DISTRIBUSI SKEW-NORMAL SKRIPSI

Transkripsi

1 UNIVERSITAS INDONESIA DISTRIBUSI SKEW-NORMAL SKRIPSI RIYANTO D SETYAWAN FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JULI Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

2 UNIVERSITAS INDONESIA DISTRIBUSI SKEW-NORMAL SKRIPSI Diajuan sebagai salah satu syarat untu memperoleh gelar sarjana sains RIYANTO D SETYAWAN FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JULI Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

3 HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS Sripsi ini adalah hasil arya sendiri, dan semua sumber bai yang diutip maupun diruju telah saya nyataan dengan benar. Nama : Riyanto D Setyawan NPM : Tanda Tangan : Tanggal : Juli iii Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

4 HALAMAN PENGESAHAN Sripsi ini diajuan oleh Nama : Riyanto D Setyawan NPM : Program Studi : Sarjana Matematia Judul Sripsi : Distribusi Sew-Normal Telah berhasil dipertahanan di hadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperluan untu memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi S Matematia, Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam DEWAN PENGUJI Pembimbing : Dra. Ida Fithriani, M.Si. ( ) Penguji : Dra. Netty Sunandi, M.Si. ( ) Penguji : Dra. Rianti Setiadi, M.Si. ( ) Penguji : Fevi Novaniza, M.Si. ( ) Ditetapan di : Depo Tanggal : 7 Juni iv Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

5 KATA PENGANTAR Puji syuur yang ta terira saya panjatan epada Tuhan Yesus, arena atas berat dan rahmat-nya, saya dapat menyelesaian sripsi ini. Penulisan sripsi ini dilauan dalam ranga memenuhi salah satu syarat untu mencapai gelar Sarjana Sains Jurusan Matematia pada Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam. Saya menyadari bahwa, tanpa bantuan dan bimbingan dari berbagai piha, dari masa peruliahan sampai pada penyusunan sripsi ini, sangatlah sulit bagi saya untu menyelesaian sripsi ini. Oleh arena itu, saya mengucapan terima asih epada: () Tuhan Yesus, tentunya Dia yang menguatan, memampuan, dan terus memberian beratnya epada saya sehingga saya dapat menyelesaian sripsi ini dengan sebai-bainya; () Dra. Ida Fithriani, selau dosen pembimbing aademi dan pembimbing sripsi yang telah menyediaan watu, tenaga, dan piiran untu mengarahan saya dalam penyusunan sripsi ini, juga yang telah memberian perhatian dan arahannya selama masa empat tahun uliah; (3) Karyawan dan aryawati Tata Usaha dan Perpustaaan Departemen Matematia, yang telah turut menduung saya bai secara langsung maupun tida langsung; (4) Pa Hengi Tasman, Bu Cecil, dan piha Seolah Tirtamarta BPK Penabur, yang telah mengizinan saya mengaloasian watu lebih untu mengerjaan sripsi, serta memberian duungan moral epada saya; (5) Bu Emmy, Ka Bertha, dan staf-staf Kumon Bandung Cinere yang juga telah mengizinan saya mengaloasian watu lebih untu mengerjaan sripsi saya, dan juga memberian duungan moral; (6) Orang tua dan eluarga saya yang telah memberian bantuan duungan material dan moral; (7) Sahabat-sahabat yang telah banya membantu dan menduung saya dalam menyelesaian sripsi ini, Farah, Winda, Syahrul, Risi, Ferdy, Widita, v Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

6 Widiyani, Lois, dan Nora; (8) Teman-teman angatan 7 yang juga mengerjaan sripsi dan mengusahaan elulusan di semester genap /, Shafa, Paramitha, Sisca, Farah, Winda, Syahrul, Risy, Ferdy, Lois, Anggun, Adi, Gamar, Anjar, Arif, Bowo, Isna, Widya, Shafira, Adit, Danar; (9) Eri, Karina, Prita, Prisia, Trixie, Ninay, Daud, Alice, dan teman-teman pengurus Komisi Pemuda GKI Pondo Indah dan panitia retret Komisi Pemuda, yang telah memberian elonggaran serta duungan epada saya untu mengerjaan sripsi ini; () Teman-teman dan senior-senior dari angatan 5-9 yang juga telah memberian duungan dalam pengerjaan sripsi ini; Ahir ata, saya berharap Tuhan berenan membalas segala ebaian semua piha yang telah membantu. Semoga sripsi ini membawa manfaat bagi pengembangan ilmu. Penulis vi Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

7 HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebagai sivitas aademi, saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama : Riyanto D Setyawan NPM : Program Studi : Sarjana Matematia Departemen : Matematia Faultas : Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Jenis arya : Sripsi demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untu memberian epada Ha Bebas Royalti Noneslusif (Non-exclusive Royalty Free Right) atas arya ilmiah saya yang berjudul: Distribusi Sew-Normal beserta perangat yang ada (jia diperluan). Dengan Ha Bebas Royalti Noneslusif ini berha menyimpan, mengalihmedia/format-an, mengelola dalam bentu pangalan data (database), merawat, dan memubliasian tugas ahir saya selama tetap mencantuman nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemili Ha Cipta. Demiian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di : Depo Pada tanggal : Juli Yang menyataan (Riyanto D Setyawan) vii Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

8 ABSTRAK Nama : Riyanto D Setyawan Program Studi : Matematia Judul : Distribusi Sew-Normal Distribusi normal merupaan salah satu distribusi probabilitas data, yang banya digunaan dalam berbagai bidang arena sifat ideal yang dimiliinya, yaitu distribusi probabilitas data-datanya terpusat di seitar mean dan distribusi probabilitas data lainnya tersebar secara merata. Namun ada asus-asus tertentu di mana distribusi normal sebainya tida digunaan arena aan menghasilan analisis yang urang sesuai, terutama etia data memilii emencengan yang uat dan mempunyai heavy-tail. Pada tugas ahir ini diperenalan distribusi probabilitas yang dapat memfasilitasi emencengan data, yaitu distribusi sewnormal. Distribusi sew-normal merupaan bentu perluasan dari distribusi normal dengan memasuan parameter emencengan. Tugas ahir ini memberian penjelasan mengenai arateristi-arateristi dari distribusi sewnormal univariat dan perluasannya dengan memasuan parameter location dan scale, serta distribusi sew-normal secara umum dalam bentu multivariat. Karateristi-arateristi yang dimasud adalah fungsi epadatan probabilitas, fungsi distribusi, mean, variansi, fungsi pembangit momen, dan sifat-sifatnya. Kata Kunci : distribusi normal, emencengan, distribusi sew-normal, parameter location dan scale, fungsi epadatan probabilitas, fungsi distribusi, fungsi pembangit momen, mean, ovariansi, variansi. xiii+4 halaman; 3 gambar; tabel Daftar Pustaa : (96-8) viii Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

9 ABSTRACT Name : Riyanto D. Setyawan Program Study : Mathematics Title : Sew-Normal Distribution The normal distribution is one of the probability distribution of data, which are widely used in various fields because of the nature of the ideal, namely the probability distribution of data centers around the distribution of average data and other probability is spread evenly. But there are certain cases where the normal distribution should not be used because it will produce less precise analysis, especially when the data has a strong sewness and heavy-tail. This final project will introduce a probability distribution which can facilitate the sewness of data, i.e sew-normal distribution. The sew-normal distribution is an extend form of normal distribution, allowing a sewness parameter. This final project will give an explanation about the chararteristics of the univariate sew-normal distribution and its extend to the location and scale family, and sew-normal distribution in general in multivariate form. The characteristics are probability density function, distribution function, mean, covariance, variance, moment generating function, and the properties of the distribution. Key Words : normal distribution, sewness, sew-normal distribution, location and scale parameter, probability density function, distribution function, moment generating function, mean, covariance, variance. xiii+4 pages ; 3 pictures; tables Bibliography : (96-8) ix Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

10 DAFTAR ISI HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS... iii HALAMAN PENGESAHAN... iv KATA PENGANTAR...v HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... vii ABSTRAK... viii ABSTRACT... ix DAFTAR ISI...x DAFTAR GAMBAR... xii DAFTAR LAMPIRAN... xiii BAB PENDAHULUAN.... Latar Belaang.... Permasalahan Tujuan Penulisan... 3 BAB LANDASAN TEORI...4. Percobaan Aca dan Ruang Sampel Fungsi Himpunan Probabilitas Variabel Aca Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi Distribusi Espetasi dari Variabel Aca Variansi Fungsi Pembangit Momen....9 Aturan Leibnitz.... Kemencengan.... Distribusi Normal Fungsi T-Owen Distribusi Folded-Normal Bentu Khusus dari Distribusi Half-Normal Distribusi Gamma dan Distribusi Chi-Square Distribusi Bivariat Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi Distribusi Fungsi Kepadatan Probabilitas Marjinal Mean Variansi dan Kovariansi Koefisien Korelasi Variabel-variabel Aca yang Saling Bebas Hubungan Independensi Variabel Aca Normal Standar dan Half-Normal Sifat Ketertutupan Parameter Location dan Scale Matris dan Sifat-sifat Matris Notasi Matris dan Terminologi Operasi-operasi Matris Transpos dari Matris Sifat-sifat dari Operasi-operasi Matris Matris-matris Nol Matris-matris Identitas Invers dari Matris Matris-matris Diagonal, Segitiga, dan Simetris x Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

11 ..9 Matris Definit Positif Pangat dari Matris Fungsi Determinan dan Sifat-sifatnya Ruang Berdimensi-n Euclidean Ruang-ruang Vetor Riil Kebebasan Linier Hasil Kali Dalam Keortogonalan Nilai Eigen dan Vetor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Matris Aar Kuadrat Vetor Aca Turunan Terhadap Vetor Distribusi Normal Multivariat Notasi Integral Distribusi Nonsentral-t... 7 BAB 3 VARIABEL ACAK YANG BERDISTRIBUSI SKEW-NORMAL UNIVARIAT Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi Distribusi Fungsi Pembangit Momen Sifat-sifat dari Variabel Aca yang Berdistribusi Sew-Normal Mean dan Variansi Perluasan: Famili Location-Scale Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi Distribusi Fungsi Pembangit Momen Mean dan Variansi Perbandingan Grafi Normal dan Sew-Normal Contoh... 5 BAB 4 VEKTOR ACAK YANG BERDISTRIBUSI SKEW-NORMAL MULTIVARIAT Distribusi Sew-Normal Multivariat Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi Pembangit Momen Matris Mean dan Kovariansi Distribusi Sew-Normal Bivariat Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi Pembangit Momen Mean, Kovariansi, dan Variansi Contoh... 8 BAB 5 PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA...88 xi Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

12 DAFTAR GAMBAR Gambar. Grafi Distribusi Half-Normal Gambar 3. Grafi Distribusi Normal Standar...4 Gambar 3. Grafi Distribusi Sew-Normal Univariat...4 xii Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

13 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran Lampiran Lampiran 3 Lampiran 4 Indes dan Parameter Kemencengan...9 Matris Ω dan Sifat-sifatnya...96 Tabel Nilai Probabilitas Distribusi Normal Standar...99 Tabel Nilai Fungsi T-Owen... xiii Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

14 BAB PENDAHULUAN. Latar Belaang Distribusi probabilitas data adalah penyebaran probabilitas data terait dengan suatu ejadian tertentu. Distribusi probabilitas sangat terait dengan variabel aca. Misalan dcari suatu percobaan aca diperoleh suatu ruang sampel. Variabel aca adalah fungsi yang memetaan setiap elemen dari ruang sampel e satu dan hanya satu bilangan riil [Hogg-Craig, 995]. Setiap variabel aca memilii ruang nilai, yaitu daerah hasil dari variabel aca, yang merupaan subhimpunan dari bilangan riil. Berdasaran ruang nilainya, ada dua jenis variabel aca, yaitu variabel aca yang berdistribusi probabilitas disret dan variabel aca yang berdistribusi probabilitas ontinu. Variabel aca yang berdistribusi probabilitas disret adalah variabel aca yang memilii ruang nilai yang terhitung. Contoh: variabel aca yang berdistribusi binomial, Poisson, dan hipergeometri. Sedangan variabel aca yang berdistribusi probabilitas ontinu adalah variabel aca yang memilii ruang nilai yang tida terhitung. Contoh: variabel aca yang berdistribusi normal, normal bivariat, Gamma, beta, F, dan Chi-square. Di dalam berbagai apliasi di dunia nyata, terdapat suatu distribusi probabilitas data yang sudah dienal luas dan sering digunaan, yaitu distribusi normal. Distribusi normal memilii arateristi yang penting, yaitu distribusi probabilitas datanya terpusat di seitar mean, dan probabilitas data-data lainnya tersebar secara merata. Grafi fungsi epadatannya berbentu lonceng (bellshaped). Karateristi yang dimilii distribusi normal tersebut dianggap ideal. Oleh arena itu, distribusi probabilitas ini sering digunaan untu melauan analisis data dalam berbagai jenis apliasi. Namun, hal ini dapat menjadi tida realistis, arena dalam ehidupan nyata tida semua data berdistribusi normal. Oleh arena itu, pada banya asus di mana data tida berdistribusi normal, tida disaranan untu melauan analisis data dengan menggunaan distribusi normal, arena Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

15 hasil analisis data aan urang atau tida sesuai, hususnya untu data dengan emencengan yang uat dan mempunyai heavy-tail. Kemencengan merupaan uuran etidasimetrisan dari suatu distribusi probabilitas data. Jia emencengan suatu distribusi bernilai, berarti distribusi tersebut simetris. Distribusi normal memilii emencengan bernilai dan buan merupaan distribusi probabilitas yang mempunyai heavy-tail. Untu dapat mengetahui apaah data berdistribusi normal atau tida, terait dengan emencengannya, perlu dilauan pengujian hipotesis. Data yang memilii emencengan yang signifian, atau berarti emencengannya melebihi batas tertentu pada pengujian hipotesis, data tersebut merupaan data yang tida berdistribusi normal. Pada asus di mana data tida berdistribusi normal, seringali pada enyataannya banya orang tetap mengasumsian bahwa data tersebut berdistribusi normal, atau hampir normal, jia emencengan dianggap masih bisa ditolerir, atau dengan metode transformasi, mengusahaan agar data tersebut dapat dianalisis dengan menggunaan distribusi normal. Metode demiian merupaan metode yang urang tepat, dan menjadi tida realistis. Seharusnya, seperti telah disebutan sebelumnya, tida disaranan untu tetap melauan analisis dengan menggunaan distribusi normal. Jadi, diperluan distribusi probabilitas yang lain, yang dapat memfasilitasi emencengan distribusi probabilitas data. Beberapa distribusi probabilitas data yang dienal dapat memfasilitasi emencengan distribusi probabilitas data adalah distribusi F, Chi-square, log-normal, dan Weibull. Jia dilihat bentu grafi fungsi epadatan dari distribusi-distribusi probabilitas tersebut, memang distribusi-distribusi probabilitas tersebut dapat memfasilitasi masalah emencengan data. Namun, distribusi-distribusi yang menjadi contoh tersebut hanya bisa digunaan untu ruang nilai nonnegatif atau positif. Jadi, ruang nilai negatif tida difasilitasi oleh variabel-variabel aca tersebut. Selain distribusi F, Chi-square, log-normal, Weibull, terdapat distribusidistribusi probabilitas lain yang juga dapat memfasilitasi emencengan data. Namun, distribusi-distribusi probababilitas tersebut urang atau tida dapat Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

16 3 memfasilitasi data yang memilii bentu distribusi probabilitas terpusat di seitar mean tetapi urang atau tida simetris. Dalam tugas ahir ini, aan diperenalan dan dibahas suatu distribusi probabilitas data yang merupaan perluasan dari distribusi normal, yang dapat memfasilitasi emencengan data saja, tetapi tida terait dengan data yang mempunyai heavy-tail, dan data yang berdistribusi probabilitas terpusat di seitar mean tetapi urang atau tida simetris. Distribusi probabilitas data tersebut adalah distribusi sew-normal. Distribusi sew-normal ini dibangun dengan menggunaan distribusi normal standar. Pada pembahasan selanjutnya aan terlihat bahwa variabel aca ini memilii suatu parameter yang disebut parameter emencengan. Parameter ini menentuan emencengan dari distribusi probabilitas data. Jia parameter ini bernilai nol, maa variabel aca berdistribusi normal standar, yang simetris.. Permasalahan Bagaimana arateristi dari distribusi sew-normal?.3 Tujuan Penulisan Mempelajari arateristi-arateristi distribusi sew-normal. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

17 BAB LANDASAN TEORI. Percobaan Aca dan Ruang Sampel Misalan terdapat suatu percobaan, hasilnya tida dapat dipredisi dengan pasti. Percobaan aca adalah suatu percobaan yang dilauan berulang ali dan di dalam ondisi yang sama. Ruang sampel adalah olesi dari semua hasil yang mungin dari suatu percobaan aca.. Fungsi Himpunan Probabilitas Misalan C menyataan himpunan dari semua hasil yang mungin dari suatu percobaan aca, atau disebut ruang sampel. Definisi.. Jia P(C) didefinisian untu suatu tipe subhimpunan dari ruang C, dan jia (a) P(C) (b) P C C C3 P C P C P C3 ( ) ( ) ( ) ( ), di mana himpunan himpunan C i, i =,, 3,..., adalah saling lepas, yaitu C C, i j (c) P(C) =, maa P disebut fungsi himpunan probabilitas dari hasil percobaan aca. i j Untu setiap subhimpunan C dari C, bilangan P(C) disebut probabilitas bahwa hasil dari percobaan aca adalah elemen dari himpunan C, atau probabilitas ejadian C. Suatu fungsi himpunan probabilitas memberitahuan bagaimana probabilitas didistribusian terhadap berbagai subhimpunan C dari suatu ruang sampel C. Dalam hal ini disebut distribusi probabilitas. 4 Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

18 5 Beberapa sifat dari suatu fungsi himpunan probabilitas adalah:. Untu setiap C C, P(C) = P(C*).. Probabilitas dari himpunan osong adalah nol; yaitu, P( ). 3. Jia C dan C adalah subhimpunan-subhimpunan dari C sedemiian sehingga C C, maa P(C ) P(C ). 4. Untu setiap C C, P(C). 5. Jia C dan C adalah subhimpunan-subhimpunan dari C, maa P( C C ) P( C ) P( C ) P( C C )..3 Variabel Aca Beriut ini diberian definisi dari variabel aca. Definisi.. Perhatian suatu percobaan aca dengan ruang sampel C. Suatu fungsi X, yang memetaan setiap elemen c C satu dan hanya satu bilangan riil X(c) = x, disebut variabel aca [Hogg-Craig 5 th ed.; 995]. Ruang nilai dari variabel aca X adalah himpunan dari bilangan-bilangan riil A = {x x = X(c), c C}..4 Fungsi Kepadatan Probabilitas Misalan X menyataan suatu variabel aca dengan ruang nilai satu dimensi A. Misalan A berisi nilai-nilai bilangan yang terhitung. Ruang A yang demiian disebut himpunan disret dari nilai-nilai. Hal yang serupa berlau juga untu variabel aca ontinu, tetapi A berisi nilai-nilai bilangan yang tida terhitung. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

19 6 Untu asus disret, misalan X menyataan variabel aca dengan ruang satu dimensi A, yang memuat titi-titi bilangan yang terhitung. Misalan f(x) adalah suatu fungsi sedemiian sehingga f(x), x, dan f( x). A dalam bentu Ketia suatu fungsi himpunan probabilitas P(A), A A, dapat dinyataan P( A) Pr( X A) f ( x), (.) A maa X disebut sebagai variabel aca tipe disret dan f(x) disebut sebagai fungsi epadatan probabilitas (f..p) dari X. Untu asus ontinu, misalan X menyataan variabel aca dengan ruang satu dimensi A, yang memuat suatu interval atau gabungan dari interval-interval. Misalan f(x) adalah suatu fungsi sedemiian sehingga f(x), x, dan f ( x) dx. A dalam bentu Ketia suatu fungsi himpunan probabilitas P(A), A A, dapat dinyataan P( A) Pr( X A) f ( x) dx, (.) A maa X disebut variabel aca tipe ontinu dan f(x) disebut fungsi epadatan probabilitas (f..p) dari X..5 Fungsi Distribusi Misalan variabel aca X mempunyai fungsi himpunan probabilitas P(A), di mana A adalah himpunan satu dimensi. Ambil bilangan rill x dan perhatian himpunan A yang merupaan himpunan yang tida terbatas dari sampai x, termasu titi x itu sendiri. Untu setiap himpunan A yang demiian, diperoleh P(A) = Pr(X A) = Pr(X x). Probabilitas ini bergantung pada nilai x; yaitu, probabilitas ini adalah fungsi dari x. Fungsi nilai ini dinyataan dengan F(x) = Pr (X x). (.3) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

20 7 Fungsi F(x) dienal dengan sebutan fungsi distribusi, atau fungsi distribusi umulatif (f.d.) dari variabel aca X. Karena F(x) = Pr (X x), maa dengan f(x) adalah f..p, diperoleh: Untu X variabel aca disret: F( x) f ( w). (.4) wx Untu X variabel aca ontinu: x F( x) f ( w) dw, sehingga F ( x) f ( x). (.5) Beriut diberian sifat-sifat dari suatu fungsi distribusi.. F(x).. F(x) merupaan fungsi tida turun. 3. F( ) = dan F( ) =. 4. F(x) ontinu anan..6 Espetasi dari Variabel Aca Misalan X adalah suatu variabel aca yang mempunyai f..p. f(x) sedemiian sehingga dimilii eonvergenan absolut; dalam asus disret, x f ( x ) onvergen e suatu batas berhingga, x atau, dalam asus ontinu, x f ( x ) dx onvergen e suatu batas berhingga. Espetasi dari suatu variabel aca adalah atau E( X ) xf ( x ), dalam asus disret, (.6) x E( X ) xf ( x) dx, dalam asus ontinu. (.7) Espetasi E(X) disebut juga sebagai espetasi matematia dari X atau nilai harapan dari X. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

21 8 Perhatian suatu fungsi dari variabel aca X dengan ruang nilai A. Misalan fungsi ini adalah Y = u(x). Misalan X merupaan variabel aca yang bertipe ontinu dan y = u(x) merupaan fungsi ontinu nai dari X dengan invers fungsinya x = w(y), yang juga merupaan fungsi nai. Jadi, Y adalah suatu variabel aca dan fungsi distribusinya adalah G(y) = Pr(Y y) = Pr[u(X) y] = Pr[X w(y)] w( y) f ( x) dx di mana f(x) adalah f..p dari X. Dengan salah satu bentu dari Teorema Dasar Kalulus, g(y) = G(y) = f[w(y)]w(y), y B, (.8) di mana =, lainnya, B = {y y = u(x), x A}. Dengan definisi, nilai harapan dari Y adalah E( Y) yg( y) dy. (.9) Dengan menggunaan teni perubahan variabel dari integrasi melalui y = u(x) atau, secara eivalen, x = w(y). Karena dx w ( y) dy, (.) diperoleh E( Y) yg( y) dy u( x) g[ u( x)] dx w [ u( x)] u( x) f ( x) dx. (.) Hal ini benar secara umum dan juga tida ada perbedaan apaah X variabel aca bertipe disret atau ontinu dan Y = u(x) tida harus merupaan fungsi nai dari X. Jadi, jia Y = u(x) mempunyai espetasi, dapat diperoleh dari (.) bahwa Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

