Penentuan Sampling Minimal Dalam Eksperimen Life-Testing menggunakan Order Statistics. Oleh:

Transkripsi

1 Penentuan Sampling Minimal Dalam Esperimen Life-Testing menggunaan Order Statistics Oleh: Budhi Handoo Staff Pengajar Jurusan Statistia Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran Bandung udhihandoo@yahoo.com ABSTRAK Analisis reliailitas merupaan salah satu alat statistia yang digunaan untu menguur tingat erfungsinya suatu alat/omponen. Suatu alat/omponen diataan reliael jia masih erfungsi dengan ai dalam suatu janga watu tertentu. Selama ini proses penguuran lifetime lampu pijar yang diprodusi PT Phillips Ralin Electronics Suraaya dilauan sampai semua lampu yang diamil seagai sampel mati, sehingga proses ini memerluan watu dan iaya yang cuup esar. Salah satu cara yang isa dilauan untu mengurangi watu dan iaya dalam esperimen life-testing adalah dengan menentuan sampling minimal dalam esperimen life-testing lampu pijar yang isa diperoleh erdasaran urutan erusaan yang terjadi. Sehingga proses penguuran lifetime lampu pijar tida perlu dilauan sampai semua lampu yang diamil seagai sampel mati. Hal ini isa didapatan dengan cara memperoleh momen order e- dari fungsi densitas order statistics yang sesuai dengan distriusi data watu erusaan dari lifetime lampu pijar. Berdasaran momen order e- dari fungsi densitas order statistics yang sesuai dengan distriusi watu erusaan Weiull, dapat dietahui sampling minimal yang diutuhan dalam esperimen life-testing lampu pijar erdasaran spesifiasi lampu 22V/4W/A6/CL/E27 adalah 8 (urutan erusaan e-8 dari 26 sampel lampu). Sehingga penghematan yang isa dilauan adalah seesar 39,3 %. Kata Kunci: Distriusi weiull, Fungsi hazard rate, Order statistics, Reliailitas. Semnas Matematia dan Pendidian Matematia 28-78

2 . Pendahuluan Esperimen life-testing merupaan suatu percoaan yang ertujuan untu menguur masa hidup suatu omponen dalam suatu watu tertentu pada seuah industri pemuatan omponen terseut. Seelum suatu omponen/produ dipasaran, maa harus diuji terleih dahulu apaah lifetime (masa hidup)-nya sudah memenuhi standar nasional Indonesia atau elum. PT. Phillip Ralin Electronics Suraaya merupaan salah satu perusahaan yang memprodusi lampu pijar. Selama ini proses penguuran lifetime lampu dilauan sampai semua lampu yang diamil seagai sampel mati, sehingga proses ini memerluan watu dan iaya yang cuup esar. Watu dan iaya dalam esperimen life-testing dapat diurangi dengan cara menentuan sampling minimal dalam lampu pijar yang isa diperoleh erdasaran urutan erusaan yang terjadi. Sehingga proses penguuran lifetime lampu pijar tida perlu dilauan sampai semua ola lampu yang diamil seagai sampel mati. Hal ini isa didapatan dengan cara memperoleh momen order e- dari fungsi densitas order statistics yang sesuai dengan distriusi data watu erusaan dari lifetime-nya. Berdasaran pengamatan yang terurut dalam penguuran lifetime ini isa diperoleh informasi mengenai fungsi hazard rate. Nelson (982) memperenalan fungsi hazard rate yang diperoleh dengan menggunaan plot. Fungsi-fungsi hazard rate lainnya yaitu athtu-shaped yang diperenalan pertama ali oleh Hjorth (98) dan emudian diemangan oleh Dhillon (983). Bentu lain dari fungsi hazard rate diaji oleh Lai dan Xie (23) yang mempunyai distriusi laju erusaan merupaan modifiasi dari distriusi Weiull (Modified Weiull Distriution). Menurut Pal (25), sulit untu menentuan momen dari fungsi densitas order statistics yang sesuai dengan fungsi-fungsi hazard terseut. Oleh arena itu, Pal (25) memerian alternatif lain dari jenis fungsi hazard rate yang dapat digunaan untu mencari fungsi densitas dari order statistics yaitu fungsi hazard rate onstan, fungsi hazard rate yang meningat secara linier, dan fungsi hazard rate yang meningat secara esponensial. Maalah ini aan memahas mengenai momen order e- dari fungsi densitas order statistics yang sesuai dengan distriusi watu erusaan Weiull, untu menentuan sampling minimal dalam esperimen life-testing lampu pijar yang aan diterapan pada data lifetime lampu pijar yang diprodusi oleh PT. Phillips Ralin Electronics Suraaya. Semnas Matematia dan Pendidian Matematia 28-79

