Estimasi Inflasi Wilayah Kerja KPwBI Malang Menggunakan ARIMA-Filter Kalman dan VAR-Filter Kalman

Transkripsi

1 JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5, No.1, (16) (31-98X Print) A-1 Estimasi Inflasi Wilayah Kerja KPwBI Malang Menggunaan ARIMA-Filter Kalman dan VAR-Filter Kalman Popy Febritasari, Erna Apriliani 1, Nuri Wahyuningsih Matematia, Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Tenologi Sepuluh Nopember Jl. Arief Rahman Haim, Surabaya , Abstra ARIMA Box-jenins dan VAR adalah salah satu metode time series yang biasa digunaan untu melauan analisis data dan peramalan. Dalam ehidupan sehari-hari, ita sering menemuan data yang mempunyai eteraitan dalam deret watu. Data yang memilii eteaitn deret watu merupaan data time series, dimana data tersebut selalu berubah-ubah setiap periode watu dengan berbagai macam fator. Untu mendapatan predisi yang mempunyai tingat error yang ecil, maa aan dilauan perbandingan dua model yaitu Vector Autoregressive (VAR)-Filter Kalman dan model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)-Filter Kalman. Algoritma Filter Kalman aan diterapan pada hasil ramalan pemodelan ARIMA dan VAR dengan pengambilan derajat polinomial esatu, dua, dan tiga untu memperbaii predisi 7 bulan e depan. Hasil ahir menujuan bahwa Filter Kalman mampu memperbaii hasil estimasi ARIMA dan VAR. Dimana tingat error ARIMA-Filter Kalman dan VAR-Filter Kalman lebih ecil dibandingan dengan ARIMA dan VAR, yang ditunjuan melalui hasil simulasi berupa grafi dan diperjelas dengan nilai MAPE yang lebih ecil. Pengambilan derajat polinomial mempengaruhi hasil predisi, semain besar derajat polinomial maa semain ecil error predisi. Kata Kunci ARIMA, Filter Kalman, polinomial derajat, VAR. I. PENDAHULUAN nflasi merupaan suatu fator yang sangat berpengaruh dalam pereonomian suatu daerah. Inflasi month to I month merupaan inflasi bulanan yang menggunaan perbandingan dengan bulan sebelumnya. Ban Indonesia merupaan badan pemerintahan yang memilii amanah dalam menjagah stabilitas pereonomian, termasu inflasi. Sehingga memilii beberapa antor perwailan, salah satunya KPwBI Kota Malang. Dimana KPwBI Kota Malang memantau pergeraan inflasi Kota Malang dan Probolinggo. Stabilitas harga sangat bergantung pada besar ecilnya nilai inflasi. Semain besar nilai inflasi, maa semain tinggi pula harga[1]. Predisi inflasi month to month merupaan suatu langah antisipasi dalam menjaga stabilitas pereonomian. Metode yang digunaan metode time series, sebab inflasi month to month merupaan data yang memilii eteraitan deret watu. Banya metode time series yang digunaan untu mempredisi data. Namun, metode-metode peramalan masih memilii tingat error yang sangat tinggi. Metode time series yang digunaan adalam ARIMA dan VAR. KEdua metode tersebut memilii perbedaan, dimana metode ARIMA merupaan metode peramalan univariat dan VAR merupaan metode peramalan multivariate. Kedua metode memili tingat error yang berbeda namun masih tergolong besar. Sehingga dibutuhan suatu metode yang digunaan untu memperecil error. Sebelumnya telah dilauan penelitian tentang penggunaan metode ARIMA dan VAR dalam estimasi inflasi di Indonesia []. Kedua metode tersebut menghasilan nilai error estimasi VAR lebih ecil dibandingan menggunaan ARIMA. Namun nilai error masih relative besar. Dalam penelitian ini dilauan predisi inflasi month to month di dua daerah, yaitu Kota Malang dan Probolinggo menggunaan metode ARIMA dan VAR. Kemudian dari model ARIMA dan VAR aan digunaan estimasi parameter dan