PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR

Transkripsi

1 LAPORAN PENELITIAN BERSAMA DOSEN-MAHASISWA PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR Ketua Tim: ABDUSSAKIR, M.Pd FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 00

2 PENGESAHAN LAPORAN PENELITIAN BERSAMA DOSEN-MAHASISWA Judul Penelitian : Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multi Star Ketua Peneliti/NIP : Abdussair, M.Pd/ Anggota/NIP/NIM : Evawati Alisah, M.Pd/ Liya Fitrotul Chusna/ Nuril Anwar Hamdani/ Malang, 9 Desember 00 Mengetahui Dean Faultas Sains dan Tenologi, Ketua Peneliti, Prof. Drs. Sutiman B. Sumitro, SU., D.Sc Abdussair, M.Pd NIP NIP Mengesahan Ketua Lemlitbang UIN Malii Malang, Dr. Hj. Ulfah Utami, M.Si NIP

3 DAFTAR ISI Halaman Sampul Halaman Pengesahan Kata Pengantar... i Daftar Isi... iii BAB I: PENDAHULUAN A. Latar Belaang... B. Rumusan Masalah... 3 C. Batasan Masalah... 3 D. Tujuan Penelitian... 3 E. Manfaat Penelitian... 3 BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf... 4 B. Derajat Titi... 6 C. Graf Terhubung... 3 D. Graf Star dan Multi Star... 9 E. Pelabelan Total Sisi Ajaib... BAB III: METODE PENELITIAN A. Jenis Penelitian... 4 B. Tahap Penelitian... 4 BAB IV: PEMBAHASAN A. Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multi Star Tipe MS (m)... 6 B. Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multi Star Tipe MS (m) C. Pelabelan Total Sisi Ajaib pada Graf Hairy Cycle C n BAB V: PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA iii

4 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belaang Masalah pelabelan dalam teori graf mulai diembangan pada pertengahan tahun 960-an. Pelabelan pada suatu graf muncul pertama ali dari arya Rosa pada tahun 967. Pelabelan pada suatu graf adalah sebarang pemetaan (fungsi) yang memasangan unsur-unsur graf (titi atau sisi) dengan bilangan (biasanya bilangan bulat). Jia domain dari fungsi adalah titi, maa pelabelan disebut pelabelan titi (vertex labeling). Jia domainnya adalah sisi, maa disebut pelabelan sisi (edge labeling), dan jia domainnya titi dan sisi, maa disebut pelabelan total (total labeling) (Miller, 000:65 dan Wallis d., 000:78). Pelabelan total sisi ajaib (edge-magic total labeling) pada graf G adalah fungsi bijetif dari V(G) E(G) pada himpunan {,, 3,, V(G) + E(G) } sehingga untu sebarang sisi xy di G berlau (x) + (xy) + (y) = untu suatu onstanta. Selanjutnya disebut bilangan ajaib pada G dan G disebut total sisi ajaib. Pelabelan total sisi ajaib yang memetaan V(G) e himpunan {,, 3,, V(G) } disebut pelabelan super sisi ajaib (super edge-magic labeling). Graf yang dapat dienai pelabelan super sisi ajaib disebut graf super sisi ajaib (Wallis d., 000:78 dan Par d. 008:).

5 Graf ulat (caterpillar) adalah graf yang jia semua titi ujungnya dibuang aan menghasilan lintasan (Gallian, 009). Titi ujung adalah titi yang berderajat satu (Chartrand dan Lesnia, 986). Graf bintang (star) dengan (n + ) yang dinotasian dengan S n, adalah graf bipartisi omplit K (,n), dengan n bilangan asli. Graf bintang S n mempunyai sebanya n titi ujung dan titi pusat. Jia sebanya m graf bintang (m > ) titi pusatnya dihubungan langsung dengan satu sisi secara berurutan, maa aan diperoleh graf ulat dalam bentu umum. Dalam penelitian ini, m graf bintang (m > ) yang titi pusatnya dihubungan langsung dengan satu sisi secara berurutan disebut graf multi star. Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf termasu pada beberapa bentu grah ulat sudah banya dilauan. Basoro d (005) meneliti cara mengonstru graf super sisi ajaib dari suatu graf. Ji Yeon Par d (008) meneliti pelabelan super sisi ajaib pada graf layang-layang. Hussain d (009) meneliti tentang pelabelan super sisi ajaib pada pohon banana (banana trees). Rohima (005) dan Khimah (005) masing-masing menunjuan bahwa graf ulat bereor dengan n badan dan ai pada tiap badan serta graf ulat dengan n badan dan n ai adalah super edge magic. Irawan (007) menunjuan bahwa graf ulat model trisula dengan panjang n adalah super sisi ajaib. Williyanto dan Irawanto (009) menunjuan bahwa grah ulat model T adalah super sisi ajaib. Lorentz (009) menunjuan bahwa graf ulat dengan n badan dan n ai adalah super sisi ajaib. Abdussair (00) menunjuan bahwa graf ulat bentu, bentu H, dan graf ulat

6 3 dengan himpunan derajat D = {, 4} dan n titi berderajat 4, dengan n bilangan asli adalah super sisi ajaib. Beberapa penelitian tentang pelabelan super sisi ajaib pada graf ulat ini masih pada asus-asus yang husus. Karena bentu umum graf ulat dapat diperoleh dari graf multi star, maa penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada graf ulat secara umum dapat ditunjuan melalui pelabelan super sisi ajaib pada graf multi star. Dengan demiian, maa penelitian ini berusaha menunjuan bahwa graf multi star adalah super sisi ajaib. B. Rumusan Masalah Pertanyaan yang dirumusan dalam penelitian ini adalah bagaimana pelabelan super sisi ajaib pada graf multi star? C. Tujuan Penelitian Sesuai rumusan masalah, maa tujuan penelitian ini adalah untu menjelasan pelabelan super sisi ajaib pada graf multi star. D. Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapan dapat memberian buti atau penjelasan bahwa graf multi star adalah super sisi ajaib. Penelitian ini diharapan dapat menjadi penambah wawasan mengenai pelabelan super sisi ajaib dan menggugah peneliti lain untu melauan penelitian lebih lanjut mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf lainnya.

7 BAB IV PEMBAHASAN A. Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multi Star Tipe MS (m) Seperti telah dijelasan pada ajian pustaa, misalan S n, adalah graf star masing-masing beroder n, n, n 3,, dan n m, serta S n, S n 3,., i v 0 adalah titi S n m pusat dari S. Graf yang diperoleh dari gabungan m n i i S ni ditambah sisi i i v 0 0 v, i =,,, m, dalam penelitian ini disebut graf multi star tipe dan dilambangan dengan MS (m). Beriut adalah gambar graf multi star tipe MS (m). MS (m): v v v m v v 3 v v 3 v m v m 3 v n v 0 v 4 v n v 0 v 4 v m nm v m 0 v m 4 MS (m) mempunyai himpunan titi dan himpunan sisi sebagai beriut: V MS(m) = {v, v,, v n, v, v,, v n,, v m nm,, v 0, v, 0, v 3 0,, v m 0 }, dan E MS(m) = v i 0 v i j, j =,,, n i ; i =,,, m { v v, =,,, m }. Jadi, MS (m) mempunyai order dan mempunyai uuran p(ms (m)) = n + n + n n m + m 0 0 6

8 7 q(ms (m)) = n + n + n n m + (m ). Dengan demiian, maa p + q = (n + n + n n m ) + m. Untu menentuan pelabelan super sisi ajaib, dalam penelitian ini ditetapan titi v diberi label. Hasil penelitian disajian sebagai teorema. Teorema. Graf multi star MS () adalah super sisi ajaib dengan bilangan ajaib = 3n + n + 6 Buti Graf MS () dapat digambaran sebagai beriut: MS (): v v v v 3 v v 3 v 0 v 0 v n v 4 v n v 4 Diperoleh bahwa p(ms ()) + q(ms ()) = (n + n ) + 3. Konstrusi suatu relasi f dari V(MS ()) E(MS ()) e {,, 3,, (n + n ) + 3} dengan aturan sebagai beriut : f v i = i i =,,, n

9 8 f v i = n + + i i =,,, n f v 0 = n + f v 0 = n + f v 0 v i = n + n + 4 i i =,,, n f v 0 v i = n + n + 3 i i =,,, n f v 0 v 0 = n + n + 3 Dapat dengan mudah ditunjuan bahwa f adalah fungsi bijetif. Selanjutnya aan ditunjuan bahwa f adalah pelabelan total sisi ajaib. Untu sisi v 0 v i diperoleh f v 0 + f v 0 v i + f v i = n + + n + n + 4 i + i = 3n + n + 6. Untu sisi v 0 v i diperoleh f v 0 + f v 0 v i + f v i = n + + n + n + 3 i + n + + i = 3n + n + 6. Untu sisi v 0 v 0 diperoleh f v 0 + f v 0 v 0 + f v 0 = n + + n + n n + = 3n + n + 6. Diperoleh bilangan ajaib = 3n + n + 6 Dengan melihat peta dari V(MS ()) oleh f, yaitu f v i = i i =,,, n f v i = n + + i i =,,, n

