Estimasi Konsentrasi Polutan Sungai Menggunakan Metode Reduksi Kalman Filter dengan Pendekatan Elemen Hingga

Transkripsi

1 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS ol. 2, No.1, (2013) ( X Print) 1 Estimasi Konsentrasi Polutan Sungai Menggunaan Metode Redusi Kalman Filter dengan Pendeatan Elemen Hingga Muyasaroh, Kamiran, Erna Apriliani Jurusan Matematia, Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA), Institut Tenologi Sepuluh Nopember (ITS),Surabaya,Indonesia Jl. Arief Rahman Haim, Surabaya april@matematia.its.ac.id Abstra- Sungai merupaan salah satu sumber air untu memenuhi ebutuhan manusia. Pada umumnya terdapat pemuiman pendudu di daerah seitar sungai. Sehingga Air sungai menjadi sumber air yang penting untu memenuhi ebutuhan sehari-hari. Sedangan Atifitas manusia dalam bidang industry dan rumah tangga secara tida langsung menghasilan polutan yang mengaibatan penurunan ualitas air. Oleh arena itu penting untu mengestimasi polutan pada sungai. Salah satu metode yang dapat digunaan adalah metode elemen hingga dan Kalman Filter. Kalman Filter merupaan suatu metode estimasi variabel eadaan pada sistem dinami linear disrit yang meminimuman ovarian error estimasi. Metode elemen hingga adalah metode numeri yang digunaan untu menyelesaian permasalahan teni dan problem matematis dari gejala phisis. Kombinasi antara Kalman Filter dan metode elemen hingga berguna untu perhitungan pada watu dan spasial. Namun, dalam proses omputasi aan membutuhan watu yang lama. Untu mengurangi watu omputasi tersebut digunaan metode Redusi Kalman Filter dengan pendeatan Elemen Hingga. Kata Kunci Sungai, Polutan Sungai, Estimasi, Kalman Filter, Metode Elemen Hingga dan Persamaan Linear Air Dangal A I. PENDAHULUAN IR merupaan salah satu ebutuhan poo manusia yang sangat penting. Air digunaan oleh manusia dalam ehidupan sehari-hari seperti mandi, mencuci, wudhu, memasa, pengairan dan ebutuhan lainnya.kebutuhan air dalam ehidupan sehari-hari di lingungan rumah tangga berbeda-beda. Semain tinggi taraf ehidupan seseorang semain meningat pula ebutuhan manusia aan air. Jumlah pendudu dunia setiap hari bertambah, sehingga mengaibatan jumlah ebutuhan air meningat[1]. Sungai merupaan salah satu sumber air untu memenuhi ebutuhan manusia.pada umumnya terdapat pemuiman pendudu di daerah sungai bagian tengah dan hilir sehingga di daerah ini, air sungai menjadi sumber air yang penting untu memenuhi ebutuhan sehari-hari. Namun, atifitas manusia dibidang pertanian, industri dan egiatan rumah tangga menyebaban penurunan ualitas air[2]. Hal ini diarenaan atifitas manusia tersebut secara tida langsung menghasilan polutan yang dapat mencemari lingungan. Informasi mengenai pencemaran air sungai diperluan setiap saat sehingga etia terjadi suatu permasalahan dapat ditangani dengan segera. Berdasaran Undang-Undang Nomor 7 tentang sumber daya air, pemerintah mewajiban pada instansi yang terait untu melauan pengawasan air sungai[3]. Namun, biaya pemantauan tidalah sediit sehingga pemantauan hanya dilauan pada titi-titi sungai yang terbatas dan pada periode tertentu.oleh arena itu dibutuhan perhitungan numeri untu melengapi eurangan tersebut. Kalman Filter merupaan salah satu metode untu mengestimasi variabel eadaan dari sistem dinami linear yang berguna untu mengestimasi nilai rata-rata seuensial dan ovarian[4]. Metode elemen hingga adalah metode numeri yang digunaan untu menyelesaian permasalahan teni dan problem matematis dari gejala phisis[5]. Kombinasi antara Kalman Filter dan metode elemen hingga berguna untu perhitungan pada watu dan arah spasial. Sehingga untu melengapi eurangan dari hasil pemantauan digunaan metode Kalman Filter dan Elemen Hingga. II. METODE PENELITIAN A. Tahap Telaah Dari permasalahan dan tujuan yang telah dirumusan selanjutnya dilauan studi literatur mengenai aliran sungai dan penyebaran polutan. Studi literatur dilauan terhadap buu, jurnal-jurnal ilmiah, tugas ahir, dan artiel yang beraitan dengan penyebaran polutan sungai. B. Tahap Analisa Model Dan Kajian Metode Pada tahap ini dilauan analisa terhadap persamaan SWE dan persamaan advesi-difusi. Selanjutnya dilauan estimasi terhadap model tersebut. Selain itu diaji metodemetode yang digunaan. C. Tahap Disritisasi Model Model didisritan sehingga model yang berbentu sistem dinami linear dapat diubah menjadi dinami disrit. Disritisasi spasial menggunaan metode elemen hingga.

