PENYELESAIAN PERSAMAAN TELEGRAF DENGAN METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL. (Skripsi) Oleh JEFERY HANDOKO

Transkripsi

1 PENYELESAIAN PERSAMAAN TELEGRAF DENGAN METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL (Sripsi) Oleh JEFERY HANDOKO JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG 017

2 ABSTRAK PENYELESAIAN PERSAMAAN TELEGRAF DENGAN METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL Oleh Jefery Handoo u u u Persamaan diferensial parsial ta linear berbentu u t t x x,t dienal dengan persamaan Telegraf dengan, R, : R R R dan u : RR R adalah fungsi tida dietahui. Setelah diberian nilai awal dan syarat batas, selanjutnya dicari solusi esanya. Konsep metode transformasi diferensial yaitu menyelesaian permasalahan linear atau ta linear seperti dalam masalah rangaian listri, lalu mengembangan metode penyelesaian persamaan diferensial parsial dan apliasinya. Penyelesaian persamaan Telegraf dengan metode transformasi diferensial dilauan dengan mentransformasian persamaan Telegraf sesuai sifat-sifat transformasi persamaan diferensial. Kata Kunci : Persamaan Diferensial, Persamaan Telegraf, Metode Transformasi Diferensial

3 ABSTRACT SOLVING TELEGRAPH EQUATION WITH DIFFERENTIAL TRANSFORMATION METHOD By Jefery Handoo u u u The non linear partial differential equation u t t x x,t nown as Telegraph equation where, R, : R R R and u : RR R is unnown function. After nowing initial and boundary conditions, then finding the function as nown exact solution. Differential transformation method is used to solve linear or non linear problems such as in electrical circuit problem, then applied to partial differential equation method with its application. Solving telegraph equation with differential transformation method by transformating telegraph equation using the differential equation operations. Keyword : Differential Equation, Telegraph Differential Equation, Differential Transformation Method.

4 PENYELESAIAN PERSAMAAN TELEGRAF DENGAN METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL Oleh Jefery Handoo Sripsi Sebagai Salah Satu Syarat untu Memperoleh Gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematia Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 017

5

6

7

8 RIWAYAT HIDUP Penulis bernama lengap Jefery Handoo, ana pertama dari satu bersaudara yang dilahiran di Bandar Lampung pada tanggal 1 Juni 1995 oleh pasangan Bapa Budi Handoo dan Ibu Tjia Carolina. Penulis menempuh pendidian di Taman Kana-Kana (TK) Xaverius Bandar Lampung pada tahun , Seolah Dasar (SD) Xaverius Bandar Lampung pada tahun , Seolah Menengah Pertama (SMP) Xaverius 3 Bandar Lampung pada tahun , dan Seolah Menengah Atas (SMA) Xaverius Bandar Lampung pada tahun Pada tahun 013 penulis terdaftar sebagai mahasiswa S1 Matematia Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur Selesi Nasional Masu Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN). Pengalaman organisasi penulis yaitu pada tahun penulis menjadi anggota bidang eilmuan Himpunan Mahasiswa Matematia Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Lampung. Pada tahun penulis menjadi anggota divisi eseretariatan dan tahun 016 penulis menjadi seretaris Unit Kegiatan Mahasiswa Buddha Universitas Lampung. Pada tahun 016 penulis melauan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Karang Agung, Kecamatan Semaa, Kabupaten Tanggamus, Provinsi Lampung serta Kerja Prati (KP) di PT. Pertamina (Persero) Terminal BBM Panjang.

