KARAKTERISTIK POHON FUZZY

Transkripsi

1 KARAKTERISTIK POHON FUZZY Yuli Stiawati 1, Dwi Juniati 2, 1 Jurusan Matematia, Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, Jurusan Matematia, Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, yuli_stiawati@rocetmail.com 1, dwi_juniati@yahoo.com 2 ABSTRAK Misalan V himpunan titi berhingga dan tida osong, suatu graf fuzzy yang dinotasian dengan G ( V,, ) atau biasa ditulis G (, ) : V [0,1] dan : VV [0,1] yang memenuhi ( x, y) ( xy) ( x) ( y), x, y V disebut himpunan titi fuzzy dan disebut himpunan sisi fuzzy. G (, ) adalah pohon fuzzy jia dan hanya jia G (, ) mempunyai subgraf fuzzy perentang yaitu F (, ), F (, ) F (, ) sebuah pohon sehingga uv Supp( ) \ Supp( ), ( uv) ( u, v). Dalam ajian ini, penulis mendesripsian tentang graf fuzzy, subgraf fuzzy, subgraf fuzzy perentang, lintasan pada graf fuzzy, euatan lintasan pada graf fuzzy, euatan eterhubungan diantara dua titi uv, pada graf fuzzy, jembatan fuzzy, titi pemutus fuzzy, hutan fuzzy, pohon fuzzy dan graf fuzzy omplit. Setelah itu penulis mendesripsian beberapa contoh beserta gambar dan pembutian dari teorema-teoremanya. Berdasaran pada pembutian teoremateorema tersebut, maa diperoleh esimpulan bahwa arateristi pohon fuzzy adalah 1. Jia G (, ) adalah pohon fuzzy dan G* ( Supp( ), Supp( )) G* ( Supp( ), Supp( )) buan pohon, maa ada minimal satu sisi uv dalam Supp( ) ( uv) ( u, v). 2. Jia G (, ) adalah pohon fuzzy, maa G (, ) buan graf fuzzy omplit. 3. Jia G (, ) adalah pohon fuzzy maa titi internal dari F (, ) adalah titi pemutus dari G (, ). Kata unci : graf fuzzy, subgraf fuzzy, jembatan fuzzy, titi pemutus fuzzy, arateristi pohon fuzzy PENDAHULUAN Teori graf merupaan salah satu cabang ilmu matematia yang mempelajari tentang himpunan titi dan himpunan sisi, pertama ali diperenalan oleh Leonhard Euler, seorang matematiawan asal Swiss dalam maalahnya yang berjudul Seven bridges of Konisberg pada tahun Sebuah graf G berisian dua himpunan yaitu himpunan berhingga ta osong VG ( ) dari objeobje yang disebut titi dan himpunan berhingga (mungin osong) EG ( ) yang elemen-elemennya disebut sisi, sedemiian hingga setiap elemen e dalam EG ( ) merupaan pasangan ta berurutan dari titi-titi di VG ( ). Dengan ata lain, VG ( ) disebut himpunan titi G dan EG ( ) disebut himpunan sisi G. Graf G yang didefinisian sebagai pasangan himpunan ( V( G), E( G )) dapat ditulis dengan notasi G ( V, E). Himpunan fuzzy (fuzzy set) diperenalan oleh L. A. Zadeh tahun Himpunan fuzzy adalah suatu himpunan derajat eanggotaan dari elemennya adalah bilangan real dalam interval tertutup [0,1]. Jia X adalah himpunan ta osong maa himpunan fuzzy A di X didefinisian A {( x, A ( x)) xx}, A : X [0,1].

