Penggunaan Metode Bagi Dua Terboboti untuk Mencari Akar-akar Suatu Persamaan

Transkripsi

1 Jurnal Penelitian Sains Volume 16 Nomor 1(A) Januari 013 Penggunaan Metode Bagi Dua Terboboti untu Menari Aar-aar Suatu Persamaan Evi Yuliza Jurusan Matematia, FMIPA, Universitas Sriwijaya, Indonesia Intisari: Penelitian ini merupaan modifiasi dari Metode Bagi Dua dalam menari aar persamaan. Dengan Metode Bagi Dua Terboboti dibutuhan suatu nilai terboboti yang diharapan meminimuman banyanya iterasi sehingga laju eonvergenan semain lebih epat. Hasil penelitian menunjuan bahwa dengan menggunaan Metode Bagi Dua Terboboti dapat memperepat laju eonvergenan yang ditentuan oleh nilai terboboti. Namun, nilai terboboti tida ditentuan sebelumnya. Kata-uni: metode bagi dua, onsep pengapitan aar Abstrat: This researh is modifiation from bisetion method in loo for similarity root. Weighted bisetion method wanted a value weighted supposed by minimizing iteration quantity so that rapid onvergene more quier. The result of this researh show that by using weighted bisetion method an speed up rapid onvergene be determined by value the weight. But value the weight is not defined previous. Keywords: bisetion method, braeting onept. 1 PENDAHULUAN P enelitian ini merupaan lanjutan penelitian sebelumnya (hususnya sripsi yang telah dilauan oleh Yuliza [1] yang beraitan dengan bagaimana menyelesaian persamaan dengan menggunaan metode Bagi Dua. Penelitian sebelumnya terbatas hanya pada persamaan polinom. Untu persamaan polinom yang derajat n 4 setsa grafi fungsi sulit untu digambaran. Pengembangan beriutnya yang aan dilauan pada penelitian ini adalah dengan membuat setsa asar grafi fungsi sehingga lebih mempermudah dalam menentuan dua tasiran awal dimana grafi fungsi tersebut memotong sumbu. Dan tida terbatas hanya pada fungsi polinom saja tetapi diperluas dengan fungsi esponen, trigonometri dan logaritma. Dalam hal ini, setsa grafi fungsi dapat menggunaan software graph. Graph diranang untu grafi program gambar fungsi matematis di sistem oordinat. Program windows standar program dengan menu dan dialog. Program mampu menggambar fungsi normal, fungsi parametri, fungsi utub, garis singgung, serangaian titi dan hubungan-hubungannya. Dauhoo dan Soobhug [] mengembangan metode Bagi Dua Terboboti yang merupaan modifiasi metode Bagi Dua untu menari aar-aar suatu persamaan. Dalam menari penyelesaian suatu persamaan dengan menggunaan metode Bagi Dua Terboboti dibutuhan suatu nilai terboboti yang aan meminimuman banyanya iterasi. Namun Dauhoo dan Soobhug [] tida menjelasan seara rini batasan nilai terboboti sehingga peneliti menoba mengaji hal tersebut. Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungan tiap obye dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal dengan sebuah nilai uni f() dari himpunan edua. Himpunan nilai yang diperoleh seara demiian disebut daerah hasil fungsi terse-but [3]. Berdasaran sifatnya fungsi dapat dibedaan menjadi dua yaitu, fungsi transenden dan fungsi aljabar. Fungsi yang bersifat transenden antara lain adalah fungsi trigonometri, esponen dan logaritma. Contoh: f() = e -, f() = sin dan f() = ln 1. Sedangan fungsi yang bersifat aljabar antara lain adalah fungsi polinom yang seara umum berbentu: f() = a n n + a n-1 n-1 + a n- n- + + a 1 + a 0 dengan a n, a n-1, a n-,, a 1, a 0 berupa bilangan bilangan riil dan n adalah bilangan bulat ta negatif. Di antara semua fungsi, polinom merupaan fungsi yang mudah dievaluasi arena hanya menyangut tiga operasi yaitu, pengurangan, penjumlahan dan peralian. Beberapa ontoh fungsi polinom: f() = 1,37 + 7,5 dan f() = Untu menari harga nol dari fungsi atau menari aar aar (penyelesaian) persamaan a n n + a n-1 n-1 + a n- n- + + a 1 + a 0 = 0 dapat dilauan seara numeri. 013 JPS MIPA UNSRI

