OPTIMALISASI EKSEKUSI SAHAM DENGAN PENINGKATAN RISIKO PERDAGANGAN

Transkripsi

1 OPIMALISASI EKSEKUSI SAHAM DENGAN PENINGKAAN RISIKO PERDAGANGAN SII MARIAM DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 9

2 ABSRAC SII MARIAM. Optimal Share Execution with Enhanced rading Ris. Supervised by RENO BUDIARI and DONNY CIRA LESMANA. Generally, share transaction in capital maret considers two things, i.e. transaction cost and transaction ris. he cost of share transaction consists of temporary (liquidity premium and permanent maret impact (cost information. On the other hand, the transaction ris consists of the volatility ris related to the randomization of share price and the ris of the uncertain liquidity premium. his paper discusses the trade strategies, which are able to minimize the transaction cost subject to the uncertainty ris. In order to minimize the cost of transaction, it is necessary to decide the optimal execution time, the quantity of share be sold in a certain time interval, as well as the amount of the initial traded shares. o find the optimal solutions, calculus variation is used. If the uncertainty of liquidity premium in a trade does not depend on the trading rate, so a ris averse trader accelerate his trade programs to reduce the ris. On the other hand, a ris lover trader will defer his trade in order to minimize the cost of transaction. On the contrary, if the uncertainty of liquidity premium in a trade depends on the trading rate, so the amount initial traded shares depends on the ris aversion of a trader, i.e. the ris averse investors will decrease the amount of the initial traded shares, while the ris lover investor will increase them. Keywords: maret impact, transaction cost, transaction ris.

3 3 ABSRAK SII MARIAM. Optimalisasi Eseusi Saham dengan Peningatan Risio Perdagangan. Dibimbing oleh RENO BUDIARI dan DONNY CIRA LESMANA. Pada umumnya transasi saham di pasar modal mempertimbangan dua hal, yaitu biaya transasi dan risio transasi. Adapun biaya transasi saham dipengaruhi oleh dampa temporer (biaya liuiditas dan dampa permanen (biaya informasi. Sedangan risio dari transasi saham terdiri atas risio volatilitas yaitu risio yang berhubungan dengan eacaan harga saham, dan risio etidapastian biaya liuiditas. Dalam arya ilmiah ini dibahas tentang strategi perdagangan yang dapat meminimuman biaya transasi dengan endala adanya risio etidapastian. Untu meminimuman biaya transasi maa perlu dicari watu eseusi optimal, banyanya saham yang aan dijual pada suatu watu atau banyanya saham awal yang diperdagangan, yaitu dengan menggunaan metode alulus variasi. Jia etidapastian biaya liuiditas dalam perdagangan tida bergantung pada rata-rata perdagangan maa seorang penjual yang menghindari risio aan mempercepat program penjualannya dengan tujuan untu mengurangi risio, sedangan penjual yang lebih berani mengambil risio aan memperlambat perdagangannya dengan tujuan meminimuman biaya transasi. Jia etidapastian biaya liuiditas dalam perdagangan bergantung pada rata-rata perdagangan maa banyanya saham awal optimal yang diperdagangan bergantung pada tingat penghindaran risio seorang penjual, yaitu etia seorang penjual semain menghindari risio maa banyanya saham awal optimal yang diperdagangan aan semain sediit, dan sebalinya jia penjual semain berani mengambil risio maa banyanya saham optimal yang diperdagangan aan semain banya. Kata unci : dampa pasar, biaya perdagangan, risio perdagangan.

4 4 OPIMALISASI EKSEKUSI SAHAM DENGAN PENINGKAAN RISIKO PERDAGANGAN Oleh : SII MARIAM Sripsi Sebagai salah satu syarat untu memperoleh gelar Sarjana Sains pada Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMEIKA DAN ILMU PENEGAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 9

5 5 Judul Sripsi : Optimalisasi Eseusi Saham dengan Peningatan Risio Perdagangan Nama : Ritawati NIM : G54564 Disetujui Ir. Retno Budiarti MS. Pembimbing I Donny Citra Lesmana S.Si, M.Fin.Math. Pembimbing II, Dietahui Dr. drh. Hasim, DEA. Dean Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam anggal Lulus :

6 6 PRAKAA ALHAMDULILLAH, segala puji dan syuur penulis panjatan e hadirat illahi rabbi, yang telah memberian euatan epada penulis untu dapat menyelesaian halaman demi halaman sehingga menjadi sripsi ini. Selawat terbingai salam semoga tercurah epada junjungan alam, qudwatuna Muhammad saw, motivator dan inspirator terhebat sepanjang zaman. Sementara penulis menulis alimat demi alimat di dalam sripsi ini, memiiran dan berharap betapa besarnya impact yang ingin penulis capai sehingga ia berguna bagi banya orang, terbayang selalu oleh penulis wajah-wajah merea yang terus menduung, menyoong, memberian inspirasi dan memotivasi epada penulis untu terus maju melanjutan perjalanan panjang membangun peradaban baru nan cemerlang. Penulis sadar bahwa setiap pencapaian adalah buah dari erja dan soongan banya piha yang begitu luar biasa, oleh arena itu penulis ingin menyampaian ucapan terima asih dan penghargaan setinggi-tingginya epada:. Ibu Retno Budiarti dan Bapa Donny Citra Lesmana selau pembimbingi dan pembimbing II, begitu banya ilmu, inspirasi dan motivasi yang penulis peroleh dengan penuh esabaran membimbing penulis, serta Ibu Endar Hasafah Nugrahani selau penguji terima asih atas saran dan masuannya.. Ummi tercinta terima asih atas semua duungan bai moral maupun materil, doa, semangat dan asih sayang yang tiada henti. erima asih juga epada bapa tercinta yang tida pernah lelah dan berhenti membanting tulang untu membiayai semua anamu, semangatmu adalah motivasi bagi ananda. 3. Saudara-saudarau tercinta : eh Men, A ade, eh Nyai, Boyen, Boe, Boni,uti dan Cumi serta sahabat ecilu Bogis, terima asih untu masa ecil yang luar biasa indah yang telah ita lewati dalam ebersahajaan. 4. Bu Susi, Pa Yono, dan Bu Ade, atas saran-saran dan informasi yang telah diberian. 5. Oby, iti dan Lela atas esediaannya menjadi pembahas pada saat seminar. 6. Rima dan lisda serta mamah Lisda yang selalu menemani sua dan dua dalam penyusunan sripsi, ramadhan ali ini sangat beresan. 7. eman-teman mathe4 : ia, Lela, Pipit, Lina, iti, Rima, Mira, Oby, Dewi, Zil, Wiwi, Hapsari, Vino, Dian, Ota, Himah, Warno, Eo, Awi, Ridwan, Danu,dan semuanya yang tida bisa disebutan satu persatu, empat tahun begitu singat menguir enangan indah ini. Begitu juga epada aa elas dan adi elas mate4 dan mate43 serta mate 44 yang telah memotivasi. 8. Imeh dan temen-temen MIPA 4 tercinta: Ulfa, Fefin, Dinar, Sari, Nisa, Dude, Lili, Fuji, Kartia, Ea, Lisma, Ami,Ncun, Puscan, Ratna, Mita, Astri, Oby, Ciciw, Gia, Darti, Amel, Aria, Listi. 9. eman-teman Alfarabi yang telah memberian bantuan, saran, semangat dan doa.. Seluruh mahasiswa FMIPA, aa elas dan adi elas yang telah membantu dan memberian semangatnya. entunya begitu banya nama yang terus menerus memberian duungan, pengaruh dan pelajaran yang amat berharga. Namun, tentunya tida dapat penulis sebutan pada esempatan ali ini tanpa mengurangi hormat dan tazim penulis epada merea. Semoga sripsi ini dapat menjadi suatu ontribusi positif dan onstrutif bagi para pembaca, dan tentunya dapat menjadi ilmu yang bermanfaat bagi semuanya. Bogor, September 9 Siti Mariam