2 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS ol. 2, No.1, (2013) ( X Print) 2 Sedangan disritisasi watu menggunaan metode Euler Esplisit. D. Tahap Analisa Dan Pembahasan Pada tahap ini dilauan simulasi dari model yang telah terbentu. Selanjutnya dilauan analisa dan pembahasan terhadap hasil simulasi tersebut. E. Tahap Simpulan Dan Saran Setelah dilauan analisa dan pembahasan maa aan diambil suatu esimpulan dan saran untu pengembangan penelitian selanjutnya. III. ANALISA DAN PEMBAHASAN A. Persamaan Keadaan Persamaan eadaan yang digunaan adalah persamaan air dangal linear dan persamaan advesi-difusi. Persamaan momentum dan ontinuitas dari persamaan air dangal linear dapat ditulis sebagai beriut : u v η μ u + u μ v + u + (H + η) u + v = 0 + u + v + v + v = 0 = 0 Dengan u ecepatan arah sumbu x, v ecepatan arah sumbu y, η etinggian air, g percepatan gravitasi, μ visositas eddy inematic, h etinggian dasar, dan H edalaman air. Persamaan advesi-difusi dapat ditulis sebagai beriut : c c c + u + v κ 2 c κ 2 c = 0 (4) 2 2 Dengan c onsentrasi polutan dan κ oefisien difusi. Kondisi batas diberian sebagai beriut : u = u pada Γ u u n = u i n i = u n pada Γ n η = η pada Γ η c = c pada Γ c b = κc,i n i = b pada Γ n (5) Dengan nilai awal : u = u (0) pada t = 0 v = v (0) pada t = 0 (6) B. Kalman Filter Kalman Filter adalah salah satu metode yang digunaan untu mengestimasi variabel eadaan dari sistem dinami stoasti linear disrit yang meminimuman ovarian error estimasi. Bentu persamaan sistemnya sebagai beriut : (1) (2) (3) (7) x = A x 1 + B u 1 + G w 1 Sedangan persamaan penguurannya didefinisian sebagai : z = H x + v (8) Dengan x variabel eadaan watu, z adalah data penguuran, H adalah matri yang berhubungan dengan data penguuran z dan variabel eadaan x, sedangan w dan v adalah noise sistem dan noise penguuran dengan ratarata nol serta ovarian Q dan R. Algoritma Kalman Filter untu mengestimasi variabel eadaan adalah i. Inisialisasi x 0 = (9) x 0 P 0 = P x0 (10) ii. Tahap predisi Estimasi tahap predisi didefinisian sebagai beriut : x = Ax 1 + Bu 1 (11) Sedangan ovarian errornya adalah P = A P 1 A T T + G Q G (12) iii. Tahap oresi Kalman gain didefinisian sebagai beriut : K = P T H T (H P H T + R ) 1 (13) Estimasi tahap oresi adalah x = x + K (z H x ) (14) Kovarian error didefinisian sebagai beriut : P = [I K H ]P (15) C. Penerapan Metode Elemen Hingga Dan Euler Esplisit Persamaan (1)~(4) dialian dengan fungsi pembobot atau pemberat N α dan diintegralan terhadap domain. Sehingga didapatan persamaan weighted residual sebagai beriut : N α u N α v η N α d + η) v d = 0 c N α d + μ u + u μ v + u N α (H + η) u d N α u c d + u + v + v + v + N α (H + N α κ 2 c d = 0 (16) d = 0 (17) + 2 c 2 2 d = 0 (19) Fungsi pemberat merupaan fungsi interpolasi linear pada elemen segitiga. Sehingga diperoleh persamaan elemen hingga sebagai beriut : I αβ u β + N αβ η β + H β + M αβ u β + L αβ v β = 0 I αβ v β + N αβ η β + H β + M αβ v β + L αβ u β = 0 (18)