9 PERSEMBAHAN Dalam perlindungan Tuhan Yang Maha Esa dan Sang Triratna upersembahan arya ecil dan sederhana untu : Ayah dan Ibu yang membesaran, memberi semangat, mendoaan, serta memotivasi Keluarga besar yang menduung dan memotivasi penulis dalam sua dan dua Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa dan selalu memotivasi penulis Para dosen dan staff Jurusan Matematia FMIPA Unila memberian ilmu bermanfaat epada penulis Para sahabat yang terasih, terima asih atas ebersamaan, sua dua serta doa dan semangat yang diberian Para rean Unit Kegiatan Mahasiswa Buddha Universitas Lampung dan Himpunan Mahasiswa Matematia FMIPA Universitas Lampung Almamater Universitas Lampung

10 KATA INSPIRASI Ada tiga cara untu mendapatan ebijasanaan. Pertama adalah reflesi, yang merupaan cara tertinggi. Kedua adalah pembatasan, yang merupaan cara termudah. Ketiga adalah pengalaman, yang merupaan cara terpahit Confucius (Kong Hu Chu) Bila seorang ana menggendong ayahnya di punda iri dan ibunya di punda anan selama seratus tahun, maa ana tersebut belum cuup membahas jasa ebaian yang mendalam dari orang tuanya. (Anguttara Niaya Bab IV ayat ) Dia memberi euatan epada yang lelah dan menambah semangat epada yang tiada berdaya. (Yesaya 40:9) Melalui pengabdian ita memperoleh esucian; dengan esucian ita memperoleh emuliaan. Dengan emuliaan ita mendapat ehormatan dan dengan ehormatan ira peroleh ebenaran. (Yayurveda XIX. 30) Apa saja di antara rahmat Allah yang dianugerahan epada manusia, maa tida ada yang dapat menahannya; dan apa saja yang ditahan-nya maa tida ada yang sanggup untu melepasannya setelah itu. Dan Dialah Yang Mahaperasa, Mahabijasana. (QS. Fatir : ) Sayangilah setiap cobaan yang dapat membuat Anda berhasil. Hargailah setiap pandangan dan ritian dari setiap orang dan juga belajarlah untu menerima nasehat dari orang lain dengan hati yang gembira. (Wejangan Para Suci 4 : 06)

11 SANWACANA Penulis memanjatan puji syuur ehadirat Tuhan Yang Maha Esa, Sang Triratna atas arunia serta rahmat-nya sehingga penulis dapat menyelesaian sripsi yang berjudul Penyelesaian Persamaan Telegraf Dengan Metode Transformasi Diferensial. Sripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untu memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) di Jurusan Matematia Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Selesainya penulisan sripsi ini adalah berat motivasi, pengarahan serta bimbingan dari berbagai piha. Dengan segala erendahan dan etulusan hati penulis ingin menyampaian ucapan terima asih epada : 1. Bapa Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D. selau Dosen Pembimbing I, terima asih untu bimbingan, arahan, nasehat, motivasi dan esediaan watu selama penyusunan sripsi ini.. Bapa Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selau dosen Pembimbing II, terima asih atas bantuan, riti dan saran selama penyusunan sripsi ini. 3. Bapa Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selau Penguji Utama, terima asih atas esediaan untu menguji, saran dan riti yang membangun dalam penyelesaian sripsi ini.

12 4. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc. selau Pembimbing Aademi, terima asih atas bimbingan dan pembelajaran dalam proses peruliahan. 5. Bapa Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selau Ketua Jurusan Matematia Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 6. Bapa Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. selau Dean FMIPA Universitas Lampung. 7. Seluruh Dosen dan Staff Jurusan Matematia Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 8. Ayah dan Ibu tercinta yang ta pernah berhenti memberi semangat, doa, dorongan, nasehat, asih sayang serta pengorbanan ta terhingga epada penulis untu melalui segala ujian yang dijalani. 9. Sahabat-sahabat Matematia 013 di antaranya Karina S.D., M. Irfan K., Sanfernando N., Siti N.A. serta rean-rean seperjuangan, terima asih atas duungan, ebersamaan, nasehat dan doa selama ini. 10. Sahabat-sahabat UKM Buddha Universitas Lampung periode dan Himatia FMIPA Unila periode 014/015 yang memberi esempatan epada penulis untu memotivasi, berarya dan menjalani suatu organisasi. 11. Almamater tercinta Universitas Lampung. 1. Seluruh piha yang telah membantu yang tida dapat disebutan semuanya. Bandar Lampung, Januari 017 Penulis Jefery Handoo