10 9 f v 0 = n + f v 0 = n + maa terlihat bahwa V(MS ()) dipetaan e {,, 3,, n + n + } = {,, 3,, p(ms ())}. Dengan demiian, terbuti bahwa MS () adalah super sisi ajaib. Teorema. Graf multi star MS (3) adalah super sisi ajaib dengan bilangan ajaib = 3n + n + 3n Buti Graf MS (3) dapat digambaran sebagai beriut: MS (3): v v v 3 v v 3 v v 3 v 3 v 3 3 v 0 v 0 v 3 0 v n v 4 v n v 4 v 3 n3 v 3 4 Diperoleh bahwa p(ms (3)) + q(ms (3)) = (n + n + n 3 ) + 5. Konstrusi suatu relasi f dari V(MS (3)) E(MS (3)) e {,, 3,, (n + n + n 3 ) + 5}

11 30 dengan aturan sebagai beriut : f v i = i i =,,, n f v i = n + n i i =,,, n 3 f v i = n + + i i =,,, n 3 f v 0 = n + n 3 + f v 0 = n + 3 f v 0 = n + n + n f v 0 v i = n + n + n i i =,,, n f v 0 v i = n + n + n i i =,,, n f v 3 0 v i = n + n + n i i =,,, n 3 f v 0 v 0 = n + n + n f v 3 0 v 0 = n + n + n Dapat dengan mudah ditunjuan bahwa f adalah fungsi bijetif. Selanjutnya aan ditunjuan bahwa f adalah pelabelan total sisi ajaib. Untu sisi v 0 v i diperoleh f v 0 + f v 0 v i + f v i = n + n n + n + n i + i = 3n + n + 3n Untu sisi v 0 v i diperoleh f v 0 + f v 0 v i + f v i = n + + n + n + n i + n + n i = 3n + n + 3n Untu sisi v v i diperoleh

12 3 3 f v 0 + f v v i + f v i = n + n + n n + n + n i + n + + i = 3n + n + 3n Untu sisi v 0 v 0 diperoleh f v 0 + f v 0 v 0 + f v 0 = n + n n + n + n n + = 3n + n + 3n Untu sisi v 3 0 v 0 diperoleh f v 0 + f v v 0 + f v 0 = n + + n + n + n n + n + n = 3n + n + 3n Diperoleh bilangan ajaib = 3n + n + 3n Dengan melihat peta dari V(MS (3)) oleh f, yaitu f v i = i i =,,, n f v i = n + n i i =,,, n 3 f v i = n + + i i =,,, n 3 f v 0 = n + n 3 + f v 0 = n + 3 f v 0 = n + n + n maa terlihat bahwa V(MS (3)) dipetaan e {,, 3,, n + n + n 3 + 3} = {,, 3,, p(ms (3))}. Dengan demiian, terbuti bahwa MS (3) adalah super sisi ajaib.

13 3 Teorema 3. Graf multi star tipe MS (m) adalah super sisi ajaib, untu bilangan asli m, dengan bilangan ajaib Buti Graf multi star tipe MS (m) dapat digambar sebagai beriut. MS (m): v v v m v v 3 v v 3 v m v m 3 v n v 0 v 4 v n v 0 v 4 v m nm v m 0 v m 4 MS (m) mempunyai himpunan titi dan himpunan sisi sebagai beriut: V MS (m) = {v, v,, v n, v, v,, v n,, v m nm,, v 0, v, 0, v 3 0,, v m 0 }, dan E MS (m) = v i 0 v i j, j =,,, n i ; i =,,, m { v v, =,,, m }. Jadi, MS (m) mempunyai order dan mempunyai uuran p(ms (m)) = n + n + n n m + m q(ms (m)) = n + n + n n m + (m ). Dengan demiian, maa p + q = (n + n + n n m ) + m. Untu m ganjil, onstrusi suatu relasi f dari e V(MS (m)) E(MS (m)) 0 0

14 33 {,, 3,, (n + n + n n m ) + m } dengan aturan sebagai beriut : f v 0 j = n + n n j + j, j genap m j + n + n n m + + n + n n j +, j ganjil f v i j = n + n i + j, j ganjil; i =,,, n j n + n n m + m + n + n i + j, j genap; i =,,, n j f v 0 j v i j = n + n n j + n j + + n j n m +n + n n j + n j + n j n m i j + m +, j genap n + n n j + i + n j+ + n j n m +n + n n j + n j + + n j n m i j + m +, j ganjil f v 0 j v 0 j+ = n + n n j + n j+ + n j n m +n + n n j + n j + + n j n m + m j, j genap n + n n j + n j + + n j n m +n + n n j + n j + + n j n m + m j, j ganjil Relasi f aan menghasilan pelabelan super sisi ajaib pada graf multi star MS (m) dengan bilangan ajaib = 3 n + n n m + n + n n m + 5m + untu bilangan asli ganjil m. Untu m genap, onstrusi suatu relasi f dari e V(MS (m)) E(MS (m)) {,, 3,, (n + n + n n m ) + m } dengan aturan sebagai beriut : f v 0 j = n + n n j + j, j genap n + n n m + m + n j + + n n j +, j ganjil

15 34 f v i j = n + n i + j, j ganjil; i =,,, n j n + n n m + m + n + n i + j, j genap; i =,,, n j f v 0 j v i j = n + n n j + n j + + n j n m +n + n n j + i + n j + + n j n m j + m +, j genap n + n n j + i + n j + + n j n m +n + n n j + n j + + n j n m i j + m +, j ganjil f v 0 j v 0 j+ = n + n n j + n j + + n j n m +n + n n j + n j + + n j n m + m j, j genap n + n n j + n j+ + n j n m +n + n n j + n j + + n j n m + m j, j ganjil Relasi f aan menghasilan pelabelan super sisi ajaib pada graf multi star MS (m) dengan bilangan ajaib = 3 n + n n m + n + n n m + 5m + untu bilangan asli ganjil m. B. Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multi Star Tipe MS (m) Graf yang diperoleh dari gabungan m i S ni ditambah titi v i (i =,,, m ) dan sisi i v 0 v i serta v i i 0 v (i =,,, m ), dalam penelitian ini disebut graf multi star tipe dan dilambangan dengan MS (m). Beriut adalah gambar graf multi star tipe. MS (m): v v v m v v n v 0 v 3 v v 3 v 4 v n v 0 v m v v v (m-) v 4 v m nm v m 0 v m 4 v m 3

16 35 Maa diperoleh, V G = v, v,, v n, v, v,, v m n,, v nm v 0, v 0,, v 0 3,, v 0 m v, v, v 3,, v m E G = v 0 v, v 0 v,, v 0 v n, v 0 v, v 0 v,, v 0 v n,, v m 0 v, v m 0 v m,, v m m 0 v nm v 0 v, v 0 v, v 0 v m,, v 0 v m, v m m 0 v Jadi, MS (m) mempunyai order dan mempunyai uuran p(ms (m)) = n + n + n n m + m q(ms (m)) = n + n + n n m + (m ). Dengan demiian, maa p + q = (n + n + n n m ) + 4m 3. Teorema 4: Graf multi star MS () adalah super sisi ajaib dengan onstanta ajaib = 3 n + n + 8. Buti: Misal G = MS (), maa G dapat digambaran sebagai beriut: MS (): v v v v 3 v v 3 v 0 v v 0 v n v 4 v n v 4 Maa

17 36 V G = v, v, v 3,, v n ; v, v, v 3,, v n ; v 0, v 0 ; v dan E G = v 0 v, v 0 v,, v 0 v n ; v 0 v, v 0 v,, v 0 v n ; v 0 v, v 0 v Jadi aan diperoleh: p = n + n + 3, dan q = n + n +. Sehingga p + q = (n + n ) + 5 Misalan dibuat pelabelan sebagai beriut: n n 3 n n n n n 3 n 3 n n n 4 Terdapat pola pelabelan f sebagai beriut: f v i = n + + i, i n, f v 0 = n + n + +, f v l = n l + l, l = f v 0 v i = n + n + 6 i, i n f v 0 v i = n + n + 4 i, i n f v 0 v l = n + n l l,, l = Dapat ditunjuan bahwa f adalah fungsi, yang memetaan V(G) E(G) e,, 3,, p + q. Karena V G E G =,, 3,, p + q dan f dapat

18 37 ditunjuan injetif maa sudah pasti f adalah surjetif. Karena f injetif juga sealigus surjetif, maa f bijetif. Aan ditunjuan bahwa untu masing-masing sisi xy di G berlau f x + f xy + f y = a. Untu sisi v 0 v i di G diperoleh: f v 0 + f v 0 v i + f v = n + n + + n + n + 6 i + i = 3n + 3n + 8 b. Untu sisi v 0 v i di G diperoleh: f v 0 + f v 0 v i + f v i = n + n n + n + 4 i + (n + + i) = 3n + 3n + 8 c. Untu sisi v 0 v di G diperoleh: f v 0 + f v 0 v + f v = n + n n + n n + = 3n + 3n + 8 Jadi G adalah super sisi ajaib dengan bilangan ajaib: = 3n + 3n + 8 Aan ditunjuan bahwa f memetaan V e,, 3,, p. a) Titi v i Dietahui f v i = n + + i, i n, Karena i n

19 38 Maa n + + n + + i n + + n n + n + + i n + + n n + n + + i n + + n < n + n + 3 n + + i < n + n + 3 Jadi f v i < p b) Titi v 0 Dietahui f v 0 = n + n + +, Karena Maa (n + n + ) + (n + n + ) + (n + n + ) + n + n + n + n + + n + n + 3 n + n + n + n + + n + n + 3 < n + n + n + n + + n + n + 3 < n + n + + n + n + 3 Jadi < f v 0 p c. Titi v l Dietahui f v l = n l + l, l = Dengan l =, pola untu titi v l bisa ditulis f v = n +. Karena < n + < n + n + 3 Maa < f v l < p Jadi terbuti bahwa f memetaan V e,, 3,, p. Terbuti bahwa graf G adalah super sisi ajaib.