memodelan sistem. Kemudian aan diterapan Filter Kalman untu perbaian estimasi, dimana dalam perbaian estimasi aan digunaan polinomial error model VAR dan ARIMA dengan pengambilan beberapa nilai polinomial pada error residual ARIMA dan VAR. Selanjutnya aan dilihat error terecil hasil predisi selama 7 bulan e depan dari metode ARIMA-Filter Kalman dan VAR-Filter Kalman. Selain mnganalisis eauratan Filter Kalman untu perbaian hasil ARIMA dan VAR, aan dianalisis pengaruh pengambilan polinomial error dalam perbaian estimasi. A. Sumber Data II. METODOLOGI PENELITIAN Data yang digunaan dalam penelitian ini adalah data seunder inflasi month to month dari KPwBI Kota Malang mulai bulan Januari 1 hingga Agustus 15, sejumlah 68 data dan dibagi menjadi bagian yaitu: (i) Data in-sample (pemodelan) : Januari 1-Januari 15. (ii) Data out-sampple (validasi) : Pebruari-Agustus 15. Sedangan variabel-variabel yang digunaan dalam penelitian ini adalah sebagai beriut Z1(t) : inflasi month to month Malang Z(t) : inflasi month to month Probolinggo B. Langah Analisis Langah pertama adalah melauan uji stasioneritas dengan plot time series. Data yang telah stasioner dibuat plot ACF dan PACF untu menentuan orde model ARIMA. Setelah diperoleh model sementara sebagai model dugaan, dilauan uji signifiansi, uji residual white noise dan uji residual distribusi normal. Untu pemilihan model terbai, dipilih berdasaran parameter yang signifian, residual white noise dan berdistribusi normal, serta memilii nilai AIC-SBC terecil. Langah awal pada metode VAR, uji stasioner data seperti pada ARIMA, identifiasi orde MACF dan MPACF, identifiasi stasioner dalam mean, estimasi model VAR, uji

2 JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5, No.1, (16) (31-98X Print) A- signifiansi, uji residual white noise, uji normalitas, uji heteroedastatisti, uji autoorelasi dan peramalan. Setelah mendapatan model ARIMA dan VAR, diterapan algoritma Filter Kalman, untu mengestimasi nilai oefisien polinomial berdasaran polinomial derajat yang dipilih. Polinomial derajat yang diambil adalah satu (n = ), dua (n = 3), dan tiga (n = 4). Langah ahir adalah membandingan nilai MAPE dari model ARIMA Filter Kalman dan model VAR-Filter Kalman. III. HASIL/PEMBAHASAN A. Pemodelan ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) Langah awal untu membuat model ARIMA adalah dengan melauan identifiasi data, yaitu dengan melihat estasioneran data terhadap mean dan varian. Apabila data belum stasioner pada varians (rounded value 1) maa data aan ditransformasi sedangan data aan didifferencing apabila data belum stasioner pada mean. Setelah data memenuhi estasionean dalam varians dan mean, langah seanjutnya adalah melauan plot ACF dan PACF untu menentuan model sementara dari ARIMA Pada data Z1(t), plot ACF eluar pada lag e-1 dan. Plot PACF eluar pada lag e-1,,8, dan, differencing tida dilauan arena data sudah stasioner. Sehingga dugaan model sementara untu Z1(t) adalah ARIMA([1,,8,],,[1,]). Pada data Z(t) plot ACF eluar pada lag e-, 3 dan 6. Plot PACF eluar pada lag e-,3 dan, tida dilauan differencing. Sehingga dugaan model sementara untu Z(t) adalah ARIMA([,3,],,[,3,6]). Setelah didapatan dugaan model, selanjutnya dilauan uji signifiansi parameter, uji residual white noise, dan uji residual berdistribusi normal. Model terbai dipilih melalui proses overfitting dengan membandingan nilai AIC-SBC terecil. Langah yang sama dilauan untu pendugaan model pada setiap variabel. Tabel 1 menunjuan hasil model ARIMA terbai dari eempat loasi