22 9 E[ u( X )] u( x) f ( x) dx, (.) untu asus ontinu, dan E[ u( X )] u( x) f ( x), (.3) untu asus disret. x Beriut ini diberian beberapa sifat dari espetasi matematia:. Jia adalah sebuah onstanta, maa E() =.. Jia adalah sebuah onstanta dan V adalah suatu variabel aca, maa E(V) = E(V). 3. Jia,,..., m adalah onstanta-onstanta dan V, V,..., V m adalah variabel-variabel aca, maa E( V + V m V m ) = E(V ) + E(V ) +... m E(V m )..7 Variansi Misalan X adalah suatu variabel aca yang mempunyai f..p f(x). Variansi dari suatu variabel aca X adalah suatu espetasi matematia dari (X μ), dengan μ = E(X). Var(X) = E[(X - μ) ] = E(X μx + μ ) = E(X ) E(μX) + E(μ ) = E(X ) μe(x) + E(μ ) = E(X ) μe(x) + μ = E(X ) μ.μ. + μ = E(X ) μ + μ = E(X ) μ = E(X ) [E(X)]. (.4) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

23 .8 Fungsi Pembangit Momen Misalan terdapat suatu bilangan positif h sedemiian sehingga untu tx h < t < h espetasi matematia Ee ada. Jadi, tx tx ( ) E e e f x dx, (.5) jia X adalah variabel aca tipe ontinu, atau tx tx e f ( x) E e, (.6) x jia X adalah variabel aca tipe disret. Espetasi matematia ini dienal dengan sebutan fungsi pembangit momen (f.p.m.) dari variabel aca X (atau dari distribusi) dan dinyataan dengan M(t) atau M X (t). tx M () t E e. (.7) X Jia t =, diperoleh M X () =. Tida semua distribusi memilii f.p.m, tetapi jia f.p.m. ada, fungsi ini uni dan menentuan distribusi dari variabel aca. Jadi, jia dua variabel aca memilii f.p.m. yang sama, berarti eduanya memilii distribusi yang sama. Momen e- dari distribusi dari variabel aca X dinotasian dengan ( ) ( M X (), di mana ) M X () E X. E(X) dan E(X ) merupaan momen pertama dan edua dari suatu distribusi, yang dinyataan sebagai E( X ) M X (), E X M X (). (.8) Jadi, mean dan variansi dari variabel aca X adalah E( X ) M X (), (.9) Var( X ) M () M (). (.) X X Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

24 .9 Aturan Leibnitz Aturan Leibnitz. Misalan f(x, t) merupaan suatu fungsi ontinu dan mempunyai turunan f / t yang ontinu pada domain dari bidang-xt yang di dalamnya termasu persegi a x b, t t t. Maa untu t t t, d dt b a bf f ( x, t) dx f ( x, t) dx a t. (.) Dengan ata lain, diferensiasi dan integrasi dapat dituar. Buti: b f Misalan g( t) ( x, t) dx, untu t t t. a t Karena f / t ontinu, maa g(t) ontinu untu t t t. Untu t t 3 t, diperoleh f g( t) dt ( x, t) dxdt t t3 t3 b t t a b a b a b a t3 t f ( x, t) dtdx t f ( x, t ) f ( x, t ) dx 3 f ( x, t ) dx f ( x, t ) dx 3 a 3 b F( t ) F( t ), (.) dengan F(t) didefinisian sebagai F( t) f ( x, t) dx. Jia dimisalan t 3 merupaan variabel t, berarti t t t dan diperoleh t b a t F( t) F( t ) g( u) du. (.3) Kedua sisi dari (.3) emudian dapat diturunan terhadap t. Dengan Teorema Dasar Kalulus, diperoleh ( ) F( t) d t d F t dt t g( u) du dt Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

25 d dt b f F ( t) g( t) ( x, t) dx (.4) a t b a bf f ( x, t) dx f ( x, t) dx a t. Jadi, terbuti bahwa jia f(x, t) merupaan suatu fungsi ontinu dan mempunyai turunan f / t yang ontinu pada domain dari bidang-xt yang di dalamnya termasu persegi a x b, t t t, maa untu t t t, d dt b a bf f ( x, t) dx f ( x, t) dx a t.. Kemencengan Misalan X adalah suatu variabel aca. E(X) = μ disebut momen pertama dan E(X ) momen edua dari distribusi dari variabel aca X. Secara umum, E(X ) disebut momen e- dari X dan E[(X μ) ] disebut momen tengah e- dari X. Momen tengah etiga yang distandardisasi yang dinyataan oleh 3 E X 3, (.5) 3 disebut emencengan dari distribusi dari variabel aca X. Kemencengan menguur etidasimetrisan dari suatu distribusi. Jia emencengan bernilai berarti distribusi tersebut simetris. Jia emencengan bernilai negatif, berarti distribusi probabilitas datanya menceng negatif, atau disebut juga menceng iri (mempunyai tail iri yang lebih panjang). Jia emencengan bernilai positif, berarti distribusi probabilitas datanya menceng positif, atau disebut juga menceng anan (mempunyai tail anan yang lebih panjang). Dalam asus distribusi yang tida simetris, derajat etidasimetrisan disebut emencengan. Formula untu emencengan ini adalah di mana 3 atau dapat juga N, (.6) 3 fi( xi x), (.7) i Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

26 3 dan 3 3 fi( xi x) N. (.8) i Definisi emencengan yang seringali digunaan adalah definisi menurut Karl Pearson, yaitu mean modus emencengan. (.9) standar deviasi. Distribusi Normal Perhatian integral y I exp dy. Integral ini ada arena integran (fungsi yang diintegralan) merupaan fungsi yang ontinu positif yang terbatas oleh suatu fungsi yang dapat diintegralan, yaitu dan y exp exp y, y, exp y dy e. Untu menghitung nilai integral I, ingat bahwa I > dan I dapat ditulis sebagai I y exp z dydz. Integral ini dapat dihitung dengan mengubahnya e oordinat polar. Jia y = rcos dan z = rsin, diperoleh r / I e rdrd d. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

27 4 Dari hasil tersebut, diperoleh y / e dy. I dan Jia diperenalan suatu variabel baru dari integrasi, sebut x, dengan menulis x a y, b, b Integral I / menjadi ( x a) b b exp dy. Karena b >, hal ini mengaibatan ( x a) f ( x) exp, x b b (.3) memenuhi ondisi-ondisi untu menjadi suatu f..p. dari variabel aca ontinu. Variabel aca bertipe ontinu yang mempunyai f..p. dengan bentu f(x) disebut mempunyai distribusi normal, dan sebarang f(x) dari bentu ini disebut f..p. normal. yaitu: F.p.m dari distribusi normal dapat diperoleh dengan menggunaan (.5), tx ( x a) M ( t) e exp dx b b (.3) tx b tx x ax a b b e exp dx. Pada M(t) di atas, dengan menggunaan uadrat sempurna diperoleh: a ( a b t) ( x a b t) M ( t) exp exp dx b b b bt expat (.3) arena integran dari bentu integral ( x a b t) b b exp dx merupaan f..p. normal dengan parameter a pada (.3) disubstitusian dengan a + b t, maa integral tersebut bernilai. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

28 5 Mean µ dan variansi ζ dari distribusi normal aan dicari melalui M(t) dengan menggunaan (.8), (.9), dan (.). dan bt M t at a b t M t a b t ( ) exp ( ) ( )( ) b t b t M ( t) exp at ( a b t) exp at b M( t)( a b t) M( t) b. Maa, mean distribusi normal adalah µ = M() = M().a = a, (.33) dan variansinya adalah ζ = M() - µ = M()b + M()a a = b + M()a a = b. (.34) Jadi, bentu f..p normal adalah ( x ) f ( x) exp, x, (.35) Suatu bentu yang menunjuan secara esplisit nilai-nilai dari µ dan ζ. f.p.m. M(t) dapat ditulis sebagai t M ( t) exp t. (.36) Untu penghitungan probabilitas Pr(X x), digunaan standardisasi e distribusi normal standar N(, ), yaitu dengan mendefinisian X Z, (.37) sehingga Pr X x X x Pr x Pr Z. (.38) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

29 6 Nilai-nilai probabilitas Pr(Z z) dengan Lampiran 3. z x diberian pada bagian. Fungsi T-Owen Fungsi T-Owen memilii bentu exp h x T( h, ) x Sifat-sifat dari fungsi T-Owen adalah:. T(h, α) merupaan fungsi turun dari h. Buti: dx, h >, α < +. (.39) Ambil sebarang h, h di mana h < h. Karena h < h maa, h h dan h h.. Karena + x >, maa diperoleh h x h x, diperoleh Karena h x h x exp h x exp h x dan exp exp h x h x. Karena + x >, maa exp exp h x h x. x x Sesuai dengan sifat fungsi yang dapat diintegralan, diperoleh exp h x exp h x dx dx x, atau x Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

30 7 exp h x exp h x dx dx x x. Berarti diperoleh T(h, α) > T(h, α). Jadi, diperoleh bahwa T(h, α) > T(h, α) untu sebarang h < h, atau berarti terbuti bahwa T(h, α) merupaan fungsi turun dari h.. T(h, α) = T(h, α). (.4) Buti: T( h, ) exp h x x Jia α disubstitusi dengan α, diperoleh exp h x T( h, ) x Misalan: x = p; Jadi, diperoleh T( h, ) T( h, ) dx. dx = dp. exp h x x exp h p p exp h p p Th (, ). dx, h >, α < +. Jadi, terbuti bahwa T(h, α) = T(h, α). dx ( dp) dp Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

31 8 3. T( h, α) = T(h, α). (.4) Buti: Fungsi T-Owen adalah T( h, ) exp h x x Jia h disubstitusi dengan h, diperoleh exp h x T( h, ) dx x Th (, ) Jadi, terbuti bahwa T( h, α) = T(h, α). dx, h >, α < T(h, ) = Φ(h)Φ( h). (.4) Buti: exp h x T( h, ) dx, h, x. Dari [Owen, 956], diperoleh persamaan T( h, ) ( h) ( h) ( h) ( h) T h,. Jadi, untu α =, T( h,) ( h) ( h) ( h) ( h) T( h,) T(h,) = (h) (h)(h) T(h,) = (h)[ (h)] T(h,) = (h)( h). Jadi, terbuti bahwa T(h,) = (h)( h). Nilai-nilai dari fungsi T-Owen disajian pada bagian Lampiran 4. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

32 9.3 Distribusi Folded-Normal Misalan X adalah variabel aca yang berdistribusi normal N(μ, ζ ). Perhatian f..p dari X, yaitu f ( x) e, x ( x) / (.43) di mana μ dan ζ adalah mean dan variansinya secara berurutan. Misalan Y = X. A = {x < x < }. B = {y y < }. y = x buan merupaan transformasi satu-satu. Ambil A dan A di mana A, A A, A A = A, dan A A =. A = {x < x < }. A = {x x < }. Pemetaannya dengan transformasi y = x adalah: A = {x < x < } {y < y < }. A = {x x < } {y y < }. Hasil pemetaan yang diperoleh berbeda, leta perbedaannya yaitu pada y =. Maa dari itu, ruang nilai aan didefinisian embali untu mengatasi permasalahan ini. Didefinisian embali untu x =, y =. Jadi, ruang nilai-ruang nilai yang baru adalah: A = {x < x <, x }. B = {y < y < }. Inversnya adalah: x = y ; x = y, dx = dy ; dx = dy. Jacobian-nya: J = ; J =, J = ; J =. Misalan B B. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

33 A 3 = {x x = y, y B} A. A 4 = {x x = y, y B} A. Pr( Y B) Pr( X A ) Pr( X A ) A3 A4 3 4 f ( x) dx f ( x) dx f ( y) J dy f ( y) J dy B B f ( y) dy f ( y) dy B f ( y) dy f ( y) dy B B B ( y) ( y) B B ( y) ( y) e dy e dy B B ( y) ( y) e e dy B ( ) ( ) y y e e dy B ( ) ( ) y y e e dy. B e dy e dy Jadi, f..p dari variabel aca Y adalah ( y) ( y) g( y) exp exp, y, lainnya. (.44) Variabel aca yang mempunyai f..p tersebut dinamaan dengan variabel aca yang berdistribusi folded-normal. Distribusi half-normal adalah bentu husus dari distribusi folded-normal, yaitu etia μ =. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

34 y y g( y) exp exp y exp y exp. Jadi, variabel aca yang berdistribusi half-normal mempunyai f..p y g( y) exp, y, lainnya. (.45) Fungsi distribusi dari variabel aca Y adalah y y G( y) exp dy y y exp dy, (.46) dan f.p.m dari variabel aca Y dapat dicari sesuai (.5), yaitu M () t E e Y ty y exp( ty) exp dy y exp( ty)exp dy y expty dy y ty exp dy 4 4 y ty t t exp 4 4 dy y ty t t exp dy Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

35 y ty t t MY ( t) exp exp dy t y ty t exp exp dy 4 t y ty t exp exp dy y t t exp exp dy. (.47) Kemudian dengan menggunaan metode substitusi: Misalan: y = p + tζ ; dy = dp. Batas integrasinya: Jia y =, maa p = tζ ; jia y =, maa p =. Jadi, diperoleh: y t t MY ( t) exp exp dy t p exp dp. (.48) exp t Misalan: p = s; dp = ds. Batas integrasinya: Jia p = tζ, maa s = tζ ; jia p =, maa s =. Jadi, diperoleh t p MY ( t) exp exp dp t t s exp exp ( ds) t Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

36 3 t t s MY ( t) exp exp ds t t s exp exp ds. Jadi, f.p.m dari variabel aca Y yang berdistribusi half-normal adalah t t s MY ( t) exp exp ds. (.49) Mean dan variansinya dapat dicari dengan mencari turunan pertama dan edua dari f.p.m dari variabel aca Y terlebih dahulu. t t s MY ( t) exp t exp ds 4 t t exp exp t t s t exp exp ds t t exp exp t t s t exp exp ds. (.5) t t s MY ( t) exp exp ds t t s t t ds exp exp 4 t t t exp exp t t s MY ( t) exp exp ds t t s ds 4 t exp exp Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

37 4 3 t t t exp exp t t s exp exp ds t t s t. (.5) 3 4 t exp exp ds Kemudian mencari momen pertama dan edua, serta variansinya dengan menggunaan persamaan (.8), (.9), dan (.). E( Y) M Y (). (.5) E Y M () Y. (.53) Dengan menggunaan persamaan (.4), diperoleh Var( Y) E Y E( Y) 4. (.54) Jadi, mean dan variansi dari variabel aca Y adalah EY ( ), Var( Y). Beriut ini diberian gambar grafi dari distribusi half-normal, yaitu Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

38 5 Gambar. Grafi Distribusi Half-Normal.4 Bentu Khusus dari Distribusi Half-Normal Misalan variabel aca Y berdistribusi half-normal dengan parameter ζ. Sesuai dengan (.45), f..p dari Y adalah y g( y) exp, y, lainnya. Untu ζ =, maa g( y) y exp, y, lainnya. (.55) Aan ditunjuan bahwa jia Z ~ N(, ), maa Z dan Y pada saat ζ = berdistribusi identi. Misalan Z ~ N(, ), dan f..p dari variabel aca Z adalah z h( z) e, z. Misalan W = Z. A = {z < z < }. Dengan transformasi w = z diperoleh B = {w w < }. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

39 6 Karena A = {z < z < }dan B = {w w < }, maa, w = z buan transformasi satu-satu. Ambil A dan A di mana A, A A, A A = A, dan A A =. A = {z < z < }. A = {z z < }. Pemetaannya dengan transformasi w = z adalah: A = {z < z < } {w < w < }. A = {z z < } {w w < }. Hasil pemetaan yang diperoleh berbeda, leta perbedaannya yaitu pada w =. Maa dari itu, ruang nilai aan didefinisian embali untu mengatasi permasalahan ini. Didefinisian embali untu z =, w =. Jadi, ruang nilai-ruang nilai yang baru adalah: A = {z < z <, z }. B = {w < w < }. Inversnya adalah: z = w ; z = w, dz = dw ; dz = dw, Jacobian-nya: J = ; J =, J = ; J =. Misalan B B. A 3 = {z z = w, w B} A. A 4 = {z z = w, w B} A. Kemudian diperoleh Pr( W B) Pr( Z A ) Pr( Z A ) A3 A4 3 4 h( z) dz h( z) dz h( w) J dw h( w) J dw B B Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

40 7 Pr( W B) e J dw e J dw B w w B w w e dw e dw B B B w w e dw e dw B B w w e e dw w e dw. B Jadi, f..p dari variabel aca W adalah w ( w) e, w, lainnya. Karena f..p W = Z dan f..p Y sama, maa distribusi Y dan W = Z identi. Jadi,dapat diataan bahwa Z berdistribusi half-normal dengan ζ =. f.p.m dari variabel aca Y dapat dicari dengan menggunaan (.49), yaitu t t s MY ( t) exp exp ds Untu ζ =, maa. t (.56) t s MY ( t) exp exp ds. (.57) t exp ( t). (.58) Dengan menggunaan persamaan (.5) dan (.54), diperoleh mean dan variansi dari variabel aca Y untu ζ =, yaitu EY ( ), (.59) Var( Y). (.6) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

41 8.5 Distribusi Gamma dan Distribusi Chi-Square Perhatian bentu integral y y e dy. Integral tersebut ada untu α >, dan nilai integral tersebut positif. Integral tersebut disebut fungsi gamma dari α, dan ditulis y y e dy ( ). Jia α =, jelas bahwa y () e dy. Jia α >, dengan menggunaan integral parsial diperoleh bahwa ( ) ( ) y e y dy ( ) ( ). Jia α adalah bilangan bulat positif yang lebih dari, maa Γ(α) = (α )( α )...(3)()Γ() = (α )! Karena Γ() =, hal ini berarti! =. Misalan: x y, di mana β >. dy dx. Batas integrasinya: Jadi, diperoleh Jia y =, maa x = ; jia x =, maa y =. x x/ ( ) e dx x dx x/ e x x/ e dx x e x/ dx Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

42 9 x/ ( ) x e dx, atau, eivalen dengan x/ x e dx ( ) x ( ) ( ) e x/ dx x/ x e dx. Karena α >, β >, dan Γ(x) >, diperoleh bahwa ( ) x/ f ( x) x e, x, lainnya (.6) adalah f..p dari variabel aca yang bertipe ontinu. Suatu variabel aca X yang mempunyai f..p dengan bentu demiian disebut mempunyai distribusi gamma dengan parameter α dan β, atau dinyataan dengan X ~ Γ(α, β); dan sebarang f(x) yang demiian disebut dengan f..p gamma. Kemudian aan dicari f.p.m dari distribusi gamma dengan menggunaan (.5), yaitu: ( ) tx x/ M () t e x e dx tx x/ x e e dx ( ) txx/ x e dx ( ) x( t)/ x e dx ( ) x( t)/ x e dx. ( ) Misalan: p = x( βt)/β, t < /β, x = βp/( βt); Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

43 3 dx dp. t Batas integrasinya: Jia x =, maa p = ; jia x =, maa p =. Jadi, diperoleh p p M () t e dp ( ) t t p e ( ) p t p p e dp t dp ( ) t t p ( ) t e p dp t ( ) p p e dp t. t M ( t), t. (.6) t M ( t) ( ) t t ( ) M ( t) ( ) t. (.63) ( ). (.64) t E( X ) M (). (.65) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

44 3 E X M () ( ). (.66) Var( X ) E X E( X ) ( ) ( ). (.67) Jadi, mean dan variansi dari variabel aca X yang berdistribusi gamma adalah E(X) = M() = αβ, Var(X) = αβ. Beriut diberian asus husus dari distribusi gamma, yaitu distribusi chi-square. Misalan X ~ Γ(α, β). Misalan α = r/, di mana r adalah bilangan bulat positif dan β =. Berarti f..p dari variabel aca X adalah: r x/ f ( x) r x e, x r, lainnya, (.68) dan f.p.m-nya adalah M ( t), t. (.69) r t Variabel aca X yang mempunyai f..p demiian diataan berdistribusi chisquare. Mean dan variansinya adalah: μ = αβ = (r/)() = r, (.7) ζ = αβ = (r/)( ) = r, (.7) di mana r merupaan parameter dari distribusi chi-square, dan disebut derajat bebas. Jia X berdistribusi chi-square dengan derajat bebas r, maa ditulis X r. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

45 3.6 Distribusi Bivariat Pada bagian ini aan dijelasan beberapa bagian, yaitu mengenai distribusi-distribusi dari dua variabel aca, distribusi dan espetasi bersyarat, oefisien orelasi..6. Fungsi Kepadatan Probabilitas Definisi.3 Diberian suatu percobaan aca dengan ruang sampel C. Perhatian dua variabel aca X dan X, yang memetaan setiap elemen c dari C e satu dan hanya satu pasangan terurut dari bilangan-bilangan X (c) = x, X (c) = x. Ruang dari X dan X merupaan himpunan dari pasangan-pasangan terurut A = {(x, x ) x = X (c), x = X (c), c C}. Misalan A merupaan ruang yang dihubungan dengan dua variabel aca X dan X, dan misalan A adalah subhimpunan dari A. Probabilitas dari ejadian A dinyataan dengan Pr[(X, X ) A]. Ambil C = {c c C dan [X (c), X (c] A}, di mana C adalah ruang sampel. Kemudian definisian Pr[(X, X ) A] = P(C), di mana P adalah fungsi himpunan probabilitas yang didefinisian untu subhimpunan-subhimpunan C dari C. Pr[(X, X ) A] dapat dinyataan dengan fungsi himpunan probabilitas P dienal, ditulis, ( A ), atau yang lebih X X P(A) = Pr[(X, X ) A]. (.7) Notasi dari f..p dari variabel aca X dapat diperluas untu notasi dari f..p dari variabel-variabel aca bivariat. Di bawah batasan-batasan tertentu pada ruang A dan fungsi pada A, dua variabel aca X dan Y disebut berdistribusi probabilitas tipe disret atau ontinu, dan mempunyai distribusi sesuai tipenya, berdasaran fungsi himpunan probabilitas P(A), A A, dapat dinyataan sebagai Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

46 33 atau sebagai P( A) Pr[( X, Y) A] f ( x, y), (.73) A P( A) Pr[( X, Y) A] f ( x, y) dxdy. (.74) A Dalam edua asus, f disebut f..p dari variabel-variabel aca X dan Y. Untu setiap asus, diwajiban P(A) =. Definisi dari suatu f..p f(x, y) dapat diperluas pada eseluruhan bidang-xy dengan menggunaan nol untu yang lainnya. Setelah ini dilauan, gantian f ( x, y) dxdy A dengan f ( x, y) dxdy untu asus ontinu, dan untu asus disret adalah f ( x, y) A, (.75) dengan f ( x, y). (.76) Fungsi f, bai untu satu atau dua variabel, pada dasarnya memenuhi ondisi-ondisi untu menjadi suatu f..p jia (a) f didefinisian dan bernilai nonnegatif untu semua bilangan riil, dan (b) jia integralnya (untu asus ontinu), atau jumlahannya (untu asus disret) pada seluruh bilangan riil bernilai. y x.6. Fungsi Distribusi Misalan variabel-variabel aca X dan Y mempunyai fungsi himpunan probabilitas P(A), di mana A adalah himpunan dua dimensi. Jia A adalah himpunan {(u, v) u x, v y} yang tida terbatas, di mana x dan y adalah bilangan-bilangan riil, maa P(A) = Pr[(X, Y) A] = Pr(X x, Y y). (.77) Fungsi pada titi (x, y) ini disebut fungsi distribusi dari variabel aca X dan Y, dan dinyataan oleh F(x, y) = Pr(X x, Y y). (.78) Jia X dan Y adalah variabel-variabel aca yang berdistribusi probabilitas ontinu yang mempunyai f..p f(x, y), maa Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