3 2. Distriusi Weiull Distriusi Weiull merupaan salah satu dari distriusi yang dapat digunaan untu memodelan suatu fenomena erusaan dengan hazard rate h(t) tergantung pada usia paai suatu alat/omponen terseut. Misalnya janga watu erusaan dari apasitor, lifetime lampu pijar, dan seagainya. Distriusi Weiull yang digunaan dalam penelitian ini adalah distriusi Weiull dengan dua parameter yaitu β dan θ. Distriusi Weiull dua parameter dapat merepresentasian hazard rate yang meningat, onstan, dan menurun (Evans, Hastings, dan Peacoc, 2), dengan fungsi densitas peluang seagai eriut: dengan: t = watu, t > β = parameter entu, β> θ = parameter sala, θ> β β β t t f() t = exp θ θ θ, 3. Order Statistics Misalan T adalah variael aca nonnegatif yang mencerminan masa hidup setiap alat/omponen. Maa pengamatan esperimen aan dinyataan dengan, T :n,t 2:n,... T r:n.. Jia T r:n menyataan watu erusaan dari alat/omponen e-r dari uuran sampel n, yang mempunyai CDF F(t) dan pdf f(t), dan fungsi hazard rate h(t). Maa fungsi densitas dari T r:n adalah seagai eriut: dengan: n! f ( ) {F(t) r- { - F(t)} n-r rn : t = f(t) ( r )!( n r)! t F( t) = exp h( t) dt] = exp[ H ( t)], < t < sehingga: dengan : f : () t = C, { e Ht () } n r+ { e Ht () } r rn rn h() t C rn : f() t = ht (){ Ft ()} = ht ()exp[ Ht ()], < t< n! Γ ( n+ ) = = ( r )!( n r)! Γ( r) Γ( n r+ ) Semnas Matematia dan Pendidian Matematia 28-8

4 4. Momen Order e- dari Distriusi Weiull Misalan h(t) menyataan fungsi laju erusaan atau fungsi hazard rate (hrf) pada watu e-t. Terdapat eragai jenis fungsi hazard seperti onstan, meningat secara linier, meningat secara esponensial dll. Gamar di awah ini menunjuan eerapa fungsi hazard rate umum. Gamar Grafi fungsi hazard rate secara umum Fungsi umulatif hazard (Chrf) merupaan integral dari fungsi hazard yang ditunjuan seagai eriut: t Ht () = htdt () Berdasaran eragai jenis fungsi hazard, aan didapatan eragai jenis distriusi lifetesting untu watu erusaan seperti distriusi esponensial, Weiull, Rayleigh, dll. Beriut ini adalah contoh fungsi hazard rate yang menunjuan watu erusaan erdistriusi Weiull. ht () = at, a, > Fungsi densitas order statistics e- r dari T :, dengan: r n adalah: dengan : rn : rn : rn ( + a ) a n r t t r f () t = C at e ( e ) β a =, θ = parameter sala dari distriusi Weiull, θ> β θ = β = parameter entu dari distriusi Weiull, β> Setelah fungsi densitas order statistics dari distriusi Weiull diperoleh, selanjutnya momen order e- ( μ ( ) r:n ) aan dijaaran melalui langah-langah eriut ini: Semnas Matematia dan Pendidian Matematia 28-8

5 μ ( ) rn : = t frn : () t dt r a ( + ) a n r t t t = C, rn t a e e dt t misalan u = t du = t dt sehingga: t= u dt= u du μ r a a au ( n r+ ) u u = Crn u e e u du u ( ) rn :, r a a a ( n r+ ) u u = C, rn u e e du () Untu menyederhanaan () di atas diperluan rumusan teorema Binomial. Menurut Taylor dan Karlin (998), rumusan teorema Binomial seagai eriut: r a a u r r e j = e j = j Apaila (2) disustitusian e () aan diperoleh μ uj ( ) (2) a a ( n r ) u r ( ) a + :, ( ) j r rn = rn j = j a a r r ( n r+ + j) u j = rn, j = j uj C u e e du hasil pada (3) di atas dapat ditulis seperti eriut ini: μ C ( ) u e du (3) a r ( ) ( ) n r j u a j r rn : = rn, j = j C ( ) u e du (4) Integrasi pada (4) aan diselesaian menggunaan fungsi gamma dengan memisalan : a + = α, dan -(n-r++j) = β atau β j = an ( r+ + j) Mengingat sifat pdf dari gamma (Casela dan Berger, 22) adalah: j Semnas Matematia dan Pendidian Matematia 28-82