7 7 RIWAYA HIDUP SII MARIAM, lahir di Bogor 4 Juni 987 ana eempat dari tujuh bersaudara dari pasangan amri dan Suarsih. Penulis menyelesaian pendidian Seolah Dasar pada tahun 999 di SD Negeri Jasinga Kab. Bogor, Seolah Lanjutan ingat Pertama Negeri I Jasinga Kab. Bogor tahun, Seolah Menengah Atas Negeri I Jasinga Kab. Bogor tahun 5 dan diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI pada tahun yang sama. Masu Departemen Matematia Faultas Matematia dan IPA Institut Pertanian Bogor tahun 6. Selama mengiuti peruliahan, penulis pernah menjadi pengajar privat mahasiswa ingat Persiapan Bersama dan menjadi pengajar SMP dan SMA di Pandu Madania. Selain belajar diperuliahan banya juga pelajaran yang didapat dari organisasi yang telah diiuti yaitu : BEM FMIPA sebagai bendahara umum, Serambi Ruhiyah Mahasiswa FMIPA (SERUM-G sebagai seretaris divisi relasi, Gugus Mahasiswa Matematia (GUMAIKA sebagai staff divisi PSDM, esatuan Asi Mahasiswa Muslim Indonesia (KAMMI sebagai staff divisi Pemberdayaan Masyaraat, Forum Uhuwah Pelajar dan Remaja Jasinga (FUPRJ sebagai staff divisi PSDM. Selain itu atif dalam berbagai epanitiaan yaitu: panitia seminar pean reativitas mahasiswa ilmiah (PKMI, panitia seminar nasional ajian ilmu pengetahuan, panitia try out SPMB, panitia G_Force 43 dan 44, panitia Welcome Ceremoni Matematia (WCM 43 dan 44, panitia bati sosial Serum-G FMIPA, panitia open house angatan 43 IPB, panitia Masa Perenalan Kampus Mahasiswa Baru (MPKMB.

8 8 DAFAR ISI Halaman Daftar Gambar... Daftar Lampiran... ix ix I PENDAHULUAN..... Latar Belaang..... ujuan Sistematia Penulisan... II LANDASAN EORI.... Istilah-istilah Keuangan.... Percobaan Aca, Ruang Contoh, Medan-σ, Uuran Peluang, Peubah Aca, Peubah Aca Disret dan Peubah Aca Kuntinu....3 Nilai Harapan Peubah Aca Disret, Nilai Harapan Peubah Aca Kontinu, Ragam dan Simpangan Bau Proses Stoasti, Random Wal, Kalulus Variasi, Syarat Perlu Untu Optimum, Deret aylor... 4 III PEMODELAN Watu Perdagangan... 6 Model Watu Disret... 6 Model Watu Kontinu Formulasi Lagrange... 7 IV PEMBAHASAN Peningatan Risio Perdagangan Konstan Peningatan Risio Perdagangan Linear... V ILUSRASI Ilustrasi Solusi Peningatan Risio Perdagangan Konstan Ilustrasi Solusi Peningatan Risio Perdagangan Linear Contoh Penerapan Peningatan Risio Konstan Contoh Penerapan Peningatan Risio Linear... 7 VI SIMPULAN... 8 DAFAR PUSAKA... 9 LAMPIRAN...

9 9 DAFAR GAMBAR Halaman Gambar Grafi Hubungan Peningatan Biaya Liuiditas dengan Watu Eseusi Optimal untu Peningatan Risio Perdagangan Konstan... Gambar Grafi Hubungan Risio Volatilitas dengan Watu Eseusi Optimal untu Peningatan Risio Perdagangan Konstan... Gambar 3 Grafi Hubungan Ris Aversion dengan Watu Eseusi Optimal untu Peningatan Risio Perdagangan Konstan... 3 Gambar 4 Grafi Hubungan Watu Eseusi dengan Expected Cost yang dipengaruhi oleh Ris Aversion pada Peningatan Risio Konstan... 3 Gambar 5 Grafi Hubungan Watu Eseusi dengan Standar Deviasi yang dipengaruhi oleh Ris Aversion pada Peningatan Risio Konstan... 3 Gambar 6 Grafi Hubungan Peningatan Biaya Liuiditas dengan Watu Eseusi yang Optimal untu Peningatan Risio Perdagangan Linear... 4 Gambar 7 Grafi Hubungan antara Ris Aversion dengan Watu Eseusi untu Peningatan Risio Perdagangan Linear... 4 Gambar 8 Gambar 9 Grafi Hubungan antara Risio Volatilitas dengan Watu Eseusi yang Optimal untu Peningatan Risio Perdagangan Linear... 5 Grafi Hubungan antara Ris Aversion dengan Banyanya Saham Optimal untu Peningatan Risio Perdagangan Linear... 5 Gambar Grafi Hubungan antara Ris Aversion dengan Watu Eseusi pada Contoh Penerapan... 6 Gambar Grafi Hubungan Watu Eseusi dengan Expected Cost pada Contoh Penerapan... 6 Gambar Grafi Hubungan Watu Eseusi dengan Standar Deviasi pada Contoh Penerapan... 7 DAFAR LAMPIRAN Halaman Lampiran Pembutian Harga Saham Permanen... Lampiran Pembutian Nilai Harapan dan Ragam... Lampiran 3 Pembutian Persamaan (6... Lampiran 4 Pembutian Persamaan (7... Lampiran 5 Pembutian Persamaan ( Lampiran 6 Pembutian Solusi Kuadratur... 4 Lampiran 7 Pembutian Persamaan (... 4 Lampiran 8 Pembutian Expected Cost dan Ragam untu Peningatan Risio Perdagangan Konstan... 5 Lampiran 9 Pembutian Persamaan ( Lampiran Pembutian Persamaan ( Lampiran Pembutian Persamaan ( Lampiran Hasil Penghitungan Ilustrasi... 3 Lampiran3 Hasil Penghitungan Contoh Penerapan.. 3 ix