47 34 y x F( x, y) f ( u, v) dudv, (.79) Sehingga, pada titi-titi ontinuitas dari f(x, y), F( x, y) xy Dalam setiap asus, f ( x, y). (.8) Pr(a < X b, c < Y d) = F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c), (.8) untu setiap onstanta riil a < b, c < d..6.3 Fungsi Kepadatan Probabilitas Marjinal Misalan f(x, x ) adalah f..p dari variabel-variabel aca X dan X. Untu selanjutnya, dalam ranga peneanan dan penjelasan, f..p atau fungsi distribusi dari variabel aca yang lebih dari satu aan disebut f..p bersama atau fungsi distribusi bersama. Jadi, f(x, x ) adalah f..p bersama dari variabel-variabel aca X dan X. Perhatian ejadian a < X < b, a < b. Kejadian ini dapat terjadi jia dan hanya jia ejadian a < X < b, < X < terjadi; yaitu, edua ejadian eivalen, sehingga probabilitasnya sama. Namun, probabilitas dari a < X < b, < X < telah didefinisian oleh Pr( a X b, X ) f ( x, x ) dx dx (.8) untu asus ontinu, dan a ax b x b Pr( a X b, X ) f ( x, x ) (.83) untu asus disret. Masing-masing dari f ( x, x ) dx dan f ( x, x) (.84) x adalah fungsi dari x saja, sebut f (x ). Jadi, untu setiap a < b, diperoleh b Pr( a X b) f ( x ) dx, untu asus ontinu, (.85) a Pr( a X b) f ( x ), untu asus disret, (.86) ax b Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

48 35 sehingga f (x ) adalah f..p dari X saja. Fungsi f (x ) ini disebut dengan f..p marjinal dari X. Serupa untu X, f ( x ) f ( x, x ) dx, untu asus ontinu, (.87) f ( x ) f ( x, x ), untu asus disret, (.88) x adalah f..p marjinal dari X..6.4 Mean Misalan X dan X adalah variabel-variabel aca dengan f..p f(x, x ), untu (x, x ) A, dengan A adalah ruang nilai dua dimensi. Espetasi matematia dari X, dan dari X adalah E( X ) x f ( x ) dx x f ( x, x ) dx dx x f ( x, x ) dx dx. (.89) E( X ) x f ( x ) dx x f ( x, x ) dx dx x f ( x, x ) dx dx. (.9) E(X ) dan E(X ) dapat dinyataan dengan E(X ) = μ dan E(X ) = μ. Misalan terdapat suatu fungsi u(x, X ). Espetasi matematia dari fungsi u(x, X ) dinyataan oleh. (.9) E u( X, X ) u( x, x ) f ( x, x ) dx dx Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

49 Variansi dan Kovariansi Misalan X dan X adalah variabel-variabel aca dengan f..p f(x, x ), untu (x, x ) A. Variansi dari X dan X, sesuai dengan persamaan (.4) adalah Var X E X E X X E X f ( x, x ) dx dx X f ( x, x) dxdx. (.9) Var X E X E X X E X f ( x, x ) dx dx X f ( x, x) dxdx, (.93) dan ovariansi dari variabel-variabel aca X dan X adalah X X E X E X X E X Cov, E X X X E X E X X E X E X E X X X X E X X E X E X E E X X E X E X E X X E X X. (.94).6.6 Koefisien Korelasi Misalan terdapat dua variabel aca X dan X dengan f..p f(x, x ), untu (x, x ) A. Misalan mean dari X dinyataan dengan μ = E(X ) dan mean dari X dinyataan dengan μ = E(X ). Variansi dari X dan X, masing-masing Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

50 37 dinyataan dengan Var X dan Var X dan X adalah X Var X. Koefisien orelasi dari X E X X Cov X, X. (.95) Var.6.7 Variabel-variabel Aca yang Saling Bebas Misalan terdapat dua variabel aca X dan X. Sehubungan dengan ovariansi dan oefisien orelasi, jia X dan X saling bebas, maa nilai Cov(X, X ) = sehingga ρ =, tetapi tida berlau sebalinya, yaitu jia Cov(X, X ) = atau berarti ρ =, belum tentu X dan X saling bebas. Definisi.4. Misalan variabel-variabel aca X dan X mempunyai f..p bersama f(x, x ), f..p marjinal f (x ) dan f (x ). Variabel aca X dan variabel aca X diataan saling bebas (independen) jia dan hanya jia f(x, x ) f (x )f (x ). Variabelvariabel aca yang tida independen disebut saling bergantung. Catatan terhadap Definisi.4:. Peralian fungsi nonnegatif f (x ), f (x ) harus nonnegatif pada suatu product space, yaitu jia f (x ) dan f (x ) positif pada ruang A dan A, maa f(x, x ) positif di product space A = {(x, x ) x A, x A }.. Mungin ada titi-titi tertentu (x, x ) A di mana f(x, x ) f (x )f (x ). Jia hal ini terjadi, maa caranya adalah: jia A = {(x, x ) f(x, x ) f (x )f (x )}, maa P(A) =. Teorema.. Misalan variabel-variabel aca X dan X mempunyai f..p bersama f(x, x ). Maa X dan X saling bebas jia dan hanya jia f(x, x ) dapat ditulis sebagai Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

51 38 peralian dari suatu fungsi nonnegatif dari x saja dan suatu fungsi nonnegatif dari x saja; yaitu, f(x, x ) g(x )h(x ), (.96) di mana g(x ) >, x A, nol untu lainnya, dan h(x ) >, x A, nol untu lainnya. Teorema.. Jia X dan X merupaan variabel-variabel aca yang saling bebas dengan f..p marjinal f (x ) dan f (x ), secara berurutan, maa Pr(a < X < b, c < X < d) = Pr(a < X < b)pr(c < X < d) (.97) untu setiap a < b dan c < d, di mana a, b, c, dan d adalah onstanta. Teorema.3. Misalan variabel-variabel aca X dan X yang saling bebas mempunyai f..p marjinal f (x ) dan f (x ), secara berurutan. Nilai espetasi dari peralian dari suatu fungsi u(x ) dari X saja dan suatu fungsi v(x ) dari X saja adalah, tergantung ada atau tida, sama dengan peralian dari nilai harapan dari u(x ) dan nilai harapan dari v(x ); yaitu, E[u(X )v(x )] = E[u(X )]E[v(X )]. (.98) Teorema.4. Misalan X dan X menyataan variabel-variabel aca yang mempunyai f..p f(x, x ) dan f..p marjinal f (x ) dan f (x ), secara berurutan. Lebih jauh lagi, misalan M(t, t ) menyataan f.p.m dari distribusi. Maa X dan X saling bebas jia dan hanya jia M(t, t ) = M(t, )M(, t ). (.99) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

52 39.7 Hubungan Independensi Variabel Aca Normal Standar dan Half-Normal Misalan Z dan Z adalah variabel-variabel aca N(,) yang saling bebas. Sesuai dengan bagian.4, Z adalah variabel aca yang berdistribusi half-normal. Aan ditunjuan bahwa jia Z, Z adalah variabel-variabel aca N(, ) yang saling bebas, maa Z dan Z saling bebas. Misalan Z, Z adalah variabel-variabel aca N(, ) yang saling bebas, dengan f..p Maa, z i f ( zi) e, zi, untu i =,. (.) g( z, z ) f ( z ) f ( z ) z z e e e z z z z e. Jadi, f..p bersama dari Z dan Z adalah z z g( z, z ) e, z, z. (.) Misalan W = Z dan W = Z. A = {(z, z ) < z <, < z < }. Dengan transformasi w = z diperoleh B = {(w, w ) w <, < w < }. Karena A = {(z, z ) < z <, < z < } dan B = {(w, w ) w <, < w < }, maa, w = z buan transformasi satu-satu. Ambil A dan A di mana A, A A, A A = A, dan A A =. A = {(z, z ) < z <, < z < }. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

53 4 A = {(z, z ) z <, < z < }. Pemetaannya dengan transformasi y = x adalah: A = {(z, z ) < z <, < z < } {(w, w ) < w <, < w < }. A = {(z, z ) z <, < z < } {(w, w ) w <, < w < }. Hasil pemetaan yang diperoleh berbeda, leta perbedaannya yaitu pada w =. Maa dari itu, ruang nilai aan didefinisian embali untu mengatasi permasalahan ini. Didefinisian embali untu z =, w =. Jadi, ruang nilai-ruang nilai yang baru adalah: A = {(z, z ) < z <, < z <, z }. B = {(w, w ) < w <, < w < }. Inversnya adalah: z = w ; z = w, z = w ; z = w, z w z w z w z w z w ; z w ; ; z w z w ;,,,, J z z w w z z w w ; J z z w w, z z w w Misalan B B. J = ; J =. A 3 = {(z, z ) z = w, z = w, (z, z ) B} A. A 4 = {(z, z ) z = w, z = w, (z, z ) B} A. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

54 4 Kemudian diperoleh Pr(Y B) = Pr(X A 3 ) + Pr(X A 4 ) g( z, z ) dz dz g( z, z ) dz dz A3 A4 g( w, w ) J dw dw g( w, w ) J dw dw B B g( w, w ) dw dw g( w, w ) dw dw B B g( w, w ) dw dw g( w, w ) dw dw B B B B w w w w B e dw dw e dw dw w w e dwdw. Jadi, f..p bersama dari variabel W dan W adalah w w h( w, w ) e, w, w, lainnya, dan f..p marjinal dari W adalah: (.) h( w ) h( w, w ) dw e w w dw e w w dw w w e w w dw e e dw w w e e dw (.3) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

55 4 w h( w ) e (.4) w e. Perhatian persamaan (.3) dan (.4). Karena integral e w dw bernilai, dan fungsi e w untu < w <, berarti fungsi tersebut merupaan f..p dari variabel aca W. Jadi, f..p marjinal untu variabel aca W adalah w h( w ) e, w, (.5), lainnya. dan f..p marjinal untu variabel aca W adalah w h( w ) e, w. (.6) Pembutian bahwa W = Z dan W = Z saling bebas menggunaan Definisi.4, yaitu: Definisi.4. Misalan variabel-variabel aca X dan X mempunyai f..p bersama f(x, x ), f..p marjinal f (x ) dan f (x ). Variabel aca X dan variabel aca X diataan saling bebas jia dan hanya jia f(x, x ) f (x )f (x ). w w h( w) h( w) e e e e w w w w h( w, w ). Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

56 43 Berdasaran Definisi.4, maa terbuti bahwa W = Z dan W = Z saling bebas..8 Sifat Ketertutupan Pada bagian ini dibahas sifat-sifat etertutupan dari variabel-variabel aca terait distribusi probabilitas dari variabel-variabel aca tersebut. Misalan X, X,..., X n adalah variabel-variabel aca yang berdistribusi probabilitas tertentu (dapat bertipe disret atau ontinu, dapat saling bebas atau tida), sebut distribusi A. Misalan terdapat suatu operator biner *. Distribusi A diataan mempunyai sifat tertutup terhadap operator *, jia X * X *... * X n merupaan variabel aca yang berdistribusi A. Contoh: misalan variabel-variabel aca X dan X saling bebas di mana X N, dan, X N. Hasil penjumlahan edua variabel aca tersebut yaitu X X N,. Misalan X, X,..., X n adalah variabel-variabel aca yang berdistribusi probabilitas tertentu (dapat bertipe disret atau ontinu, dapat saling bebas atau tida), sebut distribusi B. Jia distribusi bersama dari variabel-variabel aca X, X,..., X n adalah distribusi B, maa diataan distribusi B tertutup dalam perluasan e multivariat. Misalan X, X,..., X n memilii distribusi bersama tertentu, sebut distribusi C. Jia distribusi dari variabel aca X i, i =,,..., n adalah distribusi C, maa diataan distribusi C tertutup terhadap marjinalisasi..9 Parameter Location dan Scale Parameter location merupaan parameter yang menentuan loasi, atau pergeseran dari distribusi. Parameter scale adalah parameter yang menentuan sala, atau penyebaran dari data. Suatu elas dari distribusi disebut membentu famili parameter location dan scale jia distribusi dari setiap variabel aca X di dalam elas tersebut dapat ditulis sebagai Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

57 44 x Pr( X x) F, (.7) di mana θ disebut parameter location dan η disebut parameter scale; di sini F adalah suatu fungsi distribusi dari semua distribusi di dalam elas. Variabel aca X dapat distandardisasi dengan mendefinisian X Z. (.8) Maa parameter location dan scale dari Z, masing-masing adalah dan, dan fungsi distribusi dari Z adalah Pr(Z z) = F(z). Contoh paling sederhana dari famili parameter location dan scale adalah famili dari distribusi-distribusi normal. Jia X ~ N(μ, ζ ), maa fungsi distribusi dari X diberian oleh x x Pr( X x) Pr Z, (.9) di mana Φ(.) adalah fungsi distribusi normal standar. Distribusi ini memilii bentu (.7), di mana μ adalah parameter location dan ζ adalah parameter scale. Parameter location dan scale ini aan digunaan di dalam perluasan distribusi sew-normal pada subbab Matris dan Sifat-sifat Matris.. Notasi Matris dan Terminologi Definisi.5. Matris adalah suatu susunan bilangan berbentu persegi. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut anggota dari matris tersebut. Setiap matris memilii uuran, yang dinyataan dengan banyanya baris dan olom. Matris beruuran m n merupaan matris dengan m baris dan n olom. Misalan matris A dengan anggota-anggotanya adalah (a ij ). Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

58 45 a a a a a a a a a n n A. m m mn Matris A dapat juga dinyataan dengan bentu a a a a a a a a a n n A. m m mn Matris dengan hanya satu olom disebut matris olom, atau vetor olom. Matris dengan hanya satu baris disebut matris baris, atau vetor baris. Matris dengan n baris dan n olom disebut dengan matris persegi orde-n... Operasi-operasi Matris Definisi.6. Dua matris didefinisian sama jia edua matris tersebut memilii uuran yang sama dan anggota-anggotanya yang bersesuaian yang sama. Definisi.7. Jia A dan B adalah matris-matris yang beruuran sama, maa penjumlahan A + B adalah matris yang diperoleh dengan anggota-anggotanya merupaan penambahan dari anggota-anggota di B e anggota-anggota di A yang bersesuaian, dan selisih A B adalah matris yang diperoleh dengan mengurangi anggota-anggota dari B dari anggota-anggota dari A yang bersesuaian. Matrismatris yang berbeda uuran tida dapat ditambah atau diurang. Definisi.8. Jia A adalah sebarang matris dan c adalah sebarang salar, maa peralian ca adalah matris yang diperoleh dengan mengalian setiap anggota dari A dengan salar c. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

59 46 Definisi.9. Jia A adalah matris beruuran m r dan B adalah matris beruuran r n, maa peralian AB adalah matris beruuran m n di mana anggota-anggotanya ditentuan dengan cara beriut. Untu mencari anggota di baris e-i dan olom e-j dari AB, alian baris e-i dari A dengan olom e-j dari B...3 Transpos dari Matris Definisi. Jia A adalah sebarang matris beruuran m n, a a a a a a a a a n n A. (.) m m mn Maa transpos dari A adalah a a a a a a a a a m m A. (.) n n mn Teorema.5. Jia uuran-uuran dari matris adalah sedemiian sehingga operasi-operasi yang diindiasian dapat dilauan, maa (a) (A) = A. (.) (b) (A + B) = A + B dan (A B) = A B. (.3) (c) (A) = A, di mana adalah sebarang salar. (.4) (d) (AB) = BA. (.5) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

60 47..4 Sifat-sifat dari Operasi-operasi Matris Teorema.6. Anggap bahwa uuran-uuran dari matris adalah sedemiian sehingga operasioperasi yang diindiasian dapat dilauan, aturan-aturan dari matris aritmati beriut valid. (a) A + B = B + A. (.6) (b) A + (B + C) = (A + B) + C. (.7) (c) A(BC) = (AB)C. (.8) (d) A(B + C) = AB + AC. (.9) (e) (B + C)A = BA + CA. (.) (f) A(B C) = AB AC. (.) (g) (B C)A = BA CA. (.) (h) a(b + C) = ab + ac. (.3) (i) a(b C) = ab ac. (.4) (j) (a + b)c = ac + bc. (.5) () (a b)c = ac bc. (.6) (l) a(bc) = (ab)c. (.7) (m) a(bc) = (ab)c = B(aC). (.8)..5 Matris-matris Nol Definisi.. Suatu matris, yang semua anggota-anggotanya adalah nol, disebut matris nol. Matris nol dinyataan dengan. Teorema.7. Anggap bahwa uuran-uuran dari matris adalah sedemiian sehingga operasioperasi yang diindiasian dapat dilauan. Aturan-aturan dari matris aritmatia beriut valid. (a) A + = + A = A. (.9) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

61 48 (b) A A =. (.3) (c) A = A. (.3) (d) A = ; A =. (.3)..6 Matris-matris Identitas Definisi.. Suatu matris, dengan semua diagonal utama bernilai satu dan anggota-anggota nondiagonal bernilai nol, disebut matris identitas dan dinyataan dengan I. Jia penting untu meneanan uuran dari matris ini, ditulis I n untu matris identitas beruuran n n...7 Invers dari Matris Definisi.3. Jia A adalah matris persegi, dan jia matris B dengan uuran yang sama dengan A dapat ditemuan sedemiian sehingga AB = BA = I, maa A disebut mempunyai invers dan B disebut invers dari A. Invers dari matris A dapat dinyataan dengan A. Teorema.8. Jia B dan C merupaan invers-invers dari matris A, maa B = C. Teorema.9. Matris a b A c d mempunyai invers jia ad bc, dengan invers dari A adalah Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

62 49 d b d b ad bc ad bc A. (.33) ad bc c a c a ad bc ad bc Teorema.. Jia A dan B adalah matris-matris yang mempunyai invers dengan uuran yang sama, maa: (a) AB mempunyai invers. (b) (AB) = B A. (.34) Teorema.. Jia A adalah matris yang mempunyai invers, maa A juga mempunyai invers dan (A) = (A ). (.35)..8 Matris-matris Diagonal, Segitiga, dan Simetris Definisi.4. Suatu matris persegi di mana semua anggota-anggota nondiagonalnya bernilai nol disebut matris diagonal. Matris diagonal D beruuran n n secara umum dapat ditulis sebagai d d dn D. (.36) Teorema.. Suatu matris diagonal mempunyai invers jia dan hanya jia semua anggota diagonalnya bernilai tida nol. Dalam hal ini, inversnya adalah Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

63 5 dan / d / d / dn D, (.37) DD = D D = I. (.38) Teorema.3. Jia D adalah matris diagonal dan adalah bilangan bulat positif, maa d d D. (.39) d n Definisi.5. Matris persegi di mana semua anggota di atas diagonal utamanya bernilai nol disebut segitiga bawah, dan matris persegi di mana semua anggota di bawah diagonal utamanya bernilai nol disebut segitiga atas. Matris segitiga atas atau segitiga bawah disebut matris segitiga. Teorema.4. (a) Transpos dari matris segitiga bawah adalah matris segitiga atas, dan transpos dari matris segitiga atas adalah matris segitiga bawah. (b) Peralian dari matris-matris segitiga bawah adalah matris segitiga bawah, dan peralian dari matris-matris segitiga atas adalah matris segitiga atas. (c) Matris segitiga mempunyai invers jia dan hanya jia semua anggotaanggota diagonalnya ta-nol. (d) Invers dari matris segitiga bawah yang mempunyai invers adalah matris segitiga bawah, dan invers dari matris segitiga atas yang mempunyai invers adalah matris segitiga atas. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

64 5 Definisi.6. Matris persegi A disebut simetris jia A = A. (.4) Teorema.5. Jia A dan B adalah matris-matris simetris dengan uuran yang sama, dan jia adalah sebarang salar, maa (a) A simetris. (b) A + B dan A B simetris. (c) A simetris. Teorema.6. Jia A adalah matris yang mempunyai invers, maa AA dan AA juga mempunyai invers. Catatan terhadap Teorema.6. Hasil ali matris berbentu AA dan AA muncul dalam berbagai penerapan. Jia A adalah suatu matris m n, maa A adalah suatu matris n m, sehingga hasil ali AA dan AA eduanya adalah matris-matris persegi; matris AA mempunyai uuran m m dan matris AA mempunyai uuran n n. Hasil ali ini selalu simetris arena (AA) = (A)A = AA dan (AA) = A(A) = AA. (.4)..9 Matris Definit Positif Definisi.7. Suatu bentu uadrati xax disebut definit positif jia xax > untu setiap x, dan suatu matris simetris A disebut matris definit positif jia xax merupaan bentu uadrati yang definit positif. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

65 5 Teorema.7. Suatu matris simetris A merupaan matris yang definit positif jia dan hanya jia semua nilai eigen dari A bernilai positif... Pangat dari Matris Definisi.8. Jia A adalah matris persegi, maa pangat bilangan bulat nonnegatif dari A didefinisian oleh A = I, (.4) n A AA A (n > ). (.43) sebanya n Jia A mempunyai invers, maa pangat bilangan bulat negatif dari A didefinisian oleh n n A A A A A (.44) sebanya n Teorema.8. Jia A adalah matris persegi dan r dan s adalah bilangan-bilangan bulat, maa A r A s = A r + s, (A r ) s = A rs. (.45) Teorema.9. Jia A adalah matris yang mempunyai invers, maa (a) A mempunyai invers dan (A ) = A. (.46) (b) A n mempunyai invers dan (A n ) = (A ) n untu n =,,,... (.47) (c) Untu sebarang salar ta-nol, matris A mempunyai invers dan ( ) A A. (.48) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

66 53.. Fungsi Determinan dan Sifat-sifatnya Definisi.9. Anggap A adalah suatu matris persegi. Fungsi determinan dinyataan dengan det, dan didefinisian det(a) sebagai jumlah semua hasil ali dasar bertanda dari A. Anga det(a) disebut determinan A. det(a) dapat dinyataan juga dalam bentu A. Teorema.. Anggap A adalah suatu matris persegi. (a) Jia A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah olom nol, maa det(a) =. (b) det(a) = det(a). (.5) Teorema.. Jia A adalah suatu matris segitiga n n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maa det(a) adalah hasil ali anggota-anggota pada diagonal utamanya; yaitu det(a) = a a... a mn. (.5) Teorema.. Suatu matris persegi A mempunyai invers jia dan hanya jia det(a). Teorema.3. Jia A dan B adalah matris-matris persegi beruuran sama, maa det(ab) = det(a)det(b). (.5) Teorema.4. Jia A mempunyai invers, maa det A det A. (.53) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

67 54.. Ruang Berdimensi-n Euclidean Definisi.. Jia n adalah suatu bilangan bulat positif, maa ganda-n berurut adalah sederet n bilangan riil (a, a,..., a n ). Himpunan semua ganda-n berurut disebut ruang berdimensi-n dan dinyataan dengan R n. Definisi.. Dua vetor u = (u, u,..., u n ) dan v = (v, v,..., v n ) dalam R n disebut sama jia u = v, u = v,..., u n = v n. (.54) Jumlah u + v didefinisian sebagai u + v = (u + v, u + v,..., u n + v n ), (.55) dan jia adalah sebarang salar, peralian salar u didefinisian sebagai (u, u,..., u n ). (.56) Teorema.5. Jia u = (u, u,..., u n ), v = (v, v,..., v n ), dan w = (w, w,..., w n ) adalah vetorvetor dalam R n dan serta l adalah salar, maa (a) u + v = v + u. (.57) (b) u + (v + w) = (u + v) + w. (.58) (c) u + = + u = u. (.59) (d) u + ( u) = ; yaitu, u u =. (.6) (e) (lu) = (l)u. (.6) (f) (u + v) = u + v. (.6) (g) ( + l)u = u + lu. (.63) (h) u = u. (.64) Definisi.. Jia u = (u, u,..., u n ) dan v = (v, v,..., v n ) adalah sebarang vetor dalam R n, maa hasil ali dalam Euclidean u v didefinisian sebagai u v = u v + u v u n v n. (.65) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