6 x α β j X e dx Γ( αβ ) x α β j X e dx α j =Γ( αβ ) Jia x = u, maa integrasi pada (4) isa diruah e dalam entu fungsi gamma menjadi: = α j + ( n r + + j ) a u + u e du =Γ + (5) a( n r+ + j) Apaila (5) disustitusian e (4), maa rumusan μ ( ) rn : menjadi: Misalan: i = r--j, sehingga j = r--i jia j =, maa i = r- untu j = r-, maa i = + ( ) a r r μr:n = C, ( ) j rn Γ + j = j a( n r + + j) a r =, ( ) j r C rn Γ + j = j a( n r + + j) a( n r + + j) r r = C, ( ) j rn Γ + j = j ( ( )) ( an r j ( ) n r j Sehingga: : r ( ) r i r r:n = Crn, ( ) Γ = ( ) ( ) i r i an i n i r r i r = Crn, ( ) Γ + = ( ) ( ) i i an i n i μ + Dari tahapan-tahapan yang dilauan di atas diperoleh momen order e- ( μ rn : ) adalah seagai eriut: Semnas Matematia dan Pendidian Matematia 28-83

7 r = C rni ( ) Γ ( ) ( ) i an i n i r ( ) r i r:n, = μ + (6) Rata-rata dan standar deviasi dihitung dengan menggunaan rumusan eriut : μ = μ () rn : rn : (2) () σrn : = μrn : μ rn : 2 5. Menentuan Uuran Sampel Minimal Sampling minimal dalam esperimen life-testing untu menguji masa hidup lampu yang diprodusi oleh mesin B unit dengan spesifiasi 22V/4W/A6/CL/E27 di PT Phillips Ralin Electronics Suraaya dapat dihitung dengan menggunaan momen order e- ( μ ( ) rn : ) dari fungsi densitas order statistics yang sesuai dengan distriusi data watu erusaan dari lifetime lampu pijar terseut yaitu Weiull. Dari hasil estimasi parameter menggunaan metode Maximum Lielihood Estimation (MLE) dengan antuan paet program Easyfit 4.3 diperoleh nilai parameter entu (β) = 4,9888 dan nilai parameter sala (θ) = 23,9. β a = β θ Parameter sala yang digunaan dalam analisis selanjutnya adalah a, nilai, dengan θ = parameter sala dari distriusi Weiull, θ>, dan β merupaan parameter entu dari distriusi Weiull, β>. Sehingga nilai = β = 4,9888 dan nilai β 4,9888 a = = =,92x β 4,9888 α 23,9-5. Fungsi hazard rate dari data lifetime lampu yang menunjuan watu erusaan erdistriusi Weiull adalah: ht () = at =,92x 5 3,9888 yang mempunyai plot seperti ditunjuan pada Gamar 2 t Semnas Matematia dan Pendidian Matematia 28-84

8 Gamar 2 Grafi Fungsi Hazard Rate Fungsi hazard rate umulatifnya adalah a Ht () = t -5,92x = t 4,9888 4, ,9888 = 3,83x t Fungsi distriusi umulatif-nya adalah Ft () = exp[ Ht ()] = exp 2,83x -6 t 4,9888 Fungsi distriusi umulatif mempunyai plot seperti ditunjuan pada Gamar 3 eriut ini. Gamar 3 Grafi Fungsi Distriusi Kumulatif Berdasaran fungsi hazard rate dan fungsi distriusi umulatif yang telah diperoleh seelumnya maa fungsi densitas-nya adalah seagai eriut f() t = h(){ t F()} t =,92x 5 t 3,9888.exp 3,83x -3 t 4,9888 dengan plot fungsi densitas disajian pada Gamar 4 eriut Semnas Matematia dan Pendidian Matematia 28-85

9 Gamar 4 Grafi Fungsi Densitas Sehingga fungsi densitas order statistics dari data lifetime lampu adalah: dengan: a a ( n r+ ) t t : : r rn rn = Crn :,92x 5t3,9888 e ( n r+ )3,83x t x. 3,83x -5 t r f () t = C at e ( e ) ( e ) 26! C rn : = = (8 )!(26 8)! Fungsi reliailitas dari data adalah Rt () = Ft () -6 4,9888 ( t ) -6 4,9888 ( t ) = exp 2,83x = exp 2,83x dengan plot grafi fungsi reliailitas ditampilan pada Gamar 5 Gamar 5 Grafi Fungsi Reliailitas Dengan menggunaan paet program MATLAB, versi 6.5, nilai a, dan disustitusian e (8), sehingga diperoleh nilai rata-rata watu terjadinya erusaan ola lampu pijar untu urutan erusaan lampu (r) dan uuran sampel (n) sejumlah 26. Untu leih jelasnya dapat dilihat dalam Tael. Semnas Matematia dan Pendidian Matematia 28-86