3 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS ol. 2, No.1, (2013) ( X Print) 3 I αβ η β + K αβ,iγ η γ + H γ u β + K αβ,jγ η γ + H γ v β = 0 I αβ c β + K αβγ u β c β +K αβγ v β c β + κd αβ c β = 0 (20) Metode euler esplisit diapliasian untu disritisasi watu. Penurunan watu diaprosimasian dengan espansi taylor sebagai beriut : u 1 t (u+1 u ) v 1 t (v+1 v ) η 1 t (η+1 η ) c 1 t (c+1 c ) (21) Dengan mengapliasian persamaan (21) pada persamaan (20) didapatan persamaan (22). I αβu +1 β = I αβ u β tn αβ η β + H β tm αβ u β tl αβ v β I αβv β +1 = I αβ v β tn αβ η β + H β tm αβ v β tl αβ u β I αβη β +1 = I αβ η β tk αβ,iγ η γ + H γ u β tk αβ,jγ η γ + H γ v β I αβc β +1 = I αβ c β Δt(K αβγ u β c β +K αβγ v β c β ) ΔtκD αβ c β domain cabang. x adalah variabel eadaan pada domain utama. Sedangan y adalah variabel eadaan pada domain cabang. Matri transisi dibagi menjadi 4 bagian, secara umum dapat ditulis sebagai beriut : x+1 y +1 = A 1 A 2 x A 3 A 4 y + U + Gw 0 {x +1 } = [A 1 ]{x } + {C } + [G]{w } Dengan C = A 2 y + U dan y = A 3 x 1 + A 4 y E. Algoritma 1. P 0, x 0 diberian 2. K = P T H T (H P H T + R ) 1 3. P = [I K H ]P 4. P = A P 1 A T T + G Q G 5. {x +1 } = [A 1 ]{x } + {C } 6. C = A 2 y + U y = A 3 x 1 + A 4 y x = x + K (z H x ) (25) (26) (27) F. Hasil Simulasi Setelah diterapan metode Redusi Kalman Filter dan elemen hingga maa didapat grafi dan nilai estimasi sebagai beriut : Dengan : I αβ = N αβ = N α N β N α N β,i d d (22) M αβ = N α,i N β,i d + N α,j N β,j d L αβ = N α,i N β,j d, D αβ = N α, N β, d K αβ,iγ = N α N γ N β,i d K αβγ = N α N γ N β d Yang mana I αβ menunjuan oefisien lonjaan dan I αβ = ei αβ + (1 e)i αβ dengan e parameter lonjaan. (23) (24) Gambar 1.Estimasi Kecepatan Sumbu x di Titi 3 D. Redusi Kalman Filter Elemen Hingga Penggabungan persamaan (22) dalam bentu matri menghasilan matri transisi. Pada metode Kalman Filter standar, model sistem secara umum ditunjuan oleh persamaan (7) dan (8). Untu mengurangi proses omputasi, domain dibagi menjadi dua bagian yaitu domain utama dan

4 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS ol. 2, No.1, (2013) ( X Print) 4 ecepatan sumbu-x berangsur nai dengan nilai masimum ecepatan 1 m/s, ecepatan sumbu- y mempunyai nilai masimum 0.4 m/s, sedangan etinggian dan onsentrasi polutan mengalami penurunan dari nilai awal. Gambar 2. Estimasi Kecepatan Sumbu y di Titi 3 Gambar 5. Estimasi Kecepatan Sumbu x di Titi 13 Gambar 3. Estimasi Ketinggian di Titi 3 Gambar 6. Estimasi Kecepatan Sumbu y di Titi 13 Gambar 4. Estimasi Konsentrasi Polutan di Titi 3 Gambar 1~4 menunjuan nilai real dan KF dari ecepatan, etinggian, dan onsentrasi polutan di titi 3. Pada gambar dan tabel menunjuan bahwa grafi dan nilai Gambar 7. Estimasi Ketinggian di Titi 13