20 39 Teorema 5: Graf multi star MS (3) adalah super sisi ajaib dengan onstanta ajaib = 3(n + n + n 3 ) + 3. Buti: Misal G = MS (3), maa G dapat digambaran sebagai beriut: MS (3): v v v 3 v v 3 v v 3 v 3 v 3 3 v 0 v v 0 v v 0 v n v 4 v n v 4 v 3 n3 v 3 4 Maa V(G) = v, v,, v n ; v, v,, v n ; v 3, v 3,, v 3 n3 ; v 0, v 0, v 3 0 ; v, v dan E G = v 0 v, v 0 v,, v 0 v n ; v 0 v, v 0 v,, v 0 v n ; v 3 0 v 3, v 3 0 v 3,, v 3 0 v 3 n3 ; v 0 v, v 0 v, v 0 v, v 3 0 v Jadi aan diperoleh: p = n + n + n 3 + 5, dan q = n + n + n Maa p + q = n + n + n n + n + n = (n + n + n 3 ) + 9 Diberian pelabelan f pada titi sebagai beriut:

21 40 n 3 n n n 3 n n 4 n n n 3 n n n 4 n n n n n n 3 n n n n 4 n n n3 Terdapat pola pelabelan graf G sebagai beriut: n n 5 f v i = n + n + + i, i n, 3 f v 0 = n + n + n 3 + +, 3 f v l = n + + n l + l, l f v 0 v i = n + n + n i, i n f v 0 v i = n + n + n i, i n f v 0 3 v i 3 = n + n + n i, i n 3 f v 0 v l = n + n + + n l + n l+ + + n l, 3, ( ) l Dapat ditunjuan bahwa f adalah fungsi, yang memetaan V(G) E(G) e,, 3,, p + q. Karena V G E G =,, 3,, p + q dan f dapat ditunjuan injetif maa sudah pasti f adalah surjetif. Karena f injetif juga sealigus surjetif, maa f bijetif. Aan ditunjuan bahwa untu masing-masing sisi xy di G berlau f x + f xy + f y = a. Untu sisi v 0 v i di G diperoleh:

22 4 f v 0 + f v 0 v i + f v i = n + n + n n + n + n i + i = 3 n + n + n b. Untu sisi v 0 v i di G diperoleh: f v 0 + f v 0 v i + f v i = n + n + n n + n + n i + (n + + i) = 3 n + n + n c. Untu sisi v v i di G diperoleh: 3 f v 0 + f v v i + f v i = n + n + n n + n + n i + (n + n + + i) = 3 n + n + n d. Untu sisi v 0 v l di G diperoleh: f v 0 + f(v 0 v l ) + f v l = n + n + n n + n + + n l + n l+ + + n l + n + + n l + l = 3 n + n + n Jadi G adalah super sisi ajaib dengan bilangan ajaib: = 3 n + n + n Aan ditunjuan bahwa f memetaan V e,, 3,, p.

23 4 a. Titi v i Dietahui f v i = n + n + + i, i n, 3 Karena i n Maa n + n + + n + n + + i n + n + + n n + n + n + n + + i n + n + + n n + n + n + n + + i n + n + + n < n + n + n n + n + + i < n + n + n Jadi f v i < p b. Titi v 0 Diet f v 0 = n + n + n 3 + +, 3 Karena 3 Maa (n + n + n 3 + ) + (n + n + n 3 + ) + (n + n + n 3 + ) + 3 n + n + n n + n + n n + n + n < n + n + n n + n + n n + n + n < n + n + n n + n + n Jadi < f v 0 p c. Titi v l Dietahui f v l = n + + n l + l, l Karena l

24 43 Maa n + + n l + n + + n l + l n + + n l + < n + + n l + n + + n l + l n + + n l + < n + n + n Jadi < f v l < p Jadi terbuti bahwa f memetaan V e,, 3,, p. Terbuti bahwa graf G adalah super sisi ajaib. Teorema 6: Graf multi star MS (4) adalah super sisi ajaib dengan onstanta ajaib = 3(n + n + n 3 + n 4 ) + 8 Buti: Misal G = MS (4), maa G dapat digambar sebagai beriut: V V V V 3 3 V V 4 V 4 V V 0 ˆ V V 0 ˆ V 3 V 0 3ˆ V 4 V 0 V n Maa V 3 V n V 3 3 V n3 3 V 3 4 V n4 4 V 3 dengan V(G) = v, v,, v n ; v, v,, v n ; v 3, v 3,, v 3 n3 ; v 4, v 4 4,, v n4 v 0, v 0, v 3 0, v 4 0 ; v, v, v 3 v j j i adalah titi pada S nj dengan v 0 j sebagai titi pusat, dan i =,,, n j serta j =,, 3, 4.

25 44 v l adalah titi pengait antara v 0 l dengan v 0 l +, untu l =,, 3. Maa E G = v 0 v, v 0 v,, v 0 v n ; v 0 v, v 0 v,, v 0 v n ; v 3 0 v 3, v 3 0 v 3,, v 3 0 v 3 n3 ; v 4 0 v 4, v 4 0 v 4,, v v n4 v 0 v, v 0 v, v 0 v, v 0 3 v, v 0 3 v 3, v 0 4 v 3 Jadi aan diperoleh: p = n + n + n 3 + n 4 + 7, dan q = n + n + n 3 + n Maa p + q = n + n + n 3 + n n + n + n 3 + n = (n + n + n 3 + n 4 ) + 3 Buat relasi f dari V(G) E(G) e {,, 3,, (n + n + n 3 + n 4 ) + 3} dengan aturan beriut f v i = n 3 + n + n + + i, i n, 4 f v 0 = n + n + n 3 + n , 4 f v l = n +n + + n l + l, l 3 f v 0 v i = n + n + n 3 + n i, i n f v 0 v i = n + n + n 3 + n 4 + i, i n f v 0 3 v i 3 = n + n + n 3 + n i, i n 3 f v 0 4 v i 4 = n + n + n 3 + n i, i n 4 f v 0 v l = n + n + + n l + n (l+) + n (l+) + + n l, 4, ( ) l Dapat ditunjuan bahwa f adalah fungsi, yang memetaan V(G) E(G) e,, 3,, p + q. Karena V G E G =,, 3,, p + q dan f dapat

26 45 ditunjuan injetif maa sudah pasti f adalah surjetif. Karena f injetif juga sealigus surjetif, maa f bijetif. Aan ditunjuan bahwa untu masing-masing sisi xy di G berlau f x + f xy + f y = a. Untu sisi v 0 v i di G diperoleh: f v 0 + f v 0 v i + f v i = n + n + n 3 + n n + n + n 3 + n i + i = 3 n + n + n 3 + n b. Untu sisi v 0 v i di G diperoleh: f v 0 + f v 0 v i + f v i = n + n + n 3 + n n + n + n 3 + n 4 + i + (n + + i) = 3 n + n + n 3 + n c. Untu sisi v v i di G diperoleh: 3 f v 0 + f v v i + f v i = n + n + n 3 + n n + n + n 3 + n i + (n + n + + i) = 3 n + n + n 3 + n d. Untu sisi v v i di G diperoleh: 4 f v 0 + f v v i + f v i = n + n + n 3 + n n + n + n 3 + n i + (n + n + n i)

27 46 = 3 n + n + n 3 + n e. Untu sisi v 0 v l di G diperoleh: f v 0 + f(v 0 v l ) + f v l = n + n + n 3 + n n + n + + n l + n l+ + n l+ + + n l + n +n + + n l + l = 3 n + n + n 3 + n Jadi G adalah total sisi ajaib dengan bilangan ajaib: = 3 n + n + n 3 + n Aan ditunjuan bahwa f memetaan V e,, 3,, p. a. Titi v i Dietahui f V i = n 3 + n + n + + i, i n, 4 Karena i n Maa n 3 + n + n + + n 3 + n + n + + i n 3 + n + n + + n n 3 + n + n + n 3 + n + n + + i n 3 + n + n + + n n 3 + n + n + n 3 + n + n + + i n 3 + n + n + + n < n + n + n 3 + n 4 + 7

28 47 n 3 + n + n + + i < n + n + n 3 + n Jadi f v i < p d. Titi v 0 Diet f v 0 = n + n + n 3 + n , 4 Karena 4 Maa (n + n + n 3 + n 4 + 3) + (n + n + n 3 + n 4 + 3) + (n + n + n 3 + n 4 + 3) + 4 n + n + n 3 + n n + n + n 3 + n n + n + n 3 + n < n + n + n 3 + n n + n + n 3 + n n + n + n 3 + n Jadi < f v 0 p e. Titi v l Dietahui f v l = n +n + + n l + l, l 3 Karena l 3 Maa n +n + + n l + n +n + + n l + l n +n + + n l + 3 < n +n + + n l + n +n + + n l + l n +n + + n l + 3 < n + n + n 3 + n Jadi < f v l < p Jadi terbuti bahwa f memetaan V e,, 3,, p. Terbuti bahwa graf G adalah super sisi ajaib.