10 I PENDAHULUAN. Latar Belaang Pada dasarnya, pasar modal (capital maret merupaan pasar untu berbagai instrumen euangan janga panjang yang bisa diperjualbelian, bai dalam bentu utang ataupun modal sendiri. Selain itu, Pasar modal memberian peran besar bagi pereonomian suatu negara arena pasar modal memberian dua fungsi sealigus, yaitu fungsi eonomi dan fungsi euangan. Pasar modal diataan memilii fungsi eonomi arena pasar modal menyediaan fasilitas atau wahana yang mempertemuan dua epentingan yaitu piha yang memilii elebihan dana (investor dan piha yang memerluan dana (issuer. Pasar modal diataan memilii fungsi euangan arena pasar modal memberian emunginan dan esempatan memperoleh imbalan (return bagi pemili dana, sesuai dengan arateristi investasi yang dipilih. Salah satu produ yang diperjualbelian di pasar modal adalah saham yaitu sebagai tanda penyertaan atau epemilian seseorang atau badan dalam suatu perusahaan. Wujud saham berupa selembar ertas yang menerangan pemilinya. Para investor yang bermain di pasar modal, hususnya saham, pasti memilii motivasi yang sama yaitu mendapatan tingat pengembalian (expected return yang besar. etapi huum investasi yang tida dapat dipungiri adalah semain tinggi tingat pengembalian aan semain tinggi pula risio yang harus diambil. Risio adalah selisih antara tingat pengembalian atual dengan tingat pengembalian yang diharapan. Para investor dapat mengelompoan risio tersebut menjadi dua elompo besar yaitu risio sistematis dan risio nonsistematis. Risio sistematis merupaan sebuah risio yang secara sistematis aan terjadi dan tida dapat dihindari oleh para investor dan risio ini dienal juga dengan risio pasar. Salah satu risio sistematis ini yaitu risio liuiditas. Biaya liuiditas adalah besarnya biaya yang harus dieluaran untu mengubah suatu seuritas menjadi as atau sebalinya. Biaya liuiditas merupaan uuran liuiditas pasar yang mencerminan biaya yang dihadapi oleh penjual. Sedangan risio nonsistematis adalah risio yang terjadi tida secara sistematis dan biasanya dapat dihindari. Risio ini dapat juga disebut dengan risio perusahaan. Risio ini dapat dihindari oleh perusahaan yang bersangutan. Salah satu risio nonsistematis adalah risio etidapastian (volatility ris. Pengelolaan risio sangat penting supaya tida terjadi pemusnahan terhadap apa yang diinvestasian. Dalam menghitung risio tersebut dienal dengan simpangan bau (standard of deviation. Risio tida mungin dihilangan % tetapi hanya dapat diminimuman atau dibuat seecil mungin sampai batas tertentu yaitu dengan mengelola risio secara bai. Sehingga permasalahan yang muncul adalah bagaimana meminimuman biaya yang dieluaran e dalam egiatan transasi yang aan dilauan dengan mengoptimalan banyanya saham yang diperdagangan dengan endala suatu risio (volatility yang harus dihadapi. Risio yang aan dibahas adalah risio etidapastian biaya eseusi dalam tingat perdagangan.. ujuan ujuan dari penulisan arya ilmiah ini adalah untu mempelajari strategi perdagangan saham yang optimal dengan menentuan banyanya saham pada watu t yang aan dijual dan banyanya saham awal optimal yang diperdagangan serta watu optimal eseusi saham dengan asumsi biaya liuiditas merupaan fungsi linear dan endala yang dihadapi adalah risio etidapastian biaya liuiditasi..3 Metode dan Sistematia Penulisan Metode Penulisan arya ilmiah ini adalah studi pustaa yang materinya diambil dari jurnal yang berjudul Optimal Execution with Nonlinear Impact Functions and rading- Enhanced Ris oleh Robert F. Almgren tahun. Karya ilmiah ini terdiri atas tujuh bagian. Bagian pertama berisi pendahuluan yang terdiri atas latar belaang, tujuan, metode dan sistematia penulisan. Bagian edua adalah landasan teori yang menjadi dasar penulisan arya ilmiah ini. Bagian etiga adalah pemodelan yang aan dipaai. Bagian eempat pembahasan yang merupaan hasil analisis terhadap arya ilmiah ini. Bagian elima adalah ilustrasi. Bagian eenam adalah esimpulan, dan bagian etujuh adalah daftar pustaa.

11 II LANDASAN EORI Landasan teori menyajian hal-hal yang menjadi dasar penulisan arya ilmiah ini, ditampilan dalam bentu definisi-definisi dasar, Lema dan beberapa teorema penting... Istilah-istilah euangan Definisi Aset Real dan Aset Keuangan Aset real adalah aset yang menentuan eayaan suatu pereonomian suatu perusahaan sedangan aset euangan adalah aset yang menunjuan laim atas aset real. (Bodie, Kane, dan Marcus, 6 Definisi Seuritas Seuritas adalah surat berharga atau instrumen euangan yang telah distandarisasi dan dijaga nilai-nilainya sehingga mempunyai emampuan jual beli atau liuid. (Bodie, Kane, dan Marcus, 6 Definisi 3 Saham Saham adalah tanda penyertaan atau epemilian seseorang atau badan dalam suatu perusahaan atau perusahaan terbatas. Wujud saham berupa selembar ertas yang menerangan siapa pemilinya. (Bodie, Kane, dan Marcus, 6 Definisi 4 Volatilitas (Volatility Volatilitas σ menyataan tingat risio suatu aset yang ditunjuan oleh eacaan harga saham. Semain besar nilai volatilitas, semain ta terduga pergeraan harga saham. Sebalinya semain ecil nilai volatilitas, semain mudah untu menduga harga saham tesebut. (Harvey & Gretchen Definisi 5 Risio Perdagangan Risio Perdagangan merupaan besarnya penyimpangan antara tingat pengembalian yang diharapan (expected return dengan tingat pengembalian atual (actual return (Widoatmodjo Sawidji. 5 Definisi 6 Volume Perdagangan Volume perdagangan adalah jumlah satuan unit saham yang diperjualbelian dalam suatu periode tertentu, biasanya harian. (Bodie, Kane, dan Marcus, 6. Percobaan Aca, Ruang Contoh, Medan-σ, Uuran Peluang, Peubah Aca, Peubah Aca Kontinu, Peubah Aca Disret Definisi 7 Percobaan Aca Dalam suatu percobaan sering ali dilauan dalam ondisi yang sama. Semua emunginan hasil yang aan muncul dapat dietahui, tetapi hasil pada percobaan beriutnya tida dapat diduga dengan pasti. Percobaan yang semacam ini disebut percobaan aca. (Grimmett dan Stirzaer, 99 Definisi 8 Ruang Contoh Himpunan dari semua emunginan hasil dari suatu percobaan aca disebut ruang contoh, dinotasian dengan Ω. Suatu ejadian adalah himpunan bagian dari Ω. (Grimmett dan Stirzaer, 99 Definisi 9 Medan-σ Medan σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi ondisi beriut:. φ F. jia A, A,... F maa U A F i i= c 3. jia A F maa A F (Grimmett dan Stirzaer, 99 Definisi Uuran Peluang Misalan F adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Uuran peluang adalah suatu fungsi P : F [,] pada ( Ω, F yang memenuhi :. P( φ = dan P( Ω =. Jia A, A,... F adalah himpunan yang saling lepas yaitu A i A j = φ untu setiap pasangan i j, maa P (. A U i = i P A i i= = (Grimmett dan Stirzaer, 99 Definisi Peubah Aca Misalan F adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah aca adalah suatu fungsi Ω : R dengan sifat { ω : ( ω } Ω x F untu setiap x R. (Grimmett dan Stirzaer, 99