13 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL... i Halaman BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belaang dan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Turunan Diferensial Persamaan Diferensial Orde Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Biasa Persamaan Diferensial Parsial Masalah Syarat Nilai Awal Masalah Syarat Batas Persamaan Diferensial Telegraf Fungsi Real Analiti Spetrum Berdimensi Satu... 13

14 .1 Metode Transformasi Diferensial Berdimensi Satu Spetrum Berdimensi Dua Metode Transformasi Diferensial Berdimensi Dua Deret Taylor BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Watu dan Tempat Penelitian Metode Penelitian BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil dan Pembahasan... 0 BAB V KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

15 DAFTAR TABEL Tabel Halaman 1. Operasi transformasi diferensial berdimensi dua U dari dan h berbeda Hasil, h

16 I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belaang dan Masalah Matematia adalah salah satu ilmu penunjang dalam bidang ilmu. Pengusaan ilmu matematia diperluan dalam menghadapi era globalisasi. Permasalahan matematia yang dihadapi dapat dalam berbagai macam bentu, salah satunya pemodelan. Pemodelan matematia digunaan antar bidang lintas ilmu seperti teni, pertanian, eonomi, dan IPA. Pengetahuan dasar yang bai dan benar diperluan mahasiswa dalam mencari solusi model yang diperluan sesuai bidang ilmunya. Mata uliah persamaan diferensial merupaan pengantar ilmu untu menerapan pemiiran matematia. Diferensial berarti beda suatu nilai. Persamaan diferensial adalah persamaan matematia memuat fungsi satu variabel atau lebih dan menghubungan fungsi dan turunannya dalam berbagai orde. Persamaan diferensial bermanfaat dalam berbagai ilmu esata dan ilmu sosial. Munculnya persamaan diferensial terait dengan perembangan ilmu pengetahuan dan tenologi.

17 Persamaan diferensial berawal dari penemuan alulus dan integral. Pada tahun 1676 Newton menyelesaian suatu persamaan diferensial menggunaan metode deret ta hingga, sebelas tahun setelah penemuan bentu flusional dari alulus diferensial pada tahun Newton tida mempubliasian penemuan tersebut sampai tahun 1693, saat Leibniz menemuan rumusan persamaan diferensial pertama. Ada dua macam persamaan diferensial, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan yang melibatan satu atau lebih turunan dari sebuah unnown function dengan satu variabel. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang melibatan satu atau lebih turunan dari sebuah unnown function dengan dua atau lebih variabel. Kedua persamaan diferensial menggunaan variabel bebas dan variabel tetap. Penyelesaian persamaan diferensial pada umumnya dilauan melalui proses linearisasi. Persamaan diferensial ta linear ditransformasian menggunaan fungsi transformasi yang diselesaian dengan metode penyelesaian persamaan diferensial linear. Permasalahan dalam ehidupan sehari-hari dapat dirumusan e dalam bentu persamaan diferensial ta linear. Secara umum persamaan diferensial ta linear diselesaian dengan linearisasi dan selanjutnya mendapat solusi dalam bentu metode penyelesaian persamaan diferensial linear.