29 48 Berdasaran pola pelabelan titi dan sisi pada graf multi star MS (), MS (3), dan MS (4), maa dapat diambil suatu generalisasi untu pola pelabelan titi dan sisi pada graf multi star MS (m) sebagai beriut: a. Titi v i m = f v i = n + + i m = 3 f v i = n + n + + i m = 4 f v i = n 3 + n + n + + i Jadi disimpulan: f v i = n (m ) + n (m ) + + n + + i f v i = n + n + + n + + i, m, i n b. Titi v 0 m = f v 0 = n + n + + m = 3 f v 0 = n + n + n m = 4 f v 0 = n + n + n 3 + n Jadi disimpulan: f v 0 = n + n + n n m + + (m ), m, m c. Titi v l m = f v l m = 3 f v l m = 4 f v l = n + + n l + l = n + + n l + l = n + n + + n l + l Jadi disimpulan: f v = n +n + + n l + l, l m

30 49 d. Sisi v 0 v i. Sisi v 0 v i m = f v 0 v i = n + n + 6 i m = 3 f v 0 v i = n + n + n i m = 4 f v 0 v i = n + n + n 3 + n i Jadi disimpulan: f v 0 v i = n + n + + n m + 4m i. Sisi v 0 v i m = f v 0 v i = n + n + 4 i m = 3 f v 0 v i = n + n + n i m = 4 f v 0 v i = n + n + n 3 + n 4 + i Jadi disimpulan: f v 0 v i = n + n + n n m + 4m 4 i 3. Sisi v v i m = f v v i tida ada m = 3 f v v i = n + n + n i m = 4 f v v i = n + n + n 3 + n i Jadi disimpulan: f v v i = n + n + n n m + 4m 6 i 4. Sisi v v i m = f v v i =tida ada m = 3 f v v i =tida ada m = 4 f v v i = n + n + n 3 + n i Jadi disimpulan: f v v i = n + n +n 3 + n n m + 4m 8 i

31 50 Sehingga, untu sisi v 0 v i : f v 0 v i = n + n + + n m + 4m i f v 0 v i = n + n + n n m + 4m 4 i f v v i = n + n + n n m + 4m 6 i f v v i = n + n +n 3 + n n m + 4m 8 i Jadi disimpulan: f v 0 v i = n + n + + n ( ) + n + n n m + 4m i, m, i n, m e. Sisi v 0 v l m = f v 0 v l m = 3 f v 0 v l = n + n l l = n + n + + n l + n l+ + + n l m = 4 f v 0 v l = n + n + + n l + n (l+) + + n l Jadi disimpulan: f v 0 v l = n + n + + n l + n l+ + n l+ + + n m + 4m + l +, m, ( ) l f. Bilangan ajaib : m = f = 3(n + n ) + 8 m = 3 f = 3(n + n + n 3 ) + 3 m = 4 f = 3(n + n + n 3 + n 4 ) + 8 Jadi disimpulan: f = 3(n + n + + n m ) + 5m, m Dari beberapa pola di atas, maa dapat dibuat generalisasi dalam bentu teorema beriut:

32 5 Teorema 7: Graf multi star MS (m) adalah super sisi ajaib, untu bilangan asli m, dengan onstanta ajaib = 3(n + n + + n m ) + 5m, m Buti: MS (m): v v v m v v n v 0 v 3 v v 3 v 4 v n v 0 v m v v v (m-) v 4 v m nm v m 0 v m 4 v m 3 V G = v, v,, v n, v, v,, v m n,, v nm v 0, v 0,, v 0 3,, v 0 m v, v, v 3,, v m E G = v 0 v, v 0 v,, v 0 v n, v 0 v, v 0 v,, v 0 v n,, v m 0 v, v m 0 v m,, v m m 0 v nm v 0 v, v 0 v, v 0 v m,, v 0 v m, v m m 0 v Jadi, MS (m) mempunyai order p(ms (m)) = n + n + n n m + m dan mempunyai uuran q(ms (m)) = n + n + n n m + (m ). Dengan demiian, maa p + q = (n + n + n n m ) + 4m 3. Buat pola pelabelan f pada graf G = MS (m) sebagai beriut:. f v i = n + n + + n + + i, i n, m

33 5. f v 0 = n + n + n n m + + (m ), m 3. f v l = n +n + + n l + l, l (m ) 4. f v 0 v i = n + n + + n ( ) + n + n n m + 4m i, i n, m 5. f v 0 v l = n + n + + n l + n l+ + n l+ + + n m + 4m + l +, m, ( ) l Maa dapat ditunjuan bahwa f adalah fungsi bijetif. Aan ditunjuan bahwa untu masing-masing sisi xy di G berlau f x + f xy + f y = a. Untu sisi v 0 v i di G diperoleh: f v 0 + f v 0 v i + f v i = n + n + n n m + + m + n + n + + n ( ) + n + n n m + 4m i + n + n + + n + + i = 3 n + n + + n m + 5m b. Untu sisi v 0 v l di G diperoleh: f v 0 + f v 0 v l + f v l = n + n + n n m + + m + n + n + + n l + n l + + n l n m + 4m + l + + n +n + + n l + l = 3 n + n + + n m + 5m

34 53 Jadi G adalah super sisi ajaib dengan bilangan ajaib: = 3 n + n + + n m + 5m Aan ditunjuan bahwa f memetaan V e,, 3,, p. a. Titi v i Dietahui f v i = n + n + + n + + i, i n, m Karena i n, m Maa i n n + n + + n + + n + n + + n + + i n + n + + n + + n n + n + + n + n + n + + n + + i n + n + + n + + n n + n + + n + n + n + + n + + i n + n + + n + + n < n + n + + n m + m n + n + + n + + i < n + n + + n m + m Jadi f v i p b. Titi v 0 Diet f v 0 = n + n + n n m + + m, m Karena m Maa n + n + n n m + m + n + n + n n m + m + n + n + n n m + m + m

35 54 n + n + n n m + m n + n + n n m + + m n + n + n n m + m < n + n + n n m + m n + n + n n m + + m n + n + n n m + m < n + n + n n m + + m n + n + n n m + m Jadi < f v 0 p c. Titi v l Diet f v l = n +n + + n l + l, l m Karena l m Maa n +n + + n l + n +n + + n l + l n +n + + n l + m < n +n + + n l + n +n + + n l + l n +n + + n l + m < n + n + n n m + m < n +n + + n l + n +n + + n l + l < n + n + n n m + m Jadi < f v l < p Jadi terbuti bahwa f memetaan V e,, 3,, p. Dengan demiian, terbuti bahwa G = MS (m) adalah super sisi ajaib.

36 55 C. Pelabelan Total Sisi Ajaib pada Graf Hairy Cycle C n Misalan S n, S n, n, n, n 3,, dan n m, serta S n 3,., S n m adalah graf star masing-masing beroder i v 0 adalah titi pusat dari S n i. Graf yang diperoleh dari gabungan m i S ni ditambah sisi i i v 0 v 0 (i =,,, m ) dan m v v 0 0 adalah graf siel berambut (Hairy Cycle), dan dinotasian dengan C m. Dalam penelitian ini juga ditunjuan pelabelan pada graf hairy cycle, dengan asus husus pada n = n = n 3 = = n m = c. Teorema 8: Graf Hairy Cycle C 4 dengan m rambut untu masing-masing titi pada siel adalah total sisi ajaib. Buti: Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph G dengan order p dan uuran q adalah fungsi bijetif f dari V E e himpunan bilangan bulat {,,3,, p + q} sedemiian hingga untu masing-masing sisi xy di G berlau f x + f xy + f y =, dengan onstanta. Maa untu membutian teorema 3. perlu ditunjuan bahwa : i) G adalah fungsi bijetif f dari V E e himpunan bilangan bulat {,,3,, p + q} ii) untu masing-masing sisi xy di G berlau f x + f xy + f y = Misal: V G = (a 0, a, a, a 3,, a m, b 0, b, b, b 3,, b m, c 0, c, c, c 3,, c m ) yang dielompoan sebagai beriut:

37 56 V G = a 0, a, a, a 3,, a m V G = ( b 0, b, b, b 3,, b m ) V 3 G = c 0, c, c, c 3,, c m Dimana: a 0 sebagai titi pusat V G dan a, a, a 3,, a m sebagai titi ujung V G. b 0 sebagai titi pusat V G dan b, b, b 3,, b m sebagai titi ujung V G. c 0 sebagai titi pusat V 3 G dan c, c, c 3,, c m sebagai titi ujung V 3 G. Sedangan a 0, b 0 dan c 0 saling terhubung. E G = (a 0 a, a 0 a,, a 0 a m, a 0 b 0, b 0 b, b 0 b,, b 0 b m, b 0 c 0,..., c 0 c m, c 0 a 0 ) yang dielompoan sebagai beriut: E G = (a 0 a, a 0 a,, a 0 a m, a 0 b 0 ) E G = ( b 0 b, b 0 b,, b 0 b m, b 0 c 0 ) E 3 G = ( c 0 c, c 0 c,, c 0 c m, c 0 a 0 ) Jadi untu C 3 dengan m rambut p = 3(m + ), dan q = 3(m + ). Maa p + q = 3(m + ) + 3(m + ) = 6(m + ) Graf Hairy Cycle C 3 dengan m rambut dapat digambar sebagai beriut: b 3 b 4 b b b m a m b 0 c c a 4 a 0 c 0 c 3 a 3 c 4 a a c m Gambar 3.8: Graf C 3 Dengan m Rambut