5 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS ol. 2, No.1, (2013) ( X Print) 5 Gambar 8. Estimasi Konsentrasi Polutan di Titi 13 Gambar 10.Estimasi Kecepatan Sumbu y di Titi 25 Pada gambar 5~8 menunjuan grafi dan nilai ecepatan sumbu x mengalami penurunan dari watu pertama hingga watu e 10, selanjutnya ecepatan berangsur nai dengan nilai masimum ecepatan 1 m/s. Sedangan ecepatan sumbu y berangsur turun mulai watu e 5. Pada gambar juga menunjuan onsentrasi polutan mengalami perubahan 1 mg/l dari nilai awal pada watu pertama. Pada iterasi selanjutnya onsentrasi polutan mengalami perubahan ±0,2 mg/l. Ketinggian di titi 13 relatif turun dari nilai awal namun pada watu e 50 grafi menunjuan etinggian mengalami enaian. Gambar 11. Estimasi Ketinggian di Titi 25 Gambar 9. Estimasi Kecepatan Sumbu x di Titi 25 Gambar 12. Estimasi Konsentrasi Polutan di titi 25

6 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS ol. 2, No.1, (2013) ( X Print) 6 Pada gambar 9~12 menunjuan grafi dan nilai ecepatan sumbu x, ecepatan sumbu y, etinggian, dan onsentrasi polutan di titi 25. Pada gambar neunjuan masimum ecepatan sumbu x dan sumbu y adalah 0,5 m/s. Sedangan masimum etinggian adalah 0,4 m. Konsentrasi polutan di titi 25 mengalami penurunan dengan masimum onsentrasi 0,2 mg/l. Tabel 4.15 menunjuan error relatif dari ecepatan sumbu x, ecepatan sumbu y, etinggian, dan onsentrasi polutan dengan iterasi 100 satuan watu. Hasil pada tabel menunjuan rata-rata error ecepatan sumbu x 8,6329 %, rata-rata error ecepatan sumbu 7,03%, rata-rata error etinggian 6,09%, dan rata-rata error onsentrasi polutan adalah 3,6%. [6] Ojima, Y dan Kawahara,M Estimation of River Current Using Reduced Kalman Filter Finite Element Method.University of Chuo, Japan. [7] diases pada hari rabu, 12 September 2012 Jam [8] Haryanto, B. Pengaruh Pemilihan Kondisi Batas, Langah Ruang, Langah Watu dan Koefisien Difusi pada Model Difusi. Jurnal APLIKAolume 8 Nomor [9] Mathews,J.Hdan Fin,K.D.(1999). Numerical Methods Using Matlab. Prentice Hall [10] Masduqi, A dan Apriliani,E. Estimasi of River Water Quality Using Kalman Filter Algorithm. The Journal for Technology and Science, ol. 19, No. 3, August 2008 Tabel 1 Nilai Relative Error Kalman Filter Posisi u v η c Rata- Rata I. KESIMPULAN Berdasaran eseluruhan hasil analisa dan simulasi terhadap ecepatan, etinggian, serta onsentrasi polutan dengan menerapan metode Redusi Kalman Filter dengan Pendeatan Elemen Hingga didapatan esimpulan bahwa algoritma metode Redusi Kalman Filter Elemen Hingga dengan pembagian domain menjadi dua bagian, yaitu domain utama dan domain cabang menghasilan matri transisi yang terbagi menjadi 4 bagian. Hasil simulasi menunjuan ratarata error ecepatan sumbu x adalah , rata-rata error ecepatan sumbu y adalah , rata-rata error etinggian adalah , dan rata-rata error onsentrasi polutan Hal ini menunjuan hasil simulasi cuup bai.. DAFTAR PUSTAKA [1] uantitas-air-bersih-untu-pemenuhan-ebutuhan-manusia-2/ diases pada hari amis, 23 Agustus 2012 Jam [2] Saptaningtyas, Y.F Penerapan Estimasi Kalman Filter untu Mengetahui Pencemaran Air Sungai Di Kaligajah Wong. Laporan Penelitian. Jurusan Matematia UNY Yogyaarta.. [3] diases pada hari rabu, 12 September 2012 jam [4] Welch,G., Bishop,G.(2006). An Introduction to the Kalman Filter. University of North Carolina, North Carolina. [5] Susatio, Y Dasar-Dasar Metode Elemen Hingga.Yogyaarta : Andi.