BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

Transkripsi

1 BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau kolomnya dengan melakukan operasi elementer terhadap baris, disebut operasi baris elementer (OBE) dan/atau operasi elementer terhadap kolom, disebut operasi kolom elementer (OKE) dari matriks tersebut. OBE dan OKE mempunyai tiga prinsip yaitu: a. Pertukaran b. Penggandaan c. Penggantian Tabel. Simbol Operasi Elementer Tipe Operasi Simbol I Menukar baris ke i dengan baris ke j dari matriks A B ij (A) Menukar kolom ke i dengan kolom ke j dari matriks A K ij (A) II Mengalikan baris ke i matriks A dengan skalar k B i(k) (A) III Mengalikan kolom ke i matriks A dengan skalar k Mengalikan baris ke j matriks A dengan skalar k, dan hasilnya ditambahkan kepada baris ke i matriks A Mengalikan kolom ke j matriks A dengan skalar k, dan hasilnya ditambahkan kepada kolom ke i matriks A K i(k) (A) B ij(k) (A) K ij(k) (A)

2 Contoh: Andaikan matriks A = Carilah: B (A), K (-) (A), B () (A), K (A), B (-) (A), K () (A) Solusi: B (A) = ; K (-) (A) = B () (A) = = 7 K (A) = B (-) (A) = K () (A) = 9

3 Maple Code BENTUK ESELON BARIS TEREDUKSI Suatu matriks untuk menjadi eselon baris tereduksi harus mempunyai sifat-sifat berikut ini:. Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah sebuah angka. (kita sebut sebagai utama ). Jika ada sembarang baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini dikelompokkan bersama di bagian bawah matriks.. Jika sembarang dua baris yang berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, utama dalam baris yang lebih bawah terletak disebelah kanan utama dalam baris yang lebih atas.. Masing-masing kolom yang berisi sebuah utama mempunyai nol di tempat lainnya. Suatu matriks yang mempunyai sifat,, dan disebut matriks berbentuk eselon baris.

4 Contoh. Matriks eselon baris tereduksi 7 ; ;. Matriks eselon baris 6 7 ; ; B. DETERMINAN Misalkan adalah matriks persegi berukuran. Determinan dari matriks didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari. Determinan dari matriks dinotasikan dengan atau. Beberapa metode untuk menghitung determinan adalah sebagai berikut: a. Metode Sarrus b. Ekspansi Kofaktor a. Metode Sarrus Untuk pembahasan kali ini dikhususkan untuk matriks berukuran dan saja. Misalkan dan, maka: atau dan atau

5 Contoh. : Hitunglah determinan dari: dan dan b. Ekspansi Kofaktor Sebelum menentukan determinan dari suatu matriks, terlebih dahulu harus diketahui minor dan kofaktor.. Definisi Minor Jika adalah suatu matriks persegi, maka minor anggota dinyatakan oleh dan didefinisikan sebagai determinan sub-matriks yang masih tersisa setelah baris ke dan kolom ke dihilangkan dari.. Definisi Kofaktor Jika adalah suatu matriks persegi,maka kofaktor anggota dinyatakan oleh merupakan bilangan. Contoh.: Misalkan matriks, maka: dan

6 Maple Code Perhatikan kembali matriks dengan:, maka Ingat bahwa: dan Sehingga Dapat dilihat bahwa dapat ditentukan dengan cara mengalikan entri-entri yang ada di baris pertama dengan kofaktornya kemudian menambahkan hasil kali yang didapatkan. Berdasarkan hal ini, perhitungan dilakukan dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama.