38 57 dengan pelabelan sebagai beriut: c m a a 3 4 a a a m n b c 4 3 b c 3 c c b m b 3 Gambar 3.9: Pelabelan Graf C 3 Dengan m Rambut Definisian fungsi f dari V G E G e,,3,, p + q dengan pengaitan sebagai beriut: a. f a 0 b. f a i 3i + untu i =,,3,, m c. f a 0 a i 6m + 6 3i untu i =,,3,, m d. f a 0 b 0 6m + 6 untu i =,,3,, m e. f b 0 f. f b i 3i + 3 untu i =,,3,, m g. f b 0 b i 6m + 4 3i untu i =,,3,, m h. f b 0 c 0 6m + 4 untu i =,,3,, m i. f c 0 3 j. f c i 3i + untu i =,,3,, m. f c 0 c i 6m + 5 3i untu i =,,3,, m l. f c 0 a 0 6m + 5 untu i =,,3,, m Maa: i) Aan ditunjuan bahwa G adalah fungsi bijetif f dari V(G) E(G) e himpunan bilangan bulat {,, 3,, p + q} ) G adalah fungsi injetif

39 58 Untu titi di G Ambil V i dan V j titi di G dengan f V i = f(v j ). Aan dibutian i = j sedemiian hingga V i = V j. a. Untu i n, dan j n. Karena f x i = f(x j ) Maa i = j Jadi x i = x j b. Untu i m, dan j m. Karena f a i = f(a j ) Maa n i + = n j + i = j Jadi a i = a j c. Untu i m, dan j m. Karena f b i = f(b j ) Maa n i + 3 = n j + 3 i = j Jadi b i = b j d. Untu i m, dan j m. Karena f c i = f(c j ) Maa n i + = n j + i = j Jadi c i = c j Untu sisi di G

40 59 a. Untu i m, dan j m. Ambil a 0 a i dan a 0 a j sisi di G dengan f(a 0 a i ) = f(a 0 a j ) Aan dibutian i = j sedemiian hingga a 0 a i = a 0 a j. Karena f a 0 a i = f(a 0 a j ) Maa 6m + 6 3i = 6m + 6 3j i = j Jadi a 0 a i = a 0 a j. b. Untu i m, dan j m Ambil b 0 b i dan b 0 b j sisi di G dengan f(b 0 b i ) = f(b 0 b i ) Aan dibutian i = j sedemiian hingga b 0 b i = b 0 b j. Karena f(b 0 b i ) = f(b 0 b i ). Maa 6m + 4 3i = 6m + 4 3j i = j Jadi b 0 b i = b 0 b j. c. Untu i m, dan j m Ambil c 0 c i dan c 0 c j sisi di G dengan f(c 0 c i ) = f(c 0 c i ) Aan dibutian i = j sedemiian hingga c 0 c i = c 0 c j. Karena f(c 0 c i ) = f(c 0 c i ). Maa 6m + 5 3i = 6m + 5 3j i = j Jadi c 0 c i = c 0 c j. Jadi f merupaan fungsi injetif dari V(G) E(G) e,,3,, p + q ) G adalah fungsi surjetif

41 60 Aan ditunjuan bahwa V(G) E(G) dipetaan e,,3,, p + q a. Aan dibutian f a i p + q Dietahui f a i = i, i m Karena i m Maa i m 3i + i 3i + Jadi f a i p + q b. Aan dibutian f b i p + q Dietahui f b i = i, i m Karena i m Maa i m 3i + 3 i 3i + 3 Jadi f b i p + q c. Aan dibutian f c i p + q Dietahui f c i = i, i m Karena i m Maa i m 3i + i 3i + Jadi f b i p + q d. Aan dibutian f a 0 p + q Dietahui f a 0 = n Karena n n(m + ) Jadi f a 0 p + q e. Aan dibutian f b 0 p + q

42 6 Dietahui f b 0 = n Karena n n(m + Jadi f b 0 p + q f. Aan dibutian f c 0 p + q Dietahui f c 0 = n Karena n n(m + Jadi f c 0 p + q g. Aan dibutian f α 0 α i p + q Dietahui f α 0 α i = 6m + 6 3i, i m Karena i m Maa.. i. m i m 6m + 6 i 6m + 6 i i 6m + 6 i m 6m + 5 i 6m + 6 3i 5m + 6 i 6m + 5 i 6m + 6 3i 5m + 6 i 6(m + ) 6m + 6 3i 6(m + ) Jadi f a 0 a i p + q h. Aan dibutian f b 0 b i p + q Dietahui f b 0 b i = 6m + 4 3i, i m Karena i m Maa.. i. m i m 6m + 4 i 6m + 4 i i 6m + 4 i m 6m + 3 i 6m + 4 3i 5m + 4 i

43 6 6m + 3 i 6m + 4 3i 5m + 4 i 6(m + ) 6m + 4 3i 6(m + ) Jadi f b 0 b i p + q i. Aan dibutian f c 0 c i p + q Dietahui f c 0 c i = 6m + 5 3i, i m Karena i m Maa.. i. m i m 6m + 5 i 6m + 5 i i 6m + 5 i m 6m + 4 i 6m + 5 3i 5m + 5 i 6m + 4 i 6m + 5 3i 5m + 5 i 6(m + ) 6m + 5 3i 6(m + ) Jadi f c 0 c i p + q j. Aan dibutian f a 0 b 0 p + q Dietahui f a 0 b 0 = 6m + 6 Karena 6m + 6 6m + 6 Jadi f a 0 b 0 p + q. Aan dibutian f b 0 c 0 p + q Dietahui f b 0 c 0 = 6m + 5 Karena 6m + 5 6m + 6 Jadi f b 0 c 0 p + q l. Aan dibutian f c 0 a 0 p + q Dietahui f a 0 b 0 = 6m + 4 Karena 6m + 4 6m + 6

44 63 Jadi f c 0 a 0 p + q Sehingga dapat disimpulan bahwa f V p + q dan f E p + q. Artinya V(G) E(G) dipetaan e,, 3,, p + q. Karena V G E G =,, 3,, p + q dan f(g) adalah injetif maa sudah pasti f(g) adalah surjetif. Karena f(g) injetif juga sealigus surjetif, maa f(g) bijetif. ii) Aan ditunjuan bahwa untu masing-masing sisi xy di G berlau: f x + f xy + f y = a. Untu sisi a 0 a i di G diperoleh: f a 0 + f a 0 a i + f a i = + 6m + 6 3i + 3i + = 6m + 9 b. Untu sisi b 0 b i di G diperoleh: f b 0 + f b 0 b i + f b i = + 6m + 4 3i + 3i + 3 = 6m + 9 c. Untu sisi c 0 c i di G diperoleh: f c 0 + f c 0 c i + f c i = 3 + 6m + 5 3i + 3i + = 6m + 9 d. Untu sisi a 0 b 0 di G diperoleh: f a 0 + f a 0 b 0 + f b 0 = + 6m = 6m + 9 e. Untu sisi b 0 c 0 di G diperoleh: f b 0 + f b 0 c 0 + f c 0 = + 6m = 6m + 9 f. Untu sisi a 0 b 0 di G diperoleh: f c 0 + f c 0 a 0 + f a 0 = 3 + 6m = 6m + 9 Jadi graf Hairy Cycle C 3 dengan m rambut adalah total sisi ajaib dengan bilangan ajaib: = 6m + 9

45 64 Teorema 9: Graf Hairy Cycle C 4 dengan m rambut pada masing-masing titi siel adalah total sisi ajaib. Buti: Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph G dengan order p dan uuran q adalah fungsi bijetif f dari V E e himpunan bilangan bulat {,,3,, p + q} sedemiian hingga untu masing-masing sisi xy di G berlau f x + f xy + f y =, dengan onstanta. Maa untu membutian teorema 3. perlu ditunjuan bahwa : i) G adalah fungsi bijetif f dari V E e himpunan bilangan bulat {,, 3,, p + q} ii) Untu masing-masing sisi xy di G berlau f x + f xy + f y = Misal: V G = (a 0, a, a,, a m, b 0, b, b,, b m, c 0, c, c,, c m, d 0, d, d,, d m ) yang dielompoan sebagai beriut: V G = a 0, a, a, a 3,, a m V G = ( b 0, b, b, b 3,, b m ) V 3 G = c 0, c, c, c 3,, c m V 4 G = d 0, d, d, d 3,, d m Dimana: a 0 sebagai titi pusat V G dan a, a, a 3,, a m sebagai titi ujung V G. b 0 sebagai titi pusat V G dan b, b, b 3,, b m sebagai titi ujung V G. c 0 sebagai titi pusat V 3 G dan c, c, c 3,, c m sebagai