2 Evi Yuliza/Penggunaan Metode Bagi Dua JPS Vol. 16 No. 1(A) Januari 013 Metode numeri menyediaan teni teni untu menyelesaian suatu persamaan, diantaranya adalah Metode Grafi, Metode Bagi Dua, Metode Posisi Palsu, Metode Iterasi Titi Tetap, Metode Newton Raphson dan Metode Seant. Masing masing metode mem-punyai teni atau prosedur yang berbeda dalam menari aar aar suatu persamaan. Namun, metode numeri yang digunaan dalam penelitian ini adalah Metode Bagi Dua. Dalam matematia dan teni, persamaan nonlinear dapat diselesaian dengan mengggunaan metode-metode iterasi. Di antara banya metodemetode iterasi, metode Bagi Dua adalah salah satu dari metode iterasi yang menjamin eonvergenan. Keurangan dari metode Bagi Dua ini dalam menemuan harga nol dari fungsi mempunyai tingat linear eonvergenan dengan jumlah iterasi yang banya. Hal ini disebaban arena eonvergensian pada metode Bagi Dua bersifat lambat. Tetapi tingat aurasi metode Bagi Dua uup bagus. Metode Bagi Dua dalam menentuan aar aar persamaan memerluan dua tasiran awal, misalan a dan b dimana di dalam tasiran tersebut diharapan mengandung penyelesaian persamaan [4]. f() disyarat-an memenuhi f(a).f(b)<0 pada [a, b] sehingga terdapat paling sediit satu penyelesaian diantara a dan b. Jia suatu fungsi berubah tanda pada pada [a, b] maa nilai aar dihitung pada titi tengah interval tersebut [5]. Dalam penelitian ini, metode Bagi Dua aan dimodifiasi sehingga diperoleh eonvergenan yang lebih epat sehingga banya iterasi lebih diminimuman. Metode Bagi Dua Terboboti meru-paan pengembangan dari metode Bagi Dua dengan mengubah proporsi dari subinterval pada metode Bagi Dua. Saat ini Metode Bagi Dua diberian dalam mata uliah Metode Numeri. Aan tetapi Metode Bagi Dua Terboboti belum diperenalan dalam mata uliah Matode Numeri. Keluaran penelitian ini diharapan dapat meningatan materi mata uliah Metode Numeri dan tambahan referensi sebagai bahan ajar mata uliah tersebut, dan juga diperoleh artiel ilmiah yang aan dipubliasian pada Jurnal Nasional. Permasalahan yang aan diteliti adalah bagaimana membandingan penyelesaian suatu persamaan dengan menggunaan Metode Bagi Dua dan Metode Bagi Dua Terboboti. TINJAUAN PUSTAKA Masalah di dalam matematia dan teni yang sering dijumpai adalah menari aar suatu persamaan, yani jia dietahui fungsi f() = 0 maa aan diari nilai-nilai yang memenuhi f() = 0. Definisi.1 (Aar Suatu Persamaan, Pembuat Nol Fungsi) Misalan f() adalah suatu fungsi ontinu. Setiap bilangan r pada domain f yang memenuhi f(r) = 0 disebut aar persamaan f() = 0 atau juga disebut pembuat nol fungsi f(). Seara singat r sering disebut aar fungsi f() [6]. Metode numeri adalah teni yang digunaan untu memformulasian masalah matematia agar dapat dipeahan dengan operasi perhitungan [7]..1 Metode Bagi Dua Metode Bagi Dua merupaan metode yang diranang untu menentuan aar aar persamaan f() = 0 pada interval [a, b]. Jia f suatu fungsi ontinu pada interval tertutup [a, b] sedemiian hingga f(a).f(b)<0 sehingga terdapat paling sediit satu aar dari f pada (a, b). Beberapa asus dimana aar-aar berada pada interval [a, b]. Jia f(a) dan f(b) bertanda sama diantara nilainilai tersebut maa tida terdapat aar atau penyelesaian diantara a dan b (Gambar (a)). Jia f(a) dan f(b) bertanda sama diantara nilai-nilai tersebut maa terdapat aar sebanya bilangan genap. Kondisi f(a). f(b) < 0 tida dipenuhi sehingga tida dapat diguna-an metode Bagi Dua (Gambar (b)). Jia f(a) dan f(b) berbeda tanda diantara nilainilai tersebut maa terdapat aar sebanya bilangan ganjil. Kondisi f(a). f(b) < 0 dipenuhi sehingga dapat diselesaian dengan menggunaan metode Bagi Dua(Gambar ()). Teorema Nilai Antara merupaan salah satu teorema yang mendasari proses iterasi dari algoritma Bagi Dua. Dan teorema lain yang menunjang proses iterasi adalah Teorema Nilai Rata-Rata. Teorema.1 (Teorema Nilai Antara) Jia f ontinu pada interval [a, b] dan suatu bilangan antara f(a) dan f(b) maa terdapat paling sediit satu bilangan diantara interval [a, b] sedemiian hingga [3] f() =. Teorema. (Teorema Bolzano) Jia f ontinu pada interval [a, b] dan f(a).f(b)<0 maa terdapat paling sediit satu titi di (a, b) sedemiian hingga f()=0. Dengan ata lain,