2 Selanjutnya Ax ( ) disebut derajat eanggotaan dari x, dan fungsi A disebut fungsi eanggotaan dari X. Graf fuzzy merupaan teori perluasan dari teori graf dan himpunan fuzzy (fuzzy set) yang pertama ali diperenalan oleh Azriel Rosenfeld pada tahun Misalan V himpunan titi berhingga dan tida osong, suatu graf fuzzy yang dinotasian dengan G ( V,, ) atau biasa ditulis G (, ) adalah sepasang fungsi dengan : V [0,1] dan : VV [0,1] yang memenuhi ( x, y) ( xy) ( x) ( y), x, y V menyataan operator minimum, disebut himpunan titi fuzzy dan disebut himpunan sisi fuzzy. Konsep graf fuzzy yang terus berembang mendorong para peneliti untu terus mengembangan dan menganalisa bai secara teoritis maupun apliasi. KAJIAN TEORI 2.1 Graf Definisi Sebuah graf G berisian dua himpunan yaitu himpunan berhingga ta osong VG ( ) dari obje-obje yang disebut titi dan himpunan berhingga (mungin osong) EG ( ) yang elemen-elemennya disebut sisi, sedemiian hingga setiap elemen e dalam EG ( ) merupaan pasangan ta berurutan dari titi-titi di VG ( ). Dengan ata lain, VG ( ) disebut himpunan titi G dan EG ( ) disebut himpunan sisi G. (Budayasa, 2007 : 1) Definisi Sebuah graf H disebut graf bagian dari graf G, ditulis H G, jia V( H) V( G) dan E( H) E( G). Jia H G dan V( H) V( G), maa H disebut graf bagian rentang (spanning subgraf) dari G. Misalan V V( G). Graf bagian G yang dibangun (diindusi ) oleh V, dilambangan dengan GV [ ], adalah sebuah graf bagian dari G yang himpunan titinya adalah V dan himpunan sisinya beranggotaan semua sisi G yang mempunyai titi-titi ahir di V. (Budayasa, 2007 : 5) Definisi Misalan G adalah sebuah graf. Sebuah jalan (wal) di G adalah sebuah barisan berhingga (ta osong) W ( v0, e1, v1, e2, v2,, e, v) yang suu-suunya bergantian titi dan sisi, dengan vi 1 dan v i adalah titi-titi ahir sisi ei, untu 1 i. Dengan ata lain i v i1 vi. 0 e v adalah titi awal dan ditunjuan oleh v adalah titi ahir serta v 1 v 1 disebut titi internal. (Budayasa, 2007: 6) Definisi Jeja pada graf G adalah jalan yang semua sisinya berbeda. Suatu jeja diataan jeja terbua jia titi awal dan titi ahirnya berbeda, jeja diataan tertutup jia titi awal sama dengan titi ahir. Siel pada graf G adalah jeja tertutup yang semua titi internalnya berbeda. Panjang dari suatu siel adalah jumlah sisi pada siel tersebut. Lintasan pada graf G adalah jeja yang semua titinya ( v0, v1, v2,... v ) berbeda. Panjang lintasan adalah jumlah sisi pada lintasan tersebut. (Budayasa, 2007: 6) Definisi Suatu graf G diataan terhubung (connected) jia untu setiap dua titi berbeda di G terdapat lintasan yang menghubungan edua titi tersebut. Graf G diataan ta terhubung (disconnected) jia ada dua titi di G yang berbeda dan edua titi tersebut tida dihubungan oleh suatu lintasan. (Budayasa, 2007: 8) Definisi Misal G sebuah graf. Sisi e E(G) disebut jembatan jia omponen graf G-{e} lebih banya dari omponen graf G. (Chartrand dan Lesnia, 1996:34) Definisi Misal G sebuah graf. Titi v V(G) disebut titi pemutus jia omponen graf G {v} lebih banya dari omponen graf G. (Chartrand dan Lesnia, 1996:33) Definisi Sebuah graf disebut hutan (forest) jia graf tersebut tida memuat siel. (Budayasa, 2007:22) Definisi Graf G diataan pohon jia terhubung (connected) dan tida memuat siel ( Cycle ). (Budayasa, 2007 : 22) 2.2 Himpunan Fuzzy Definisi Jia X adalah himpunan ta osong maa himpunan fuzzy A di X didefinisian :