68 55 Teorema.6. Jia u, v, dan w adalah vetor-vetor dalam R n dan adalah sebarang salar, maa (a) u v = v u. (.66) (b) (u + v) w = u w + v w. (.67) (c) (u) v = (u v). (.68) (d) v v > jia v, dan v v =, jia dan hanya jia v =. (.69) Definisi.. Norma Euclidean (atau panjang Euclidean) dari suatu vetor u = (u, u,..., u n ) dalam R n didefinisian sebagai u u u u. (.7) n Definisi.3. Dua vetor u dan v dalam R n disebut ortogonal jia u v =. (.7)..3 Ruang-ruang Vetor Riil Definisi.4. Anggap V adalah sebarang himpunan ta-osong dari obje di mana dua operasi didefinisian, yaitu penjumlahan dan peralian dengan salar (bilangan). Penjumlahan adalah suatu aturan yang menghubungan setiap pasangan obje u dan v dalam V dengan suatu obje u + v, yang disebut sebagai jumlah u dan v; peralian salar adalah suatu aturan yang menghubungan setiap salar dan setiap obje u dalam V dengan obje u, yang disebut peralian salar dari u dengan. Jia asioma beriut ini dipenuhi oleh semua obje u, v, w dalam V dan semua salar dan l, maa ita sebut V sebagai ruang vetor dan ita sebut obje dalam V sebagai vetor. () Jia u dan v adalah obje-obje dalam V, maa u + v ada di dalam V. () u + v = v + u (3) u + (v + w) = (u + v) + w Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

69 56 (4) Ada suatu obje dalam V, yang disebut suatu vetor nol untu V, sedemiian sehingga + u = u + = u untu semua u dalam V. (5) Untu setiap u dalam V, ada suatu obje u dalam V, yang disebut negatif dari u, sedemiian sehingga u + ( u) = ( u) + u =. (6) Jia adalah sebarang salar dan u adalah sebarang obje dalam V, maa u ada di dalam V. (7) (u + v)= u + v (8) ( + l)u = u + lu (9) (lu) = (l)u. () u = u. Teorema.7. Anggap V adalah suatu ruang vetor, u suatu vetor dalam V, dan suatu salar; maa (a) u =. (.7) (b) =. (.73) (c) ( )u = u. (.74) (d) Jia u =, maa = atau u =. (.75)..4 Kebebasan Linier Definisi.5. Jia S = {v, v,..., v r } adalah suatu himpunan vetor ta-osong, maa persamaan vetor v + v r v r = (.76) mempunyai paling tida satu penyelesaian, yaitu =, =,... r =. (.77) Jia ini adalah satu-satunya penyelesaian, maa S disebut suatu himpunan yang bebas secara linier. Jia ada penyelesaian-penyelesaian lainnya, maa S disebut himpunan yang ta-bebas secara linier. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

70 57 Teorema.8. Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vetor, disebut (a) Ta-bebas secara linier jia dan hanya jia paling tida salah satu vetor dalam S dapat dinyataan sebagai suatu ombinasi linier dari vetor-vetor lainnya dalam S. (b) Bebas secara linier jia dan hanya jia tida ada vetor dalam S yang dapat dinyataan sebagai suatu ombinasi linier dari vetor-vetor lain dalam S...5 Hasil Kali Dalam Definisi.6. Suatu hasil ali dalam pada suatu ruang vetor riil V adalah suatu fungsi yang menghubungan suatu bilangan riil uv, dengan setiap pasangan vetor u dan v dalam V dengan cara sedemiian sehingga asioma-asioma beriut dipenuhi untu semua vetor u, v, dan w dalam V dan semua salar. () u, v v, u. (.78) () u v, w u, w v, w. (.79) (3) u, v v, u. (.8) (4) vv, dengan vv, jia dan hanya jia v =. (.8) Suatu ruang vetor riil dengan suatu hasil ali dalam disebut ruang hasil ali dalam riil. Definisi.7. Jia V adalah suatu ruang hasil ali dalam, maa norma suatu vetor u dalam V dinyataan dengan u dan didefinisian sebagai / u u, u. (.8) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

71 58 Teorema.9. Jia u dan v adalah vetor-vetor dalam suatu ruang hasil ali dalam V, dan jia adalah sebarang salar, maa (a) u. (.83) (b) u = jia dan hanya jia u =. (.84) (c) u = u. (.85) (d) u + v u + v. (.86)..6 Keortogonalan Definisi.8. Dua vetor u dan v dalam suatu ruang hasil ali dalam disebut ortogonal jia uv,. (.87) Definisi.9. Suatu himpunan vetor dalam suatu ruang hasil ali dalam disebut suatu himpunan ortogonal jia semua pasangan vetor-vetor yang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal. Suatu himpunan ortogonal di mana setiap vetor mempunyai normal bernilai satu disebut ortonormal. Definisi.3. Suatu matris persegi A dengan sifat A = A (.88) disebut suatu matris ortogonal. Teorema.3. (a) Invers dari suatu matris ortogonal adalah ortogonal. (b) Hasil ali matris-matris ortogonal adalah ortogonal. (c) Jia A ortogonal, maa det(a) = atau det(a) =. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

72 59..7 Nilai Eigen dan Vetor Eigen Definisi.3. Jia A adalah suatu matris n n, maa vetor ta-nol x pada R n disebut suatu vetor eigen dari A jia Ax adalah suatu penggandaan salar dari x; yaitu, Ax = λx untu suatu salar λ. Salar λ disebut nilai eigen dari A, dan x disebut suatu vetor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ. Teorema.3. Jiia A adalah suatu matris segitiga n n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maa nilai eigen dari A adalah anggota-anggota diagonal utama A. Teorema.3. Jia A adalah suatu matris n n dan λ adalah suatu bilangan riil, maa pernyataan-pernyataan beriut eivalen. (a) λ adalah suatu nilai eigen dari A. (b) Sistem persamaan (λi A)x = mempunyai penyelesaian ta-trivial. (c) Ada suatu vetor ta-nol x pada R n sedemiian sehingga Ax = λx. (d) λ merupaan suatu penyelesaian dari persamaan arateristi (λi A) =. Teorema.33. Suatu matris persegi A mempunyai invers jia dan hanya jia λ = buanlah suatu nilai eigen dari A...8 Diagonalisasi Definisi.3. Suatu matris persegi A diataan dapat didiagonalan jia ada suatu matris P yang mempunyai invers sedemiian sehingga P AP adalah suatu matris diagonal; matris P diataan mendiagonalan A. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

73 6 Teorema.34. Jia A adalah suatu matris n n, maa pernyataan-pernyataan beriut eivalen. (a) A dapat didiagonalan. (b) A mempunyai n vetor eigen yang bebas secara linier. Teorema.35. Jia v, v,..., v adalah vetor-vetor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilainilai eigen yang berbeda-beda λ, λ,..., λ, maa {v, v,..., v } adalah suatu himpunan yang bebas secara linier. Teorema.36. Jia suatu matris A, n n, mempunyai nilai-nilai eigen yang berbeda-beda, maa A dapat didiagonalan. Teorema.37. Jia A adalah suatu matris beruuran n n yang dapat didiagonalan, dengan nilai-nilai eigen λ, λ,..., λ, maa det(a) = λ.λ...λ...9 Diagonalisasi Ortogonal Teorema.38. Jia A adalah suatu matris n n, maa pernyataan-pernyataan beriut eivalen. (a) A dapat didiagonalan secara ortogonal. (b) A mempunyai suatu himpunan n vetor eigen yang ortonormal. (c) A simetris. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

74 6.. Matris Aar Kuadrat. Definisi.33. Misalan A adalah suatu matris simetris definit positif beruuran n n. Misalan vetor-vetor eigen yang ortonormal menjadi olom dari matris P. Maa A = PDP (.89) di mana PP = PP = I dan D adalah matris diagonal. Misalan D / menyataan matris diagonal dengan i sebagai elemen diagonal e-i. Matris PD / P disebut aar uadrat dari A dan dinotasian dengan A /, yaitu A / = PD / P. (.9) Teorema.39. Misalan A matris simetris definit positif beruuran n n. Aar uadrat dari A memilii sifat-sifat: () (A / ) = A /, jadi A / simetris. (.9) () A / A / = A. (.9) (3) (A / ) = PD / P (.93) di mana D / adalah matris diagonal dengan / e-i. i sebagai elemen diagonal (4) A / A / = A / A / = I, dan A / A / = A, (.94) di mana A / = (A / )... Vetor Aca Definisi.34. Suatu vetor aca adalah vetor di mana anggota-anggotanya terdiri dari variabelvariabel aca. Serupa dengan itu, matris aca adalah matris di mana anggotaanggotanya adalah variabel-variabel aca. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

75 6 Misalan X = {X ij } adalah matris aca beruuran n p. Espetasi dari X, dinotasian dengan E(X), adalah matris n p yang beranggotaan bilanganbilangan riil (jia nilai dari masing-masing E(X ij ) ada) p p E X E X E X E X E X E X E( X ) (.95) E X n E X n E X np di mana E(X ij ) adalah espetasi dari variabel aca X ij dengan f..p terait (dapat berupa variabel aca bertipe disrit atau ontinu). Teorema.4. Misalan X dan Y adalah matris-matris aca dengan dimensi yang sama, dan misalan A dan B adalah matris-matris onstanta yang sesuai. Maa E(X + Y) = E(X) + E(Y), (.96) E(AXB) = AE(X)B. (.97) Definisi.35. Misalan X = (X, X,..., X p ) adalah vetor aca beruuran p. Maa setiap anggota dari X merupaan variabel aca dengan distribusi probabilitas marjinal tertentu. Vetor mean, ovariansi, dan orelasi dinyataan sebagai: Vetor mean: E X E X E( X ). (.98) E X p p Matris ovariansi: Cov( X) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

76 63 E ( X )( X ) p p, (.99) p p pp dengan Var( X ) dan ζ ij = Cov(X i, X j ), untu i =,,..., p. ii i i Matris orelasi: p pp p pp (.) p p pp pp dengan ij ii ij dari variabel-variabel aca X i dan X j. jj, untu i, j =,,..., p adalah oefisien-oefisien orelasi.. Turunan Terhadap Vetor Pada bagian ini dibahas mengenai turunan dari vetor terhadap vetor. Beriut ini diberian definisi mengenai turunan terhadap vetor. Definisi.36. Misalan terdapat suatu vetor u = (u, u,..., u m ) beruuran m, dan vector v = (v, v,..., v n ) beruuran n. Turunan dari vetor u terhadap vetor v dinyataan dengan Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

77 64 u u um v v v u u u m u v v v. (.) v u u um vn vn v n Definisi.37. Misalan terdapat suatu vetor u = (u, u,..., u m ) beruuran m, dan vetor v = (v, v,..., v n ) beruuran n. Turunan vetor u terhadap vetor v diturunan embali terhadap vetor v dinyataan oleh u u u v v v v v u u u u vv v vv m v v u u u v v v v v m m m m. (.). Distribusi Normal Multivariat Misalan A adalah suatu matris simetris dan definit positif yang beruuran n n. Misalan μ adalah matris beruuran n sedemiian sehingga μ = (μ, μ,..., μ n ) di mana μ i adalah onstanta-onstanta riil. Misalan x adalah matris beruuran n sedemiian sehingga x = (x, x,..., x n ). Aan ditunjuan bahwa jia C adalah onstanta positif, maa fungsi nonnegatif ( x) A( x ) f ( x, x,, xn) C exp, xi, i,,, n. (.3) adalah f..p bersama dari variabel-variabel aca X,..., X n yang bertipe ontinu. Berarti, aan ditunjuan bahwa f ( x, x,, x n) dx dx n. (.4) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

78 65 Misalan t adalah matris beruuran n sedemiian sehingga t = (t,..., t n ), di mana t,..., t n adalah bilangan-bilangan riil sebarang. Selanjutnya aan dihitung ( x) A( x) C exp tx dx dx ( x) A( x) C exp dx dx tx Jia t = t =... = t n =, maa bentu (.5) aan sama dengan ruas iri persamaan (.4). Misalan: y = x μ, di mana y = (y, y,..., y n ). Inversnya: x = y + μ. Jadi, Jacobian-nya adalah: J =, J = =. Batas integrasinya: Jia x i =, maa y i =, i =,,..., ; Jia x i =, maa y i =, i =,,...,. Jadi, y. Maa, integral (.5) menjadi ( x) A( x) C exp dx dx tx yay C exp ( ) J dx dy t y yay C exp ( ) dy dy t y yay C exp ( ) dy dy t y yay C exp dy dy t y t yay C exp( )exp dy dy t t y n n n n n n n n. (.5) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

79 66 yay C exp( t ) exp dy dy t y n (.6) Karena A adalah matris simetris yang definit positif, maa nilai-nilai eigen dari matris A, yaitu a, a,..., a n bernilai positif. Berarti terdapat matris ortogonal L yang beruuran n n sedemiian sehingga a a an L AL, (.7) atau biasa ditulis LAL = diag(a, a,..., a n ). (.8) Misalan: z = L y, di mana z = (z, z,..., z n ). Inversnya: y = Lz. Jadi, Jacobian-nya adalah: J = L. Karena L matris ortogonal, maa LL = L = L =, jadi, L = ±. J = =. Batas integrasinya: Jia y i =, maa z i =, i =,,..., ; Jia y i =, maa z i =, i =,,...,. Jadi, diperoleh yay C exp( t ) exp dy dy t y ( Lz) A( Lz) C exp( t ) exp ( ) J dz dz t Lz ( Lz) A( Lz) C exp( t ) exp ( ) dz dz t Lz ( Lz) A( Lz) C exp( t ) exp ( ) dz dz t Lz z ( LAL) z C exp( t ) exp dz dz t Lz n (.9) n n n n Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

80 67 Misalan: w = tl, di mana w = (w, w,..., w n ). Jadi, diperoleh z ( LAL) z C exp( t ) exp dz dz t Lz C exp( w L ) exp dz dz w z n n z ( LAL) z n az i i n i i i n i C exp( wl ) exp w z dz dz n az C exp( wl ) exp w z dz dz i n az C exp( wl ) exp w z dz i i i i i n i i i i i n az C exp( wl ) exp( w z )exp dz i i i i i i n z C exp( wl ) exp( w z )exp dz i i i i / ai i z i exp( wz)exp n i i / ai C exp( wl ) dz i i ai a z i exp( wz)exp n i i / ai C exp( wl ) dzi. (.) i a i a i i Perhatian bentu integral z i exp( wz i i)exp / ai dz i. a i Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

81 68 Fungsi z i exp( wz i i)exp / ai merupaan f.p.m dari variabel aca Zi yang a i berdistribusi normal dengan mean dan variansi /a i, dengan t diganti dengan w i. Jadi, z i exp( wz)exp i i / a w i i ai dzi exp w i. a i Jadi, diperoleh z i exp( wz)exp n i i / ai C exp( wl ) dzi i a i a i n C exp( wl ) exp wi i a i w ai i n w i C exp( wl ) exp i ai ai w w n C exp( wl ) exp exp a an a an w w ( ) ( ) n C exp( wl ) exp a an a an n n ( ) w i C exp( wl ) exp. (.) a an i ai Seperti dietahui sebelumnya, bahwa L adalah matris ortogonal, yaitu berarti bahwa L = L, maa ( L AL) L A ( L ) L A ( L ) L A L Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

82 69 ( L AL ) a a a n Berarti: diag,,,. (.) a a a n n i w a i i w ( L A L) w A w L A Lw Lw A ( ) ( Lw ) t A t. (.3) L A L. (.4) a a a n Dengan mensubstitusian (.5) dan (.6) e (.3), maa diperoleh n n ( ) w i C exp( wl ) exp a an i ai t A t n C exp( t ) ( ) A exp t A t n C exp( t ) ( ) A exp. (.5) Seperti telah diemuaan sebelumnya bahwa jia t = t =... = t n =, maa integral (.5) menjadi ruas iri (.4). Berarti bahwa jia t = t =... = t n =, maa bentu (.7) menjadi n t A t n C exp( t ) ( ) A exp C ( ) A, dan arena bentu (.5) adalah hasil dari penurunan integral (.5), maa C n ( ) A Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

83 7 C ( ) n A. (.6) Jadi, terbuti bahwa ( x ) A( x ) f ( x, x,, xn) exp n, ( ) A x, i,,, n (.7) adalah suatu f..p bersama dari variabel-variabel aca X, X,..., X n, yang bertipe ontinu. F..p ini disebut f..p normal multivariat nonsingular. Karena f(x, x,..., x n ) adalah f..p, maa integral (.5) adalah f.p.m dari X, X,..., X n yaitu ( x ) A( x ) C exp dx dx tx t A t n C exp( t ) ( ) A exp n t A t exp( t ) ( ) A exp n ( ) A t A t exp( t )exp i n Jadi, t A t expt. t A t M ( t) M ( t, t n) exp t. (.8) Matris A yaitu n n n nn n A (.9) adalah matris ovariansi dari distribusi normal multivariat dan dinotasian dengan V. Jadi pada f..p dari distribusi normal multivariat dapat ditulis Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

84 7 f ( x, x,, xn ) exp n ( ) V, ( x ) V ( x ) x, i,,, n, (.) dan f.p.m-nya adalah t Vt M ( t) exp t. (.) i. Notasi Integral Pada asus multivariat, yaitu pada bab empat, aan digunaan notasi integral tertentu yang jarang digunaan. Oleh arena itu pada bagian ini aan didefinisian suatu notasi integral yang aan digunaan selanjutnya. Misalan terdapat suatu vetor aca X = (X, X,..., X ) dan terdapat suatu fungsi u(x). Maa, u( x, x,, x ) dx dx dx u( ) d x x, (.) dengan x, x,, x x, i,,,. i.3 Distribusi Nonsentral-t Definisi.38. Misalan variabel aca W berdistribusi N(ε, ), misalan variabel aca V berdistribusi r, dan W dan V saling bebas. Bentu W T (.3) V r disebut berdistribusi nonsentral-t dengan derajat bebas r dan parameter etidasentralan ε dan dinyataan oleh T ~ T ε;m. Jia ε =, diataan T berdistribusi sentral-t (distribusi t). Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

85 BAB 3 VARIABEL ACAK YANG BERDISTRIBUSI SKEW-NORMAL UNIVARIAT Distribusi probabilitas data adalah penyebaran probabilitas data terait dengan suatu ejadian tertentu. Distribusi probabilitas sangat terait dengan variabel aca. Ada dua jenis variabel aca, yaitu variabel aca yang berdistribusi probabilitas disret dan ontinu. Setiap variabel aca memilii ruang nilai. Variabel aca yang berdistribusi probabilitas disret adalah variabel aca yang memilii ruang nilai yang terhitung, sedangan variabel aca yang berdistribusi probabilitas ontinu adalah variabel aca yang memilii ruang nilai yang tida terhitung. Dalam banya apliasi, terdapat distribusi probabilitas data yang sangat dienal dan disuai arena arateristi-nya, yaitu distribusi normal. Banya orang seringali menggunaan distribusi ini di dalam menganalisis data. Namun, pada enyataannya banya data yang ada di dalam ehidupan nyata tida persis berdistribusi normal, bahan ada yang melenceng jauh. Pada ondisi demiian, seringali orang tetap menggunaan distribusi normal untu menganalisis data. Hasilnya, analisis data urang memuasan. Hasilnya menjadi urang atau tida realistis. Oleh arena itu, tida disaranan untu melauan analisis data dengan menggunaan distribusi normal, pada eadaan di mana data tida berdistribusi normal, hususnya etia data memilii distribusi probabilitas data yang menceng dan mempunyai heavy-tail. Untu mengatasi permasalahan tersebut, diperluan distribusi probabilitas data yang lain. Distribusi probabilitas tersebut adalah distribusi sew-normal. Distribusi sew-normal merupaan perluasan dari distribusi normal dengan memasuan fator emencengan. Selain permasalahan yang telah disebutan, distribusi probabilitas ini juga dapat memfasilitasi data yang memilii distribusi probabilitas yang terpusat di setar mean tetapi urang atau tida simetris. Pada bab ini aan dibahas mengenai variabel aca yang berdistribusi sewnormal untu asus univariat. Pada pembahasan di bab ini, aan terlihat bahwa distribusi sew-normal ini dibangun dengan menggunaan distribusi normal 7 Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

86 73 standar, tetapi memilii bentu distribusi yang berbeda dari distribusi normal standar. Bentu husus dari distribusi ini merupaan distribusi normal standar, yaitu jia fator emencengannya bernilai. Seperti distribusi-distribusi probabilitas lainnya, distribusi sew-normal juga mempunyai arateristi-arateristi tertentu. Pada bab ini aan dibahas arateristi-arateristi dari distribusi sew-normal tersebut dan distribusi sew-normal yang diperluas dengan memasuan parameter location dan scale. Karateristi-arateristi yang aan dibahas adalah fungsi epadatan probabilitas (f..p), fungsi distribusi, fungsi pembangit momen (f.p.m), mean, variansi, dan sifat-sifat distribusi sew-normal. Pada bagian ahir bab ini aan diberian perbandingan grafi f..p dari distribusi normal dan sew-normal, dan contoh perhitungan probabilitas. 3. Fungsi Kepadatan Probabilitas Misalan Z adalah suatu variabel aca yang berdistribusi normal standar N(, ), dengan fungsi epadatan z / ( z) e, z, (3.) dan fungsi distribusi z ( z) ( u) du, (3.) serta berlau ( z) ( z), (3.3) ( z) ( z). (3.4) Bentu peralian dari fungsi (3.) dan (3.) menghasilan suatu fungsi dari variabel aca yang memilii distribusi probabilitas yang baru. Lebih jelasnya, misalan terdapat suatu variabel aca X, di mana untu setiap bilangan rill α, fungsi f α (x) = (x)φ(αx), < x < (3.5) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

87 74 merupaan suatu fungsi dari variabel aca X. (x) adalah f..p dari variabel aca yang berdistribusi N(, ). Φ(αx) adalah fungsi distribusi dari variabel aca yang berdistribusi N(,), yaitu x ( x) Pr Z x ( u) du. (3.6) Selanjutnya, melalui syarat-syarat f..p, aan dibutian bahwa fungsi (3.5) merupaan f..p dari variabel aca X. Buti: Misalan terdapat suatu variabel aca X dan f α (x) = (x)φ(αx) adalah fungsi dari variabel aca X yang memilii ruang nilai {x < x < }, dan dinotasian dengan A. (i) Aan dibutian bahwa f α (x) x A = {x < x < } di mana f α (x) = (x)φ(αx), Buti: Sesuai persamaan (3.), (x) merupaan f..p dari variabel aca yang berdistribusi N(, ), maa sesuai dengan syarat suatu f..p, (x) x (, ). Sesuai persamaan (3.), Φ(αx) adalah fungsi distribusi dari variabel aca X. Sesuai dengan sifat dari fungsi distribusi, pada bagian.5, maa Φ(αx). Berarti Φ(αx) merupaan fungsi bernilai nonnegatif. Maa, peralian dari fungsi nonnegatif dengan fungsi nonnegatif aan bernilai nonnegatif. Jadi, terbuti f α (x) = (x)φ(αx) x A = {x < x < } (ii) Aan dibutian bahwa f xdx Buti: f ( x) dx ( x) ( x) dx ( x) ( x) dx ( x) ( x) dx (3.7) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

88 75 Perhatian integral di bagian iri dari (3.7), yaitu ( x) ( x) dx. Misalan: x = p. Batas integrasinya: Jadi, diperoleh dx = dp. Jia x =, maa p = ; jia x =, maa p =. ( x) ( x) dx ( p) [ ( p)] dx ( p) [ ( p)]( dp) ( p) [ ( p)] dp ( p) [ ( p)] dp ( p) ( p) dp ( p) ( p) dp ( x) ( x) dx (3.8) Substitusian (3.8) e (3.7), diperoleh f ( x) dx ( x) ( x) dx ( x) ( x) dx ( x) ( x) ( x) ( x) dx ( x) ( x) ( x) dx ( x) dx ( x) dx ( x) dx. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