46 65 titi ujung V 3 G. d 0 sebagai titi pusat V 4 G dan d, d, d 3,, d m sebagai titi ujung V 4 G. Sedangan a 0, b 0, c 0 dan d 0 saling terhubung. E G = (a 0 a, a 0 a,, a 0 a m, a 0 b 0, b 0 b, b 0 b,, b 0 b m, b 0 c 0, c 0 c, c 0 c,, c 0 c m, c 0 d 0, d 0 d, d 0 d,, d 0 d m, d 0 a 0 ) Yang dielompoan sebagai beriut: E G = (a 0 a, a 0 a,, a 0 a m, a 0 b 0 ) E G = ( b 0 b, b 0 b,, b 0 b m, b 0 c 0 ) E 3 G = ( c 0 c, c 0 c,, c 0 c m, c 0 d 0 ) E 4 G = ( d 0 d, d 0 d,, d 0 d m, d 0 a 0 ) Jadi untu C 4 dengan m rambut p = 4(m + ), dan q = 4(m + ). Maa p + q = 4(m + ) + 4(m + ) = 8(m + ) Graf Hairy Cycle C 4 dengan m rambut dapat digambar sebagai beriut: b 4 c b m c b 3 c 3 b c 4 b b 0 c 0 c m a m a 0 d 0 d d a 4 d 3 a 3 a a d m Gambar 3.7: Graf C 4 Dengan m Rambut d 4 Dengan pelabelan sebagai beriut:

47 66 5n 7n 9n ( m ) n 3n 4 5n 4 7n 4 9n 4 3n 8 6 ( m ) n 4 ( m ) n n 9n 3 7n 3 5n 3 3n 3 ( m ) n 9n 5n 7n Gambar 3.8: Pelabelan Graf C 4 Dengan m Rambut Didefinisian fungsi f dari V G E G e,,3,, p + q sebagai beriut: a. f a 0 3 b. f a i 8i + 7 untu i =,,3,, m c. f a 0 a i 8m + 5 8i untu i =,,3,, m d. f a 0 b 0 8m + 4 untu i =,,3,, m e. f b 0 8 f. f b i 8i + 3 untu i =,,3,, m g. f b 0 b i 8m + 4 8i untu i =,,3,, m h. f b 0 c 0 8m + untu i =,,3,, m i. f c 0 6 j. f c i 8i + 8 untu i =,,3,, m. f c 0 c i 8m + 8i untu i =,,3,, m l. f c 0 d 0 8m + untu i =,,3,, m m. f d 0 7 n. f d i 8i + 6 untu i =,,3,, m o. f dd i 8m + 8i untu i =,,3,, m p. f d 0 a 0 8m + 5 untu i =,,3,, m

48 67 Maa: i) Aan ditunjuan bahwa G adalah fungsi bijetif f dari V(G) E(G) e himpunan bilangan bulat {,, 3,, p + q} ) G adalah fungsi injetif Untu titi di G Ambil V i dan V j titi di G dengan f V i = f(v j ). Aan dibutian i = j sedemiian hingga V i = V j. a. Untu i n, dan j n. Karena f x i = f(x j ) Maa i = j Jadi x i = x j b. Untu i m, dan j m. Karena f a i = f(a j ) Maa n i + 7 = n j + 7 i = j Jadi a i = a j c. Untu i m, dan j m. Karena f b i = f(b j ) Maa n i + 4 = n j + 4 i = j Jadi b i = b j d. Untu i m, dan j m. Karena f c i = f(c j )

49 68 Maa n i + = n j + i = j Jadi c i = c j e. Untu i m, dan j m. Karena f d i = f(d j ) Maa n i + = n j + i = j Jadi d i = d j Untu sisi di G a. Untu i m, dan j m. Ambil a 0 a i dan a 0 a j sisi di G dengan f(a 0 a i ) = f(a 0 a j ). Aan dibutian i = j sedemiian hingga a 0 a i = a 0 a j. Karena f a 0 a i = f(a 0 a j ) Maa 8m + 5 8i = 8m + 5 8j i = j Jadi a 0 a i = a 0 a j. b. Untu i m, dan j m Ambil b 0 b i dan b 0 b j sisi di G dengan f(b 0 b i ) = f(b 0 b i ). Aan dibutian i = j sedemiian hingga b 0 b i = b 0 b j. Karena f(b 0 b i ) = f(b 0 b i ). Maa 8m + 4 8i = 8m + 4 8j i = j Jadi b 0 b i = b 0 b j.

50 69 c. Untu i m, dan j m Ambil c 0 c i dan c 0 c j sisi di G dengan f(c 0 c i ) = f(c 0 c i ). Aan dibutian i = j sedemiian hingga c 0 c i = c 0 c j. Karena f(c 0 c i ) = f(c 0 c i ). Maa 8m + 8i = 8m + 8j i = j Jadi c 0 c i = c 0 c j. d. Untu i m, dan j m Ambil d 0 d i dan d 0 d j sisi di G dengan f(d 0 d i ) = f(d 0 d i ). Aan dibutian i = j sedemiian hingga d 0 d i = d 0 d j. Karena f(d 0 d i ) = f(d 0 d i ). Maa 8m + 8i = 8m + 8j i = j Jadi d 0 d i = d 0 d j. Jadi f merupaan fungsi injetif dari V(G) E(G) e,,3,, p + q ) G adalah fungsi surjetif Aan ditunjuan bahwa V(G) E(G) dipetaan e,,3,, p + q a. Aan dibutian f a i p + q Dietahui f a i = i, i m Karena i m Maa i m 8i + 7 i 8i + 7 Jadi f a i p + q b. Aan dibutian f b i p + q

51 70 Dietahui f b i = i, i m Karena i m Maa i m 8i + 3 i 8i + 3 Jadi f b i p + q c. Aan dibutian f c i p + q Dietahui f c i = i, i m Karena i m Maa i m 8i + 8 i 8i + 8 Jadi f c i p + q d. Aan dibutian f d i p + q Dietahui f d i = i, i m Karena i m Maa i m 8i + 6 i 8i + 6 Jadi f d i p + q e. Aan dibutian f a 0 p + q Dietahui f a 0 = n Karena n n(m + ) Jadi f a 0 p + q f. Aan dibutian f b 0 p + q Dietahui f b 0 = n + 4 Karena n + 4 n(m + )

52 7 Jadi f b 0 p + q g. Aan dibutian f c 0 p + q Dietahui f c 0 = n + Karena n + n(m + ) Jadi f c 0 p + q h. Aan dibutian f d 0 p + q Dietahui f d 0 = n + 3 Karena n + 3 n(m + ) Jadi f d 0 p + q i. Aan dibutian f a 0 a i p + q Dietahui f a 0 a i = 8m + 5 8i, i m Karena i m Maa.. i. m i m 8m + 5 7i 8m + 5 7i i 8m + 5 7i m 8m + 4 7i 8m + 5 8i 7m + 5 7i 8m + 4 7i 8m + 5 8i 7m + 5 7i 8(m + ) 8m + 5 8i 8(m + ) Jadi f a 0 a i p + q j. Aan dibutian f b 0 b i p + q Dietahui f b 0 b i = 8m + 4 8i, i m Karena i m Maa.. i. m i m

53 7 8m + 4 7i 8m + 4 7i i 8m + 4 7i m 8m + 3 7i 8m + 4 8i 7m + 4 7i 8m + 3 7i 8m + 4 8i 7m + 4 7i 6(m + ) 8m + 4 8i 8(m + ) Jadi f b 0 b i p + q. Aan dibutian f c 0 c i p + q Dietahui f c 0 c i = 8m + 8i, i m Karena i m Maa.. i. m i m 8m + 7i 8m + 7i i 8m + 7i m 8m 7i 8m + 8i 7m + 7i 8m + 7i 8m + 8i 7m + 7i 6(m + ) 8m + 8i 6(m + ) Jadi f c 0 c i p + q l. Aan dibutian f d 0 d i p + q Dietahui f d 0 d i = 8m + 8i, i m Karena i m Maa.. i. m i m 8m + 7i 8m + 7i i 8m + 7i m 8m + 7i 8m + 8i 7m + 7i 8m + 7i 8m + 8i 7m + 7i 6(m + ) 8m + 8i 6(m + )

54 73 Jadi f d 0 d i p + q m. Aan dibutian f a 0 b 0 p + q Dietahui f a 0 b 0 = 8m + 4 Karena 8m + 4 8m + 8 Jadi f a 0 b 0 p + q n. Aan dibutian f b 0 c 0 p + q Dietahui f b 0 c 0 = 8m + Karena 8m + 8m + 8 Jadi f b 0 c 0 p + q o. Aan dibutian f c 0 d 0 p + q Dietahui f c 0 d 0 = 8m + Karena 8m + 8m + 8 Jadi f c 0 d 0 p + q p. Aan dibutian f d 0 a 0 p + q Dietahui f d 0 a 0 = 8m + 5 Karena 8m + 5 8m + 8 Jadi f d 0 a 0 p + q Sehingga dapat disimpulan bahwa f V p + q dan f E p + q. Artinya V(G) E(G) dipetaan e,, 3,, p + q. Karena V G E G =,, 3,, p + q dan f(g) adalah injetif maa sudah pasti f(g) adalah surjetif. Karena f(g) injetif juga sealigus surjetif, maa f(g) bijetif. ii). Aan ditunjuan bahwa untu masing-masing sisi xy di G berlau: f x + f xy + f y =