18 3 Pada enyataannya, tida semua persamaan diferensial ta linear dapat diselesaian langsung dengan linearisasi. Salah satu metode yang digunaan untu penyelesaian dari persamaan diferensial ta linear yaitu dengan metode transformasi diferensial yaitu metode tanpa proses linearisasi. Pada tahun 1986, Zhou memperenalan suatu metode yang dapat diterapan pada persamaan ta linear tanpa linearisasi. Metode ini umumnya digunaan untu menyelesaian permasalahan linear dan ta linear dalam masalah rangaian siruit listri. Metode transformasi diferensial ini digunaan untu menyelesaian persamaan diferensial ta linear yaitu persamaan Telegraf. u u u Persamaan diferensial parsial ta linear berbentu u x t t t x, dienal dengan persamaan Telegraf dengan, R, : R R R adalah fungsi dietahui dan u : RR R adalah fungsi tida dietahui. Dengan memasuan nilai awal dan syarat batas pada persamaan tersebut, maa diperoleh suatu nilai esa dalam penyelesaian tersebut. Setelah ditentuan semua nilainya, dapat dibentu suatu persamaan dari solusi esa yang ada. Penyelesaian persamaan Telegraf dengan metode transformasi diferensial dilauan dengan mentransformasian persamaan Telegraf sesuai sifat-sifat transformasi persamaan diferensial. Metode transformasi diferensial adalah suatu metode dengan langah iterasi untu memperoleh solusi esa dari deret Taylor. Solusi esa adalah solusi penyelesaian model matematia dengan menggunaan rumus-rumus aljabar. Untu menemuan solusi esa dari persamaan tersebut, maa digunaan metode

19 4 analiti. Metode analiti yaitu metode yang memberian solusi sejati atau solusi sesungguhnya dengan galat sama dengan nol. 1. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah : 1. Menyelesaian suatu persamaan diferensial parsial ta linear yaitu persamaan Telegraf dengan metode transformasi diferensial.. Mempelajari penggunaan metode transformasi diferensial untu menyelesaian persamaan Telegraf. 3. Mempelajari penggunaan metode ini dalam mengevaluasi solusi approsimasi dengan deret Taylor hingga. 1.3 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah : 1. Mengetahui sifat-sifat transformasi diferensial dan menyelesaian persamaan Telegraf dengan metode transformasi diferensial.. Menambah bahan referensi mengenai persamaan Telegraf.

20 II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini diberian beberapa definisi dan istilah yang digunaan dalam penelitian ini. Definisi.1 Turunan Turunan merupaan ajian dari alulus diferensial mengenai suatu besaran dapat berubah terhadap besaran lain. Turunan fungsi f pada bilangan a dinyataan dengan f '( a ) (dibaca f asen a ) adalah f f ( a h) f ( a) '( a) lim (.1) h0 h Jia limit ini ada. Contoh 1. Carilah turunan fungsi Penyelesaian : f x x 8x 9 pada bilangan a. f '( a) lim h0 f ( a h) f ( a) h ( a h) 8( a h) 9 a 8a 9 lim h0 h lim h0 a ah h a h a a h lim h0 8 ah h h h

21 6 h0 lim a h 8 = a 8 (Stewart, 01). Definisi. Diferensial Gagasan tentang hampiran linear teradang dirumusan dalam istilah dan notasi diferensial. Untu fungsi satu variabel, jia y f ( x) adalah suatu fungsi yang diferensiabel, maa diferensial dx adalah peubah bebas yaitu dengan memberi nilai sebarang bilangan real dan diferensial dy persamaan terhadap dx didefinisian oleh dy f '( x) dx (.) sehingga dy adalah peubah ta bebas serta bergantung pada nilai x dan dx. Jia dx diberian nilai tertentu dan x diambil berupa suatu bilangan dalam daerah definisi dari f, maa nilai numeri dari x dapat ditentuan. Untu fungsi dua variabel, z f ( x, y) adalah fungsi yang diferensiabel, maa diferensial dx dan dy sebagai variabel bebas atau fungsi dapat diberian sebarang nilai bilangan real. Diferensial dz disebut diferensial total didefinisian oleh z z dz fxx, ydx f yx, ydy dx dy x y (.3) dengan notasi df digunaan untu menggantian dz. Contoh. Jia z f x y x xy y (, ) 3, tentuan diferensial dz.