3 Evi Yuliza/Penggunaan Metode Bagi Dua JPS Vol. 16 No. 1(A) Januari 013 persamaan f()=0 memilii paling sediit satu aar persamaan di antara = a dan = b [8]. metode Bagi Dua dibangun oleh barisan {[a, b ]} di mana terdapat aar dari f. Didefinisian a b (1) Jia f( ) = 0 maa = r dan algoritma berahir. Jia f(a ). f(b ) < 0 maa r terdapat pada (a, b ) sehingga [a +1, b +1 ] = [a, ] atau [a +1, b +1 ] = [, b ]. Algoritma metode Bagi Dua mempunyai eonver-genan hingga b a bo ao sehingga aar f pada [a, b]. Keonvergensi diapai apabila b a lebih eil dari suatu nilai toleransi, ataan... Metode Bagi Dua Terboboti Algoritma Metode Bagi Dua Terboboti seara umum sama dengan Metode Bagi Dua. Untu menari aar persamaan f() = 0, algoritma Metode Bagi Dua menunjuan bahwa inteval dibagi dua dimana terdapat aar dari f. Dari (1) dapat ditulis: atau 1 1 ( a ) 1 ( b ) () Gambar 1. Fungsi f() pada [a, b]. Teorema.3 (Teorema Nilai Rata Rata) Jia f ontinu pada [a, b] dan terdifferensialan pada (a, b) maa terdapat (paling sediit satu) pada (a, b) sedemiian hingga [9] f () = f ( b) f ( a) b a Metode Bagi Dua dinamaan juga pemenggalan biner, pemaruh selang (interval) atau metode Bolzano merupaan salah satu jenis metode penarian inre-mental dimana interval selalu dibagi dua. Jia suatu fungsi berubah tanda pada suatu interval maa nilai yang dihitung pada titi tengah interval tersebut. Menurut DauHoo dan Soobhug [], jia f fungsi ontinu pada interval tertutup [a, b] sedemiian sehingga f(a). f(b) < 0 maa terdapat paling sediit aar dari f pada (a, b). Jia [a, b] = [a 0, b 0 ] adalah interval awal maa dengan algoritma ( a ) ( b ) (3) Seara umum subinterval pada () dapat ditulis: a ) 1 ( b ) (4) ( atau dari (3) dapat ditulis: ( a ) ( b ) (5) 1 dengan adalah suatu nilai terboboti. Algoritma Metode Bagi Dua Terboboti sama dengan Metode Bagi Dua hanya saja berbeda pada perhitungan subinterval ( ). Metode Bagi Dua merupaan ejadian husus dari Metode Bagi Dua. 3 METODE PENELITIAN Langah-langah yang aan dilauan dalam penelitian ini adalah: 1. Menentuan suatu persamaan f() = 0 yang aan diari aar-aar penyelesaiannnya. Fungsi f() dapat berupa fungsi transenden dan fungsi aljabar seperti pada Bab Tinjauan Pustaa.. Menyelesaian persamaan f() = 0 dengan meng-gunaan Metode Bagi Dua. a. Menentuan tasiran awal a dan b. b. Menghitung nilai f(a ), f(b ). Kemudian selidii apaah memenuhi f(a ). f(b ) <

4 Evi Yuliza/Penggunaan Metode Bagi Dua JPS Vol. 16 No. 1(A) Januari 013. Apabila memenuhi f(a ). f(b ) < 0 maa lanjutan e langah.e. d. Apabila tida memenuhi f(a ). f(b ) < 0 maa ulangi langah e.a. a b e. Menghitung f. Menghitung nilai f( ). g. Menyelidii apaah memenuhi f(a ). f( ) < 0 dan f( ). f(b ) < 0. h. Apabila memenuhi f(a ). f( ) < 0 maa embali e langah e dan f( ). f(b ) < 0 maa embali e langah.e. i. b a, iterasi berhenti. 3. Menyelesaian persamaan f() = 0 dengan menggunaan Metode Bagi Dua Terboboti. a. Melauan langah yang sama seperti pada langah.a hingga langah.d. b. Mengambil nilai dan 0 < < 1.. Menghitung a ) 1 ( b ) ( d. Menghitung nilai f( ). e. Menyelidii apaah memenuhi f(a ). f( ) < 0 dan f( ). f(b ) < 0. f. Apabila memenuhi f(a ). f( ) < 0 maa embali e langah 3. dan f( ). f(b ) < 0 maa embali e langah 3.e. g. b a, iterasi berhenti. 4. Interpretasi hasil iterasi dengan menggunaan Metode Bagi Dua dan Metode Bagi Dua Terboboti. Penggunaan sofware graph untu menentuan tasiran awal seara asar. 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Misalan aan diari aar-aar persamaan ( 1) e 1 0 yang tida dapat ditentuan seara esplisit pembuat nol fungsi tersebut. Di sinilah peranan metode nume-ri untu menari nilai hampiran suatu penyelesaian permasalahan matematis. Dengan menggunaan software graph, diperoleh setsa gambar grafi fungsi f ( ) ( 1) sebagaimana Gambar. Gambar. Fungsi f ( ) ( 1) Dari setsa grafi dapat ditentuan tasiran awal aar a = 0,4 dan b =1,. Hasil Iterasi dengan menggunaan Metode Bagi Dua untu f ( ) ( 1). Ambil nilai toleransi = 0, Tabel 1. Hasil iterasi dengan menggunaan Metode Bagi Dua untu f ( ) ( 1). Iterasi a B f () Iterasi berhenti pada iterasi e-17 dengan hasil hampiran aar = 0, dan lebar interval pengapit aar adalah 0, Ambil nilai terboboti = 0, dan = 0,