55 74 a. Untu sisi a 0 a i di G diperoleh: f a 0 + f a 0 a i + f a i = 3 + 8m + 5 8i + 8i + 7 = 8m + 5 b. Untu sisi b 0 b i di G diperoleh: f b 0 + f b 0 b i + f b i = 8 + 8m + 4 8i + 8i + 3 = 8m + 5 c. Untu sisi c 0 c i di G diperoleh: f c 0 + f c 0 c i + f c i = 6 + 8m + 8i + 8i + 8 = 8m + 5 d. Untu sisi c 0 c i di G diperoleh: f c 0 + f c 0 c i + f c i = 7 + 8m + 8i + 8i + 6 = 8m + 5 e. Untu sisi a 0 b 0 di G diperoleh: f a 0 + f a 0 b 0 + f b 0 = 3 + 8m = 8m + 5 f. Untu sisi b 0 c 0 di G diperoleh: f b 0 + f b 0 c 0 + f c 0 = 8 + 8m = 8m + 5 g. Untu sisi c 0 d 0 di G diperoleh: f c 0 + f c 0 d 0 + f d 0 = 6 + 8m = 8m + 5 h. Untu sisi d 0 a 0 di G diperoleh: f d 0 + f d 0 a 0 + f a 0 = 7 + 8m = 8m + 5 Jadi G C 4 dengan m rambut adalah tota sisi ajaib dengan bilangan ajaib: = 8m + n + Teorema 0: Graf Hairy Cycle C 6 dengan m rambut untu masing-masing titi pada siel adalah total sisi ajaib. Buti:

56 75 Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph G dengan order p dan uuran q adalah fungsi bijetif f dari V E e himpunan bilangan bulat {,,3,, p + q} sedemiian hingga untu masing-masing sisi xy di G berlau f x + f xy + f y =, dengan onstanta. Maa untu membutian teorema 3.3 perlu ditunjuan bahwa : i) G adalah fungsi bijetif f dari V E e himpunan bilangan bulat {,, 3,, p + q} ii) untu masing-masing sisi xy di G berlau f x + f xy + f y = Misal: V G = (a 0, a, a,, a m, b 0, b, b,, b m, c 0, c, c,, c m, d 0, d, d,, d m, e 0, e, e,, e m ) yang dielompoan sebagai beriut: V G = a 0, a, a, a 3,, a m V G = ( b 0, b, b, b 3,, b m ) V 3 G = c 0, c, c, c 3,, c m V 4 G = d 0, d, d, d 3,, d m V 5 G = e 0, e, e, e 3,, e m Dimana: a 0 sebagai titi pusat V G dan a, a, a 3,, a m sebagai titi ujung V G. b 0 sebagai titi pusat V G dan b, b, b 3,, b m sebagai titi ujung V G. titi ujung V 3 G. c 0 sebagai titi pusat V 3 G dan c, c, c 3,, c m sebagai d 0 sebagai titi pusat V 4 G dan d, d, d 3,, d m sebagai titi ujung V 4 G. e 0 sebagai titi pusat V 5 G dan

57 76 e, e, e 3,, e m sebagai titi ujung V 5 G. Sedangan a 0, b 0, c 0, d 0 dan e 0 saling terhubung. E G = (a 0 a, a 0 a,, a 0 a m, a 0 b 0, b 0 b, b 0 b,, b 0 b m, b 0 c 0, c 0 c, c 0 c,, c 0 c m, c 0 d 0, d 0 d, d 0 d,, d 0 d m, d 0 e 0, e 0 e, e 0 e,, e 0 e m, e 0 a 0 ) Yang dielompoan sebagai beriut: E G = (a 0 a, a 0 a,, a 0 a m, a 0 b 0 ) E G = ( b 0 b, b 0 b,, b 0 b m, b 0 c 0 ) E 3 G = ( c 0 c, c 0 c,, c 0 c m, c 0 d 0 ) E 4 G = ( d 0 d, d 0 d,, d 0 d m, d 0 e 0 ) E 5 G = ( e 0 e, e 0 e,, e 0 e m, e 0 a 0 ) Jadi untu C 5 dengan m rambut p = 5(m + ), dan q = 5(m + ). Maa p + q = 5(m + ) + 5(m + ) = 0(m + ) Graf Hairy Cycle C 5 dengan m rambut dapat digambar sebagai beriut: b3 b b 4 b b m a m c a 4 b 0 c a 3 c 3 a a 0 c 0 c 4 a c m e 0 d 0 d e m d e 4 d 3 e 3 d 4 e e d m Gambar 3.6: Graf C 5 Dengan m Rambut Dengan pelabelan sebagai beriut:

58 77 a n a a 3 a m e 4 e m 4 b b e 3 e e b 3 b 4 b m d m d 4 d 3 d 3 d 5 c m c c c 3 c 4 Gambar 3.7: Pelabelan Graf C 5 Dengan m Rambut Fungsi f dari V G E G e,,3,, p + q didefinisian sebagai beriut: a. f a 0 b. f a i 5i + 5 untu i =,,3,, m c. f a 0 a i 0m + 8 5i untu i =,,3,, m d. f a 0 b 0 0m + 9 untu i =,,3,, m e. f b 0 4 f. f b i 5i + untu i =,,3,, m g. f b 0 b i 0m + 9 5i untu i =,,3,, m h. f b 0 c 0 0m + 8 untu i =,,3,, m i. f c 0 j. f c i 5i + untu i =,,3,, m. f c 0 c i 0m + 0 5i untu i =,,3,, m l. f c 0 d 0 0m + 7 untu i =,,3,, m m. f d 0 5 n. f d i 5i + 3 untu i =,,3,, m o. f d 0 d i 0m + 6 5i untu i =,,3,, m

59 78 p. f d 0 e 0 0m + 6 untu i =,,3,, m q. f e 0 3 r. f e i 5i + 4 untu i =,,3,, m s. f e 0 e i 0m + 7 5i untu i =,,3,, m t. f e 0 a 0 0m + 0 untu i =,,3,, m Maa: i) Aan ditunjuan bahwa G adalah fungsi bijetif f dari V(G) E(G) e himpunan bilangan bulat {,, 3,, p + q} a. G adalah fungsi injetif Untu titi di G Ambil V i dan V j titi di G dengan f V i = f(v j ). Aan dibutian i = j sedemiian hingga V i = V j. a. Untu i n, dan j n. Karena f x i = f(x j ) Maa i = j Jadi x i = x j b. Untu i m, dan j m. Karena f a i = f(a j ) Maa n i + 5 = n j + 5 i = j Jadi a i = a j c. Untu i m, dan j m. Karena f b i = f(b j )

60 79 Maa n i + = n j + i = j Jadi b i = b j d. Untu i m, dan j m. Karena f c i = f(c j ) Maa n i + = n j + i = j Jadi c i = c j e. Untu i m, dan j m. Karena f c i = f(c j ) Maa n i + 3 = n j + 3 i = j Jadi c i = c j f. Untu i m, dan j m. Karena f c i = f(c j ) Maa n i + 4 = n j + 4 i = j Jadi c i = c j Untu sisi di G a. Untu i m, dan j m. Ambil a 0 a i dan a 0 a j sisi di G dengan f(a 0 a i ) = f(a 0 a j ). Aan dibutian i = j sedemiian hingga a 0 a i = a 0 a j. Karena f a 0 a i = f(a 0 a j )

61 80 Maa 0m + 8 5i = 0m + 8 5j i = j Jadi a 0 a i = a 0 a j. b. Untu i m, dan j m Ambil b 0 b i dan b 0 b j sisi di G dengan f(b 0 b i ) = f(b 0 b i ). Aan dibutian i = j sedemiian hingga b 0 b i = b 0 b j. Karena f(b 0 b i ) = f(b 0 b i ). Maa 0m + 9 5i = 0m + 9 5j i = j Jadi b 0 b i = b 0 b j. c. Untu i m, dan j m Ambil c 0 c i dan c 0 c j sisi di G dengan f(c 0 c i ) = f(c 0 c i ). Aan dibutian i = j sedemiian hingga c 0 c i = c 0 c j. Karena f(c 0 c i ) = f(c 0 c i ). Maa 0m + 0 5i = 0m + 0 5j i = j Jadi c 0 c i = c 0 c j d. Untu i m, dan j m Ambil d 0 d i dan d 0 d j sisi di G dengan f(d 0 d i ) = f(d 0 d i ). Aan dibutian i = j sedemiian hingga d 0 d i = d 0 d j. Karena f(d 0 d i ) = f(d 0 d i ). Maa 0m + 6 5i = 0m + 6 5j i = j

62 8 Jadi c 0 c i = c 0 c j. e. Untu i m, dan j m Ambil e 0 e i dan e 0 e j sisi di G dengan f(e 0 e i ) = f(e 0 e i ). Aan dibutian i = j sedemiian hingga e 0 e i = e 0 e j. Karena f(e 0 e i ) = f(e 0 e i ). Maa 0m + 7 5i = 0m + 7 5j i = j Jadi e 0 e i = e 0 e j Jadi f merupaan fungsi injetif dari V(G) E(G) e,,3,, p + q b. G adalah fungsi surjetif Aan ditunjuan bahwa V(G) E(G) dipetaan e,,3,, p + q a. Aan dibutian f a i p + q Dietahui f a i = i, i m Karena i m Maa i m 5i + 5 i 5i + 5 Jadi f a i p + q b. Aan dibutian f b i p + q Dietahui f b i = i, i m Karena i m Maa i m 5i + i 5i + Jadi f b i p + q c. Aan dibutian f c i p + q