89 76 Jadi, terbuti bahwa f ( x) dx. Karena terbuti bahwa fungsi (3.5) memenuhi syarat-syarat f..p, berarti fungsi (3.5) merupaan suatu f..p. Jadi, fungsi (3.5) merupaan f..p dari variabel aca X dengan ruang nilai A = {x < x < }. Pembutian bahwa fungsi (3.5) adalah suatu f..p, dapat diperuat dengan menggunaan suatu lemma. Lemma 3.. Jia f adalah fungsi epadatan probabilitas satu dimensi yang simetris terhadap, dan G adalah fungsi distribusi satu dimensi sedemiian sehingga G ada dan merupaan fungsi epadatan yang simetris terhadap, maa f(z) = f (z)g{w(z)} ( < z < ) (3.9) adalah fungsi epadatan, dengan w(z) adalah sebarang fungsi ganjil. Sebelum digunaan untu memperuat pembutian bahwa fungsi (3.5) adalah suatu f..p, beriut ini aan diuraian pembutian dari Lemma 3.. Buti: Misalan Y dan X adalah variabel-variabel aca yang saling bebas. f (y) adalah f..p dari variabel aca Y, dan simetris terhadap. G(x) adalah fungsi distribusi dari variabel aca X sedemiian sehingga G(x) ada dan merupaan f..p dari variabel aca X, dan simetris terhadap. Perhatian bentu fungsi f(z) = f (z)g{w(z)} yang memilii ruang nilai A = {z < z < }, di mana w(z) adalah sebarang fungsi ganjil. f (z) adalah f..p dari variabel aca Y dengan y = z. G{w(z)} adalah fungsi distribusi dari variabel aca X, di mana x = w(z). Aan dibutian bahwa fungsi f(z) = f (z)g{w(z)} merupaan suatu f..p. (i) Aan dibutian bahwa fungsi f(z) = f (z)g{w(z)} untu < z <. Buti: f (z) adalah f..p dari variabel aca Y, di mana y = z. Maa, f (z) untu < z <, yaitu f (z) fungsi yang nonnegatif. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

90 77 G{w(z)} adalah fungsi distribusi dari variabel aca X, di mana x = w(z). Berdasaran sifat fungsi distribusi yang dibahas pada bagian.5, maa G{w(z)}. Berarti G{w(z)} adalah fungsi yang nonnegatif. Karena f (z) dan G{w(z)} adalah fungsi-fungsi yang nonnegatif, maa peralian edua fungsi tersebut juga nonnegatif. Jadi, terbuti bahwa f (z)g{w(z)} untu < z <. (ii) Aan dibutian bahwa f ( z) dz. Buti: f(z) = f (z)g{w(z)} f ( z) dz f ( z) G w( z) dz f( z) Gw( z) dz f( z) Gw( z) dz. (3.) Perhatian integral di bagian iri, yaitu f ( z ) G { w ( z )} dz. Misalan: z = p; Batas integrasinya: Jadi, diperoleh z = dp. Jia z =, maa p = ; jia z =, maa p =. f ( z) G w( z) dz f ( p) G w( p) ( dp) f ( p) G w( p) ( dp) f p G w p dp ( ) ( ) ( ) ( ) f p G w p dp ( ) ( ) f p G w p dp ( ) ( ) f p G w p dp ( ) ( ) f z G w z dz. (3.) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

91 78 Kemudian, substitusian (3.) e (3.), diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f z dz f z G w z dz f z G w z dz ( ) ( ) ( ) ( ) f z G w z dz f z G w z dz f ( z) G w( z) f ( z) G w( z) dz f z G w z G w z dz ( ) ( ) ( ) ( ) f z dz f ( ) z dz f( z) dz. (3.) Jadi, terbuti bahwa f ( z) dz. Selanjutnya aan dibahas pembutian bahwa fungsi (3.5) merupaan f..p dengan menggunaan Lemma 3.. Buti: Perhatian fungsi f α (x) = (x)φ(αx), < x <. (x) merupaan f..p dari variabel aca yang berdistribusi normal standar, yang simetris terhadap. Φ(x) merupaan fungsi distribusi dari variabel aca yang berdistribusi normal standar. Sesuai pada bagian.5, Φ(x) = (x). Selanjutnya aan dibutian terlebih dahulu bahwa αx merupaan fungsi ganjil. Misalan w(x) = αx, α. w( x) = α( x) = αx = w(x). (3.3) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

92 79 Karena w( x) = w(x), maa terbuti αx merupaan fungsi ganjil. Jadi, dengan menggunaan Lemma 3., diperfoleh bahwa fungsi f α (x) = (x)φ(αx), < x < merupaan suatu f..p, dalam hal ini merupaan f..p dari variabel aca X. Misalan ruang nilai dari X adalah A = {x < x < }. Jadi, fungsi f α (x) = (x)φ(αx) adalah f..p dari variabel aca X dengan ruang nilai A. Dari hasil bahwa fungsi f α (x) = (x)φ(αx) adalah suatu f..p dari variabel aca X dengan ruang nilai A = {x < x < }, diperoleh definisi: Definisi 3.. Jia suatu variabel aca X mempunyai fungsi epadatan f α (x) = (x)φ(αx) ( < x < ) di mana dan Φ secara berurutan adalah f..p dan fungsi distribusi normal standar N(, ), maa X adalah variabel aca berdistribusi sew-normal dengan parameter α; atau diataan juga X adalah SN(α), atau dapat dinyataan sebagai X ~ SN(α). 3. Fungsi Distribusi Misalan X ~ SN(α) dengan f..p f α (x), maa fungsi distribusi dari variabel aca X dinotasian dengan F α (x). f..p dari variabel aca X adalah f α (x) = (x)φ(αx), < x <. Untu memperoleh fungsi distribusi dari variabel aca yang berdistribusi sew-normal, diperluan suatu fungsi yang disebut fungsi T-Owen. Sesuai pada bagian., dari persamaan (.39) fungsi T-Owen adalah exp h x T( h, ) x dx, h >, α < +. Fungsi distribusi dari variabel aca X adalah F ( x) Pr( X x) x ( u) ( u) du (3.4) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

93 8 x u F ( x) ( u) ( p) dpdu x u ( u) ( p) dp ( p) dpdu x u ( u) ( p) dp du ( adalah f..p x x u ( u) du ( u) ( p) dpdu x u normal standar) ( x) ( u) ( p) dpdu. (3.5) Perhatian integral di bagian anan, yaitu Misalan: x u ( u) ( p) dpdu. p = βu; dp = u dβ. Batas integrasinya: Jia p =, maa β = ; jia p = αu, maa β = α. Jadi, diperoleh x u x ( u) ( p) dpdu ( u) ( u) uddu x ( u ) ( u ) ud du x ( u) ( u) udud x u ( u ) ( u ) dud u ( u) x u e e dud u u x u e e dud u u x ue e dud u u x ue e dud Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

94 8 u u ( u) ( p) dpdu ue dud x u x Misalan: u u x ue dud x u ue dud. (3.6) t = u ( + β ), u, u t t. t dt u du du t du Batas integrasinya: Jia u =, maa t = ; jia u = x, maa t = x ( + β ). Jadi, diperoleh u ( u) ( p) dpdu ue dud x u x t x t dt e d t t x dt e d x e t dtd t x lim e dtd b b t x lim e b b. d x b lim e e d b Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

95 8 x x u ( u) ( p) dpdu e d x e d Tx (, ). (3.7) Substitusian (3.7) e (3.5), maa diperoleh fungsi distribusi dari variabel aca X, yaitu F ( x) ( x) T( x, ). (3.8) 3.3 Fungsi Pembangit Momen Misalan X ~ SN(α). Untu mencari f.p.m dari variabel aca X, aan digunaan suatu lemma, yaitu: Lemma 3.. Jia U adalah variabel aca yang berdistribusi normal standar N(, ), maa E hu. (3.9) h untu sebarang h,. Sebelum digunaan untu mencari f.p.m dari variabel aca X, Lemma 3. aan dibutian terlebih dahulu. Buti Lemma 3..: Misalan U ~ N(, ). hu ( hu ) ( p) dp, untu sebarang h,. (3.) E[ ( hu )] ( hu ) ( u) du. (3.) Kemudian espetasi (3.) diturunan terhadap. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

96 83 Perhatian bagian ( hu ) ( u) du E[ ( hu )] ( hu ) ( u) du (Aturan Leibnitz) ( hu ) ( u) du (3.) ( hu ) pada (3.). Misalan: p = hu + s; Batas integrasinya: hu ( hu ) ( ) dp = ds. p dp Jia p =, maa s = ; jia p = hu +, maa s =. Jadi, diperoleh (3.3) hu ( hu ) ( ) p dp ( hu s) ds ( hu ). (3.4) Substitusian (3.4) e (3.), diperoleh E[ ( hu )] ( hu ) ( hu ) ( u) du ( u) du ( hu ) u exp exp du ( ) exp hu exp u du Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

97 84 E [ ( hu )] ( ) exp hu e u du ( hu ) u exp du exp ( ) hu u du exp h u hu u du exp u h u hu du exp u h hu du h exp h u h hu du h exp u h hu du h exp u h hu h du h h hu h exp h u h h h du hu h exp h u h h h du Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

98 85 Misalan: h h E [ ( hu )] exp h u hu h exp du h h exp h u h exp h du. h exp exp h h u h h t h u h ; du. (3.5) dt h du atau Batas integrasinya: Jia u =, maa t = ; jia u =, maa t =. Jadi, diperoleh E hu h dt h du [ ( )] exp exp h h u h du dt exp exp t h h exp exp t dt h h. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

99 86 Misalan: u E[ ( hu )] exp h h exp t dt exp exp t dt h h exp h h exp h h exp h h E[ ( hu )]. (3.6) h h E[ ( hu p)] p p h h dp dp. (3.7) p h ; du dp h Batas integrasinya: Jia p =, maa u = ; jia p =, maa u Jadi, diperoleh p E[ ( hu )] dp h h. h u h du h h. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

100 87 [ ( )] h ( ) E hu u du h. (3.8) E hu h Jadi, terbuti bahwa untu sebarang h,. Kemudian aan dicari f.p.m dari variabel aca X dengan menggunaan Lemma 3.. M () t E e X tx tx e f ( x) dx tx e ( x) ( x) dx e tx ( x) ( x) dx x tx e e ( x) dx x tx e e ( x) dx x tx e ( x) dx x tx e ( x) dx x txt t e ( x) dx ( xt) t e ( x) dx Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

101 88 ( xt) t M X ( t) e e ( x) dx t ( xt) e e ( x) dx. (3.9) Misalan: u = x t; du = dx. Batas integrasinya: Jia x =, maa u = ; jia x =, maa u =. Jadi, diperoleh t ( xt) M X ( t) e e ( x) dx t u e e [ ( u t)] du. (3.3) Bentu fungsi e u merupaan f..p dari variabel aca U yang berdistribusi N(, ). Misalan ( u) e u. Maa, diperoleh t M ( t) e ( u) [ ( u t)] du X t e E{ [ ( U t)]} t e E[ ( U t)]. (3.3) Dengan menggunaan lemma 3., dengan h = α, = αt, diperoleh t X ( ) { ( )} M t e E U t t t e. (3.3) Didefinisian δ di mana:, Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

102 89 dengan, sehingga (,). (3.33) Maa f.p.m dari X adalah t X ( ) ( ) M t e t. (3.34) 3.4 Sifat-sifat dari Variabel Aca yang Berdistribusi Sew-Normal Pada bagian 3.4 ini aan diuraian sifat-sifat dari variabel aca yang berdistribusi sew-normal, serta pembutian dari sifat-sifatnya. Misalan X ~ SN(α), maa variabel aca X memilii sifat-sifat:. Jia α =, maa X = Z, dan jia α ±, maa X = ± Z, di mana Z ~ N(, ). Buti: Misalan X ~ SN(α) dan Z ~ N(, ). z Maa, f..p dari Z adalah ( z) e, z, dan f..p dari X adalah f α (x) = (x)φ(αx), < x <. Pembutian sifat ini aan terbagi menjadi tiga asus, yaitu: (i) Kasus pertama, untu α =. (ii) Kasus edua, untu α +. (iii) Kasus etiga, untu α Kasus pertama, misalan α =, berarti f ( x) ( x) ( x) ( x) () ( x) ( u) du Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

103 9 f( x) ( x) ( x). Karena f (x) = (x), dan (x) adalah f..p dari variabel aca Z yang berdistribusi normal standar, maa berarti terbuti X = Z untu α =. Kasus edua, misalan α +. Perhatian untu dua asus lebih lanjut, yaitu asus < x dan < x <. Untu asus < x, lim f ( x) lim ( x) ( x) x u x lim e e du x u e e du x e. Untu asus < x <, lim f ( x) lim ( x) ( x) x u x lim e e du x u e e du e x Jadi, untu α +, x e. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

104 9 x f ( x) e, x, x (3.35) Karena f α (x) pada (3.35) merupaan f..p dari variabel aca Z, maa terbuti bahwa untu α +, X = Z di mana Z ~ N(, ). Kasus etiga, misalan α. Perhatian untu dua asus lebih lanjut, yaitu asus < x < dan x <. Untu asus < x <, lim f ( x) lim ( x) ( x) x u x lim e e du x u e e du e x x e. Untu asus x <, lim f ( x) lim ( x) ( x) x u x lim e e du x u e e du x e. Jadi, untu α, Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

105 9 x f ( x) e, x, x. Karena f α (x) pada (3.36) merupaan f..p dari variabel aca Z, maa terbuti bahwa untu α, X = Z di mana Z ~ N(, ). (3.36) Jadi, dari pembutian etiga asus yang ada, terbuti bahwa jia α =, maa X = Z, dan jia α ±, maa X = ± Z, di mana Z ~ N(, ).. Jia X ~ SN(α), maa X ~ SN( α). Buti: Misalan X ~ SN(α), berarti f α (x) = (x)φ(αx), < x <. Misalan Y = X. A = {x < x < } Dengan transformasi y = x diperoleh B = {y < y < } Karena A = {x < x < } dan B = {y < y < }, maa, y = x adalah transformasi satu-satu. Inversnya adalah: x = y; dx = dy. Jacobian-nya: J =. Maa dapat diperoleh g(y) = f α ( y) J = ( y)φ{α( y)}. = ( y)φ{α( y)} = (y)φ{α( y)} = (y)φ{( α)y)}. (3.37) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

106 93 Persamaan (3.37) merupaan bentu f..p dari variabel aca yang berdisitribusi sew-normal univariat dengan parameter emencengan α. Jadi, Y ~ SN( α). Karena Y = X, maa terbuti bahwa X ~ SN( α). 3. Jia X ~ SN(α), maa X dan Z berdistribusi identi. Buti: Karena Z ~ N(, ), maa berdasaran pada bagian.4, Z adalah variabel aca yang berdistribusi half-normal, dengan ζ =. Misalan W = Z. Maa, variabel aca W = Z yang berdistribusi half-normal memilii f..p: h( w) w e, w, lainnya. Kemudian aan dicari distribusi dari X. Misalan X ~ SN(α). Berarti f α (x) = (x)φ(αx), < x <. Misalan Y = X. A = {x < x < }. (3.38) Dengan transformasi y = x diperoleh B = {y y < }. Karena A = {x < x < } dan B = {y y < }, maa, y = x buan transformasi satu-satu. Ambil A dan A di mana A, A A, A A = A, dan A A =. A = {x < x < }. A = {x x < }. Pemetaannya dengan transformasi y = x adalah: A = {x < x < } {y < y < }. A = {x x < } {y y < }. Hasil pemetaan yang diperoleh berbeda, leta perbedaannya yaitu pada y =. Maa dari itu, ruang nilai aan didefinisian embali untu mengatasi Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

107 94 permasalahan ini. Didefinisian embali untu x =, y =. Jadi, ruang nilai-ruang nilai yang baru adalah: A = {x < x <, x }. B = {y < y < }. Inversnya adalah: x = y ; x = y, dx = dy ; dx = dy, Jacobian-nya: J = ; J =, J = ; J =. Misalan B B. A 3 = {x x = y, y B} A. A 4 = {x x = y, y B} A. Kemudian diperoleh Pr( Y B) Pr( X A ) Pr( X A ) A3 A4 3 4 f ( x) dx f ( x) dx B B f ( y) J dy f ( y) J dy B B f ( y) dy f ( y) dy B B f ( y) dy f ( y) dy ( y) { ( y)} dy ( y) ( y) dy B ( y) ( y) dy ( y) ( y) dy B ( y) ( y) dy ( y) ( y) dy B ( y) ( y) dy ( y) ( y) dy B ( y) ( y) ( y) dy B B B B B Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

108 95 Pr( Y B) ( y) dy B ( y) dy B B e y dy y e dy. (3.39) B Jadi, f..p dari variabel aca Y adalah: g( y) y e, y, lainnya. Karena, f..p dari variabel aca Y = X dan f..p dari variabel aca W = Z sama, maa terbuti bahwa X dan Z memilii distribusi identi, yaitu distribusi half-normal, dengan ζ =. (3.4) 4. F α ( x) = F α (x). Buti: Misalan X ~ SN(α). Fungsi epadatan dari variabel aca X adalah f α (x) = (x)φ(αx), untu ruang nilai A = {x < x < }. x. F ( x) ( u) ( u) du ( u) ( u) du x x F ( x) ( u) ( u) du. (3.4) x F ( x) ( u) ( u) du x ( u) ( u) du ( u) ( u) du ( u) ( u) du. (3.4) x Dengan menggunaan metode substitusi: Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

109 96 Misalan: u = p ; du = dp. Batas integrasinya: Jia u = x, maa p = x; jia u =, maa p =. Jadi, diperoleh F ( x) ( p) { ( p)}( dp) x x ( p) { ( p)}( dp) x ( p) { ( p)} dp x ( p) { ( p)} dp x ( p) {( ) p} dp F ( x). (3.43) Jadi terbuti bahwa F α ( x) = F α (x). 5. F (x) = {Φ(x)}. Buti: Misalan X ~ SN(α). Fungsi distribusi dari variabel aca X sesuai (3.8) adalah F α (x) = Φ(x) T(x, α). Fungsi T-Owen mempunyai sifat (.4): T(h, ) = Φ(h)Φ( h), h >. Dari (3.8) dan dengan menggunaan sifat fungsi T-Owen, maa dapat diperoleh: F (x) = Φ(x) T(x, ) = Φ(x) Φ(x)Φ( x) = Φ(x) Φ(x)[ Φ(x)] = Φ(x) Φ(x) + {Φ(x)} = {Φ(x)}. (3.44) Jadi, terbuti bahwa F (x) = {Φ(x)}. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

110 97 6. Jia X ~ SN(α), maa X ~, yaitu suatu variabel aca berdistribusi chisquare dengan derajat bebas =. Buti: Misalan X ~ SN(α). Fungsi epadatan dari variabel aca X adalah f α (x) = (x)φ(αx), < x <. Misalan Y = X. A = {x < x < }. Dengan transformasi y = x diperoleh B = {y y < }. Karena A = {x < x < } dan B = {y y < }, maa, y = x buan transformasi satu-satu. Ambil A dan A di mana A, A A, A A = A, dan A A =. A = {x < x < }. A = {x x < }. Pemetaannya dengan transformasi y = x adalah: A = {x < x < } {y < y < }. A = {x x < } {y y < }. Hasil pemetaan yang diperoleh berbeda, leta perbedaannya yaitu pada y =. Maa dari itu, ruang nilai aan didefinisian embali untu mengatasi permasalahan ini. Didefinisian embali untu x =, y =. Jadi, ruang nilai-ruang nilai yang baru adalah: A = {x < x <, x }. B = {y < y < }. Inversnya adalah: x y ; x y, dx dy ; y dx dy, y Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

111 98 Jacobian-nya: J ; J, y y J ; J. y y Misalan B B. A { x x y, y B} A. 3 A { x x y, y B} A. 4 Kemudian diperoleh Pr( Y B) Pr( X A ) Pr( X A ) A3 A4 3 4 f ( x) dx f ( x) dx B B f y J dy f y J dy f y dy f y dy y y B B y y dy y B B y y dy y y y dy y y dy y y B B y y y dy y B B y y y dy y dy B B y e dy y Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

112 99 y Pr( Y B) y e dy B y y e dy. (3.45) B Jadi, f..p dari variabel aca Y adalah: g( y) y y e, y, lainnya. (3.46) y Bentu fungsi g( y) y e merupaan f..p dari variabel aca yang berdistribusi Gamma dengan α = ½ dan β =, atau Y ~ Γ(½, ), atau berarti Y ~. Karena Y = X, berarti terbuti bahwa X ~ SN(α), maa X ~. 7. Sebuah variabel aca X mempunyai f..p f α (x) = (x)φ(αx), < x <, jia dan hanya jia X mempunyai representasi X Z Z, (3.47) di mana Z, Z adalah variabel-variabel aca N(, ) yang saling bebas, dan Buti: (,). (3.48) Misalan Z, Z adalah variabel-variabel aca N(, ) yang saling bebas. Dari bagian.7, telah dibutian bahwa Z dan Z saling bebas. Selanjutnya aan dibutian bahwa sifat e-7 dari distribusi sew-normal ini berlau. Buti aan dibagi e dalam dua bagian, buti () dan buti (). () Aan dibutian bahwa: jia variabel aca X mempunyai representasi Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

113 X Z Z, di mana Z, Z adalah variabel-variabel aca N(, ) yang saling bebas, dan f α (x) = (x)φ(αx), < x <. Buti: (,), maa X mempunyai f..p Misalan variabel aca X mempunyai representasi X Z Z, di mana Z, Z adalah variabel-variabel aca N(, ) yang saling bebas, dan (,). Dari (.58), diperoleh f.p.m dari Z, yaitu ( ) exp t M ( ) Z t t, dan dari (.36), diperoleh f.p.m dari Z, yaitu M Z t ( t) exp. Dengan menggunaan teni f.p.m, dapat diperoleh: M () t E e X tx E exp t Z Z E exp t Z t Z E exp t Z exp t Z E exp t Z E exp t Z t ( t) exp ( t) exp t t exp ( t) exp Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

114 t t M X ( t) exp exp ( t) t t exp ( t) t t exp ( t) t exp ( t) t exp ( t) t exp ( t). (3.49) Karena sifat f.p.m yang uni untu suatu distribusi probabilitas tertentu, sesuai dengan hasil di atas, maa diperoleh bahwa X merupaan variabel aca yang berdistribusi sew-normal dengan fator emencengan α. Karena X ~ SN(α), berarti f..p dari X adalah fungsi f α (x) = (x)φ(αx), < x <, maa terbuti bahwa jia variabel aca X mempunyai representasi X Z Z, di mana Z, Z adalah variabel-variabel aca N(, ) yang saling bebas, dan f..p f α (x) = (x)φ(αx), < x <. (,), maa X mempunyai () Aan dibutian bahwa: jia variabel aca X mempunyai f..p (3.5), maa X mempunyai representasi X Z Z, di mana Z, Z adalah variabel-variabel aca N(, ) yang saling bebas, dan (,). Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

115 Buti: Misalan variabel aca X mempunyai f..p f α (x) = (x)φ(αx), untu ruang nilai A = {x < x < }. Dengan membali cara erja buti (): M () t E e X tx t exp ( t) t ( ) exp ( t) t t ( ) exp ( t) t t ( ) exp ( t) t t ( ) exp exp ( t) t t ( ) exp ( t)exp t ( t) exp ( t) exp t ( t) exp ( t) exp E exp t Z E exp t Z E exp t Z exp t Z E exp t Z t Z E exp t Z Z. (3.5) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

116 3 Karena sifat f.p.m yang uni untu suatu distribusi yang spesifi, dan tx exp E e E t Z Z, maa terbuti bahwa variabel aca X mempunyai representasi X Z Z. Jadi, terbuti bahwa suatu variabel aca X mempunyai f..p (3.5) jia dan hanya jia X mempunyasi representasi (3.47), di mana Z dan Z merupaan variabel-variabel aca yang berdistribusi N(, ) yang saling bebas, dan (,). 8. Misalan Z, Z merupaan variabel aca yang berdistribusi normal standar N(, ) dan saling bebas. Jia variabel aca X mempunyai representasi X = a Z + bz, maa / / / ( a b ) X ( a b ) a Z ( a b ) bz ~ SN, (3.5) / di mana ( a b ) a adalah oefisien dari Z. Buti: Misalan Z, Z merupaan variabel aca yang berdistribusi N(, ) yang saling bebas, dan misalan X mempunyai representasi X = a Z + bz. Jadi diperoleh: ( a b ) X ( a b ) a Z ( a b ) bz. / / / / / Misalan W ( a b ) a Z dan W ( a b ) bz. Berdasaran (.36) dan (.58), diperoleh: t M t E e t ( ) tz exp ( ) Z tz t M Z ( t) E e exp. Dengan teni f.p.m dapat dicari f.p.m marjinal dari W dan W, yaitu. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