22 7 Penyelesaian : z z dz dx dy (x 3 y) dx (3x y) dy x y (Stewart, 01). Definisi.3 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan dengan fungsi tida dietahui ditulisan sebagai fungsi u u() t dan menghubungan fungsi yang dietahui dengan beberapa turunannya. Beberapa notasi yang digunaan untu turunan diantaranya du u,, u, dt Notasi titi atas umumnya digunaan pada fisia dan teni atau menggunaan notasi umum. Persamaan diferensial dapat digunaan sampai derivatif e n dinotasian dengan Contoh 3. ( n) u n g 1. sin 0 l.. n 1 Lq Rq q sint C p 3. p rp1 K (Logan, 006).

23 8 Definisi.4 Orde Persamaan Diferensial Jia y adalah suatu fungsi tida dietahui dengan variabel bebas tunggal x, dan ( ) y didefinisian turunan e- dalam matematia ditulis sebagai relasi dari y, maa suatu persamaan diferensial orde n n1 n F x, y, y, y,, y, y 0 (.4) atau n n 1 y G x, y. y, y,, y (.5) Contoh 4. Jia y adalah fungsi tida dietahui dari x, maa persamaan diferensial biasa orde dari d y x dy e y sin x dapat ditulis sebagai dx dx d y x dy e y sin x 0 atau y e x y y sin x 0 dx dx F( x, y, y ', y '') F dinotasian terhadap variabel bebas x, fungsi tida dietahui y, dan turunan pertama dan edua dari y (Ricardo, 009). Definisi.5 Persamaan Diferensial Biasa Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan meliputi derivatif biasa dari unnown function. Di dalam persamaan diferensial biasa, unnown function bergantung pada satu variabel bebas. Solusi umum dari persamaan diferensial biasa memuat satu onstanta sembarang. Solusi umum dapat diinterpretasian secara geometri dengan bidang ruang berdimensi dua, yaitu memilii nilai yang

24 9 berbeda dari sembarang onstanta. Keunian solusi memuat nilai awal y y 0 etia x x 0. Contoh 5. Tentuan solusi umum dari persamaan diferensial beriut. dy (tan x) y sin x dx Penyelesaian: Persamaan diferensial linear orde 1 dengan a( x) tan x dan b( x) sin x Keduanya ontinu pada interval 0,. Kalian edua sisi dengan e e cos x tan xdx ln cos x 1 maa didapat 1 sin x y cos x cos x Integralan edua ruas, maa didapat 1 y c ln cos x cos x ' Dengan membagi edua sisi dengan 1 (mengalian edua sisi dengan cos x ), cos x maa solusi adalah y( x) cos xc ln cos x, 0 x (Finizio dan Ladas, 198).

25 10 Definisi.6 Persamaan Diferensial Parsial Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan meliputi derivatif parsial dari unnown function. Di dalam persamaan diferensial parsial, unnown function bergantung pada dua atau lebih variabel bebas. Misal variabel bebas x dan variabel ta bebas y serta unnown function adalah u. Secara geometri solusi umum persamaan digambaran sebagai bidang ruang berdimensi tiga. Kondisi yang tida sederhana membuat bidang urva tida spesifi. Contoh 6. Tentuan solusi u u( x, y) dari persamaan diferensial parsial u x y x Penyelesaian : Dengan mengintegralan persamaan diferensial parsial terhadap x, dengan variabel y onstan, maa diperoleh 1 u x xy c Untu menunjuan nilai u, maa substitusian persamaan di u e persamaan dietahui. Walaupun c buan onstanta tetapi fungsi dari variabel y, seperti f( y ), maa u dengan c diferensial parsial dengan diganti dengan f( y ) merupaan solusi persamaan f( y) 0. Solusi umum dari persamaan diferensial x parsial ini adalah 1 u x xy f y dengan f adalah fungsi sebarang terhadap y (Finizio dan Ladas, 198). ( )