3 A {( x, A ( x)) xx} A : X [0,1]. Selanjutnya Ax ( ) disebut derajat eanggotaan dari x, dan fungsi A disebut fungsi eanggotaan dari X. Himpunan fuzzy A diataan dengan semesta himpunan X. Jia Ax ( ) 0 boleh tida ditulisan dalam himpunan A dan himpunan fuzzy A diataan dengan semesta himpunan X. (Zimmermann, 1992:11) 2.3 Graf Fuzzy Definisi Misalan V himpunan titi berhingga dan tida osong, suatu graf fuzzy yang dinotasian dengan G ( V,, ) atau biasa ditulis G (, ), i. : V [0,1] ii. : VV [0,1] yang memenuhi ( x, y) ( xy) ( x) ( y), x, y V ( xy) disebut derajat eanggotaan sisi xy, menyataan operator minimum, disebut himpunan titi fuzzy dan disebut himpunan sisi fuzzy. Definisi Graf fuzzy H ( V,, ) atau biasa ditulis H (, ) diataan subgraf fuzzy dari graf fuzzy G (, ) jia v( x) ( x), x V dan ( xy) ( xy), xy V V. (Vimala and Sathya, 2012: 76) Definisi Subgraf fuzzy H (, ) diataan perentang graf fuzzy G (, ) jia ( x) ( x), xv, dan ( xy) ( xy), xy V V. (Vimala and Sathya, 2012: 76) Definisi Sebuah lintasan P pada graf fuzzy G (, ) adalah barisan titi-titi yang berbeda v0, v1,..., v (ecuali mungin v n 0 dan v n ), sedemiian hingga ( vi 1vi) 0, 1 i n. Panjang dari suatu lintasan didefinisian sebagai banyanya sisi pada lintasan tersebut. vi 1v disebut sisi dari i lintasan. (Mordeson and Nair, 2000 : 20-21) Definisi Keuatan dari lintasan P ( v0, v1,..., v n ) n didefinisian sebagai i1( vi 1, vi ) atau min { ( v, v ) i 1,2,3,..., n}. Dengan ata lain, i 1 i euatan dari sebuah lintasan didefinisian sebagai derajat eanggotan dari sisi terlemah (sisi yang memuat derajat eanggotaan terecil) pada sebuah lintasan. (Sunitha, 2001 : 15) Definisi Keuatan eterhubungan diantara dua titi uv, pada graf fuzzy G (, ) adalah ( u, v) sup{ ( u, v) : 1,2,3...} dengan ( u, v) sup{ ( uu1) ( u1u 2)... ( u 1v) u,..., u V}, 1 1 dengan sup adalah supremum (batas atas terecil). Lintasan teruat yang menghubungan dua titi u dan v adalah lintasan yang mempunyai euatan ( uv, ). (Nagoorgani and Vadivel, 2009: 16) PEMBAHASAN 3.1 Karateristi Pohon Fuzzy. Definisi Misalan G (, ) graf fuzzy dan v1, v 2 dua titi berbeda pada G (, ), dan misalan G' (, ') subgraf fuzzy dari G (, ) dengan ': V V v1v 2 [0,1]. Sehingga '( vv ) 0 dan ' untu semua pasangan lainnya. vv diataan jembatan di G (, ) jia ' ( u, v) ( u, v) untu suatu uv,. (Mordeson and Nair, 2000 : 21) Teorema Dietahui graf fuzzy G (, ), Pernyataan pernyataan beriut adalah eivalen : (1) vv adalah jembatan ; (2) v1 v2 v1v 2 ' (, ) ( ) ; (3) vv buan sisi terlemah dari suatu siel. (2) (1) Dietahui ' ( v1, v2) ( v1v 2). Aan ditunjuan bahwa vv adalah jembatan fuzzy. Andaian vv buan jembatan fuzzy, maa ' ( v, v ) ( v v ), ontradisi dengan ' ( v, v ) ( v v ). Pengandaian salah,

4 sehingga jia ' ( v1, v2) ( v1v 2), maa vv adalah jembatan fuzzy. (1) (3) Dietahui vv adalah jembatan fuzzy. vv Aan ditunjuan bahwa buan sisi terlemah dari suatu siel. Andaian vv adalah sisi terlemah dari suatu siel, jia dilauan penghapusan terhadap sisi vv maa tida aan mengurangi euatan eterhubungan dari siel tersebut, hal ini ontradisi dengan jembatan fuzzy. Pengandaian salah, sehingga jia vv adalah jembatan fuzzy, maa vv buan sisi terlemah dari suatu siel. (3) (2) Dietahui vv buan sisi terlemah dari suatu siel. Aan ditunjuan ' ( v1, v2) ( v1v 2). Andaian ' ( v1, v2) ( v1v 2). Sisi vv