12 3 Definisi Peubah Aca Disret Peubah aca diataan peubah aca disret jia nilainya hanya pada himpunan bagian yang terbilang dari R. Catatan: Suatu himpunan bilangan C disebut terbilang, jia C terdiri atas bilangan terhingga atau anggota C dapat dipadanan - dengan bilangan bulat positif. (Grimmett dan Stirzaer, 99 Definisi 3 Peubah Aca Kontinu Peubah aca diataan ontinu jia terdapat fungsi f ( x sehingga fungsi sebaran F ( x = P ( x dapat dinyataan sebagai: F ( x = f x ( t dt, x R untu suatu fungsi f : R [, adalah fungsi yang terintegralan. Fungsi f disebut fungsi epeatan peluang bagi (Grimmett dan Stirzaer, 99.3 Nilai Harapan Peubah Aca Disret, Nilai Harapan Peubah Aca Kontinu, Ragam dan Simpangan Bau Definisi 4 Nilai Harapan (Expected Value Peubah Aca Disret Jia adalah peubah aca disret dengan fungsi massa peluang p ( x, maa nilai harapan dari dinotasian dengan E( = ( E( xp x x Asalan jumlah di atas onvergen mutla (Grimmett dan Stirzaer, 99 Definisi 5 Nilai Harapan Peubah Aca Kontinu Jia adalah peubah aca ontinu dengan fungsi epeatan peluang f ( x, maa nilai harapan dari adalah E( = x f ( x asalan integral di atas onvergen mutla. (Grimmett dan Stirzaer, 99 Lema (Sifat Nilai Harapan Beberapa sifat nilai harapan, antara lain: Jia adalah suatu onstanta, maa E = (. Jia adalah suatu onstanta dan V adalah peubah aca, maa E V = E V. ( ( 3 Jia, adalah onstanta dan V adalah suatu peubah aca,,v maa E ( V V = E( V + E( +. V (Buti: lihat Hogg & Craig 995 (Hogg dan Craig, 995 Definisi 6 Ragam dan Simpangan Bau Misalan adalah peubah aca (disret atau ontinu. Ragam atau var ( dinotasian dengan σ dengan σ = E[ ( E( ] = E( ( E(. Standar deviasi, dinotasian dengan σ, didefinisian σ = σ. (Hogg dan Craig, 995 Lema (sifat Ragam Beberapa sifat dari ragam, antara lain :. jia suatu onstanta, maa Var( = Var(. jia suatu onstanta dan, adalah peubah aca, maa Var( + = Var( + Var( + (( ( (( ( E E E (Ghahramani,.4 Proses Stoasti, Random Wal Definisi 7 Proses Stoasti Proses stoasti = { ( t, t } adalah suatu olesi (gugus, himpunan atau umpulan dari peubah aca yang memetaan suatu ruang contoh Ω e suatu ruang state S. Catatan: Suatu proses stoasti disebut proses stoasti disret (discrete-time stochastic process jia gugus indes adalah gugus tercacah (countabel set, sedangan disebut proses stoasti ontinu (continuous-time stochastic process jia adalah suatu interval. (Grimmet and Stirzaer, Definisi 8 Random Wal Random Wal adalah suatu rantai Marov dengan state (ruang state adalah himpunan bilangan bulat dan mempunyai peluang transisi

13 4 P i, i+ = P = P i, i ; i =, ±, ±,..., dengan < P <. Dengan ata lain setiap transisi perubahan aan bergera satu langah e anan dengan peluang P atau bergera satu langah e iri dengan peluang -P. (Ross,.5 Kalulus Variasi, Syarat Perlu Untu Optimum, Deret aylor Kalulus Variasi Kalulus variasi adalah salah satu cabang matematia yang berhubungan dengan masalah memasimuman atau meminimuman fungsional (u 983. Dalam masalah alulus variasi tujuannya adalah untu memasimuman atau meminimuman fungsi objetif: b ( ( = ( (, & (,, J x t f x t x t t dt a dengan fungsi endala atau tanpa endala. Fungsi endala dapat berupa persamaan diferensial parsial atau persamaan aljabar, x& = f x( t, x& ( t, t. Fungsional misalannya ( memilii peranan penting dalam alulus variasi. Fungsional, misalannya b ( ( J x = x t dt ( a adalah suatu aturan yang mengaitan tiap J x. erdapat analogi fungsi x R dengan ( antara fungsi dengan fungsional. Argumen dari fungsi merupaan peubah, misalannya x = x t. Sedangan argumen dari fungsional ( merupaan fungsi. Dalam mempelajari fungsi, ita tertari untu menemuan titi yang memberian estremum untu fungsi, sedangan dalam pembahasan fungsional ita tertari untu menemuan fungsi yang memberian estremum untu fungsional. J x adalah Variasi dari fungsional ( ( ( δ ( J x = J x + x J x. Dengan mengambil δ x = h sembarang fungsi, maa dengan menggunaan espansi deret taylor diperoleh ( + = ( +, & + &, J x h f x h x h t dt (, &, ( & x x& = f x x t dt + hf + hf dt + J ( x f x, x, t dt ( & & xx xx& xx && = ( & h f + hhf + h f dt + Ο h ( & x x& J ( x = h f + h f dt ( & & J ( x = h fxx hhfxx h fxx dt + & + && dengan: f ( x, x&, t fx = x f ( x, x&, t fx & = x& dh h& =. dt Maa ( + = ( + δ ( + δ ( + Ο J x h J x J x J x h sehingga diperoleh ( = ( + ( + Ο ( J x δ J x δ J x h Ο h adalah simbol yang mewaili orde lebih tinggi. Notasi δ J ( x disebut variasi pertama dan δ J ( x disebut variasi edua. Variasi pertama berperan sebagai syarat perlu agar J(x masimum, δ J ( x =. (u, 983 Definisi 9 Syarat Perlu Untu Optimum (Persamaan Euler Perhatian masalah variasi dalam bentu sederhana, = &, (3 J ( x f ( x, x, t dt dengan titi ujung A(, x ( dan B(, x( adalah tetap, f ( x, x&, t, x( t C [, ], dx x & = dt x adalah fungsi bernilai scalar dan C adalah semua fungsi yang didefinisian di selang [,] dan memilii turunan e- yang ontinu. Permasalahan adalah memilih x ( t yang memberian nilai masimum atau nilai minimum untu fungsional J(x. Syarat perlu untu adanya estremum adalah δ J ( x =. Misalan ( J ( x = g t h( t dt, (4 dengan g( t C[, ] dan h(t fungsi sembarang dan ontinu. Untu dan edua titi ujung peubah x(t ditentuan, h(t memilii sifat h(==h(.

14 5 Lema 3 Misalan g( t sebarang fungsi yang ontinu pada (, dan S merupaan himpunan dari sebarang fungsi h(t yang, ontinu dan terdiferensialan pada [ ] sehingga h(==h( dengan ditentuan. Jia ( g t h( t dt =, (5 untu semua h( t S maa g( t = untu semua t [, ] (Buti: lihat u, 983 Solusi dari masalah alulus variasi diberian oleh suatu bentu persamaan Euler yang merupaan syarat perlu untu menentuan nilai etremum. eorema Misalan J ( x = f ( x, x&, t dt terdefinisi pada [, ] dan memenuhi syarat batas x( = x dan x( x =. Syarat perlu agar J(x mempunyai nilai estrem adalah x(t memenuhi persamaan beriut: d f x f x& =. (6 dt (Buti: lihat u, 983 Definisi Deret aylor y = f x memilii turunan Jia suatu fungsi ( e-n maa fungsi tersebut memilii espansi deret aylor. 3 h h f ( x + h = f ( x + h f ( x + f ( x + f ( x +Lya! 3! ng setara dengan h f ( xn+ = f ( xn + hf ( xn + f ( xn! 3 p h h ( p ( p+ + f xn + L+ f ( xn + Ο( h 3! p! (7 dengan h = x x. n+ n (Fisher, 998