26 11 Definisi.7 Masalah Syarat Nilai Awal Suatu masalah syarat nilai awal untu persamaan diferensial orde-1 adalah masalah untu menentuan solusi u u t e u f t, u memenuhi syarat u t nilai awal o u 0 dengan t 0 adalah suatu nilai tertentu dan u 0 adalah hasil tertentu dapat ditulis u ' f ( t, u) u(t 0) u0 (.10) Syarat awal aan memberian nilai tertentu dari sebarang onstanta C pada solusi umum dari suatu persamaan. Contoh 7. Persamaan diferensial linear orde 1 dari u ' u e t, u(0) 1 memilii solusi u( t) ( t 1) e t, berlau untu semua nilai t. Kurva melewati titi (0,1) dengan nilai awal u(0) 1 (Logan, 006). Definisi.8 Masalah Syarat Batas Suatu masalah syarat batas adalah permasalahan dengan menghitung solusi e persamaan diferensial terhadap syarat dari fungsi tida dietahui hususnya pada dua atau lebih nilai dari variabel bebas. Contoh 8. Persamaan diferensial orde dari y y 0 dengan dua parameter dari solusi 1cos sin dengan syarat batas y t c t c t Kondisi 1 : 1 y(0) c1 cos(0) c sin(0) c1 c1 1 y 0 1 dan y( ) 1.

27 1 Kondisi : 1 y( ) c1 cos( ) c sin( ) c1 c1 1 c1 1 Karena c 1 = 1 dan c 1 = -1, maa persamaan diferensial tida memilii solusi (Ricardo, 009). Definisi.9 Persamaan Diferensial Telegraf u u u t t x, Persamaan diferensial parsial ta linear berbentu u x t dienal dengan persamaan Telegraf dengan, R, : R R R adalah fungsi dietahui dan u : RR R adalah fungsi tida dietahui. Setelah dietahui nilai awal dan syarat batas, maa dibentu suatu persamaan dari solusi esa. Konsep metode transformasi diferensial yaitu menyelesaian permasalahan linear dan ta linear dalam masalah rangaian listri, mengembangan metode persamaan diferensial parsial dan apliasinya. Penyelesaian persamaan Telegraf dengan metode transformasi diferensial dilauan dengan mentransformasian persamaan telegraf sesuai sifat-sifat transformasi persamaan diferensial (Soltanalizadeh, 011). Definisi.10 Fungsi Real Analiti Suatu fungsi f dengan domain himpunan bua m U dan daerah hasil diataan fungsi real analiti pada U dapat ditulis f C ( U) jia untu setiap U dari fungsi f sebagai deret pangat onvergen pada suatu tetangga dari (Krantz dan Pars, 00).

28 13 Definisi.11 Spetrum Berdimensi Satu Jia ut adalah fungsi analiti pada domain T didefinisian oleh d u t dt t,, t T (.11) Untu t t i, t, t, i dengan adalah bilangan positif ta negatif dinotasian sebagai domain K. Persamaan (.11) dapat ditulis sebagai dengan U disebut spetrum ut i d u t Ui ti,, tt dt pada t t i tti di dalam domain K (.1) (Soltanalizadeh, 011). Definisi.1 Metode Transformasi Diferensial Berdimensi Satu Jia ut () adalah fungsi analiti, maa spetrum dari ut () didefinisian oleh u t ( t ti ) U (.13)! 0 Persamaan (.13) dienal sebagai invers transformasi dari U(). Jia didefinisian U d q t u t U M, 0,1,, dt tti (.14) maa fungsi ut dapat ditulisan sebagai u t 0 1 ( t ti ) U (.15) q t! M dengan M 0, qt 0. M disebut fator terintegrasi dan qt ernel yang memenuhi ut. Jia M 1 dan qt 1, maa persamaan adalah