adalah uat dari suatu siel jia ' ( v, v ) ( v v ). Misalan ' ( v1, v2) ( v1v 2) benar, maa ' ( v, v ) ( v v ) ontradisi. Pengandaian salah, jia vv buan merupaan sisi terlemah dari suatu siel maa ' ( v, v ) ( v v ). Definisi Misal w adalah sebarang titi pada G (, ), dan G' ( ', ') adalah subgraf fuzzy dari G (, ) yang diperoleh dengan menghapus titi w, sehingga '( w) 0, ' untu semua titi lainnya, '( wz) 0 untu semua z, dan ' untu semua sisi lainnya. w diataan titi pemutus di G (, ), jia ' ( u, v) ( u, v) untu suatu uv, sehingga u w v. Sehingga penghapusan titi w aan mengurangi euatan dari eterhubungan diantara pasangan titi-titi lainnya. (Sunitha dan Vijayaumar 1999 : 294 ) Definisi Graf fuzzy G (, ) adalah hutan fuzzy jia mempunyai subgraf fuzzy perentang F (, ) yang merupaan hutan, dengan syarat untu semua sisi xy yang tida berada di F (, ) (sedemiian hingga ( xy) 0), berlau ( xy) ( x, y). ( Mordeson and Nair, 2000: 22 ) Definisi G (, ) adalah graf fuzzy. Supp( ) { xv ( x) 0}, Supp( ) { xy V V ( xy) 0}. Karena ( xy) ( x) ( y) xy Supp( ), x, y Supp( ). Maa ( Supp( ), Supp( )) adalah graf. ( Mordeson and Nair, 2000: 25 ) Definisi ) G (, ) adalah pohon jia dan hanya jia ( Supp( ), Supp( )) adalah pohon. 2) G (, ) adalah pohon fuzzy jia dan hanya jia G (, ) mempunyai subgraf fuzzy perentang yaitu F (, ), dengan F (, ) sebuah pohon sehingga uv Supp( ) \ Supp( ), ( uv) ( u, v). (Mordeson and Nair, 2000: 25) Definisi ) G (, ) adalah siel jia dan hanya jia ( Supp( ), Supp( )) adalah siel. 2) G (, ) adalah siel fuzzy jia dan hanya jia ( Supp( ), Supp( )) adalah siel dan tida terdapat dengan tunggal xy Supp( ) sedemiian hingga ( xy) { ( u, v) ( u, v) Supp( )}. (Mordeson and Nair, 2000: 25) Teorema Misalan G (, ) adalah graf fuzzy dengan G* ( Supp( ), Supp( )) adalah sebuah siel. Maa sebuah titi diataan titi pemutus dari G (, ) jia dan hanya jia titi itu merupaan titi bersama dari dua jembatan. Buti dari iri e anan Misalan w adalah titi pemutus dari G (, ). Maa terdapat u dan v selain w sedemiian hingga w ada pada setiap lintasan teruat dari u e v. Karena dietahui bahwa G* ( supp( ), supp( )) adalah suatu siel, maa terdapat tepat satu lintasan teruat dari u e v

5 yang memuat w, dan semua sisi G* ( supp( ), supp( )) merupaan jembatan. Kerena w diapit oleh dua jembatan, maa w adalah titi bersama dari dua jembatan. Buti dari anan e iri Misalan w adalah titi bersama dari dua jembatan. Maa w terleta diantara dua jembatan uw dan wv. Sehingga diantara uw dan wv buan sisi yang terlemah dari G (, ) [Teorema 3.1.1]. Lintasan dari u e v yang tida memuat sisi uw dan wv mempunyai euatan urang dari ( uw) ( wv). Sehingga lintasan teruat dari u e v adalah lintasan u, w, v dan ( u, v) ( uw) ( wv). Maa w adalah titi pemutus. Teorema Jia w adalah titi bersama dari paling sediit dua jembatan maa w adalah titi pemutus. Teorema Jia uv adalah jembatan, maa ( u, v) ( uv). Misalan uv jembatan dan ( u, v) ( uv). Maa terdapat 2 emunginan : Kemunginan (1) ( u, v) ( uv). Hal ini tida mungin, arena berdasaran definisi ( u, v) sup{ ( u, v) : 1,2,3...