10 r Tael Nilai Rata-rata Watu Terjadinya Kerusaan Bola Lampu Pijar (jam) dan Standar Deviasinya μ r:n σ r:n r μ r:n σ r:n 588,2 35, 4 55,6 63,9 2 78,9 8,3 5 8,6 63, ,2 95,4 6 25,7 63, 4 839, 87,5 7 23, 62, , 82, 8 256,9 62, ,7 77, ,7 63,4 7 96,2 74,6 2 3,7 63, ,6 72, 2 34,6 64,9 9 22,7 7, ,2 66,5 5,2 68,3 23 4,9 69, 78,4 66, ,3 73,3 2 4,7 65,7 25 5,5 8,2 3 3,4 64,7 26 6,6,2 Berdasaran Tael terseut, μ r:n adalah nilai rata-rata watu terjadinya erusaan ola lampu pada urutan e-r untu sejumlah n sampel ola lampu, sedangan σ r:n adalah standar deviasinya. Untu r =, artinya adalah rata-rata watu terjadinya erusaan pertama dari 26 ola lampu adalah 588,2 jam dengan standar deviasi-nya 35 jam. Untu nilai r = 2, rata-rata watu terjadinya erusaan edua dari 26 ola lampu adalah 78,9 jam dengan standar deviasi-nya 8,3 jam, demiian seterusnya sampai dengan erusaan ola lampu yang terahir. Esperimen life-testing aan dihentian etia rata-rata erusaan ola lampu meleihi amang nilai masimum dari Standard Nasional Indonesia (SNI) yaitu 25 jam yang terjadi pada erusaan e-8 dengan rata-rata watu erusaan 256,9 jam dan standar deviasinya 62,9 jam. Sehingga dari seanya 26 sampel ola lampu yang seharusnya digunaan dalam esperimen, ternyata sudah cuup menggunaan sampel seanya 8 ola lampu saja. Sehingga esperimen life-testing untu menguji masa hidup lampu pijar spesifiasi 22V/4W/A6/CL/E27 diperluan minimal 8 ola lampu, tanpa Semnas Matematia dan Pendidian Matematia 28-87

11 mengurangi informasi apaila menggunaan e-26 sampel lampu terseut. Dengan demiian, dapat mengurangi watu dan iaya yang dieluaran dalam melauan esperimen life-testing. Penghematan yang dapat dilauan dalam menerapan metode ini adalah dapat menghemat watu dalam melauan esperimen life-testing dan juga dapat menghemat jumlah ola lampu yang digunaan dalam esperimen life-testing yaitu seesar 3, 77%. 6. Kesimpulan Jumlah sampling minimal yang seharusnya diperluan untu esperimen lifetesting dari lampu pijar di PT Phillips Ralin Electronics yang diprodusi pada mesin B unit dengan spesifiasi lampu pijar 22V/4W/A6/CL/E27 adalah 8 dengan ratarata watu erusaan 256,9 jam dan standar deviasinya 62,9 jam. Hal ini dapat diartian ahwa pengujian esperimen life-testing dari lampu pijar ini dapat dihentian etia rata-rata erusaan ola lampu meleihi nilai masimum dari Standard Nasional Indonesia (SNI) yaitu 25 jam yang terjadi pada urutan erusaan e-8. Sehingga pengujian life-testing tida perlu dilauan sampai semua sampel seanya 26 mati, tetapi perusahaan tetap memperoleh informasi mengenai lifetime lampu yang sesuai dengan SNI dan dapat menghemat watu dan iaya. Penghematan jumlah ola lampu yang dapat dilauan seesar 3,77%. 7. Daftar Pustaa Casela, G. Dan Berger, R.L., 22, Statistical Inference, Duxury, California. Dhillon, B.S., 983, Reliaility Engineering in Systems Design and Operation, Van Nostrand Reinhold, New Yor. Eeling, C.E., 997, An Introduction to Reliaility and Maintainaility Engineering, The Mc Graw-Hill Companies Inc, Singapore. Evans, M., Hastings, N., dan Peacoc, B., 2, Statistical Distriution, John Wiley & Sons, New Yor. Franty, Y. K., 28, Penggunaan Order Statistics Dalam Esperimen Life-testing (Studi Kasus di PT Phillips Ralin Electronic Suraaya), Tesis, Institut Tenologi Sepuluh Nopemer Suraaya. Semnas Matematia dan Pendidian Matematia 28-88

12 Hjorth, U., 98, A reliaility distriution with increasing, decreasing, constant, athtu-shape failure rate, Technometrics, 22, Hoyland, A., dan Rausand, M., 994, System Reliaility Theori Models and Statistical Methods, John Wiley and Sons, New Yor. Lai, C.D. dan Xie, M., 23, A Modified Weiull distriution, IEEE Transactions on Reliaility, 52, Nelson, W., 982, Applied Life Data Analysis, John Wiley, New Yor. Pal, S., 25, Order statistics for some common hazard rate functions with an application, The International Journal of Quality & Reliaility Management, 22, 2-2. Taylor, H.M. dan Karlin, S., 998, An Introduction to Stochastic Modeling, Academic Press, New Yor. Semnas Matematia dan Pendidian Matematia 28-89