tersebut.masing-masing model juga telah memenuhi esignifian parametr, asumsi residual bersifat white noise dan normal seperti yang digambaran pada Tabel 1. Tabel 1. Nilai Koefesien model ARIMA Loasi Model Parameter Koefisien Z1 t Z t ARIMA ([1],,[]) ARIMA (3,,[3,6]) 1 θ θ θ Pemodelan ARIMA inflasi month to month Malang adalah ARIMA ([1],,[]) yaitu: Z t =.981 Z t a t + a t dengan Z t adalah data transfomasi dari Z1 t Pemodelan ARIMA inflasi month to month Probolinggo adalah ARIMA ([3],,[3,6]): Z t = Z t a t a t6 + a t dengan Z t adalah data transfomasi dari Z t B. Pemodelan VAR (Vector Autoregressive) Langah awal yang harus dipenuhi adalah data harus stasioner. Stasioner dalam varian dilauan menggunana uji Box-Cox seperti ARIMA. Selanjutnya aan dilauan identifiasi stasioner dalam mean dengan mengece sema Matris Auto Correlation Funcion yang ditunjuan pada Gambar 1. Pada Gambar 1 menunjuan bahwa data telah stasioner dalam mean. Hal itu ditunjuan dengan sediitnya simbol (+) dan simbol (-) dan banyanya simbol (.) yang eluar. Gambar 1. Plot MACF Z1 (t) Z(t) Setelah data stasioner, maa selanjutnya mencari orde yang sesuai yang nantinya aan dipaai dalam model VAR dengan melauan idenifiasi model VAR berdasaran sema MPACF (Matris Auto Correlation Parsial), dan nilai AIC terecil. Gambar menunjuan sema MPACF sedangan Gambar 3 menunjuan nilai AIC terecil dari orde lag VAR. Gambar. Plot MPACF data Z1(t) Z(t) Gambar 3. Nilai AIC Dari Gambar dan Gambar 3 teridentifiasi model dengan orde p=3, d=, dan q= yang mempunyai nilai AIC terecil. Sehingga model VAR yang digunaan dalam analisis data Z1(t), Z(t) adalah VAR (3). Langah selanjutnya adalah melauan uji normalitas, dimana p-value menunjuan lebih dari nilai alpha, sehingga diataan residu berdistribusi normal. Uji heterosedastatisti dengan nilai p-value lebih dari alpha, sehingga model VAR tida heterosedastatisti. Pada uji residual white noise, p-value lebih dari alpha sehingga disimpulan residu white noise. Pada uji autoorelasi, nilai p-value juga lebih dari alpha, sehingga disimpulan bahwa tida ada orelasi. Hipotesis awal dari berbagai uji telah terpenuhi, sehingga model disimpulan laya untu digunaan sebagai estimator. Sehingga dilauan uji parameter dahulu untu mengetahui model VAR yang digunaan.

3 JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5, No.1, (16) (31-98X Print) A-3 Loasi Malang (y1) Probolin ggo (y) Tabel.Estimasi Parameter VAR(3) t- P- Parame Esti Std val valu ter masi Error ue e φ φ φ 1 φ Varia bel y1(t-1) y(t-1) y(t-1) y(t-) Dari Tabel dipeoleh nilai parameter yang memilii p- value yang urang dari α =.5, yang menunjuan parameter signifian. Parameter yang tida sinifian seharusnya dihilangan dan dilauan pendugaan ulang. Tetapi, dengan pertimbangan bobot loasi yang diberian dimasing-masing loasi, eliminasi tida dilauan arena variabel yang tida nyata tetap dapat digunaan untu melauan proses peramalan. Sehingga diperoleh model VAR(3) pada setiap daerah dirumusan sebagai beriut. a. a. nflasi month to month di Kota Malang y 1 (t) =.34859y 1 (t 1) +.9y (t 1) b. Inflasi month to month di Kota Probolinggo y (t) =.5571y (t 1) y (t ) Perbandingan Model VAR dan ARIMA Hasil dari peramalan model ARIMA dan VAR emudian aan dibandingan dengan melihat MAPE terecil dari hasil ramalan dari masing-masing loasi. Hasil ramalan disetiap wilayah dengan metode ARIMA dan VAR menggunaan data out sample ditampilan dalam bentu grafi pada Gambar 4. Warna biru menunjuan plot data atual, warna merah plot hasil ramalan ARIMA, dan plot