} dengan ( u, v) sup{ ( uu ) ( u u )... ( u v) u,..., u V} Kemunginan (2) ( u, v) ( uv). Maa terdapat lintasan teruat dari u e v yang mempunyai euatan lebih dari ( uv). Semua sisi lintasan teruat mempunyai euatan lebih dari ( uv). Lintasan ini bersama dengan sisi uv membentu suatu siel dengan uv merupaan sisi terlemah. Hal ini bertentangan dengan hipotesis bahwa uv adalah jembatan. Lemma Jia H ( v, ) adalah subgraf fuzzy dari G (, ), maa untu setiap uv, berlau ( u, v) ( u, v). Teorema Jia G (, ) adalah suatu pohon fuzzy dan G* ( Supp( ), Supp( )) G* ( Supp( ), Supp( )) buan suatu pohon, maa ada minimal satu sisi uv dalam Supp ( ) ( uv) ( u, v). Jia G (, ) adalah pohon fuzzy maa berdasaran definisi ada suatu subgraph fuzzy yang perentang F (, ) yang merupaan suatu pohon dan ( uv) ( u, v) untu setiap uv yang tida berada di F (, ). Selain itu berdasaran Lemma ( u, v) ( u, v). Sehingga ( uv) ( u, v) untu setiap sisi uv yang tida berada di F (, ) dan berdasaran hipotesa, ada paling tida satu sisi uv yang tida berada di F (, ). 3.2 Graf Fuzzy Komplit. Definisi Graf fuzzy omplit adalah graf fuzzy G (, ) sedemiian hingga ( uv) ( u) ( v) untu setiap u dan v. Lemma Jia G (, ) adalah suatu graf fuzzy omplit maa ( u, v) ( uv). Lemma Graf fuzzy omplit tida mempunyai titi pemutus. Teorema Jia G (, ) adalah suatu pohon fuzzy, maa G (, ) tida omplit. Andaian G (, ) adalah graph fuzzy omplit. Maa berdasaran Lemma ( u, v) ( uv) untu setiap u, vv. Berdasaran definisi G (, ) adalah pohon fuzzy dengan ( uv) v ( u, v) untu setiap uv yang tida berada di F (, ), sehingga ( u, v) v ( u, v). Hal ini ontradisi dengan Lemma Teorema Jia G (, ) adalah suatu pohon fuzzy maa titi internal dari F (, ) adalah titi pemutus dari G (, ). Misalan w adalah sebarang titi di G (, ) yang buan titi ahir dari F (, ). Maa w adalah titi bersama dari paling sediit dua sisi di F (, ) yang merupaan jembatan dari G (, ), dan berdasaran Teorema w adalah titi pemutus. Hal ini juga berarti jia w adalah titi ahir dari F (, ) maa w buan titi pemutus. Di sisi lain ada uv, yang berbeda dengan w sedemiian hingga w ada pada setiap

6 lintasan teruat dari u e v dan salah satu lintasan jelas terleta di F (, ). Tetapi arena w adalah suatu titi ahir dari F (, ) maa hal ini tida mungin. SIMPULAN 1. Jia G (, ) adalah suatu pohon fuzzy dan G* ( Supp( ), Supp( )) G* ( Supp( ), Supp( )) buan suatu pohon, maa ada minimal satu sisi uv dalam Supp( ) ( uv) ( u, v). 2. Jia G (, ) adalah suatu pohon fuzzy, maa G (, ) buan graf fuzzy omplit. 3. Jia G (, ) adalah suatu pohon fuzzy maa titi internal dari F (, ) adalah titi pemutus dari G (, ). SARAN Dalam jurnal ini hanya dibahas beberapa arateristi pohon fuzzy. Oleh arena itu, penulis memberian saran epada pembaca yang tertari pada permasalahan ini untu menjelasan sifat-sifat yang lain. DAFTAR PUSTAKA [1.] Budayasa, I.K Teori Graf dan Apliasinya. UNESA. [2.] Chartrand, G dan Lesnia, L Graphs and Digraphs [third editions]. USA: Chapman & Hall/CRC. [3.] Lee, Kwang H First Cours on Fuzzy Theory and Applications. Republi of South Korea : Korea Advanced Institute of Science and Technology, KAIST. [4.] Mordeson, J.N and Nair, P.S Fuzzy Graphs and Fuzzy Hypergraphs. New Yor : Physica-Verlag, Heidelberg. [5.] Nagoorgani, A and Vadivel, P Relation between the parameters of independent Domination and Irredundance in Fuzzy Graphs. [6.] Sunitha, M.S Studies On Fuzzy Graphs [7.] Sunitha, M.S and Vijayaumar, A A characterization of fuzzy tress. [8.] Vimala, S and Sathya J.S Connected point set domination of fuzzy graphs [9.] Zimmerman, H.J Fuzzy Set Theory and Its Applications. USA : Kluwer Academic Publisher.