117 4 M t E e W () tw / t( a b ) a Z E e / t a b a / exp ( a b ) at t a b a / exp ( a b ) at a t at exp. (3.5) a b a b M t E e W () tw ta b / bz E e / a b bt exp a b b t exp bt exp a b. (3.53) Misalan Y W W. Maa, dengan menggunaan teni f.p.m dapat diperoleh M () t E e Y ty t( W W) E e E e E e tw tw e tw tw Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

118 5 tw tw M () t E e E e Y a t at b t exp exp a b a b a b a t b t at exp exp a b a b a b a t b t at exp a b a b a b a t b t at exp a b a b a b t at exp a b a b t at exp. (3.54) a b Bentu persamaan (3.54) merupaan bentu f.p.m dari suatu variabel aca yang berdistribusi sew-normal, dengan bahwa (,). Maa diperoleh a a b. Dari (3.33), dietahui Karena sifat f.p.m yang uni untu suatu distribusi tertentu, maa variabel aca Y berdistribusi sew-normal dengan parameter emencengan, dengan / a a b. Karena Y W W, dan / W ( a b ) a Z dan W ( a b ) bz, jadi terbuti bahwa. / / / ( a b ) X ( a b ) a Z ( a b ) bz~ SN / di mana ( a b ) a adalah oefisien dari Z., Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

119 6 9. Jia X ~ SN(α) dan Z ~ N(, ) saling bebas, maa az bx b ~ SN a b a ( ) b untu sebarang ab,. Buti: Misalan X ~ SN(α) dan Z ~ N(, ) saling bebas. Dari (3.34) dan (.36): tx t M X ( t) E e exp ( t). tz t M Z ( t) E e exp. Misalan W a az b dan Y a bx b Dengan menggunaan teni f.p.m, dapat dicari f.p.m-f.p.m dari variabelvariabel aca W dan Y, yaitu: M () t E e W Wt az a b E e t at a b exp at exp a b at exp a b. (3.55). (3.56) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

120 7 M () t E e Y ty bx a b E e t bt a b b exp t a b bt bt exp a b a b b t bt exp. (3.57) a b a b Misalan U = W + Y, dari f.p.m W dan Y, maa dapat diperoleh f.p.m dari U dengan menggunaan teni f.p.m, yaitu M () t E e U tu t( W Y ) E e E e E e E e tw ty tw e ty tw ty E e a t b t exp exp bt a b a b a b a t b t exp exp bt a b a b a b a t b t exp bt a b a b a b Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

121 8 M U a t b t bt ( t) exp a b a b a b t bt exp a b a b t bt exp a b t bt exp a b t b exp t. (3.58) a b Bentu persamaan (3.58) merupaan bentu f.p.m dari U adalah bentu f.p.m dari variabel aca yang berdistribusi sew-normal dengan fator emencengan * * * * dan dengan Dari (3.33), dietahui bahwa. a b b. (,), dan diperoleh bahwa * Karena * * * dan a b b, maa diperoleh * * * a b b a b b Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

122 9 * a b b b a b a b b a b b a b b a b a b a b b b. (3.59) a b b Karena, maa * b a b b b a b b b a b b b a b b b a b b Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

123 * b a b b b a b b b a b a b b. (3.6) Karen sifat f.p.m yang uni untu suatu distribusi tertentu, maa variabel aca U az bx a * a b b berdistribusi sew-normal dengan fator emencengan b. az bx az bx Karena U W Y W, maa terbuti a b a b a b bahwa az bx b SN. a b a b. Jia X ~ SN(α) dan Z ~ N(, ) saling bebas, maa Buti: X Z ~ SN. (3.6) Misalan X ~ SN(α) dan Z ~ N(, ) saling bebas. X Z merupaan bentu husus dari az bx, yaitu pada saat a = b =. a b Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

124 az bx b Berdasaran sifat 9, SN, maa, jia a = b = a b a b diperoleh a b. (3.6) b Jadi, terbuti bahwa X Z ~ SN.. Jia X i ~ SN(α i ) saling bebas dengan α i, i =,. Maa, secara umum, X + X buan variabel aca sew-normal. Buti: Misalan X ~ SN(α ) dan X ~ SN(α ) saling bebas dengan α i, i =,. () t X X M X X t E e E e E e E e tx tx e tx tx tx tx E e t t exp ( t) exp ( t). (3.63) 4exp t ( t) ( t) Karena bentu (3.63) berbeda dari f.p.m dari variabel aca sew-normal, yaitu t X ( ) ( ) M t e t, maa X + X tida berdistribusi sew-normal. Jadi, terbuti bahwa jia X i ~ SN(α i ) saling bebas dengan α i, i =,, maa secara umum, X + X buan variabel aca sew-normal. Sifat ini menunjuan bahwa distribusi sew-normal univariat ini tida memilii sifat etertutupan terhadap operasi penjumlahan. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

125 3.5 Mean dan Variansi Misalan X ~ SN(α). Untu mencari mean dan variansi dari variabel aca X, aan digunaan f.p.m (3.34), yaitu t M ( t) exp ( t), dengan (,). Dengan menggunaan (.9) dan (.), mean dan variansi dari variabel aca X adalah: E( X ) M X (), Var( X ) E ( X ) E X M X() M X() Dari (3.34) diperoleh:. t t t M X ( t) exp ( t) exp ( u) du. Mean dan variansi dari variabel aca X aan dicari dengan menggunaan f.p.m, yaitu mencari turunan pertama dan edua dari f.p.m dari variabel aca X terlebih dahulu. t t t M X ( t) exp t ( u) du exp ( t) t t t t exp ( u) du exp ( t) t t t exp t exp ( t). (3.64) t t t t M X ( t) exp ( u) du t exp t ( u) du t t t exp ( t) exp t( t) t exp ( t) ( t). Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

126 3 t t t t M X ( t) exp ( u) du t exp ( u) du t t 3 4t exp ( t) t exp ( t) t t t exp t t exp t 4 t exp ( t) t 3 texp ( t). (3.65) M () (). (3.66) M () ( u) du. (3.67) Kemudian dicari momen pertama dan edua, serta variansinya dengan menggunaan persamaan (.8), (.9), dan (.). E( X ) M (). (3.68) E X ( ) M (). (3.69) Var( X ) E X E( X ). (3.7) Jadi, mean dan variansi dari variabel aca X adalah EX ( ), Var( X ). Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

127 4 3.6 Perluasan: Famili Location-Scale Bentu distribusi sew-normal yang dibahas pada subbab-subbab sebelumnya merupaan bentu distribusi sew-normal yang hanya memfasilitasi distribusi probabilitas data di seitar. Sedangan enyataannya ada banya data yang memilii distribusi probabilitas data tida hanya di seitar. Oleh arena itu, pada subbab 3.6 ini aan dibahas bentu perluasan dari distribusi sew-normal yang telah dibahas sebelumnya, yaitu dengan memasuan dua parameter baru, yaitu parameter location dan scale, yang secara berurutan dinyataan oleh dan, di mana dan >. Jadi, untu sebarang variabel aca X ~ SN(α), didefinisian variabel aca sew-normal yang umum oleh Y = + X, (3.7) dan Y ditulis Y ~ SN(,, α) untu variabel aca ini. Pada subbab ini juga aan dibahas dan diperenalan arateristiarateristi dari distribusi sew-normal yang diperluas ini Fungsi Kepadatan Probabilitas Untu memperoleh f..p dari variabel aca Y, aan digunaan teni transformasi variabel. Misalan X ~ SN(α). Maa, sesuai persamaan (3.5), f..p dari variabel aca X adalah f α (x) = (x)φ(αx), < x <. Misalan Y = + X. A = {x < x < }. B = {y < y < }. y = + x adalah transformasi satu-satu. Inversnya adalah: y x ; dx dy. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

128 5 Jacobian-nya: J ; J. Jadi, diperoleh y g( y) f J y f y y y y. Jadi, f..p untu variabel aca Y = + X adalah y y g( y;,, ), y. (3.7) 3.6. Fungsi Distribusi Misalan Y ~ SN(,, α). Dari persamaan (3.7), diperoleh f..p dari variabel aca Y, yaitu y y g( y;,, ), y. Dengan menggunaan definisi dari fungsi distribusi, maa fungsi distribusi dari dari variabel aca Y adalah G ( y) Pr( Y y) y u u du y u u ( p) dpdu Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

129 6 u y u G ( y) ( p) dp ( p) dp du y u u ( p) dpdu y u u y u du ( p) dpdu. (3.73) Perhatian integral di bagian iri, yaitu Misalan: u t ; Batas integrasinya: Jadi, diperoleh dt du. y u du. y Jia u =, maa t = ; jia u = y, maa t. y y u y du () t dt. (3.74) Substitusian (3.74) e (3.73), sehingga diperoleh u y y u G ( y) ( p) dpdu Perhatian integral di bagian anan, yaitu Misalan: u r ; Batas integrasinya: Jadi, diperoleh dr du.. (3.75) Jia u =, maa r = ; jia u = y, maa u y u ( p) dpdu. y r. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

130 7 Misalan: y u y u r ( p) dpdu ( r) ( p) dp( dr) p Batas integrasinya: Jadi, diperoleh r; dp rd. r ( r) ( p) dpdr y y Jia p =, maa β = ; jia p = αr, maa β = α. y r ( r) ( p) dpdr. (3.76) u y u r ( p) dpdu ( r) ( p) dpdr y ( r) ( r) rddr y ( r ) ( r ) rddr y ( r) ( r) rdrd y ( r) ( r) rdrd y r ( r) e e rdrd y r ( r) e e rdrd e e rdrd y r ( r) y r ( r) e e rdrd y r r e e rdrd Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

131 8 ( ) u y r r y u p dpdu e rdrd y r r e rdrd r y e rdrd. (3.77) Misalan: s r ; ds r dr. Batas integrasinya: Jia r =, maa s = ; Jia y r, maa y. Jadi, diperoleh ( ) r u y y u p dpdu e rdrd y s e dsd y s e dsd lim y b b s e dsd lim b y s b e d Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

132 9 ( ) lim u y b u p dpdu y b e e d y e d y e d y e d, y T. (3.78) Substitusian (3.78) e (3.75), sehingga diperoleh fungsi distribusi dari variabel aca Y, yaitu ( ), y y G y T. (3.79) Fungsi Pembangit Momen Misalan X ~ SN(α). Dari persamaan (3.34), dietahui f.p.m dari variabel aca X adalah ( ) exp ( ) tx X t M t E e t. Dengan menggunaan teni f.p.m, dapat diperoleh f.p.m dari variabel aca Y, yaitu: Misalan Y = + X. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

133 M () t E e Y ty t X E e E e t t X E e e t t X e E e t tx ( t) exp( t ) exp { ( t)} ( t) exp( t )exp { ( t)} ( t) exp t { ( t)} t exp t { ( t)} t exp t { ( t)} t exp t { ( t)} t exp t ( t). Jadi, f.p.m dari variabel aca Y ~ SN(,, α) adalah t MY ( t) exp t ( t). (3.8) Mean dan Variansi Pada bagian ini aan diuraian cara memperoleh mean dan variansi dari variabel aca Y. Cara yang digunaan serupa dengan cara memperoleh Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

134 mean dan variansi dari variabel aca sew-normal X pada subbab 3.5. Misalan Y ~ SN(,, α). Dari (3.8) diperoleh: t MY ( t) exp t ( t) t t exp t ( u) du. Mean dan variansi dari variabel aca Y aan dicari dengan menggunaan f.p.m, yaitu mencari turunan pertama dan edua dari f.p.m dari variabel aca Y terlebih dahulu. t t MY ( t) exp t t ( u) du t exp t ( t) t t texp t ( u) du t exp t ( t) t texp t t t exp t ( t). (3.8) t t MY ( t) exp t ( u) du t t texp t t ( u) du t t exp t ( t) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

135 t exp t t ( t) t exp ( ) t t t t MY ( t) exp t ( t) t t t exp t ( t) texp t ( t) t exp t ( t) t t 3 3 t exp t ( t) t exp t ( t) t t t exp t ( t) 4 texp t ( t) t 3 3 t exp t ( t).. (3.8) Setelah diperoleh turunan pertama dan edua dari f.p.m dari variabel aca Y, emudian dicari momen pertama dan edua dari variabel aca Y. M Y () ( u) du (). (3.83) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

136 3 M Y () () () 4 () 4. (3.84) Dengan menggunaan (.8), (.9), dan (.) diperoleh: E( Y) MY (). (3.85) E Y M. (3.86) Y () Var( Y) E Y E( Y) Jadi, mean dan variansi dari Y adalah E( Y) MY (),. (3.87) Var( Y). 3.7 Perbandingan Grafi Normal dan Sew-Normal Pada bagian ini aan diberian perbandingan antara grafi f..p dari distribusi normal dengan grafi f..p dari distribusi sew-normal. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

137 4 Gambar 3. Grafi Distribusi Normal Standar Gambar 3. Grafi Distribusi Sew-Normal Pada Gambar 3. diberian contoh grafi distribusi normal standar. Pada Gambar 3. diberian grafi dari distribusi sew-normal dengan f..p (3.5) etia fator emencengan α =, ±, ± 4. Terlihat bahwa grafi distribusi sew-normal pada α = berbentu simetris, sama seperti pada Gambar 3.. Dari Gambar 3. terlihat bahwa semain tinggi nilai α, grafi semain menceng e anan (menceng positif). Begitu juga sebalinya, semain rendah nilai α, grafi semain menceng e iri (menceng negatif). Bentu grafi untu nilai α dan α sama, hanya berbeda arah emencengan. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

138 5 3.8 Contoh Pada bagian 3.8 ini aan diberian contoh perhitungan probabilitas dari suatu variabel aca yang berdistribusi sew-normal. Misalan X ~ SN(α). Berarti f..p dari variabel aca X adalah f α (x) = (x)φ(αx), < x <. Dari (3.8), fungsi distribusi dari variabel aca X adalah dengan F ( x) ( x) T( x, ), exp h x T( h, ) x dx, h >, α < +. Nilai-nilai dari T(h, α) diberian pada bagian tabel. Misalan α =. Pr(X ) = F () = Φ() T(, ) =,843. =,843. Misalan α =. Pr(X ) = F ( ) = Φ( ) T(, ) =,843. =,587. Misalan α =. Pr(X ) = F () = Φ() T(, ) =,843 (,6674) =,7786. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

139 6 Misalan α =. Pr(X ) = F () = Φ() T(, ) = Φ() + T(, ) =,843 + (,6674) =, Misalan α =. Pr(X ) = F ( ) = Φ( ) T(, ) = Φ() T(, ) =,843 (,6674) =,56. Misalan α =. Pr(X ) = F ( ) = Φ( ) T(, ) = Φ() + T(, ) = Φ() + T(, ) =,843 + (,6674) =,984. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

140 BAB 4 VEKTOR ACAK YANG BERDISTRIBUSI SKEW-NORMAL MULTIVARIAT Sebelumnya, yaitu pada bab tiga, telah dibahas mengenai arateristiarateristi dari variabel aca yang berdistribusi sew-normal univariat. Ketia menerapan distribusi sew-normal di dalam inferensi statisti, seringali dibutuhan untu mendisusian distribusi bersama dari suatu sampel aca dari populasi. Hal ini mengaibatan dibutuhannya pembahasan mengenai distribusi sew-normal multivariat. Pada bab ini aan dibahas mengenai arateristiarateristi dari vetor aca yang berdistribusi sew-normal multivariat, emudian secara husus dibahas asus bivariat. Perhatian bentu f..p dari variabel aca X yang berdistribusi sewnormal untu asus univariat dari persamaan (3.5), yaitu f α (x) = (x)φ(αx), < x <, di mana (x) adalah f..p dan Φ(αx) adalah fungsi distribusi, dari variabel aca yang berdistribusi N(,), serta α. 4. Distribusi Sew-Normal Multivariat Pada bagian 4. ini aan dibahas arateristi-arateristi dari vetor aca yang berdistribusi sew-normal multivariat. Karateristi-arateristi yang aan dibahas adalah f..p, f.p.m, vetor mean, dan matris ovariansi. 4.. Fungsi Kepadatan Probabilitas Misalan Y = (Y,..., Y ) adalah suatu vetor beruuran, yang terdiri dari variabel-variabel aca. Ω adalah matris beruuran yang simetris, dan merupaan matris yang definit positif. γ adalah vetor emencengan beruuran 7 Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

141 8 dengan γ = (γ,..., γ ), di mana γ,..., γ adalah bilangan-bilangan riil. Λ adalah matris beruuran dengan Λ = (λ,..., λ ) = Ω / diag(γ,..., γ ). (4.) Bentu matris Ω / aan dijelasan pada bagian Lampiran. Perhatian suatu fungsi dari vetor aca Y, yaitu j j f ( y,, ) ( y, ) y, y, (4.) dengan y = (y,..., y ), (y, Ω) adalah f..p dari vetor aca yang berdistribusi normal multivariat dengan mean = (,..., ) dan matris ovariansi Ω, dan j y adalah fungsi distribusi dari variabel aca yang berdistribusi normal j standar, yaitu y ( ) j y u du. Melalui syarat-syarat f..p, aan dibutian bahwa fungsi (4.) merupaan suatu f..p dari vetor aca Y. Buti: Misalan terdapat suatu vetor aca y dan f ( y,, ) ( y, ) j y adalah fungsi dari vetor aca y yang memilii ruang nilai A = {(y,..., y ) < y <,..., < y < }. (i) Aan dibutian bahwa f(y, Ω, γ) y A = {(y,..., y ) < y <,..., < y < } di mana f ( y,, ) ( y, ) j y Buti: j j. Perhatian fungsi f ( y,, ) ( y, ) j y. Perhatian bagian. Karena >, maa >. (y, Ω) merupaan f..p dari vetor aca y yang berdistribusi normal multivariat dengan mean dan matris ovariansi Ω, maa sesuai dengan syarat suatu f..p, (y, Ω) untu A = {(y,..., y ) < y <,..., < y < }. j Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

142 9 j ( y ) merupaan peralian dari fungsi-fungsi distribusi dari variabel j aca yang berdistribusi normal standar. Karena j y merupaan fungsi distribusi dari variabel aca yang berdistribusi normal standar, maa sesuai sifat fungsi distribusi pada bagian.5, diperoleh j y. Jadi, j j y y y y. Hasil peralian dari fungsi positif dan fungsi-fungsi nonnegatif (y,ω) dan j j y adalah nonnegatif. Jadi, terbuti bahwa fungsi f(y, Ω, γ) y A = {(y,..., y ) y i, i =,,..., } di mana f ( y,, ) ( y, ) j y. j (ii) Aan dibutian bahwa f ( y,, ) dy, di mana Buti: x, x,, x x, i,,,. i f ( y,, ) dy ( y, ) y dy Misalan: Inversnya: t = Ω / y, y = Ω / t. Jadi, Jacobian-nya adalah: j j / / ( ) exp t = (t, t,..., t ). J = Ω / > arena matris definit positif, y y j y dy j J = Ω / = Ω / = Ω /. (dibutian pada bagian Lampiran ) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

143 3 Batas integrasinya: Jia y i =, maa t i =, i =,,..., ; Jia y i =, maa t i =, i =,,...,. Jadi, diperoleh y y y y y j j / / f (,, ) dy ( ) exp d t t / / / / ( ) exp / j t Jd t j t t / / / / ( ) exp / / j t dt j t t ( ) / / exp / / / / j t dt j t t / / / / ( ) exp / / j t dt j / / ( ) exp t It / / j t dt j / / ( ) exp tt / / j t dt j Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

144 3 / / ( ) exp tt /,, i,,t dt j j j / / / ( ) exp t d t t t j jt jd t t t j / / / ( ) exp jt jd t t t j / / / ( ) exp jt jd t t t j / / / ( ) exp I jt jd t t t j / ( ) exp jt jd t t t j / ( ) exp ( ) / exp t t t t dt dt t / / t ( ) ( ) t t dt dt ( ) exp t t dt i i i. / i i i i t t dt i i i i e e Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

145 3 Karena, fungsi (4.) memenuhi syarat-syarat suatu f..p, maa terbuti bahwa fungsi (4.) merupaan suatu f..p dari vetor aca y dengan ruang nilai A = {(y,..., y ) < y <,..., < y < }. Dari hasil ini, maa diperoleh definisi beriut. Definisi 4.. Misalan Ω adalah matris simetris yang definit positif beruuran. Suatu vetor aca Y = (Y,..., Y ) beruuran disebut vetor aca sew-normal multivariat jia f..p dari y memilii bentu f ( y,, ) ( y, ) y, y, j di mana γ = (γ,..., γ ) adalah vetor emencengan untu beberapa bilangan riil γ,..., γ dan λ,..., λ adalah vetor riil yang memenuhi Λ = (λ,..., λ ) = Ω / diag(γ,..., γ ). Untu selanjutnya, himpunan dari vetor-vetor aca yang mengiuti distribusi yang didefinisian pada Definisi 4. dinyataan sebagai SN(, Ω, γ). j Perhatian catatan yang terait dengan Definisi 4.. Catatan 4.. Pada Definisi 4., dengan membuat γ =... = γ = pada (4.) dan (4.), diperoleh Λ = Ω / diag(,..., ) = Ω / =. Karena Λ = (λ,..., λ ), berarti Λ = (λ,..., λ ) = (,..., ). j Jadi, (,,) beruuran dan y j y (,,). y Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

146 33 Oleh arena itu, fungsi (4.) menjadi f ( y,, ) ( y, ) y j j j ( y, ) () ( y, ) j ( y, ) ( y, ). Jadi, jia γ =... = γ =, diperoleh f..p bersama dari distribusi normal multivariat ϕ (y, Ω). Dari persamaan (4.), dapat disimpulan bahwa vetor emencengan γ mempengaruhi bentu dari distribusi melalui vetor-vetor λ,..., λ. Selanjutnya aan diberian teorema dan aibat serta butinya, terait dengan vetor aca yang berdistribusi sew-normal multivariat. Teorema 4.. Misalan X, Y adalah vetor-vetor aca yang saling bebas yang berdistribusi N (, I). Misalan Z diag,, X diag,, Y (4.3) di mana X = ( X,..., X ). Maa Z ~ SN(, I, γ) untu sebarang γ = (γ,..., γ ). Buti: Misalan: U diag,,, (4.4) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

147 34 dan V diag,,, (4.5) maa diperoleh Z = U X + VY. (4.6) VY Y diag,, Y Y Y. (4.7) Dengan menggunaan teni f.p.m, aan dicari distribusi dari VY. F.p.m dari Y ~ N (, I) berdasaran persamaan (.) adalah M () E e Y t ty tt exp. F.p.m dari VY adalah M t VY () E e VY t E e t V Y E Vt Y e Vt Vt exp t V Vt exp t V V t exp. (4.8) Jadi, VY berdistribusi normal multivariat dengan matris ovariansi VV, atau VY ~ N (, VV). Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