63 8 Dietahui f c i = i, i m Karena i m Maa i m 5i + i 5i + Jadi f c i p + q d. Aan dibutian f d i p + q Dietahui f d i = i, i m Karena i m Maa i m 5i + 3 i 5i + 3 Jadi f d i p + q e. Aan dibutian f e i p + q Dietahui f e i = i, i m Karena i m Maa i m 5i + 4 i 5i + 4 Jadi f e i p + q f. Aan dibutian f a 0 p + q Dietahui f a 0 = n 4 Karena n 4 n(m + ) Jadi f a 0 p + q g. Aan dibutian f b 0 p + q Dietahui f b 0 = n Karena n n(m + )

64 83 Jadi f b 0 p + q h. Aan dibutian f c 0 p + q Dietahui f c 0 = n 3 Karena n 3 n(m + ) Jadi f c 0 p + q i. Aan dibutian f d 0 p + q Dietahui f d 0 = n Karena n 3 n(m + ) Jadi f d 0 p + q j. Aan dibutian f e 0 p + q Dietahui f e 0 = n Karena n n(m + ) Jadi f e 0 p + q. Aan dibutian f a 0 a i p + q Dietahui f a 0 a i = 0m + 8 5i, i m Karena i m Maa.. i. m i m 0m + 8 4i 0m + 8 4i i 0m + 8 4i m 0m + 7 4i 0m + 8 5i 9m + 8 4i 0m + 7 4i 0m + 8 5i 9m + 8 4i n(m + ) 0m + 8 5i n(m + ) Jadi f a 0 a i p + q l. Aan dibutian f b 0 b i p + q

65 84 Dietahui f b 0 b i = 0m + 9 5i, i m Karena i m Maa.. i. m i m 0m + 9 4i 0m + 9 4i i 0m + 9 4i m 0m + 8 4i 0m + 9 5i 9m + 9 4i 0m + 8 4i 0m + 9 5i 9m + 9 4i n(m + ) 0m + 9 5i n(m + ) Jadi f b 0 b i p + q m. Aan dibutian f c 0 c i p + q Dietahui f c 0 c i = 0m + 0 5i, i m Karena i m Maa.. i. m i m 0m + 0 4i 0m + 0 4i i 0m + 0 4i m 0m + 9 4i 0m + 0 5i 9m + 0 4i 0m + 9 4i 0m + 0 5i 9m + 0 4i n(m + ) 0m + 0 5i n(m + ) Jadi f c 0 c i p + q n. Aan dibutian f d 0 d i p + q Dietahui f d 0 d i = 0m + 6 5i, i m Karena i m Maa.. i. m i m

66 85 0m + 6 4i 0m + 6 4i i 0m + 6 4i m 0m + 5 4i 0m + 6 5i 9m + 6 4i 0m + 5 4i 0m + 6 5i 9m + 6 4i n(m + ) 0m + 6 5i n(m + ) Jadi f d 0 d i p + q o. Aan dibutian f e 0 e i p + q Dietahui f e 0 e i = 0m + 7 5i, i m Karena i m Maa.. i. m i m 0m + 7 4i 0m + 7 4i i 0m + 7 4i m 0m + 6 4i 0m + 7 5i 9m + 7 4i 0m + 6 4i 0m + 7 5i 9m + 7 4i n(m + ) 0m + 7 5i n(m + ) Jadi f e 0 e i p + q p. Aan dibutian f a 0 b 0 p + q Dietahui f a 0 b 0 = 0m + 9 Karena 0m + 9 n m + Jadi f a 0 b 0 p + q q. Aan dibutian f b 0 c 0 p + q Dietahui f b 0 c 0 = 0m + 8 Karena 0m + 8 n(m + ) Jadi f b 0 c 0 p + q r. Aan dibutian f c 0 d 0 p + q

67 86 Dietahui f c 0 d 0 = 6m + 4 Karena 0m + 7 n(m + ) Jadi f c 0 d 0 p + q s. Aan dibutian f d 0 e 0 p + q Dietahui f d 0 e 0 = 0m + 6 Karena 0m + 6 n(m + ) Jadi f d 0 e 0 p + q t. Aan dibutian f e 0 a 0 p + q Dietahui f e 0 a 0 = 0m + 0 Karena 0m + 0 n(m + ) Jadi f e 0 a 0 p + q Sehingga dapat disimpulan bahwa f V p + q dan f E p + q. Artinya V(G) E(G) dipetaan e,, 3,, p + q. Karena V G E G =,, 3,, p + q dan f(g) adalah injetif maa sudah pasti f(g) adalah surjetif. Karena f(g) injetif juga sealigus surjetif, maa f(g) bijetif. ii). Aan ditunjuan bahwa untu masing-masing sisi xy di G berlau: f x + f xy + f y = a. Untu sisi a 0 a i di G diperoleh: f a 0 + f a 0 a i + f a i = + 0m + 8 5i + 5i + 5 = 0m + 4 b. Untu sisi b 0 b i di G diperoleh: f b 0 + f b 0 b i + f b i = 4 + 0m + 9 5i + 5i + = 0m + 4

68 87 c. Untu sisi c 0 c i di G diperoleh: f c 0 + f c 0 c i + f c i = + 0m + 0 5i + 5i + = 0m + 4 d. Untu sisi e 0 e i di G diperoleh: f d 0 + f d 0 d i + f d i = 5 + 0m + 6 5i + 5i + 3 = 0m + 4 e. Untu sisi e 0 e i di G diperoleh: f e 0 + f e 0 e i + f e i = 3 + 0m + 7 5i + 5i + 4 = 0m + 4 f. Untu sisi a 0 b 0 di G diperoleh: f a 0 + f a 0 b 0 + f b 0 = + 0m = 0m + 4 g. Untu sisi b 0 c 0 di G diperoleh: f b 0 + f b 0 c 0 + f c 0 = 4 + 0m = 0m + 4 h. Untu sisi c 0 d 0 di G diperoleh: f c 0 + f c 0 d 0 + f d 0 = + 0m = 0m + 4 i. Untu sisi d 0 e 0 di G diperoleh: f d 0 + f d 0 e 0 + f e 0 = 5 + 0m = 0m + 4 j. Untu sisi e 0 a 0 di G diperoleh: f e 0 + f e 0 a 0 + f a 0 = 3 + 0m = 0m + 4 Jadi G C 3 dengan m rambut adalah total sisi ajaib dengan bilangan ajaib: = 0m + 4

69 BAB V PENUTUP A. Kesimpulan Berdasaran pembahasan, maa beberapa esimpulan yang dapat diambil adalah sebagai beriut.. Graf multi star tipe MS (m) adalah super sisi ajaib. Graf multi star tipe MS (m) adalah super sisi ajaib 3. Graf Hairy Cycle C 3, C 4, C 5 dan C 6 adalah total sisi ajaib. B. Saran Berdasaran penelitian, disaranan epada peneliti yang lain untu mengaji pelabelan super sisi ajaib pada graf yang lain serta melanjutan penelitian pelabelan total sisi ajaib untu graf hairy cycle secara umum.. 89

70 DAFTAR PUSTAKA Abdussair. 00. Pelabelan Sisi Ajaib Super pada Beberapa Bentu Graf Ulat. Prosiding Seminar Nasional UI-UNPAD 00. Basoro, E.T. Sudarsana, I.W., dan Cholily, Y.M How to Construct New Super Edge-magic Grafs from Some Old Ones. J. Indones. Math. Soc. (MIHMI) :: Bondy, J.A. & Murty, U.S.R., 976. Graf Theory with Applications. London: The Macmillan Press Ltd. Chartrand, G. & Lesnia, L Graf and Digraf nd Edition. California: Wadsworth, Inc. Gallian, J. A A Dynamic Survey of Graf Labeling, th Edition. The Electronic Journal of Combinatorics. Hussain, M., Basoro, E.T. dan Slamin On Super Edge-Magic Total Labeling of Banana Trees. Utilitas Math. 79: Irawan, Andy Super Edge Magic Labeling pada Graf Ulat Model Trisula dengan Panjang n. Sripsi Jurusan Matematia Faultas Sains dan Tenologi UIN Malang. Malang: UIN Malang Miller, Mira Open Problems in Graf Theory: Labelings and Extremal Grafs. Prosiding Konferensi Nasional Himpunan Matematia Indonesia X di Institut Tenologi Bandung, 7-0 Juli. Khimah, Syafa atul Super Edge-Magic Labeling pada Graf Ulat dengan n Badan dan n Kai. Sripsi Jurusan Matematia Faultas Sains dan Tenologi UIN Malang. Malang: UIN Malang. Lorentz, Thereziea Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Ulat (Caterpillars) yang Mempunyai n Badan dan n Kai dengan n Bilangan Asli. Sripsi Jurusan Matematia - Faultas MIPA UM. (Online um.ac.id/index.php/matematia/article/view/5098 diases 3 September 00) Par, J.Y., Choi, J.H., dan Bae, Jae-Hyeong On Super Edge-Magic Labeling of Some Grafs. Bull. Korean Math. Soc. 45, No. hal: Rohima, Nur Super Edge-Magic Labeling pada Graf Ulat Bereor dengan n Badan dan Kai pada Tiap Badan. Sripsi Jurusan Matematia Faultas Sains dan Tenologi UIN Malang. Malang: UIN Malang. 90