29 14 (.13) dan (.15) adalah sama. Transformasian dengan M 1! dan qt 1, maa didapat U 1 d u t, 0,1,,! dt tti (.16) Dengan menggunaan transformasi diferensial, persamaan diferensial dalam domain yang diinginan dapat ditransformasian e dalam persamaan aljabar dalam domain K dan ut dapat memuat deret Taylor berhingga dan galat ditulisan sebagai (Soltanalizadeh, 011). 0 n 1 ( tt ) U i u t Rn 1 t q t! M n ( t t0) U Rn 1t (.17) 0 Definisi.13 Spetrum Berdimensi Dua Suatu fungsi dua variabel u( x, t) : RR R dapat ditulisan sebagai hasil ali dari dua fungsi satu variabel, yaitu u( x, t) u( x) v( t). Berdasaran etentuan pada transformasi diferensial berdimensi satu, fungsi w( x, t) dapat ditulis sebagai w( x, t) W ( i, j) x i t j (.18) i0 j0 dengan W ( i, j) disebut spetrum dari w( x, t ) (Soltanalizadeh, 011).

30 15 Definisi.14 Metode Transformasi Diferensial Berdimensi Dua Jia w( x, t) adalah fungsi analiti dan diferensiabel ontinu terhadap watu t pada domain yang dietahui, maa h 1 W (, h) w( x, t) h! h! x t xx0, tt0 (.19) dengan W(, h) adalah fungsi spetrum sebagai transformasi fungsi T. Misal w( x, t) adalah fungsi asal dengan batas atas W(, h) menggunaan transformasi fungsi. Invers transformasi diferensial dari W(, h) adalah sebagai beriut. 0 0 h (.0) 0 h0 w( x, t) W (, h)( x x ) ( t t ) Dengan persamaan (.19) dan (.0), didapat hasil sebagai beriut. h 1 w( x, t) w( x, t) x t! h! x t h 0 h0 xx 0, tt0 h W (, h) x t h (.1) 0 h0 dengan x0 0 dan t 0 0. Berdasaran definisi dan persamaan (.0) dan (.1) dapat ditentuan sifat-sifat operasi dari transformasi diferensial berdimensi satu dan berdimensi dua pada Tabel 1. Tabel 1. Operasi transformasi diferensial berdimensi dua Fungsi Asal w( x, t) u( x, t) v( x, t) w( x, t) cu( x, t) w( x, t) u( x, t) x rs w( x, t) u( x, t) r s x t Fungsi Transformasi W(, h) U(, h) V (, h) W(, h) cu (, h) W(, h) ( 1) U( 1, h) ( r)!( h s)! W (, h) U ( r, h s) h!!

31 16 w( x, t) u( x, t) v( x, t) w( x, t) u( x, t) v( x, t) x t (Soltanalizadeh, 011). h W (, h) U( r, h s) V ( r, s) r0 s0 h W (, h) ( r 1)( h s 1) r0 s0 U ( r 1, s) V( r, h s 1) Definisi.15 Deret Taylor Jia deret pangat b ( ) x c adalah deret pangat yang onvergen dengan 0 radius onvergensi r 0, maa deret onvergen untu suatu fungsi ditulis sebagai 0 c f Pn x ( x c)! f dapat n f c f c f c f c x c x c x c! n! P ( ) n x adalah polinomial berderajat n setiap nilai untu f n ( ) ( ) (.) diseitar x c ( f ) () c dengan adalah onstan untu! (Smith dan Minton, 008).

32 III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Watu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilauan pada semester ganjil tahun aademi 016/017 di Jurusan Matematia Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 3. Metode Penelitian Metode yang digunaan dalam penelitian ini adalah ajian literatur yaitu buubuu dan jurnal online matematia sebagai penunjang beraitan dengan masalah nilai awal dan syarat batas dalam penyelesaian persamaan Telegraf. Tahapan penelitian yang dilauan adalah sebagai beriut : 1. Merumusan persamaan diferensial dengan nilai awal dan syarat batas yang dietahui pada Persamaan Telegraf.. Membuat batasan nilai dengan selang tertentu pada persamaan Telegraf. 3. Menyelesaian persamaan Telegraf dengan metode transformasi diferensial. 3.1 Pandang persamaan Telegraf berbentu : u u u t t x u, x t (3.1)