5 Evi Yuliza/Penggunaan Metode Bagi Dua JPS Vol. 16 No. 1(A) Januari 013 Tabel. Hasil Iterasi untu f ( ) ( 1) dengan menggunaan Metode Bagi Dua terboboti dan nilai terboboti = 0, Iterasi a B f () Iterasi berhenti pada iterasi e-14 dengan hasil hampiran aar = 0,86687 dan lebar interval pengapit aar adalah 0, Interval pengapit ini masih terlalu besar dari pada nilai toleransi yang diberian. Permasalahan lainnya, misalan aan diari aar dari os e 0. Dengan menggunaan software graph, maa setsa grafi fungsi sebagai beriut: Gambar 3. Fungsi f ( ) os e. Hasil Iterasi dengan Menggunaan Metode Bagi Dua untu f ( ) os e. Ambil nilai toleransi = 0, Tabel 3. Hasil Iterasi untu f ( ) os e dengan Menggunaan Metode Bagi Dua. Iterasi a B f () Iterasi berhenti pada iterasi e-5 dengan hasil hampiran aar = 0, dan lebar interval pengapit aar adalah 0, Hasil interval pengapit ini masih lebih besar dari nilai toleransi yang diberian. Hasil Iterasi untu f ( ) os e dengan Meng-gunaan Metode Bagi Dua Terboboti. Ambil nilai terboboti = 0, dan = 0, Tabel 4. Hasil Iterasi untu f ( ) os e dengan Menggunaan Metode Bagi Dua Terboboti dan nilai terboboti = 0, Iterasi a B f () Iterasi berhenti pada iterasi e-14 dengan hasil hampiran aar = 0, dan lebar interval pengapit aar adalah 0, Hasil interval pengapit ini masih lebih besar dari nilai toleransi yang diberian

6 Evi Yuliza/Penggunaan Metode Bagi Dua JPS Vol. 16 No. 1(A) Januari KESIMPULAN Dari hasil penelitian diperoleh esimpulan sebagai beriut: a. Metode Bagi Dua Terboboti merupaan metode penarian aar yang diperoleh dari memodifiasi Metode Bagi Dua. Dengan ata lain, Metode Bagi Dua Terboboti merupaan generalisasi dari Metode Bagi Dua. b. Perlunya memperhatian anga signifian dalam menentuan nilai terboboti. REFERENSI [1] Yuliza E, 000, Penyelesain Persamaan Dengan Menggunaan Metode Bagi Dua, Sripsi Jurusan Matematia (Tida dipubliasian) [] Dauhoo, Soobhug, 003, An Adaptive Weighted Bisetion Method For For Finding Roots Of Non-Linier Equations. Alamat Web : [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 8&hid=105&sid=97eade1b-ea77-4ed-9b9- eefbff354%40sessionmgr11. Diases tanggal: 6 Desember 010 Purell dan Varberg, 1995, Calulus with Analyti Geometry, Edisi eempat, Penerbit Erlangga Penna M, 005, The Bisetion Method, Alamt web : _ shared/mathematia_labs/01-limits/p09.pdf Diases tanggal : 3 Februari 01 MKinney, 01, Bisetion Method. Alamat Web: pdf Diases tanggal: 3 Februari 01 Sahid, 005, Pengantar Komputasi Numeri dengan MATLAB, Penerbit Andi Offset, Yogyaarta Chapra, Canale, 1996, Metode Numeri, Jilid 1, Edisi edua, Penerbit Erlangga Boye, Prima De, 1988, Calulus, John Willey and Sons. Ross, 1980, Elementary Analysis The Theory Calulus, Springer-Verlag, New Yor In