148 35 Untu sebarang vetor riil z, dengan z z,, z, diperoleh Pr( Z z) E {Pr( Z z X )} X Pr( Z z) ( x, I) d x (di mana x, x,, x x (, ) ) Pr( Ux VY z) ( x, I) d x Pr( VY z Ux) ( x, I) d x (, ) (, ) z Ux V V x I dx, (4.9) i di mana x (, ) (, ) ( ) d x y y. Jadi, f..p bersama dari Z adalah Misalan: Inversnya: d(pr( Z z)) f ( z,, z ) dz s = p + Ux. p = s Ux. d (, ) (, ) d d z Ux V V x I x z ( (, )) (, ) z Ux V V x I dx z ( (, )) (, ) d z z Ux V V x I x Jadi, Jacobian-nya adalah: J =, J = =. Batas integrasinya: z ( ) (, ) d (, ) d z Ux p V V p x I x (di mana Jia p = ( z Ux ), maa s = () z. (4.) ( y ) x, x,, x x (, y ), i,,, ) i i Jadi, diperoleh Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

149 36 f ( z,, z ) (, ) (, ) ( ) d d z z Ux p V V p x I x z ( ) (, ) J d (, ) d z s Ux V V s x I x (, ) (, ) ( ) d d z z s Ux V V s x I x z ( ) (, ) d (, ) d z s Ux V V s x I x (, ) (, ) z Ux V V x I dx / / ( ) VV exp z Ux V V z Ux / ( ) exp x x dx / / ( ) VV exp z Ux V V z Ux / ( ) exp x x dx / / ( ) VV exp z Ux V V z Ux / ( ) exp x x dx / / ( ) VV exp z Ux V z Ux ( ) exp x x d x / Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

150 37 / / f ( z,, z ) ( ) VV exp z Ux V z Ux ( ) exp x x d x / ( ) V exp / z Ux V z Ux exp x x d x V z Ux V z Ux ( ) exp exp x x dx V z V z z V Ux ( ) exp exp x U V z x U V Ux x x d x V z V z z V Ux ( ) exp d x U V z x U V Ux x x x. (4.) Perhatian persamaan (4.4) dan (4.5). Karena U dan V adalah matris-matris diagonal, eduanya dapat dituar. Jadi, xuv Ux + xx = x(uv Ux + x) = x(uv Ux + Ix) = x(uv U + I)x. (4.) Karena U matris diagonal, maa U = U. U diag,,. V diag,,. Karena V matris diagonal, maa V diag,,. (4.3) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

151 38 UV diag,, diag,, diag,, diag,,. U V U diag,, diag,, Matris identitas I, yaitu diag,, diag,,. (4.4) I dapat dinyataan sebagai I = diag(,,..., ). U V U I diag,, diag,, Jadi, diperoleh bahwa diag,, V. (4.5) xuv Ux + xx = x(uv U + I)x Dengan demiian, dapat diperoleh = xv x. (4.6) f ( z,, z ) ( ) V exp z V z z V Ux x U V z x U V Ux x x dx Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

152 39 V z V z z V Ux ( ) exp x U V z x V x x d V x V x x U V z ( ) exp z V Ux + z V z dx V x V x x U V z ( ) exp z V Ux z U V Uz z U V Uz z V z x d V x V x x V U z ( ) exp z UV x z U V Uz + z V z z U V Uz x d V x V x x V Uz ( ) exp z U V x z U V Uz + z V z z U V Uz x d V x V x Uz ( ) exp z U V x Uz + z V z U V Uz x d V x V z U V x ( ) exp Uz z V U V U z dx V x z U V x Uz + ( ) exp z V U V U z dx Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

153 4 V x Uz V x Uz + ( ) exp z V U V U z dx V x Uz V x Uz + ( ) exp z V U V U z dx. (4.7) Perhatian suu V UV U pada bagian (4.7). Dari (4.3), diperoleh diag,, V. Dari (4.4), diperoleh diag,, Jadi, dapat diperoleh U V U. V U V U diag,, diag,,. diag,, diag,, I. (4.8) Maa, diperoleh f ( z,, z ) ( ) V exp x Uz V x Uz + z V U V U z dx V x Uz V x Uz + ( ) exp z Iz dx V / / ( ) ( ) exp exp d x Uz V x Uz z Iz x V x Uz V x Uz / ( ) exp / ( ) exp z z d x Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

154 4 V x Uz V x Uz / ( ) exp ( z, I) dx ( z, I) ( ) V / exp d x Uz V x Uz x. (4.9) Misalan: t = V (x Uz). Inversnya: x Uz = Vt; x = Vt + Uz. Jadi, Jacobian-nya adalah: J = V, J = V = V. Batas integrasinya: Jia x i =, i =,,...,, atau x = (,,..., ), maa t = V Uz; Jia x i =, i =,,...,, maa t i =, atau t = (,..., ). t V Uz z diag,, diag,, z z diag,, z diag z,, z. diag z,, z Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

155 4 Jadi, diperoleh f ( z,, z ) ( z, I) ( ) V / exp d x Uz V x Uz x / * J d (, ) ( ) z I V exp t t t (di mana * ( z, ) ) j j / * d (, ) ( ) z I V exp t t V t / * d (, ) ( ) z I V V exp t t t / * d (, ) ( ) z I V V exp t t t / * d (, ) ( ) z I V V exp t t t / * d (, ) ( ) z I I exp t t t / * d (, ) ( ) z I exp t t t ( zi, ) ( ) ( ) z z exp t t dt dt (, ) exp / / zi t j dt j jz j j (, ) exp jz j zi t j dt j j ( zi, ) z j j j Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

156 43 ( zi, ) j j j j z ( z, I),, j,, z. (4.) Dari hasil tersebut, persamaan (4.) merupaan f..p dari Z. Maa, Z SN(, Ω, γ), di mana Ω = I dan (,,,,), atau berarti Z SN(, I, γ). Jadi, Teorema 4. terbuti. j j Aibat 4.. Untu sebarang Y SN(, Ω, γ) dengan matris parameter Ω dan fator emencengan γ = (γ,..., γ ), W = Ω / Z mempunyai distribusi yang sama dengan Y, di mana Z adalah vetor aca yang didefinisian pada Teorema 4.. Buti: Misalan γ j pada Teorema 4. merupaan fator emencengan untu vetor aca. Dengan Teorema 4., f..p dari vetor aca Z adalah j j j f ( z,, z ) ( zi, ) z. Dietahui bahwa w = Ω / z. Karena Ω adalah matris simetris yang definit positif, sehingga Ω / juga merupaan matris simetris yang definit positif, maa Ω / mempunyai invers (mempunyai invers). Maa, diperoleh z = Ω / w. Misalan Ω / berbentu /, dan misalan vetor aca W = (W,..., W ) dan w = (w,..., w ), maa Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

157 44 z / w w w w w w w w w w w w w i i i iwi iwi. iw i Jacobian-nya adalah: J = Ω / = Ω / ; J = Ω / = Ω /. F..p dari Z dapat dinyataan sebagai zi j j j f ( z,, z ) (, ) z zz jzj / ( ) exp j / ( ) exp (,, j,,) z z z. j Maa, f..p dari W adalah g f J / ( w) ( w) g( w,, w ) ( ) exp w w / / / j (,, j,,) / w / Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

158 45 ( ) / exp w / / w j (,, j,,) / w / / / / ( ) exp w w j (,, j,,) / w / / / ( ) exp w w j (,, j,,) / w ( w, ) (,, j,,) / w j. (4.) * Dengan memisalan bahwa / (,,,,), persamaan (4.) menjadi j j / w j w j g( w,, w ) (, ) (,,,,) j * ( w, ) j w. (4.) Karena f..p dari W pada persamaan (4.) sama seperti f..p dari Y pada Definisi 4., maa terbuti bahwa W memilii distribusi yang sama dengan Y arena * / j diag(,, ). 4.. Fungsi Pembangit Momen Seperti pada asus univariat, pada asus multivariat, untu mencari f.p.m juga dibutuhan bantuan suatu lemma, yaitu: Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

159 46 Lemma 4.. Jia U ~ N (, Ω), maa a E a vu, (4.3) v v / untu sebarang salar a dan v. Sebelum digunaan untu mencari f.p.m dari vetor aca Y, Lemma 4. aan dibutian terlebih dahulu. Untu membutian Lemma 4. dibutuhan Teorema 4. dan Aibat 4., yang juga aan dibutian. Teorema 4.. Jia Z ~ N(ξ, θ ) dan Y ~ m / m saling bebas, maa untu sebarang salar c, Pr / E Z cy T c ; m (4.4) di mana adalah fungsi distribusi dari variabel aca N(, ) dan T ε;m adalah variabel aca yang berdistribusi t-nonsentral dengan derajat bebas m dan parameter etidasentralan. (4.5) Buti Teorema 4.: Misalan X ~ N(, ) bebas dari Y dan Z, dan adalah fungsi distribusi dari variabel aca X. zcy x EYZ, Z cy exp dx f ( y, z ) dydz EY, Z Pr X X z cy y, z Pr X Y Z X Z cy,, Pr X Y Z X Z cy,, Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

160 47 X Z EY, Z Z cy PrX, Y, Z c Y Pr X, Y, Z X Z c. (4.6) Y X Z Dengan teni f.p.m, aan ditunjuan bahwa ~ N (,). Y X ~ N(, ), Z ~ N(ξ, θ ), dan Y ~ m / m saling bebas. X Z M XZ ( t) E exp t X Z E exp t exp t X Z E exp t E exp t X Z E exp t E exp ( t) t t t exp exp t t t exp exp t t exp t t exp t t exp t. (4.7) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

161 48 X Z Jadi, diperoleh bahwa ~ N,, atau berarti X Z ~ N,. Dengan Definisi.38, Definisi.38. Misalan variabel aca W berdistribusi N(ε, ), misalan variabel aca V berdistribusi r, dan W dan V saling bebas. Bentu T W V r disebut berdistribusi nonsentral-t dengan derajat bebas r dan parameter etidasentralan ε dan dinyataan oleh T ~ T ε;m. Jia δ =, diataan T berdistribusi sentral-t (distribusi t); arena Y ~ / m, diperoleh bahwa X Z Berarti, T ; Y m m X Z Y. Jadi, persamaan (4.6) menjadi ~ T ε;m dan. X Z c EY, Z Z cy PrX, Y, Z Y Pr T ; m c. Jadi, terbuti bahwa jia Z ~ N(ξ, θ ) dan Y ~ m / m saling bebas, maa E Z cy Pr T c / untu sebarang salar c, ; m. Aibat 4.. Jia Z ~ N(ξ, θ ), maa E Z. (4.8) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

162 49 Buti Aibat 4.: Buti dari Aibat 4. ini aan menggunaan Teorema 4.. Misalan c = pada persamaan (4.4), maa diperoleh ; E Z Pr T m. (4.9) Misalan X ~ N(, ), dan Y ~ m / m dengan X, Y, dan Z saling bebas. Pertama, aan dicari terlebih dahulu suatu fungsi dari variabel-variabel aca yang sama dengan T ε;m. Didefinisian suatu fungsi dari variabel-variabel aca, X. Y Terlebih dahulu aan ditunjuan bahwa X + ε berdistribusi N(ε, ). M t E e t( X ) X () E e tx t tx t E e e t tx e E e t t e exp t expt. (4.3) Jadi, dengan teni f.p.m terbuti bahwa X + ε ~ N(ε, ). X Dengan Definisi.38, diperoleh bahwa T ;m. Y Untu sebarang m, X Pr T ; m Pr Y. Pr X Pr X ( ). (4.3) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

163 5 E Z. Jadi terbuti bahwa jia Z ~ N(ξ, θ ), maa Selanjutnya, aan dibutian Lemma 4.. Buti Lemma 4.: Misalan U ~ N (, Ω). F.p.m dari vetor aca U sesuai dengan (.) adalah M () E e tu t U t t exp. (4.3) Misalan terdapat suatu vetor riil aca vu. F.p.m dari vu adalah v. Aan dicari distribusi dari variabel t vu M () t E e vu t v U E e t v U E e t v tv exp (substitusian t dengan tv pada (4.3)) t v tv exp exp v v t. (4.33) Dengan teni f.p.m, maa sesuai dengan (.36), diperoleh vu ~ N(, vω v). Misalan a adalah sebarang salar. Selanjutnya aan dicari distribusi dari a + vu. t a M a () t E e vu vu at t E e v U Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

164 5 at t v U E e e at e E e at e E e e at exp t v U t v U exp at v v v t v t. (4.34) Dengan teni f.p.m, maa sesuai dengan (.36), diperoleh a + vu ~ N(a, vω v). Dari Aibat 4., diperoleh bahwa jia Z ~ N(ξ, θ ), maa / E Z. Karena a + vu ~ N(a, vω v), maa a E a vu v v a v v / Jadi, terbuti bahwa jia U ~ N (, Ω), maa a E a vu, v v /. untu sebarang salar a dan v. Setelah Lemma 4. dibutian, selanjutnya aan dibahas mengenai f.p.m dari distribusi sew-normal multivariat. Misalan Y ~ SN(, Ω, γ). Maa, f.p.m dari suatu vetor aca Y adalah M () E e Y t ty ty e f ( y,, ) dy ty / / e ( ) exp d y y y y i i Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

165 5 ty / / M ( t ) e ( ) exp d y y Y y y i i / / ( ) exp y y t y i y dy i / / ( ) exp y y t y i y dy. (4.35) i Misalan: u = y Ωt; u = y tω. Inversnya: y = u + Ωt; y = u + tω. Jadi, Jacobian-nya adalah: J =. J = =. Batas integrasinya: Jia y i =, maa u i =, i =,,..., ; Jia y i =, maa u i =, i =,,...,. Jadi, diperoleh / / M ( t ) ( ) exp d y y t y Y y y i i / / ( ) exp u t u t t u t i u t J du i / / ( ) exp u t u t t u t i u t du i Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

166 53 / / M ( t ) ( ) exp Y u t u t t u t i u t du i / / ( ) exp u u u t t u i i d i t t t u t t u t u / / ( ) exp u u u It t Iu t It i i t u t t u t du i / / ( ) exp u u u t t u t t i i t u t t u t du i / / ( ) exp u u t u t u t t i i t u t t u t du i / / ( ) exp u u t u t t i i t u t t u t du i / / ( ) exp u u t t i i i u t du Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

167 54 / / M ( t ) ( ) exp exp u u Y t t i i i u t du / / exp ( ) exp t t u u i i i u t du. (4.36) Misalan: v = Ω / u; v = uω /. Inversnya: u = Ω / v; u = vω /. Jadi, Jacobian-nya adalah: J = Ω / = Ω /. (dibutian pada bagian Lampiran ) J = Ω / = Ω /. (Ω definit positif) Batas integrasinya: Jia u i =, maa v i =, i =,,..., ; Jia u i =, maa v i =, i =,,...,. Jadi, diperoleh / / M ( t ) exp ( ) exp t t Y u u i i i u t du / / / / exp ( ) exp t t v v / / i i i v t dv Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

168 55 / / / M ( t ) exp ( ) exp t t y v v / i i i v t dv / exp t t ( ) exp v v / i i i v t dv. (4.37) Dari (4.), dietahui bahwa Λ = (λ,..., λ ) = Ω / diag(γ,..., γ ). Jadi, dapat diperoleh Ω / Λ = diag(γ,..., γ ). (Ω / Λ) = [diag(γ,..., γ )] = diag(γ,..., γ ). Λ (Ω / ) = diag(γ,..., γ ). Λ Ω / = diag(γ,..., γ ).. /,, diag,, / i,, i,,. (4.38) Jadi, diperoleh bahwa v / i v,, i,, ivi. (4.39) v Jadi, f.p.m dari vetor aca Y menjadi / M ( t ) exp ( ) exp t t Y v v / i i i v t dv Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

169 56 / M ( t ) exp ( ) exp v v t t Y ivi i i t dv / exp ( ) t t exp v v v t v t dv / exp ( ) t t exp v exp v v t v t dv exp ( ) exp v v dv / t t i t i i i i i exp ( vi ) ivi dvi i t t i t exp i t t EV ivi i t i exp E,,,, t t V t Vi i i i it exp t t / i,, i,,,, i,, it / i exp t t i / / i exp t t t / i i /,,,, i exp t t t. (4.4) / i i Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

170 57 Misalan vetor-vetor olom beruuran dari Ω / adalah p, p,..., p, dengan p j p j p j, (4.4) p j sehingga diperoleh Jadi, diperoleh Ω / / = (p, p,..., p ) dan p, p,, p,,,, / p, p,, p i i i i i i i. (4.4). (4.43) /,,,, t p,, p i i i i i t t p t p t, (4.44) i i i i sehingga f.p.m dari vetor aca Y menjadi M Y,,,, ( t) exp t t t / i / i i i t t p / it. (4.45) i exp i i exp / p it pit t t i i p t p t i i i exp t t / i i i pt ji j j exp t t. (4.46) / i i Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

171 58 Untu penyederhanaan, didefinisian h i di mana h i / i i. (4.47) Karena i, maa h i (, ), i =,,...,. Jadi, f.p.m dari vetor aca Y yang berdistribusi sew-normal sesuai Definisi 4. adalah M ( t ) exp t t Y h p t, (4.48) i ji j i j dengan p, p,..., p adalah vetor-vetor olom dari matris Ω / di mana dan h i p j p p p j j j / i i (,) Matris Mean dan Kovariansi Pada bagian ini aan dicari matris mean dan matris ovariansi untu vetor aca yang berdistribusi sew-normal multivariat. Untu mendapatan matris mean dan ovariansi, aan digunaan f.p.m (4.4). Perhatian persamaan (4.4), yaitu i M ( t ) exp / i t t i p t y i dengan p, p,..., p adalah vetor-vetor olom dari matris Ω /. Karena h i / i i, maa M ( t ) exp t t h p t. (4.49) Y i i i Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

172 59 Selanjutnya aan dicari momen-momen dari distribusi sew-normal multivariat. M () t Y exp hi i t t t t p t i exp t t hi pi hi pit hj p jt i j, ji exp t t thip it i i i i i j j i j, ji h p h p t h p t. (4.5) M () t Y exp hi i t t t t p t i exp t t hi p i hi p it h j p jt i j, ji exp t t t hip it i h i i h i i h j j i j, ji p p t p t. (4.5) M () M () Y t y t tt t t exp t t t hip it t i h i i h i i h j j i j, ji p p t p t exp t t t hip it t i h i i h i i h j j i j, ji p p t p t Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

173 6 t Y exp hi i t t t t t t p t i M () h i i h i i h j j i j, ji p p t p t exp t t hip it i h p h p t h p t t i i i i j j i j, ji i j, ji l, l j 3 hi hj pi p jhj p jt hi pit pi pih j p jt h l l pt, (4.5) dengan h pt l l hlpt l, l i hlpt l, l i. (4.53) Mean dari vetor aca y adalah MY () t E( Y ) t t exp hi i p i i j, ji h p i i i j, ji hip i i hip i i Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

174 6 E( Y) i hip i i h p i i hi i i p. (4.54) Untu mencari matris ovariansi dari vetor aca Y dibutuhan E(YY). MY () t E ( YY ) t t t (,,) exp (,,) i exp h p i i i j, ji i h p (,,) i i i j, ji hh pp i j i j i j, l, ji l j exp hi i (,,) p i i j, ji hh pp i j i j i j, l, ji l j exp hh i j i j pp i i j, l, ji l j hh i j i j pp i i j, l, ji l j Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

175 6 E ( ) YY hi hj i j p p i i j, l, ji l j hh i j i j pp i j, l, ji l j hh i j i j pp i j, l, ji l j. (4.55) hh i j i j pp i j, l, ji l j Kemudian aan dicari matris ovariansinya, misalan matris Σ merupaan matris ovariansi dari vetor aca sew-normal multivariat. E ( yy ) E( y) E ( y ) hi hj i j hi i hi i p p p i j, l, p i i ji l j hi hj i j hi i hi i p p p p i j, l, i i ji l j hi h j i j hi i hi i p p i j, p p l, i i ji l j hi h j i j hi i hi i i p p j, l p, i p (4.56) i ji l j Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

176 63 Jadi, matris mean dan ovariansi dari vetor aca y ~ SN(, Ω, γ) adalah E( Y) h p, i i i hi h j i j hi i hi i i p p j, l p, i p. i ji l j 4. Distribusi Sew-Normal Bivariat Pada bagian ini, aan didisusian asus husus dari distribusi sewnormal multivariat, yaitu etia =, disebut distribusi sew-normal bivariat. Aan dibahas mengenai arateristi-arateristi dari distribusi sew-normal bivariat, yaitu f..p, f.p.m, mean, dan ovariansi dari variabel-variabel aca. 4.. Fungsi Kepadatan Probabilitas Misalan Y ~ SN(, Ω, γ), atau berarti vetor aca y berdistribusi sewnormal bivariat. Maa, f..p dari distribusi ini berdasaran (4.) adalah j j f ( y,, ) ( y, ) y, y, (4.57) di mana matris parameter. (4.58) Determinan dari matris Ω adalah Ω =. ω.ω = ω. (4.59) Jadi, invers dari matris Ω adalah adj( ) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

177 64. (4.6) Kemudian dicari nilai-nilai eigen dari matris Ω. (α )(α ) ω.ω = α α + ω = 4 4()( ) (4.6) Misalan x = (x, x ). Aan dicari vetor eigen dari matris Ω untu setiap nilai-nilai eigennya. x = (x, x ) adalah vetor eigen dari Ω untu nilai eigen α jia x memenuhi x. (4.6) x Untu α = ω. x = (x, x ) adalah vetor eigen dari Ω untu nilai eigen α = ω jia x memenuhi x. x Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

178 65 Dengan operasi baris elementer, b bb. x + x =, berarti x = x. Misalan x = s, berarti x = s. x s x s x s. Jadi, vetor eigen yang berpadanan denga nnilai eigen α = ω adalah x s. Untu α = + ω. x = (x, x ) adalah vetor eigen dari Ω untu nilai eigen α = + ω jia x memenuhi x. x Dengan operasi baris elementer, b bb. x x =, berarti x = x. Misalan x = s, berarti x = s. x s x s x s. Jadi, vetor eigen yang berpadangan dengan nilai eigen α = ω adalah x s. Jadi, basis-basis untu ruang eigennya adalah: u dan u. Vetor-vetor eigen yang ortonormal adalah: Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

179 66 v v Jadi, diperoleh u u u u u u dan. V, (4.63) yang merupaan matris ortogonal. V. (4.64) V adj( V ) V V. (4.65) Jadi, sesuai Definisi.3 diperoleh VΩV = D = diag( ω, + ω). (4.66) Karena V matris ortogonal, maa dengan (4.65) diperoleh V ΩV = diag( ω, + ω). (4.67) Ω = Vdiag( ω, + ω)v. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

180 67 Maa dapat dicari aar uadrat dari Ω, yaitu Ω / = V [diag( ω, + ω)] / V / Vdiag, V (4.68) Ω / adalah invers dari matris Ω /. / / /. (4.69) adj( ). (4.7) / (4.7) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

181 68 / / / / /. Jadi, dapat diperoleh determinan dari Ω / adalah /. (4.7) (4.73) Sesuai dengan hasil yang dijelasan pada bagian Lampiran, diperoleh bahwa / /. Dari (4.), diperoleh (,, ) diag,,. / Jadi, untu asus bivariat, yaitu =, (, ) diag, / Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

182 69 Jadi, Dari (4.57), dan ( y,, ) ( y, ) j y, y, j f. (4.74). (4.75) dengan / ( y, ) ( ) exp y y. (4.76) Bagian yω y menjadi y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y. (4.77) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

183 7 / ( y, ) ( ) exp y y y y y y ( ) exp /. (4.78) Jadi, f..p dari vetor aca Y yang berdistribusi sew-normal bivariat adalah / ( y y y y ) f ( y, y,,, ) ( ) exp ( ) dengan y y (4.79), (4.8). (4.8) 4.. Fungsi Pembangit Momen Dietahui dari (4.48), f.p.m dari vetor aca Y ~ SN(, Ω, γ) dinyataan dengan bentu M ( t ) exp t t Y h p t, i ji j i j dengan p, p,..., p adalah vetor-vetor olom dari matris Ω / di mana dan h i p j p p p j j j / i i (,). Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