15 6 III PEMODELAN Suatu permasalahan dalam matematia dapat disederhanaan dalam bentu model. Model tersebut dapat merepresentasian ondisi sebenarnya. Langah awal pembentuan model adalah dengan memberian variabel-variabel yang aan digunaan dan asumsi-asumsi awal. Beriut adalah variabel-variabel yang aan digunaan: t : watu eseusi saham dengan t = adalah watu awal eseusi dan t = adalah watu ahir eseusi : epemilian saham awal yang aan dieseusi secara lengap pada watu t = dengan = x σ f ( v h( v g( v S % E( x : banyanya saham optimal yang diperdagangan : risio volatilitas : fungsi etidapastian harga : dampa temporer (biaya liuiditas : dampa permanen (pengaruh harga saham aibat informasi perdagangan : harga saham sebenarnya pada perdagangan e- : expected cost V ( x : standar deviasi x( t : banyanya saham pada watu t, τ > t n dengan x( : interval perdagangan = dan x( = = τ : watu disret perdagangan untu =,,,3,... N : banyanya saham yang terjual antara watu t sampai t Adapun asumsi-asumsi yang dipergunaan dalam pemodelan masalah ini:. Model arya tulis ini mengiuti eranga dari Almgren dan Chris (.. Kasus yang dihadapi merupaan asus penjualan, sehingga >. 3. Perdagangan berupa aset tunggal (saham buan portofolio. Kasus yang dihadapi adalah asus penjualan maa pemodelan ini dibangun dari sudut sebagai penjual yang berupaya menentuan fungsi optimal x( t,, dan agar diperoleh suatu pilihan biaya fungsional yang meminimuman biaya transasi. Strategi perdagangan dalam transasi suatu saham sangat diperluan dengan tujuan agar saham yang dimilii atau epemilian saham menjadi liuid. Liuiditas dari suatu saham dapat diuur dari biaya liuiditas. Biaya liuiditas ini merupaan biaya yang aan dihadapi oleh penjual. Oleh arena itu, permasalahan yang dihadapi adalah bagaimana meminimuman biaya liuiditas (expected cost pada ahir perdagangan. Permasalahan tersebut dibentu menjadi sebuah model yang melibatan unsur watu. Pada arya ilmiah ini pelasanaan optimal lebih dititiberatan pada epemilian saham dan watu ahir, sehingga permasalahannya menjadi berapa banya epemilian saham yang dimilii pada watu t, yaitu x( t, banyanya saham awal yang diperdagangan yaitu dan watu ahir yang optimal, yaitu, agar tercapai ondisi yang diinginan yaitu biaya liuiditas yang dieluaran minimum pada ahir perdagangan. 3. Watu Perdagangan A. Model Watu Disret Dalam model watu disret saham diperdagangan dalam interval watu τ yaitu pembagian watu per periode dengan t = τ yang menyataan watu pada saat periode e- untu =,,..., N dengan N τ = sehingga jia adalah banyanya x saham yang dimilii pada t= maa menyataan banyanya saham yang dimilii pada watu t dengan x = dan x N = Dalam model ini diasumsian bahwa saham diperdagangan dalam watu antara t dan t sehingga n menyataan banyanya saham yang terjual dalam watu antara t dan t atau n = x x dan ratarata perdagangan adalah banyanya saham yang terjual per satuan watu. Sehingga ita dapat memodelan banyanya saham pada watu e- sebagai beriut: N x = n j = n j, (8 j = j= +

16 7 Harga saham dari aset yang tersedia dipasar dipengaruhi oleh informasi perdagangan yang bersifat aca dengan biaya informasi yang diperoleh disebut biaya dampa permanen, sehingga untu menentuan harga saham dari aset yang tersedia dipasar aibat pengarus dampa permanen dapat dicari dengan aritmati random wal, yaitu: στ ξ n S = S + τ g (9 τ denganξ j ~N(, adalah peubah aca bebas dan σ merupaan risio volatilitas. Persamaan (9 di atas dapat ditulis dalam bentu sebagai beriut: ( = + στ ξ j τ j j= j= S S g v (Buti: lihat Lampiran Selain informasi perdagangan, harga saham dipengaruhi juga oleh biaya dampa temporer yaitu biaya yang harus dieluaran untu mengubah saham menjadi as atau disebut biaya liuiditas, sehingga harga sebenarnya yang didapatan pada perdagangan e- aibat pengaruh dari dampa temporer dapat dimodelan sebagai beriut: n n S% = S h + τ f % ξ ( τ τ otal uang yang diterima dalam watu e adalah penjumlahan dari peralian banyanya saham yang terjual dengan harga sebenarnya yang didapatan pada perdagangan e- yang dimodelan dalam bentu: N ( ( v f v ( N N N n S% = S + στ xξ τ x g v = = = N τ v h v + τ % ξ. ( = = Dari persamaan (9 dan ( di atas dapat disimpulan bahwa biaya transasi meliputi biaya informasi, biaya liuiditas dan etidapastian biaya liuiditas pada perdagangan, sehingga biaya transasi dapat dimodelan sebagai beriut: S n S% Nilai harapan dan ragam pada saat t = bergantung pada parameter bebas x, x,..., xn pada strategi perdagangan dan dapat ditulisan sebagai beriut. N (,,... = ( τ + ( τ E x x x x g v v h v n = = N ( dan N N (,,... = σ + ( V x x xn x v f v = = τ (3 (Buti: lihat Lampiran B. Model watu ontinu Untu ebutuhan analisis watu ontinu maa persamaan-persamaan yang ada pada model watu disret diubah dalam model watu ontinu dengan τ, x menjadi x( t, dan n tetap berlau sehingga n v( τ, arena v = dan τ n = x x maa v v n x x ( x x x τ τ τ t = = = = = maa v ( t = & x ( t, sehingga persamaan ( dan (3 dapat ditulisan dalam persamaan sebagai beriut: E( x = ( x( t g( v( t + v( t h( v( t dt (4 ( σ ( ( ( ( V( x = x t + v t f v t dt. (5 Seorang penjual yang rasional aan membuat strategi perdagangannya dengan meminimuman E dengan endala V. 3. Formulasi Lagrange Masalah optimisasi yang aan dibahas pada arya ilmiah ini adalah mencari strategi perdagangan yang meminimuman biaya transasi. Biaya liuiditas merupaan biaya yang harus dieluaran untu mengubah suatu saham menjadi as atau sebalinya. Untu pengoptimalan strategi perdagangan, para penjual meminimuman biaya liuiditasnya dengan mengasumsian bahwa transasi saham yang tida pasti (risio etidapastian merupaan endala yang menduung model ini. Suatu masalah pengoptimuman didefinisian mempunyai bentu sebagai beriut: Minimuman ( ( ( ( ( ( ( E( x = x t g v t + v t h v t dt terhadap ( σ ( ( ( ( V ( x = x t + v t f v t dt. Salah satu metode yang dapat digunaan untu menyelesaian masalah di atas adalah metode pengali Lagrange. Metode ini dimulai x&

