan turunanna. d d F(,,, n d,..., ) n Persamaan differensial (PD) menatakan hubungan dinamik, maksudna hubungan tersebut memuat besaran
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa hal yang digunakan sebagai landasan pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN KUADRAT K-13 A. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT
K-13 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum persamaan kuadrat..
Lebih terperinciBAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU
BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 9-10 METODE KONTRADIKSI & METODE KONTRAPOSISI (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Metode Pembuktian Lainnya Pada bab-bab sebelumnya kita telah
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial
Sudaratno Sudirham Integral dan Persamaan Diferensial Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Bahasan akan mencakup
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Tahap-tahap memecahkan masalah dengan metode numeric : 1. Pemodelan 2. Penyederhanaan model 3.
BAB I PENDAHULUAN Tujuan Pembelajaran: Mengetahui apa yang dimaksud dengan metode numerik. Mengetahui kenapa metode numerik perlu dipelajari. Mengetahui langkah-langkah penyelesaian persoalan numerik.
Lebih terperinciMata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb
Mata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XII Differensial e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 PENDAHULUAN Persamaan diferensial
Lebih terperinciTEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON. 1. Pengenalan
TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON TUTUR WIDODO. Pengenalan Sebelum berbicara banyak tentang Teorema Vieta dan Identitas Newton, terlebih dahulu saya beri penjelasan singkat mengenai polinomial. Di sekolah
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Konsep Dasar dan Pembentukan (Differential : Basic Concepts and Establishment ) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4. Fungsi Kontinu 4.1 Konsep Kekontinuan Fungsi kontinu Limit fungsi dan limit barisan Prapeta himpunan buka 4.2 Sifat-Sifat Fungsi
Lebih terperinciBAB III PD LINIER HOMOGEN
BAB III PD LINIER HOMOGEN Kompetensi Mahasiswa diharapkan. Mampu menentukan selesaian umum dari PD linier homogen orde dua dengan jenis akar-akar karakteristik ang berbeda-beda. Memahami pengertian kebebaslinieran
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret
Lebih terperinciHendra Gunawan. 21 Maret 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II 2013/2014 21 Maret 2014 Kuliah ang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tujuan Pembelajaran Umum: 1 Mahasiswa mampu memahami konsep dasar persamaan diferensial 2 Mahasiswa mampu menggunakan konsep dasar persamaan diferensial untuk menyelesaikan
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciAB = c, AC = b dan BC = a, maka PQ =. 1
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 9. Jika a, b, maka pernyataan di bawah ini yang benar adalah A. B. a b ab C. ab b a D. ab ab E. ab ab ab b a karena pada jawaban terdapat ab maka selesaikan
Lebih terperinciBAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN
BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN 2.1 PENDAHULUAN Salah satu masalah yang sering terjadi pada bidang ilmiah adalah masalah untuk mencari akar-akar persamaan berbentuk : = 0 Fungsi f di sini adalah fungsi atau
Lebih terperinciPEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR
PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SMP
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinci: 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.
Latar belakang penyusunan: Lembar kerja siswa ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)
LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah
Lebih terperinci3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Lebih terperinciPengintegralan Fungsi Rasional
Pengintegralan Fungsi Rasional Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember 25 Maret 2014 Pengintegralan Fungsi Rasional 1 Pengintegralan Fungsi Rasional 2
Lebih terperinciFungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
Lebih terperinciPembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket Oleh : Fendi Alfi Fauzi. Lingkaran x 6) 2 + y + ) 2 menyinggung garis y di titik a), ) b), ) c) 6, ) d) 6,
Lebih terperinciSOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL
SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL PENGERTIAN SOLUSI. Solusi dari suatu persamaan differensial adalah persamaan yang memuat variabelvariabel dari persamaan differensial dan memenuhi persamaan differensial yang
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 6 KUANTOR III: INDUKSI (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Pernyataan Berkuantor Universal (1) Pada bab sebelumnya kita telah membahas metode
Lebih terperinciMATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri
MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN
Lebih terperinciRuang Vektor Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Ruang Vektor Real Drs. R.J. Pamuntjak, M.Sc. P PENDAHULUAN ada bagian pertama Modul 5 Aljabar Linear Elementer I sudah kita bahas sepuluh sifat untuk R dan R 3 mengenai penjumlahan dan perkalian
Lebih terperinciBAB VI PENYELESAIAN DERET UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB VI PENYELESAIAN DERET UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL Bila persamaan diferensial linear homogen memiliki koefisien constant maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metoda aljabar (seperti yang
Lebih terperinciJENIS JENIS FUNGSI 2. Gambar. Jenis Fungsi. mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n
Telkom University Alamanda JENIS JENIS FUNGSI1 JENIS JENIS FUNGSI 2 Jenis Fungsi Gambar 1. FUNGSI POLINOM mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n 2.
Lebih terperinci