warna hijau adalah hasil ramalan VAR Malang atual ARIMA VAR 1-1 Probolinggo atual ARIMA VAR Gambar 4. Plot Hasil Ramalan Inflasi month to month Z 1 Z Dari Gambar 4 dapat dilihat bahwa hasil ramalan VAR dan ARIMA hampir memilii pola yang sama dengan data atual. Hasil ramalan VAR cenderung lebih mendeati data asli atual, walaupun ada di beberapa titi dimana VAR menjauhi data atual. Sehingga perbandingan model ramalan yang terbai di setiap loasi aan ditunjuan oleh nilai MAPE terecil pada Tabel 4. Tabel 3. Nilai MAPE disetiap Loasi MAPE ARIMA VAR Malang Probolinggo Dari Tabel 3 dapat disimpulan bahwa pada penelitian ini model VAR (3) lebih bai dari hasil predisi ARIMA pada wilayah. Namun, MAPE hasil predisi dari edua model masih sangat besar. Oleh arena itu, aan diterapan Filter Kalman untu memperbaii hasil predisi dari model ARIMA dan VAR. C. Penerapan Metode Filter Kalman. Dari model ARIMA yang diperoleh emudian diramalan 7 bulan e depan emudian dilauan simulasi Filter Kalman menggunaan untu memperbaii data predisi ARIMA. Persamaan modelnya adalah sebagai beriut [3]: y i = + m i + + a n1,i m n1 i + ε i (1) dimana y i : selisih data atual dan data predisi e-i a j,i : oefisien atau parameter yang harus diestimasi oleh Filter Kalman, dengan j =,1,, n-1 m i : data e-i ε i : onstanta Nilai oefisien diestimasi dengan pengambilan orde polinomial derajat 1,, dan 3 dari persamaan (1) Untu n =, persamaan (1) menjadi y i = + m i dengan x(t i ) = [ a ], H 1,i i = [1 m i ] Untu n = 3, persamaan (1) menjadi: y i = + m i + a,i m i dengan x(t i ) = [ ] a,i Dan H i = [1 m i m i] Untu n = 4, persamaan (1) menjadi: y i = + m i + a m i 3 + m i dengan x(t i ) = [ a ],i dan H i = [1 m i m i m 3 i ]

4 JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5, No.1, (16) (31-98X Print) A-4 Algoritma Filter Kalman untu penelitian ini sebagai beriut: Model sistem[3]: x = [ a n1,i] T x +1 = Ax + w Untu n = : [ a ] = [ 1,i +1 1 ] [ a ] + w 1,i 1 Untu n = 3: [ ] = [ 1 ] [ ] + w a,i +1 1 a,i 1 Untu n = 4:[ a ],i +1 = [ 1 ] [ 1 1 Model umum penguuran[3]: z = Hx + v Untu n = : y i = [1 m i ] [ a ] 1,i a ],i + v + w Untu n = 3: y i = [1 m i m i ] [ ] + v a,i Untu n = 4: y i = [1 m i m i m i 3 ] [ a ],i + v Dengan ditentuan nilai awal Q =.1 Untu n = : P = [ 1 ], Q = [1 1 1 ]. Q Malang x = [.6.75 ] Probolinggo x = [.44.4 ] 1 1 Untu n = 3: P = [ 1 ], Q = [ 1 ]. Q Malang x = [.75] Probolinggo x = [.4 ] Untu n = 4: P = [ 1 ], Q = [ 1 ]. Q Malang x = [.75 ] Probolinggo.11 x = [.4 ] Pertama, saat Q =.1 danr =.1. Kedua saat Q =.1 dan R =.1. Pada penelitian ini hanya aan ditunjuan hasil simulasi di Malang saat Q =.1 dan R =.1 untu n = atau polinomial derajat 1 yang ditunjuan pada Gambar, n = 3 atau polinomial derajat yang ditunjuan pada Gambar 9 dan n = 4 atau polinomial derajat 3, yang ditunjuan pada Gambar 1. Gambar 5. Hasil Simulasi Inflasi di Malang Filter Kalman n = ARIMA VAR Tahap predisi[3]: x +1 = Ax P +1 = AP A T + GQ G T Tahap oresi[8]: Pada tahap oresi melibatan Kalman gain, : K +1 = P +1 H T (H +1 P +1 H T + R 1 ) 1 dengan ditentuan R =.1 dan R =.1. x +1 diestimasi menggunaan nilai x +1 yang diperoleh dari tahap predisi.z +1 sama dengan y i yang diperoleh dari selisih data atual dengan data predisi ARIMA. T x +1 = x +1 + P +1 H +1 R 1 +1 (z +1 H +1 x +1 ) Nilai P +1 juga dicari dengan menggunaan nilai P +1 yang telah dicari pada tahap predisi. P +1 = [(P +1 ) 1 T H +1 R 1 +1 H +1 ] 1 Pada penelitian ini setiap nilai awal x yang diambil pada setiap derajat polinomial aan diuji etia ondisi.