184 7 Maa, untu asus bivariat, yaitu untu =, f.p.m-nya adalah M ( t ) exp hi p jit j t t Y i j 4exp t t hi p jit j. (4.8) i j Karena Ω merupaan matris parameter yang memilii bentu, maa bagian tωt menjadi dan diperoleh t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t, (4.83) M ( t ) 4exp t t Y hi p jit j i j 4exp t tt t hi p jit j i j 4exp t tt t hi p it hi pit i 4exp t t t t h p t h p t h p t h p t. Jadi, f.p.m dari Y ~ SN(, Ω, γ) adalah M ( t ) 4exp t tt t h pt h pt Y, h p t h p t, (4.84) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

185 7 di mana h / h / (,), (4.85) (,). (4.86) p p p, (4.87) p. (4.88) 4..3 Mean, Kovariansi, dan Variansi Mean, variansi, dan ovariansi dari variabel-variabel aca Y dan Y aan dicari dengan menggunaan f.p.m dan turunan-turunannya yang telah diperoleh pada bagian 4... Dengan (4.54), dapat dicari mean dari Y dan Y, yaitu E( Y) hip i I h p h p. Karena p = (p, p ) dan p = (p, p ), maa EY p p h h EY p p h p h p h p h p h p h p h p h p h p h p h p h p. (4.89) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

186 73 E( Y ) h p h p. (4.9) E( Y ) h p h p. (4.9) Dengan menggunaan (4.55) dapat dicari E(Y Y ). E h h ( ) YY i j i j p p i j, l, ji l j hh i j pp i j i j, l, ji l j 4 4 hh i j pp i j i j, l, ji l j 4 hi h pi p hi h pi p i l, l j 4 hh p p hh p p l, l j 4 hh hh p p p p 4 hh hh p p p p 4 hh p p hh p p 4 h h p p h h p p h h p p h h p p. h h p p h h p p. (4.9) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

187 74 Karena p p dan p p p diperoleh p p p p p p p p pp, p p p p p (4.93) p p p p p p p pp, p p p p p (4.94) Jadi, persamaan (4.9) menjadi E ( YY ) h h p p h h p p p p p p p p p p hh hh p p p p p p p p p p p p p p p p hh hh p p p p p p p p hh p p hh p p hh p p hh p p hh p p hh p p hh p p hh p p hh p p hh p p hh p p h h p p h h p p h h p p 4 hh p p hh p p hh p p 4 hh p p hh p p hh pp Karena 4 h h p p h h p p h h p p 4 hh p p hh p p hh p p Y YY E ( YY ) E YY, dari (4.95) diperoleh E(Y Y ), yaitu Y (4.95) E YY hh p p hh p p. (4.96) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

188 75 Karena p p dan p p, maa p p p p 4 4. (4.97) 4 4. (4.98) Dari hasil (4.9), (4.9), dan (4.96) dapat diperoleh ovariansi dari variabelvariabel aca Y dan Y, yaitu Cov, Y Y E YY E Y E Y hh p p h h p p h p h p h p h p hh p p h h p p h p p h h p p h h p p h p p hh p p h h p p h p p h h p p h h p p h p p Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

189 76 Cov Y, Y hh p p hh p p h h h p p hh p p h hh p p h h p p h h h p p h h p p h h h Dari (4.95), yaitu h h h h. (4.99) 4 h h p p h h p p h h p p E ( yy ) 4 hh p p hh p p hh p p dapat diperoleh EY dan E Y E Y EY. 4 h h p p. (4.) 4 h h p p. (4.) Dengan menggunaan persamaan-persamaan (4.), (4.), (4.9), dan (4.9) diperoleh variansi dari masing-masing variabel aca adalah Var Y E Y E Y 4 h h p p h p h p 4 h h p p h p h p 4 h h p p h p h h p p h p, Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

190 Y h h p p h p h h p p h p Var h p h p h p h p. (4.) Var Y E Y E Y 4 h h p p h p h p 4 h h p p h p h p 4 h h p p h p h h p p h p 4 4 h h p p h p h h p p h p h p h p h p h p. (4.3) Beriut diberian teorema terait dengan sifat independensi dari distribusi sew-normal bivariat. Teorema 4.3. Misalan Y = (Y, Y ) adalah vetor aca bivariat yang berdistribusi SN(, Ω, γ). Maa Y dan Y saling bebas jia dan hanya jia ω =. Buti: Buti Teorema 4.3 ini aan dibagi e dalam dua bagian. () Aan dibutian bahwa jia ω =, maa Y dan Y saling bebas. Buti: Perhatian f..p dari distribusi sew-normal bivariat pada (4.79), yaitu Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

191 78 dengan / ( y y y y ) f ( y, y,,, ) ( ) exp ( ) ( ) ( ), (, ) y y y y, dan. Misalan ω =, maa f..p-nya menjadi dengan y y f ( y, y,,, ) ( ) exp, ( y) ( y), ( y, y ), dan, Jadi, f..p dari distribusi sew-normal bivariat menjadi. y y f ( y, y,,, ) ( ) exp y y / Karena ( ) exp y / y / ( ) exp y( ) y exp y. y merupaan bentu f..p dari variabel aca Y yang berdistribusi sew-normal univariat dengan parameter emencengan γ, y / dan ( ) exp y merupaan bentu f..p dari variabel aca Y yang berdistribusi sew-normal univariat dengan parameter emencengan γ, Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

192 79 maa sesuai Definisi.4, terbuti bahwa Y dan Y saling bebas. Jadi, terbuti bahwa jia ω =, maa Y dan Y saling bebas. () Aan dibutian bahwa jia Y dan Y saling bebas, maa ω =. Buti: Dari (4.84), f.p.m dari vetor aca Y ~ SN(, Ω, γ) adalah M ( ) M ( t, t ) Y t Y, Y di mana h 4exp t t t t h p t h p t h p t h p t / h /,. p p p, p. Dari (4.98) diperoleh ovariansi dari Y dan Y, yaitu Y Y E YY E Y E Y h h Cov, Cov YY,. Jia Y dan Y saling bebas, maa Agar YY, maa h h Cov, harus bernilai. Jadi, h h dapat mengaibatan dua asus, yaitu (i) h h ; (ii) ω =. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

193 8 Perhatian asus (i). Jia asus (i) yang terjadi, maa h h h h. Berdasaran (4.47), h mengaibatan i i, i,. Karena i, i =,, i maa h i (, ). Maa nilai h h berada pada [, ), sedangan 3, Berarti tida aan dapat diperoleh nilai h dan h sedemiian sehingga h h. Jadi, asus (i) ini tida mungin terjadi. Perhatian asus (ii). Jia asus (ii) yang terjadi, maa h h mengaibatan ω =. Karena asus (i) tida mungin terjadi, dan hanya mungin asus (ii) yang mengaibatan ω =, maa terbuti bahwa terjadi, yaitu h h jia bahwa jia Y dan Y saling bebas, maa ω =. Jadi, terbuti bahwa jia Y adalah vetor aca bivariat yang berdistribusi SN(, Ω, γ), maa Y dan Y saling bebas jia dan hanya jia ω =. 4.3 Contoh Misalan Y ~ SN(, Ω, γ) dan =, berarti Y ~ SN(, Ω, γ).. Misalan ω = dan γ = γ =, maa Y ~ N (, I) sesuai dengan Catatan 4., dan sesuai Teorema 4.3, Y dan Y berdistribusi N(, ) dan saling bebas. Pr(Y, Y ) = Pr(Y )Pr(Y ) = (,843)(,843) =, Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

194 8 Misalan ω = dan γ = γ =, maa Y dan Y saling bebas dan berdistribusi Y ~ SN(γ ) dan Y ~ SN(γ ). Pr(Y, Y ) = Pr(Y )Pr(Y ) = F ()F () = [() T(, )][() T(, ) ] = [,843 (,6674)][,843 (,6674)] = (,7786)(,7786) =,53. Misalan ω = dan γ = γ =, maa Y ~ SN(, I, γ). Pr(Y, Y ) = Pr(Y )Pr(Y ) = F ()F () = [() T(, )][() T(, ) ] = [() + T(, )][() + T(, ) ] = [,843 + (,6674)][,843 + (,6674)] = (,974784)(, ) =,954. Misalan ω = dan γ = γ =, maa Y ~ SN(, I, γ). Pr(Y, Y ) = Pr(Y )Pr(Y ) = F ( )F ( ) = [( ) T(, )][( ) T(, ) ] = [( ) T(, )][( ) T(, ) ] = [,587 (,6674)][,587 (,6674)] = (,56)(, 56) =,636. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

195 8 Misalan ω = dan γ = γ =, maa Y ~ SN(, I, γ). Pr(Y, Y ) = Pr(Y )Pr(Y ) = F ( )F ( ) = [( ) T(, )][( ) T(, ) ] = [( ) + T(, )][( ) + T(, ) ] = [,587 + (,6674)][,587 + (,6674)] = (,984)(,984) =,8537. Misalan ω =, γ =, dan γ =, maa Y ~ SN(, I, γ). Pr(Y, Y ) = Pr(Y )Pr(Y ) = F ()F () = [() T(, )][() T(, ) ] = [() + T(, )][() T(, ) ] = [,843 + (,6674)][,843 (,6674)] = (,974784)(,7786) =, Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

196 BAB 5 PENUTUP 5. Kesimpulan Dalam tugas ahir ini telah dijelasan mengenai distribusi sew-normal. Distribusi sew-normal adalah distribusi probabilitas data yang merupaan perluasan dari distribusi normal, dengan memasuan parameter emencengan. Distribusi sew-normal dapat memfasilitasi data-data yang memilii emencengan yang uat dan data-data yang mempunyai distribusi probabilitas yang terpusat di seitar mean tetapi urang atau tida simetris. Distribusi ini memilii beberapa sifat yang juga dimilii distribusi normal, yaitu jia X ~ SN(α), maa X ~ ; jia X berdistribusi sew-normal, maa X juga berdistribusi sew-normal; dan jia X ~ SN(α), Z ~ N(, ζ ), maa X dan Z berdistribusi identi. Distribusi sew-normal dapat diperumum dengan memasuan parameter location dan scale. Untu variabel aca sew-normal asus univariat, arateristiarateristi yang dibahas adalah fungsi epadatan probabilitas (f..p), fungsi distribusi, fungsi pembangit momen (f.p.m), mean dan variansi, sifat-sifat, dan perluasan dengan memasuan parameter location dan scale. Kemudian diberian perbandingan grafi antara grafi distribusi normal standar dengan sew-normal. Misalan X adalah variabel aca yang berdistribusi sew-normal dengan parameter emencengan α, atau ditulis X ~ SN(α), dengan. Karateristiarateristi yang dimasud adalah. Fungsi epadatan probabilitas: f α (x) = (x)φ(αx), < x <, di mana adalah f..p dan Φ adalah fungsi distribusi normal standar N(, ).. Fungsi distribusi: F α (x) = (x) T(x, α). 83 Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

197 84 3. Fungsi pembangit momen: t X ( ) ( ) M t e t, dengan 4. Mean: EX ( ). 5. Variansi: (,). Var( X ). 6. Sifat-sifat dari variabel aca X ~ SN(α) adalah (i) Jia α =, maa X = Z, dan jia α ±, maa X = ± Z, di mana Z ~ N(, ). (ii) Jia X ~ SN(α), maa X ~ SN( α). (iii) Jia X ~ SN(α), maa X dan Z berdistribusi identi. (iv) F α ( x) = F α (x). (v) F (x) = {Φ(x)}. (vi) Jia X ~ SN(α), maa X ~, yaitu suatu variabel aca berdistribusi chi-square dengan derajat bebas =. (vii) Sebuah variabel aca X mempunyai f..p f α (x) = (x)φ(αx), < x <, jia dan hanya jia X mempunyai representasi X Z Z, di mana Z, Z adalah variabel-variabel aca N(, ) yang saling bebas, dan (,). (viii) Misalan Z, Z merupaan variabel aca yang berdistribusi normal standar N(, ). Jia variabel aca X mempunyai representasi X = a Z + bz, maa / / / ( a b ) X ( a b ) a Z ( a b ) bz ~ SN, / di mana ( a b ) a adalah oefisien dari Z. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

198 85 (ix) Jia X ~ SN(α) dan Z ~ N(, ) saling bebas, maa (x) az bx b ~ SN a b a ( ) b untu sebarang ab,. Jia X ~ SN(α) dan Z ~ N(, ) saling bebas, maa X Z ~ SN. (xi) Jia X i ~ SN(α i ) saling bebas dengan α i, i =,. Maa, secara umum, X + X buan variabel aca sew-normal. 7. Perluasan dengan memasuan parameter location dan scale. Misalan X ~ SN(α), dan terdapat suatu variabel aca Y di mana Y = + X. Y adalah variabel aca yang berdistribusi sew-normal dengan parameter emencengan α, parameter location, dan parameter scale, atau dinyataan dengan Y ~ SN(,, α), di mana dan >. Karateristi-arateristi dari variabel aca ini adalah (i) Fungsi epadatan probabilitas: y y g( y;,, ), y. (ii) Fungsi distribusi: y y G ( y) T,. (iii) Fungsi pembangit momen: t MY ( t) exp t ( t). (iv) Mean: EY ( ). (v) Variansi: Var( Y). Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

199 86 8. Perbandingan grafi distribusi normal standar dan sew-normal. Gambar 3. Grafi Distribusi Normal Standar Gambar 3. Grafi Distribusi Sew-Normal Untu vetor aca sew-normal multivariat, arateristi-arateristi yang dibahas adalah fungsi epadatan probabilitas, fungsi pembangit momen, vetor mean, dan matris ovariansi. Misalan Y adalah vetor aca yang berdistribusi sew-normal multivariat, atau Y ~ SN(, Ω, γ). Ω adalah matris simetris yang definit positif beruuran, γ = (γ,..., γ ) adalah vetor emencengan untu bilangan-bilangan riil γ,..., γ,. Karateristi-arateristi yang dimasud adalah Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

200 87. Fungsi epadatan probabilitas: f ( y,, ) ( y, ) y, y, di mana dan λ,..., λ adalah vetor riil yang memenuhi Λ = (λ,..., λ ) = Ω / diag(γ,..., γ ).. Fungsi pembangit momen: j M ( t ) exp t t Y h p t, j i ji j i j dengan p, p,..., p adalah vetor-vetor olom dari matris Ω / di mana p j p p p j j 3. Vetor mean: j, dan h i / i i (,). E( Y) h p. i i i 4. Matris ovariansi: hi h j i j hi i hi i i p p j, l p, i p. i ji l j 5. Saran Saran dari penulis mengenai topi tugas ahir ini adalah:. Distribusi sew-normal buan satu-satunya distribusi probabilitas yang dapat memfasilitasi emencengan data dan data yang berdistribusi probabilitas terpusat di seitar mean tetapi urang atau tida simetris. Ada distribusidistribusi probabilitas data yang lebih bai daripada distribusi sew-normal.. Distribusi sew-normal multivariat yang dibahas pada tugas ahir ini masih mungin dapat diembangan, dan dapat diperluas dengan memasuan parameter location dan scale. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

201 DAFTAR PUSTAKA Arnold, B.C. dan Beaver, R.J. (7). Sewing Around: Relationships Among Classes of Sewed Distributions. Methodology and Computing in Applied Probability, Vol. 9, No., 53-6 Azzalini, A. (985). A Class of Distributions Which Includes the Normal Ones. Scandinavian Journal of Statistics, Vol., No., Azzalini, A. (5). A Very Brief Introduction to Sew-Normal Distribution. Azzalini, A. dan Valle, D. (996). The Multivariate Sew-Normal Distribution. Biometria, 83, 4, pp Brown, N.D. (997). Reliability Studies of The Sew-Normal Distribution. A.B. Bowdoin College. University of Maine. Foss, S., Korshunov, D., dan Zachary, S. (8). An Introduction to Heavy-Tailed and Subexponential Distributions. Schwarzwaldstrasse: Oberwolfach Preprints. Gupta, A.K. dan Chen, J.T. (4). A Class of Multivariate Sew-Normal Models. Annals Institute of Statistical Mathematics, Vol. 56, No., pp Hogg, R.V. dan Craig, A.T. (995). Introduction to Mathematical Statistics, 5th ed.. New Jersey: Prentice-Hall Inc. Hogg, R.V., McKean, J.W., dan Craig, A.T. (5). Introduction to Mathematical Statistics, 6th ed. New Jersey: Prentice Hall. Kaplan, W. (99). Advanced Calculus, 4th ed. Addison-Wesley Publishing Company. Kreyszig, E. (97). Introductory Mathematical Statistics. New Yor: John Wiley & Sons. Johnson, R.A. dan Wichern, D.W. (998). Applied Multivariate Statistical Analysis, 4th ed. New Jersey: Prentice-Hall. 88 Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

202 89 Lachos, V.H., Labra, dan F.V., dan Ghosh, P. Multivariate Sew- Normal/Independent Distributions: Properties and Inference. Leone, F.C., Nelson, L.S., dan Nottingham, R. B.(96). The Folded Normal Distribution. Technometrics, Vol. 3, No. 4, Miller, I. dan Miller, M. (999). John E. Freunds Mathematical Statistics, 6th ed. New Jersey: Prentice Hall. Owen, D.B. (956). Tables for Computing Bivariate Normal Probabilities. Institute of Mathematical Statistics: The Annals of Mathematical Statistics, Vol., No. 4, pp Patefield, M. dan Tandy, D. Fast and Accurate Calculation of Owens T- Function. Department of Applied Statistics, The University of Reading. UK. Pourahmadi, M. Construction of Sew-Normal Random Variables: Are They Linear Combinations of Normal and Half-Normal? Tamhane, A.C. dan Dunlop, D.D. (). Statistics and Data Analysis (from Elementary to Intermediate). New Jersey: Prentice Hall. Weatherburn, C.E. (968). A First Course in Mathematical Statistics. London: Cambridge. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

203 LAMPIRAN Lampiran. Indes dan Parameter Kemencengan Misalan terdapat suatu variabel aca X ~ SN(α). Parameter α disebut parameter emencengan dan. Pada Lampiran ini aan diberian penjelasan mengenai eteraitan antara parameter emencengan α dan indes 3 E X emencengan 3. Dengan menggunaan f.p.m dari variabel aca 3 X berdasaran persamaan (3.34), yaitu t M ( t) e t, X dengan (,). Dari (3.68) dan (3.69), dietahui E( X ) M (). E X ( ) M (). Dari persamaan (3.34), dapat diperoleh momen etiga dan emudian dapat dicari indes emencengan β 3. Dari persamaan (3.65) diperoleh t t t M X ( t) exp t t exp t 4 t exp ( t) Jadi, dapat diperoleh t 3 texp ( t). t t t M X ( t) exp tt exp t 4t exp t t t t t exp tt t exp t 4 exp ( t) 9 Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

204 9 (lanjutan) t t t t t t t t 4 exp ( ) 4 exp ( ) 3 t 3 t exp ( t) t exp t( t) 3 t t exp ( t) t. t t t M X ( t) t exp t exp t 4t exp t 3 t t t t exp t t exp t 4 exp ( t) t 3 t 3 t 4 t exp ( t) 4 t exp ( t) exp ( t) 3 t 5 t t exp ( t) t exp ( t). t t 3 t 6texp t 6 exp t t exp t t 3 t 6 t exp t 6 t exp ( t) 3 t 5 t exp ( t) t exp ( t). Kemudian dapat diperoleh momen etiga dari variabel aca X, yaitu 3 E X M X () 3 6 () Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

205 9 (lanjutan) E X (L..) Jadi, indes emencengan dari X adalah 3 E X 3 3 E X 3 3X 3X E X E X E X E E X 3 E X E X Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

206 93 (lanjutan) (L..) Perhatian persamaan (L..) Jadi, persamaan (L..) menjadi (L..3) Dari (3.33), dietahui bahwa (,). Dengan mensubstitusian persamaan (3.33) e (L..3), diperoleh Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

207 94 (lanjutan) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

208 95 (lanjutan) (L..4) Karena, maa nilai dari β 3 ada pada interval (,995,,995). Dari hasil ini dapat disimpulan bahwa hubungan antara β 3 dan α buan merupaan suatu analogi. Namun, eduanya beraitan melalui persamaan (L..4) Untu nilai emencengan α =, melalui persamaan (L..4), 3 Jadi, sesuai dengan sifat pertama dari variabel aca sew-normal univariat, yaitu etia α =, variabel aca sew-normal univariat menjadi variabel aca yang berdistribusi normal standar N(, ), dan indes emencengan untu distribusi normal bernilai. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

209 96 Lampiran. Matris Ω dan Sifat-sifatnya Matris Ω merupaan matris parameter beruuran yang simetris, dan merupaan matris definit positif. Misalan, matris Ω dinyataan dengan. (L..) Pada bab empat Ω merupaan matris ovariansi dari vetor aca yang berdistribusi normal multivariat dengan mean dan Ω dinyataan dengan. (L..) Dengan Teorema.38, arena matris Ω simetris, maa Ω dapat didiagonalan secara ortogonal. Berarti matris Ω mempunyai n vetor eigen ortonormal yang berbeda. Misalan matris Ω memilii nilai-nilai eigen λ, λ,..., λ dengan vetor-vetor eigen ortonormal terait p, p,..., p. Misalan V merupaan matris ortogonal yang berisi vetor-vetor eigen dari matris Ω, yaitu V = (p, p,..., p ). Sesuai dengan bagian..8 mengenai diagonalisasi ortogonal, dapat diperoleh V ΩV = D = diag(λ, λ,..., λ ). (L..3) Karena V ortogonal, sesuai Definisi.3, V = V. (L..4) Berarti V ΩV = VΩV = D = diag(λ, λ,..., λ ). (L..5) Untu mencari aar uadrat dari matris Ω, persamaan (L..3) dibentu menjadi V ΩV = D VV ΩV = VD IΩV = VD ΩV = VD ΩVV = VDV Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

210 97 (lanjutan) ΩI = VDV Ω = VDV. (L..6) Sesuai (.9), aar uadrat dari matris Ω adalah Ω / = VD / V = VD / V. Karena D adalah matris diagonal, maa / D diag,,,. (L..7) Sesuai dengan Teorema.38 bagian (c), maa Ω / simetris. Ω / merupaan invers dari matris Ω /, seperti yang dapat dilihat pada persamaan (.94). Matris Ω / juga merupaan matris yang simetris. Beriutnya aan dibahas mengenai determinan dari matris aar uadrat dari Ω. Berdasaran persamaan (.9), maa Ω = Ω / Ω /. Berdasaran persaman (.94), maa Ω = Ω / Ω /. Sesuai sifat fungsi determinan pada Teorema.3, maa det(ω) = det(ω / )det(ω / ). (L..8) Karena Ω / merupaan invers dari matris Ω /, maa Ω / Ω / = Ω / Ω / = I. (L..9) Maa, hasil determinan dari persamaan di atas adalah det(ω / Ω / ) = det(i) det(ω / Ω / ) = det(ω / )det(ω / ) = det(ω / ) = /det(ω / ). (L..) Dengan Teorema.3, diperoleh determinan dari matris Ω dan Ω /, yaitu det det VDV det V det D det V det D det V det V det det D V det V Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

211 98 (lanjutan) det det D. (L..) Karena Ω definit positif, maa berdasaran Teorema.7, nilai-nilai eigen λ, λ,..., λ positif, berarti det(ω) >. det / / det VD V / det V det D det V / det D det V det V det det D V det D / / det V det /. (L..) Karena nilai-nilai eigen λ, λ,..., λ positif, berarti det(ω / ) = [det(ω)] / >. det / det / VD V / det V det D det V / det D det V det V det det D V det D det / / / det V. (L..3) Karena nilai-nilai eigen λ, λ,..., λ positif, berarti det(ω / ) = [det(ω)] / >. Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

212 99 Lampiran 3. Tabel Nilai Probabilitas Distribusi Normal Standar Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

213 Lampiran 4. Tabel Nilai Fungsi T-Owen Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

214 (lanjutan) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

215 (lanjutan) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

216 3 (lanjutan) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,

217 4 (lanjutan) Distribusi sew-..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI,