KORELASI ANTARA DUA KELOMPOK VARIABEL KUANTITATIF DALAM ANALISIS KANONIK

Transkripsi

1 Jurnal Pengaaran MIPA, Vol. 0 No. Desember 007 ISSN: -097 KORELASI ANARA DUA KELOMPOK VARIABEL KUANIAIF DALAM ANALISIS KANONIK Oleh : Dewi Rachmatin, S.Si., M.Si. Jurusan Pendidian Matematia FPMIPA Universitas Pendidian Indonesia ABSRAK Gagasan dasar dari Analisis Kanoni adalah mengembangan engertian oefisien orelasi antara dua elomo variabel uantitatif menadi engertian orelasi antara dua elomo variabel uantitatif. Melalui teni Analisis Kanoni daat dielaari emirian antara edua elomo variabel uantitatif. Berdasaran hasil ini, enyaian data variabel mauun individu daat dilauan ada ruang bagian berdimensi ecil yang otimal seerti halnya ada Analisis Komonen Utama. Kata Kunci : Analisis Kanoni, orelasi antara dua elomo variabel uantitatif, enyaian data. PENDAHULUAN Gagasan dasar dari Analisis Kanoni adalah mengembangan engertian oefisien orelasi antara dua elomo variabel uantitatif menadi engertian orelasi antara dua elomo variabel uantitatif. Jia ada dua elomo variabel X dan Y, melalui teni Analisis Kanoni daat diselidii deraat eivalensi antara X dan Y atau seberaa auh eduanya mendeati eadaan eivalen. Misalan ada dua elomo variabel uantitatif x, x,..., x dimana x x, x,..., x n untu setia =,,, dan y, y,..., y q dimana y y, y,..., yn untu setia =,,, q. Pengertian eivalensi antara edua elomo tersebut didefinisian sebagai beriut. Definisi Dua elomo variabel uantitatif, x,..., x eivalen, ia himunan semua ombinasi linier dari x himunan ombinasi linier dari y, y,..., y q. x dan, y,..., y q, x,..., x y diataan berimit dengan Untu memerelas definisi tersebut, andang matris-matris data beriut.. Misalan I = {,,, n} himunan individu X(xn) dan Y (qxn) matris-matris data berturut-turut

2 ISSN: -097 Jurnal Pengaaran MIPA, Vol. 0 No. Desember 007 hasil enguuran elomo variabel ertama dan edua ada I. Diagram dual yang sesuai dengan X, Y, dan I tersebut adalah: E =R X F * Y E * =R q M V D V N E * X F = R n Y E W Misalan himunan semua ombinasi linier dari x, x,..., x : * * n X a ; a di E X (E ) dimana a a e (), R Sedangan himunan semua ombinasi linier dari y, y,..., y q : W * q n Y b ; bdi E Y (E ) dimana b b e (), R Kedua elomo variabel, x,..., x W = W. q * * E R. q E R. x dany, y,..., y q eivalen ia Dalam rate boleh diataan tida ernah ita umai X eivalen dengan Y. Jadi W W. Yang ingin diselidii adalah deraat eivalensi antara X dan Y atau seberaa auh eduanya mendeati eadaan eivalen. Berdasaran hal ini, enyaian data aan ita lauan ada ruang bagian berdimensi ecil yang otimal seerti halnya ada analisis omonen utama. Jia W W, ada lima ruang bagian yang harus dierhatian, yaitu : W W, W W, W W, (W W W W ), dan (Dauhari; 988). (W W W W ) Masalah selanutnya yang dihadai adalah bagaimana mencari asangan variabel anoni,, untu semua =,,,. Cara yang sederhana untu mencari asangan variabel anoni, diberian ada dalil di bawah ini. Sebelumnya ia X dan Y terbauan, ita luis : V = X D X adalah matris variansi-ovariansi elomo variabel yang ertama.

3 Jurnal Pengaaran MIPA, Vol. 0 No. Desember 007 ISSN: -097 V = Y D Y adalah matris variansi-ovariansi elomo variabel yang edua. V = X D Y = V adalah matris variansi-ovariansi elomo variabel yang ertama dan edua. Dalil Misalan A = X (X D X ) - X D dan A = Y (Y D Y ) - Y D. A A dan V - V V - V memilii nilai-nilai arateristi ositif yang sama. Jia V - V V - V a = a dan a =, maa V X a ; =,,,. Buti dalil di atas daat dilihat ada referensi []. Aibat dalil di atas adalah sebagai beriut. Aibat Bila matris data X dan Y terusat, maa : a) dan uga terbauan sebab eduanya adalah ombinasi linier dari variabelvariabel terbauan., adalah asangan anoni e-, =,,,. dimana : X a dan Y b asangan fator anoni e-. D, Cov, b) c) Karena. Pasangan, b., dan a dimana D, r, a = dan uga terbauan, maa r disebut oefisien orelasi anoni e-, untu setia =,,,. V b V disebut PENYAJIAN DAA Analisis anoni memunginan dilasanaan enyaian variabel-variabel ada edua elomo secara global untu emudian memelaari emirian variabel-variabel dalam elomo mauun antar elomo. Selain itu analisis anoni memunginan untu menyaian individu-individu bai di E mauun di E (Dauhari; 988). R q R PENYAJIAN VARIABEL Penyaian variabel daat dilauan bai di W dan W. 3

4 ISSN: -097 Jurnal Pengaaran MIPA, Vol. 0 No. Desember 007 Penyaian variabel di W Untu memudahan embacaan hasil enyaian variabel, semua variabel dibauan. Sebagai contoh enyaian variabel ada bidang, ita andang bidang P yang dibangun oleh dan. P adalah bidang di W yang aling deat dengan W. Pada bidang inilah endetesian emirian antar variabel daat dilauan dengan hasil yang aling bai. Misalan adalah royesi setia =,,, dan r y, ry, x ada P, dan r x, r x, adalah royesi ; untu setia =,,,. ; untu y ada P, dan Karena untu enyaian ini semua variabel telah dibauan, ada bidang P ita buat lingaran L berusat di O dan berari-ari. Lingaran ini disebut lingaran orelasi. Vetor dan diletaan orthogonal, maa : a) Variabel x atau y yang meruaan ombinasi linier dari dan ada L. Dalam hal ini : x dan y. b) Variabel x atau usat O dari L. D D y yang tida berorelasi dengan D dan Selanutnya engaian variabel dilauan ada lingaran orelasi. D aan terleta aan terleta di titi Contoh : Misalan ita memunyai enyaian dua elomo variabel,x,..., x y, y,..., y sebagai beriut x dan L 3

5 Jurnal Pengaaran MIPA, Vol. 0 No. Desember 007 ISSN: -097 Pada lingaran orelasi itu daat dibaca antara lain : a) x atau y sangat berdeatan r x, y. b) 3 y dan y saling orthogonal rx, y 3 0 c) x orthogonal/ta berorelasi dengan deat e L. dan. Juga dengan semua variabel yang d) walauun dan berdeatan, ita ta daat menyataan bahwa satu sama lain, sebab merea auh dari L. x dan y miri Penyaian variabel di W Seerti ada bidang P, ita daat membuat lingaran orelasi L ada bidang Q. Pada lingaran ini variabel x disaian oleh ; =,,, dan variabel y disaian oleh. =,,,q. adalah royesi x ada Q, dan r x, r x, ; untu setia y ada Q, dan, =,,, dan adalah royesi r y, r y ; untu setia =,,,. Selanutnya embacaan sama seerti ada L. Catatan : Jia =, maa P = Q. Dengan ata lain enyaian ada L dan ada L sama. Untu enyaian data variabel mauun individu daat dibuat algoritma untu mendaatan oordinat royesi dua elomo variabel tersebut. Sebagai contoh diberian algoritma untu mendaatan royesi dua elomo variabel ada bidang P beriut ini. Algoritma O n. Diberian D matris bobot beruuran nxn, X n matris beruuran xn O n dan Y matris beruuran nx. Bauan matris X dan Y dengan cara mengurangi matris X dan Y dengan rataan baris masing-masing matris; X = X - g dengan elemen e- dari g adalah. Hitung V, V, V, V, n n i x i V dan V Jia q <,maa cari terlebih dahulu nilai-nilai eigen dari V V V V Sebalinya ia q > cari terlebih dahulu nilai-nilai eigen dari V V V V.

6 ISSN: -097 Jurnal Pengaaran MIPA, Vol. 0 No. Desember 007 Karena q = < = 3 maa terlebih dahulu aan dicari nilai-nilai eigen dari matris V yang memenuhi ersamaan : - - V V V - - det( V V V V -. I ) = 0, untu setia =,.. entuan b vetor eigen yang memenuhi ondisi b atau. entuan τ X V V b, untu setia =,. λ 6. entuan r x, r x, atau 7. entuan 8. Plot dan r y, r y, atau r r x x r ada bidang P, untu setia =,,3, dan =,. V b V b =,,, untu =,, 3. y, τ y,, untu =,. Pada langah elima, untu enyaian data variabel di bidang Q enghitungan diganti dengan, untu =,. Langah etuuh dan edelaan diganti dengan enghitungan dan. Dengan cara yang sama daat dibuat algoritma untu enyaian data individu bai di E mauun di E. Untu data multivariat yang banyanya variabel lebih dari tiga ( > 3 dan q > 3), dierluan rogram husus. Kendala dalam embuatan rogram ini adalah : ada langah eemat dan elima menentuan solusi berua nilai eigen dan vetor eigen yang memenuhi syarat eortonormalan yang dimasudan tidalah mudah. Penentuan solusinya melibatan teni enentuan solusi dua sistem ersamaan linier yang argumennya lebih dari tiga. Untu asus seerti ini dierluan studi yang lebih lanut. Selain Analisis Kanoni, untu melihat emirian antar variabel-variabel uantitatif dalam elomo daat dilauan teni Analisis Komonen Utama. Analisis Komonen Utama aan meredusi ruang individu ( E = R ) yang tadinya menadi <, alau mungin = atau 3. Jadi ita cuu menganalisis data ada ruang yang berdimensi atau 3 untu memelaari emirian variabel-variabel mauun individu (Jacson; 99 & Johnson; 98). Materi yang dibahas ada tulisan hanya membahas tentang Analisis Kanoni yang memelaari dua elomo variabel uantitatif untu individu yang sama. Jia individuindividu tersebut dilasifiasian e dalam elomo-elomo (misalan ada g elomo) maa Analisis Kanoni yang memelaari strutur antar elomo tersebut adalah Analisis Variat Kanoni. Metode ini berdasaran ada deomosisi nilai-nilai eigen (Lihat Canonical Analysis). τ 6

7 Jurnal Pengaaran MIPA, Vol. 0 No. Desember 007 ISSN: -097 DAFAR PUSAKA Dauhari, M. (988). Strutur Data Statisti. Jaarta : Dedibud. Jacson, E. J. (99). Princial Comonent Analysis. New Yor :Wiley & Johnson. Johnson, R. A. (98). Alied Multivariate Statistical Analysis. Prentice-Hall. Inc. Canonical Analysis. [Online]. ersedia : htt:// htt:// 7