17 8 dengan mendefinisian fungsi Lagrange sebagai beriut: U ( x = E ( x + λv ( x ( ( ( ( ( ( ( λ ( σ ( ( ( ( ( x( t g ( v( t v( t h( v( t λσ x( t λv( t f ( v( t dt = x t g v t + v t h v t dt + x t + v t f v t dt = dengan λ merupaan pengali Lagrange untu endala dari masalah pengoptimuman Untu meminimuman U ( x maa digunaan metode alulus variasi yaitu min F ( x ( t, x & ( t dt. x( t Bentu fungsional objetifnya adalah U ( x( t = F( x( t, x& ( t dt. Formulasi fungsional objetif tersebut merupaan formulasi Lagrange, sehingga F x( t, v( t = x( t g v( t + v( t h v( t ( ( ( + λσ x ( t + λ v ( t f ( v ( t dan secara sederhana dapat ditulisan menjadi (, = ( + ( + λσ + λ ( (, & = ( & & ( & + λσ + λ& ( &. F x v xg v vh v x v f v F x x xg x xh x x x f x Dalam alulus variasi syarat perlu fungsional objetif memilii nilai minimum adalah δ U ( x =. Nilai δ U( x adalah variasi pertama yang diperoleh dengan menggunaan espansi aylor sebagai beriut: U ( x + h = F( x + h, x& h& dt + (, & ( & x x& = F x x dt + hf hf dt + ( & & xx x( x ( x( x & & & = U ( x F( x, x& dt. h F hhf + h F dt + Ο h ( & x x& U ( x = hf hf dt & & ( xx x( x ( x( x U( x = h F hhf + h F dt & & & F x ( x, x&, F = x F x & dh h & = dt maa ( x, x F & = ( x & U ( x + h = U ( x + φ( h + Q( h U ( x + h U ( x = φ( h + Q( h sehingga diperoleh ( h + Q( h U ( x = φ + Ο h = δu ( x + δ U ( x + Ο h + Ο h + Ο h dengan φ ( h merupaan suu-suu linear dalam deret aylor yang ita sebut dengan variasi pertama δ U (x dan Q ( h adalah suu-suu uadrat yang mengindiasian variasi edua δ U ( x dan Ο h adalah simbol yang mewaili orde lebih tinggi. Sehingga syarat perlu agar U ( x minimum adalah δ U ( x =, sehingga Fx ( x, x& hdt F x& ( x, x& hdt & = hfx hf & x& dt = hfxdt hf & x& dt = dengan metode integral parsial persamaan tersebut dapat ditulisan sebagai beriut: d hfxdt hf x& F. x& hdt = dt Karena fungsi h merupaan fungsi ontinu dan terturunan yang bersifat h = = h ( ( d hfxdt + F x& hdt = dt d Fx + F x& hdt = dt maa menurut lema diperoleh

18 9 d Fx + F x& =. dt Karena v = & x, maa dapat ditulisan d Fx + Fv = dt d Fx x x Fv x x dt (, & + (, & =. Berdasaran aturan rantai diperoleh Fx ( x, x& + xf & xv ( x, x& && xfxv ( x, x& = F + xf & && xf =. (6 x xv vv (Buti: lihat Lampiran Persamaan (6 merupaan bentu persamaan diferensial parsial orde dua, yang dapat diselesaian dengan menggunaan nilai x t. Karena pada awal, sehingga diperoleh ( asus ini, fungsi objetif tida mengandung t secara esplisit, maa persamaan (6 dapat dialian dengan x&, sehingga diperoleh persamaan sebagai beriut: Fx x& + x& Fvx &&& xxfvv = d ( F + xf & v = dt dengan d d d ( F + xf & v = F( x, x& + x& Fv ( x, x& dt dt dt = F x x& F x& && x + && xf v + x& ( F vx x& F xv & && x = F x x& F x& && x + && xf v + xf & vx x& xf & xv & && x = F x& + x& F xf & & && x x vx xv Ini berarti bahwa F + xf & v = c, dengan c adalah suatu onstanta, sehingga dapat ditulisan dalam persamaan beriut: ( ( ( λσ λ ( & ( ( ( λ ( ( λ ( c = xg v + vh v + x + v f v + x xg v + vh v + h v + v f v f v + f v v ( ( λσ λ ( & ( & ( & ( λ& ( ( λ& ( c = xg v + vh v + x + v f v + xxg v + xvh v + xh v + xv f v f v + xvf v (7 (Buti: lihat Lampiran 4 Persamaan (7 dapat dipisah dalam bentu P x& P v = xg x& + xxg & + λσ x ( ( ( dan P v = v h v + λv f v + vf v f v ( ( ( ( ( ( d v ( h( v λvf ( v = + (8 dv (Buti: lihat Lampiran 5 Dampa permanen merupaan fungsi linear terhadap banyanya saham pada perdagangan awal, yaitu misalan g( v = γ, dengan γ adalah total biaya yang bebas terhadap x( t maa solusi umum dari persamaan P x& P v = xg x& + xxg & x& + λσ x ( ( ( ( adalah persamaan uadratur yaitu: dx = t P λσ x + P v ( ( x( t (Buti: lihat Lampiran 6 (9 selanjutnya persamaan (9 aan digunaan untu menentuan solusi umum dari banyanya saham pada watu t yang aan dijual dan watu eseusi optimal. IV PEMBAHASAN elah disebutan di atas bahwa biaya transasi terdiri atas biaya liuiditas, biaya informasi dan risio etidapastian biaya liuiditas. Dalam arya ilmiah ini diasumsian bahwa biaya informasi pada umumnya merupaan dampa yang ecil, sehingga dapat dianggap tida berpengaruh pada strategi optimal yang aan ditentuan artinya g( v =. Adapun fungsi biaya liuiditas dan risio etidapastian biaya liuiditas ditulisan dalam persamaan beriut: h( v f ( v = ηv = α + βv dengan v untu rata-rata perdagangan, h( v adalah dampa temporer linear yang menunjuan fungsi biaya liuiditas dengan oefisien η adalah perubahan biaya liuiditas

19 aibat perubahan rata-rata perdagangan, sedangan fungsi f ( v menunjuan fungsi risio etidapastian biaya liuiditas dalam perdagangan dengan α adalah suatu onstanta yang menggambaran etidapastian biaya dalam perdagangan dan tida bergantung pada rata-rata penjualan, sedangan β adalah oefisien yang menggambaran perubahan etidapastian biaya aibat perubahan ratarata perdagangan. Minimuman total risio dengan membagi perdagangan dalam beberapa bagian yang sama, maa dengan x& = v persamaan (8 menjadi: ( ( P v = η + λα v + 4λαβv + 3λβ v 3 4 P ( =, P ( v meningat untu v. (Buti: lihat Lampiran 7 ( 4. Peningatan Risio-Perdagangan Konstan Kasus ini diasumsian β = artinya etidapastian biaya liuiditas dalam perdagangan tida bergantung pada rata-rata perdagangan sehingga dari persamaan ( dengan menggunaan solusi pada persamaan (9 diperoleh solusi optimal untu banyanya saham pada watu t dan solusi optimal untu watu eseusi saham adalah sebagai beriut: t x ( t = exp ( η + λα dengan = λσ Buti: Dari persamaan (8 P v = η + λα v + 4λαβ v + 3λβ v ( ( 3 4 dengan β= maa persamaan tersebut menjadi p( v = ( η + λα v Misalan y = ( η + λα v v = v = p y + ( η λα y η + λα ( ( y = y η + λα. ( ( Jia persamaan di atas disubstitusian e dalam persamaan (9 maa diperoleh solusi umum untu banyanya saham pada watu t yang aan dijual dan watu eseusi optimal sebagai beriut: / + λσ x p( v = + ( λσ ( p x p v ( η λα ( η+ λα + / λσ x ( η + λα v = + ( η + λα ( η + λα (arena v = maa / λσ x ( λσ (. p x + p v = ( η + λα Sehingga persamaan (9 menjadi dx = t x( t p ( λσ x + p( v dx = t / x( t λσ x ( η + λα λσ x η λα x( t ( + λσ η λα ( + / / dx = t dx = t x x ( t η + λα ln x = t λσ x( t η + λα ( ln ln x( t = t λσ ( ln ln x( t = t η + λα λσ t ln x( t = ln + η + λα λσ t exp(ln x( t = exp ln + η + λα λσ t x( t = exp η + λα λσ / /

20 t x( t = exp = η + λα. λσ erbuti. Solusi optimal watu eseusi saham pada persamaan ( menunjuan bahwa dengan meningatnya risio volatilitas dan ris aversion maa nilai aan semain ecil artinya semain tinggi risio volatilitas dan semain tida berani seorang penjual mengambil risio maa watu eseusi saham aan semain cepat. Untu mengetahui expected cost dan ragam dari suatu saham maa diperoleh fungsi objetif sebagai beriut: λη σ E ( λ = η = η + λα α σ η+ λα V( λ = σ + =. σ λ η+ λα (Buti: lihat Lampiran 8 Jia λ, maa diperoleh: α, σ η E, V ασ (Buti: lihat Lampiran 9 (3 (4 (5 Persamaan (5 menunjuan bahwa selama dalam perdagangan terdapat ris aversion (λ yang semain besar yaitu semain besar tingat penghindaran risio maa watu eseusi saham, expected cost, dan ragam dalam perdagangan mempunyai nilai terbatas. 4. Peningatan Risio-Perdagangan Linear Kasus ini diasumsian bahwa α = dan β, artinya etidapastian biaya liuiditas dalam perdagangan bergantung pada rata-rata perdagangan. Sehingga fungsi pada persamaan (8 menjadi: 4 P( v = ηv + 3λβ v (6 (Buti: lihat Lampiran Karena fungsi pada persamaan (6 adalah fungsi yang monoton nai maa persamaan (6 mempunyai invers sebagai beriut: η + λβ w η P ( w =. (7 6λβ (Buti: lihat Lampiran Selanjutnya dengan menggunaan solusi persamaan (9 diperoleh solusi optimal untu watu eseusi saham sebagai beriut : = η, (8 λ σ Persamaan (8 menunjuan bahwa watu eseusi saham berbanding lurus dengan perubahan biaya liuiditas ( η artinya semain besar perubahan biaya liuiditas maa watu eseusi aan semain lama dan sebalinya semain ecil perubahan biaya liuiditas maa watu eseusi aan semain cepat. Karena etidapastian biaya dalam perdagangan dipengaruhi oleh rata-rata perdagangan maa banyanya saham optimal yang diperdagangan diberian oleh persamaan: η σ = =. 3 λσβ 3 β (9 V ILUSRASI Untu lebih memahami solusi optimal yang diperoleh maa hal tersebut digambaran pada ilustrasi sebagai beriut: 5. Ilustrasi Solusi Peningatan Risio Perdagangan Konstan Watu eseusi optimal pada persamaan ( menunjuan bahwa semain besar nilai η maa semain besar pula nilai artinya semain besar perubahan biaya liuiditas maa saham aan semain lama dieseusi, sebalinya semain ecil nilai η maa semain ecil pula nilai artinya semain ecil perubahan biaya liuiditas maa saham aan semain cepat dieseusi Misalan diambil λ =., σ = dan α =.3, maa watu eseusi optimal untu nilai perubahan biaya liuiditas yang berbeda diilustrasian pada grafi di bawah ini:

21 Gambar Grafi hubungan perubahan biaya liuiditas dengan watu eseusi optimal untu solusi peningatan risio perdagangan onstan Selain itu pada solusi watu eseusi optimal persamaan ( menunjuan bahwa dengan meningatnya risio volatilitas (σ maa nlai aan semain ecil artinya semain ta terduga pergeraan harga saham maa watu eseusi saham aan semain cepat. Sebalinya semain ecil risio volatilitas (σ maa nilai aan semain besar artinya semain mudah pergeraan harga saham diduga maa watu eseusi saham aan semain lama. Misalan diambil η =.87, λ =. dan α =.3 maa watu eseusi saham yang optimal untu risio volatilitas yang berbeda diilustrasian pada grafi beriut Gambar Grafi hubungan risio volatilitas dengan watu eseusi optimal untu solusi peningatan risio perdagangan onstan Solusi watu eseusi optimal pada persamaan ( juga menunjuan bahwa dengan meningatnya ris aversion (λ maa nilai aan semain ecil artinya semain tida berani seorang penjual mengambil risio maa watu eseusi saham aan semain cepat, sehingga nilai expected cost aan semain besar dengan nilai standar deviasi semain ecil dan sebalinya semain ecil ris aversion (λ maa nilai aan semain besar artinya semain berani seorang penjual mengambil risio maa watu eseusi saham aan semain lama, sehingga nilai expected cost aan semain ecil dengan nilai standar deviasi semain besar.

22 3 Misalan diambil η =.87, σ = dan α =.3 maa watu eseusi saham yang optimal untu ris aversion yang berbeda diilustrasian pada grafi di bawah ini : Gambar 3 Grafi hubungan ris aversion dengan watu eseusi optimal untu solusi peningatan risio perdagangan onstan Gambar 4 Grafi hubungan watu eseusi dengan expected cost yang dipengaruhi oleh ris aversion pada peningatan risio onstan Gambar 5 Grafi hubungan watu eseusi dengan standar deviasi yang dipengaruhi oleh ris aversion pada peningatan risio onstan

23 4 5. Ilustrasi Solusi Peningatan Risio Perdagangan Linear Persamaan (8 menunjuan bahwa watu eseusi saham berbanding lurus dengan perubahan biaya liuiditas ( η, artinya semain besar perubahan biaya liuiditas maa watu eseusi aan semain lama dan sebalinya semain ecil perubahan biaya liuiditas maa watu eseusi aan semain cepat. Misalan diambil ris aversion ( λ=. dan risio volatilitas ( σ= maa watu eseusi untu perubahan biaya liuiditas yang berbeda diilustrasian pada grafi beriut: Gambar 6 Grafi hubungan antara perubahan biaya liuiditas dengan watu eseusi yang optimal untu peningatan risio perdagangan linear Selain itu, pada persamaan (8 hubungan watu eseusi dengan ris aversion adalah berbanding terbali yaitu semain besar ris aversion maa nilai aan semain ecil artinya semain tida berani seorang penjual mengambil risio maa watu eseusi saham aan semain cepat dan sebalinya semain ecil ris aversion maa watu eseusi aan semain besar artinya semain berani seorang penjual mengambil risio maa watu eseusi saham aan semain lambat. Misalan diambil (.435 η= dan risio volatilitas ( σ = maa watu eseusi optimal untu ris aversion yang berbeda diilustrasian pada grafi beriut ini: Gambar 7 Grafi hubungan antara ris aversion dengan watu eseusi untu peningatan risio perdagangan linear Pada persamaan (8, hubungan watu eseusi dengan risio volatilitas adalah berbanding terbali yaitu semain besar risio volatilitas maa nilai aan semain ecil

24 5 artinya semain ta terduga pergeraan harga saham maa watu eseusi saham aan semain cepat dan sebalinya semain ecil risio volatilitas maa nilai aan semain besar artinya semain mudah menduga harga saham maa watu eseusi saham aan semain lambat. Misalan diambil peningatan biaya liuiditas ( η=.4 dan ris aversion ( λ =. maa watu eseusi saham yang optimal untu risio volatilitas yang berbeda diilustrasian seperti pada grafi di beriut ini: Gambar 8 Grafi hubungan antara risio volatilitas dengan watu eseusi yang optimal untu peningatan risio perdagangan linear Persamaan (9 menunjuan bahwa semain besar ris aversion maa banyanya saham optimal yang diperdagangan aan semain ecil artinya semain tida berani seorang penjual mengambil risio maa saham yang diperdagangan aan semain ecil dan sebalinya semain ecil ris aversion maa banyanya saham yang diperdagangan aan semain besar artinya semain berani seorang penjual mengambil risio maa saham yang diperdagangan aan semain besar. Hal tersebut dijelasan dalam ilustrasi sebagai beriut. Misalan η =.6, σ =, dan β =.35 maa banyanya saham yang diperdagangan untu ris aversion yang berbeda diilustrasian seperti pada grafi di bawah ini: Gambar 9 Grafi hubungan antara ris aversion dengan banyanya saham optimal untu peningatan risio perdagangan linear 5.3 Contoh Penerapan Peningatan Risio Konstan Misalan volume perdagangan di pasar modal sebanya.. juta saham sedangan banyanya banyanya saham awal