33 18 3. Gunaan Tabel 1, Persamaan (.10) dan Definisi (.1). Dengan x 0 = t 0 = 0, maa didapat transformasi diferensial dari persamaan Telegraf yaitu ( h 1)( h ) U(, h ) ( h 1) U(, h 1) U(, h) ( 1)( ) U(, h) (, h) (3.) 3.3 Dengan syarat nilai awal pertama, maa diperoleh : f (0) U (,0) x x! (3.3) 0 0 dengan nilai f (0) U (,0), 0,1,,..., N (3.4)! 3.4 Dengan syarat nilai awal edua dan Tabel 1, maa diperoleh : g (0) U (,1) x x! (3.5) 0 0 dengan nilai g (0) U (,1), 0,1,,..., N (3.6)! 3.5 Dengan syarat batas pertama, maa diperoleh : N h r (0) U (0, h), h,3,..., N (3.7) h! h dengan nilai h r (0) U (0, h), h,3,..., N (3.8) h! 3.6 Dengan syarat batas edua, maa diperoleh N h s (0) U (1, h), h,3,..., N (3.9) h! h

34 19 dengan nilai h s (0) U (1, h), h,3,..., N (3.10) h! 3.7 Secara umum, nilai awal dan syarat batas didefinisian oleh N N h f (0) s (0) U (, h), 0,1,..., N, h,3,..., N (3.11)! h! 0 h 3.8 Dengan menggunaan Persamaan (3.) dan (3.8), maa nilai dari U dapat dinyataan sebagai beriut. U 1 (, h ) ( (, ) ( 1)( ) (, ) ( 1)( ) U h h h U h ( h 1) U(, h 1) (, h)) 0,1,..., N, h 0,1,..., N. (3.1) 4. Mensubstitusian nilai awal dan syarat batas e nilai U(, h ). 5. Menggabungan hasil tersebut sehingga berbentu persamaan yang berbentu deret Taylor.

35 V. KESIMPULAN Berdasaran perhitungan pada bab sebelumnya, maa persamaan Telegraf memilii hasil sebagai beriut. 1. Nilai awal pertama U (,0) yang memenuhi persamaan f ( x) x yaitu 1 bernilai 1 dan 0 untu lainnya.. Nilai awal edua U (,1) bernilai -1 dan 0 untu lainnya. yang memenuhi persamaan g( x) x yaitu 1 3. Syarat batas pertama U(0, h) yang memenuhi persamaan rt ( ) 0 yaitu bernilai 0 untu semua nilai t. 4. Syarat batas edua U(1, h) yang memenuhi persamaan s( t) exp( t) yaitu 1. n! 5. Secara umum, nilai N N 0 h U(, h) selain poin di atas dengan persamaan ( x, t) x.exp( t) yaitu bernilai 0 untu semua nilai x dan t. 6. Nilai U(, h ) yang memenuhi persamaan u( x, t) xexp( t) adalah nilai 1 yaitu x t t t t t! 3! 4! dan 0 untu lainnya.

36 DAFTAR PUSTAKA Finizio, N. and Ladas, G An Introduction to Differential Equation. Wadsworth, California. Krantz, S.G. and Pars, H.R. 00. A Premier of Real Analytical Functions. Second Edition. Birha user, Berlin. Logan, J. D A First Course in Differential Equation. Springer, USA. Ricardo. H A Modern Introduction to Differential Equations. Elselvier, Canada. Smith, R.T. and Minton, R.B Calculus. Fourth Edition. Mc Graw Hill, New Yor. Soltanalizadeh, B Differential Transformation Method for Solving One- Space-Dimensional Telegraf Equation. Journal of Computational and Applied Mathematics. 30(3): Stewart, J. 01. Calculus. Seventh Edition. Broos/Cole, USA.