5 JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5, No.1, (16) (31-98X Print) A-5 n i=1 Z tz (1) Z MAPE = t n denganz t adalah nilai data e-t, Z t adalah nilai peramalan e-t, dan n adalah banyanya data. Hasil perhitungan MAPE untu semua ondisi di dua loasi menggunan Filter Kalman ditunjuan pada Tabel 4 Gambar 6. Hasil Simulasi Inflasi di Malang Filter Kalman n = 3 ARIMA VAR Gambar 7. Hasil Simulasi Inflasi di Malang Filter Kalman n = 4 ARIMA VAR Gambar 5 menunjuan hasil simulasi etia Q =.1 dan R =..11 pada polinomial derajat 1, grafi hasil Filter Kalman disetiap loasi hampir mendeati data atual. Pada Gambar 6, dengan polinomial derajat menunjuan grafi data Filter Kalman semain mendeati data atual, sedangan pada Gambar 7, dengan polinomial derajat 3 menunjuan grafi yang lebih mendeati data atual dibanding polinomial derajat 1 dan. Untu hasil dan simulasi saat ondisi saat Q = 1 dan R =.1 dilauan cara yang sama. Kemudian mengevaluasi hasil predisi dan memilih model terbai dengan metode MAPE. Didefinisian MAPE[4]: Tabel 4. Perhitungan MAPE Filter Kalman MALANG ARIMA pol 1 pol pol 3 q=.1 MAPE r=.1 CPU time q=.1 MAPE r=.1 CPU time VAR pol 1 pol pol 3 q=.1 MAPE r=.1 CPU time q=.1 MAPE r=.1 CPU time PROBOLINGGO ARIMA pol 1 pol pol 3 q=.1 MAPE r=.1 CPU time q=.1 r=.1 q=.1 r=.1 q=.1 r=.1 MAPE CPU time VAR pol 1 pol pol 3 MAPE CPU time MAPE CPU time Pada Tabel 4 terlihat bahwa hasil MAPE aan lebih bai jia Q lebih besar dan R yang lebih ecil. Juga, setiap Q dan R yang diambil, nilai MAPE aan semain menurun apabila derajat polinomialnya semain tinggi. Selain itu, hasil predisi terbai apabila diambil Q = 1 dan R =.1. IV. KESIMPULAN 1. Model ARIMA terbai untu data inflasi month to month di Malang adalah ARIMA([1],,[]), inflasi month to month di Probolinggo adalah ARIMA([3],,[3,6]).. Model VAR terbai untu edua data adalah VAR (3), dimana : a. Inflasi month to month di Kota Malang y 1 (t) =.34859y 1 (t 1) +.9y (t 1) b. Inflasi month to month di Kota Probolinggo y (t) =.5571y (t 1) y (t ) 3. Pada simulasi Filter Kalman derajat polinomial pertama, edua, dan etiga, dengan nilai awal yang sama untu setiap Q dan R yang diambil, nilai MAPE aan semain menurun apabila derajat polinomialnya semain tinggi. Hasil predisi terbai apabila diambil Q =.1, R =.1, dan derajat polinomial yang tinggi.

6 JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5, No.1, (16) (31-98X Print) A-6 DAFTAR PUSTAKA [1] Prastowo, N J. 8. Dampa BI Rate terhadap Pasar Keuangan. Ban Indonesia: Woring Paper No.1. [] Subandi. 5. Analisis Peramalan Inflasi Di Indonesia dengan Menggunaan Metode ARIMA dan Vector Autoregressive. Pustaa FE UNPAD [3] Welch, G. Dan Bishop, G. (11). An introduction to the Kalman Filter. University of North Carolina: Chapel Hil, Ameria. [4] Maridais, McGee, dan Wheelright, W. (1999). Metode dan Apliasi Peramalan. Edisi edua. Terj. Andriyanto, U.S. Bina Rupa Asara: Jaarta. [5] Kurniawan, T. 14. Penerapan Metode Kalman Filter dalam Perbaian Hasil Predisi Cuaca dengan Metode ARIMA. Tugas Ahir Jurusan Matematia, Institut Tenologi Sepuluh Nopember, Surabaya. [6] Fauzi, I H. 15. Perbandingan GSTAR dan ARIMA- Kalman Filter dalam Perbaian Hasil Predisi Debit Air Sungai Brantas. Jurnal ITS [7] Djawoto. 1. Peramalan Laju Inflasi dengan Metode Auto Regressive Integrateg Moving Average (ARIMA). Euitaas Vol. 14 No 4 Desember 1: [8] Galanis, G., Loua P., Katsafados, P., Kallos, G., dan Phytharoulis, I. (6). Application of Kalman Filter Based On Non-Linear Function to Numerical Weather Prediction. Copernicus GmbH:Yunani [9] Wei, W.S (6). Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. Pearson Education Inc.: Ameria.