25 6 yang diperdagangan oleh penjual adalah. saham dengan asumsi harga pada saat awal adalah $5/saham dengan volatilitas tahunan $/saham. Pada asus ini diasumsian α dan β =, artinya etidapastian biaya dalam perdagangan tida bergantung pada rata-rata perdagangan. Adapun fungsi biaya liuiditas adalah h( v = η v dengan biaya liuiditas h = $, 5 / saham dan fungsi ref etidapastian biaya dalam perdagangan adalah f ( v = α. Jia besarnya perubahan risio etidapastian biaya (α adalah % dan rata-rata perdagangan di pasar modal adalah % dari perdagangan volume perdagangan di pasar modal atau. saham serta perdagangan terjadi dalam interval satu jam dengan 6,5 periode per hari atau τ = hari maa ita dapat menghitung 3 watu eseusi optimal (, expected cost ( E( λ dan standar deviasi dari biaya transasi ( V serta banyanya saham yang aan dijual pada watu t ( x( t ( ( x t untu asus ini sesuai dengan parameter ris aversion yang dimilii investor saham dengan menggunaan rumus yang telah didapat, yaitu: = η + λα λσ t = x ( t exp E ( λ = η = λη σ η + λα α σ η+ λα V( λ = σ + = σ λ η+ λα Gambar Grafi hubungan antara ris aversion dengan watu eseusi Gambar Grafi hubungan watu eseusi dengan expected cost

26 7 Gambar Grafi hubungan watu eseusi dengan standar deviasi Ketiga grafi di atas, yaitu grafi pada Gambar (, Gambar (, dan Gambar ( menunjuan hasil secara numeri. Dapat dilihat bahwa untu setiap ris aversion ( λ mempunyai arateristi nilai berbeda, yaitu untu setiap λ watu eseusi saham ( yang semain ecil maa aan semain meningat sehingga menyebaban expected cost yang diperoleh semain menurun dan standar deviasi semain meningat. Kasus ini menunjuan bahwa etia terjadi etidapastian biaya yang onstan dalam perdagangan maa seorang penjual yang menghindari risio dengan ris aversion yang besar aan mempercepat program eseusinya dengan tujuan untu mengurangi risio. Sebalinya seorang penjual yang berani mengambil risio dengan ris aversion yang ecil aan memperlambat watu eseusi dengan tujuan untu meminimuman expected cost. 5.4 Contoh Penerapan Peningatan Risio Linear Seperti asus onstan misalan harga saham pada saat perdagangan awal adalah $5/saham. Pada asus ini diasumsian α = dan β, artinya etidapastian biaya liuiditas dalam perdagangan bergantung pada rata-rata perdagangan. Fungsi biaya liuiditas adalah h( v = η v dan fungsi etidapastian biaya dalam perdagangan adalah f ( v = βv, sehingga model harga saham sebenarnya pada persamaan ( menjadi: 3 / s% = s η nτ + β nτ % ξ. Khusus untu pemilihan interval perdagangan τ, standar deviasi dari biaya liuiditas dihubungan dengan perubahan etidapastian biaya dalam perdagangan ( β adalah frasi ρ, dan selama nilai eduanya sama terhadap rata-rata perdagangan maa 3/ βn τ = ρηn τ, atau / β = ρτ η, Sehingga banyanya saham optimal yang diperdagangan pada persamaan (9 menjadi η σ = = 3 λσβ 3 β η σ = λσ = / / 3 ρτ η 3ρ λστ Dalam asus ini diasumsian terjadi perubahan rata-rata penjualan setiap harinya. Misalan perdagangan terjadi dalam interval satu jam dengan 6,5 periode perhari, maa τ = (/3 hari, dan ambil ρ = /. Maa untu setiap ris-tolerance (/ λ dapat ditentuan nilai β,,dan dan dapat dilihat pada Lampiran 3. Hasil perhitungan menunjuan bahwa watu eseusi saham bergantung pada ratarata perdagangan, jia rata-rata perdagangan meningat maa perubahan biaya liuiditas dan perubahan etidapastian biaya liuiditas dalam perdagangan semain ecil dan hal ini aan mengaibatan watu eseusi saham semain cepat. Sedangan banyanya saham optimal yang diperdagangan bergantung pada ris aversion (λ seorang penjual, yaitu etia seorang penjual mempunyai ris aversion yang besar maa penjual tersebut semain menghindari risio sehingga banyanya saham optimal yang

27 8 diperdagangan aan semain sediit. Sebalinya, jia penjual mempunyai ris aversion yang ecil maa penjual tersebut semain berani mengambil risio, sehingga banyanya saham optimal yang diperdagangan aan semain banya. Misalan diambil parameter ristolerance / λ = $. atau λ =. maa etia rata-rata perdagangan sebesar. saham, diperoleh besarnya perubahan risio etidapastian biaya sebesar: 6 3/ β = $ hari / saham dan banyanya saham optimal yang diperdagangan adalah sebesar 3. saham. VI SIMPULAN Jia seorang penjual saham menghadapi suatu peningatan risio perdagangan yaitu adanya risio etidapastian biaya liuiditas dalam perdagangan maa diperluan strategi untu menentuan berapa banya saham pada watu t yang aan dijual atau berapa saham yang harus diperdagangan dan apan watu eseusi yang optimal dalam perdagangan saham. Ketidapastian biaya liuiditas dalam perdagangan mempertimbangan dua asus terdiri atas peningatan risio perdagangan onstan yaitu etia etidapastian biaya liuiditas dalam perdagangan tida bergantung pada rata-rata perdagangan dan peningatan risio perdagangan linear yaitu etia etidapastian biaya liuiditas dalam perdagangan bergantung pada rata-rata perdagangan. Jia etidapastian biaya liuiditas dalam perdagangan tida bergantung pada rata-rata perdagangan maa strategi dalam perdagangan mempertimbangan dua solusi optimal yaitu berapa banyanya saham pada watu t yang aan dijual dan apan watu eseusi saham yang optimal. Seorang penjual yang menghindari risio (ris aversion besar aan mempercepat program penjualannya dengan tujuan untu mengurangi risio, sedangan penjual yang lebih berani mengambil risio (ris aversion ecil aan memperlambat perdagangannya dengan tujuan meminimuman expected cost. Jia etidapastian biaya liuiditas dalam perdagangan bergantung pada rata-rata perdagangan maa strategi dalam perdagangan mempertimbangan dua solusi optimal yaitu berapa banyanya saham optimal yang diperdagangan dan apan watu eseusi saham yang optimal. Ketia rata-rata perdagangan meningat perubahan biaya liuiditas aibat perubahan rata-rata perdagangan dan perubahan etidapastian biaya liuiditas dalam perdagangan semain ecil hal ini aan mengaibatan watu eseusi saham semain cepat. Sedangan banyanya saham optimal yang diperdagangan bergantung pada ris aversion (λ seorang penjual yaitu etia seorang penjual mempunyai ris aversion yang besar artinya penjual tersebut semain menghindari risio maa banyanya saham optimal yang diperdagangan aan semain sediit dan sebalinya jia penjual mempunyai ris aversion yang ecil artinya penjual tersebut semain berani mengambil risio maa banyanya saham optimal yang diperdagangan aan semain banya.