7 Contoh. : Misalkan matriks, maka Sehingga Maple Code

8 Teorema. Determinan suatu matriks dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada sebarang baris (atau kolom) dengan kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali yang didapatkan; yaitu, untuk setiap dan, berlaku: dan (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke ) (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke ) Contoh.: Misalkan matriks, maka dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke diperoleh: Sehingga: Maple Code

9 c. Menghitung Determinan dengan Penghilangan Baris Teorema. Misalkan adalah suatu baris persegi. a. Jika memiliki sebuah baris nol atau sebuah kolom nol, maka b.. Determinan Matriks Segitiga Teorema. Jika adalah suatu matriks segitiga (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka adalah hasil kali anggota-anggota pada diagonal utamanya; yaitu Contoh.: ()( )()(8)() Maple Code

10 . Pengaruh Operasi Baris Elementer pada Suatu Determinan Teorema. a. Jika adalah suatu matriks yang dihasilkan jika suatu baris tunggal atau kolom tunggal dari dikalikan dengan suatu scalar maka b. Jika adalah matriks yang dihasilkan jika dua baris atau dua kolom dari dipertukarkan, maka c. Jika adalah matriks yang dihasilkan jika suatu penggandaan suatu baris ditambahkan baris lainnya atau jika suatu penggandaan suatu kolom ditambahkan pada kolom lainnya, maka Contoh : a. Baris pertama dikalikan dengan b. Baris pertama dan kedua dari dipertukarkan c. Suatu penggandaan baris kedua dari ditambahkan pada baris pertama Contoh.6 Tinjaulah matriks 6 9 A, A, A 6 7 8, A

11 Dengan menggunakan metode yang digunakan seperti contoh. diperoleh Perhatikan bahwa diperoleh dengan mengalikan baris pertama dengan, diperoleh dengan mempertukarkan baris kedua dan ketiga dari, dan diperoleh dengan menambahkan kali baris pertama pada baris ketiga. Berdasarkan teorema, diperoleh hubungan dan Maple Code

12 Teorema. Misalkan adalah suatu matriks elementer. a. Jika dihasilkan dari mengalikan suatu baris dari dengan maka b. Jika dihasilkan dari mempertukarkan dua baris dari maka c. Jika dihasilkan dari menambahkan suatu penggandaan satu baris ke baris lainnya, maka Contoh.7 :. Baris kedua I dikalikan dengan. Baris kedua dan ketiga dari I dipertukarkan 7. Menambahkan 7 kali baris keempat dari I dengan baris pertama Maple Code

13 . Menghitung Determinan Dengan Reduksi Baris Dengan adanya pengaruh operasi baris elementer terhadap determinan, maka kita dapat menghitung determinan dengan perhitungan yang jauh lebih sedikit jika dibandingkan dengan menghitung determinan melalui definisi determinan. Gagasannya adalah mereduksi matriks yang diberikan menjadi matriks segitiga atas melalui operasi baris elementer, kemudian menghitung matriks segitiga atas tersebut dan menghubungkan determinan tersebut dengan determinan matriks aslinya. Contoh.8: Hitunglah dengan

14 A 6 Penyelesaian : Matriks direduksi menjadi matriks eselon baris (segitiga atas) dan menerapkan teorema 6 6 ( ) Baris pertama dan kedua dari matriks dipertukarkan kali baris pertama ditambahkan ke baris kedua kali baris pertama ditambahkan ke baris ketiga Suatu faktor bersama yaitu dikeluarkan melalui tanda determinan dari baris kedua ( ) ( )( ) kali baris kedua ditambahkan ke baris ketiga Suatu faktor bersama yaitu dari baris ketiga dikeluarkan melalui tanda determinan ( )( )() Teorema.6 Jika suatu matriks persegi dengan dua baris proporsional, maka Contoh.9: Diketahui matriks. Hitunglah nilai determinan dari matriks

15 kali baris pertama ditambahkan ke baris kedua Contoh matriks proporsional : Matriks-matriks berikut memiliki dua baris yang proporsional sehingga memiliki nilai determinan nol. 7, 8, Sifat-sifat Fungsi Determinan Misalkan dan adalah matriks persegi dan adalah skalar sebarang. Akan dicari hubungan yang mungkin diantara matriks dan dengan dan Misalkan adalah sebarang matriks persegi nxn dengan a a a a a a a a A a a a a a a a a n n n n n n nn maka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka n n n n n n nn. Sehingga ka ka ka ka n ka ka ka ka n ka ka ka ka n ka ka ka ka n n n nn

16 a a a a n ka ka ka ka n k ka ka ka ka n ka ka ka ka n n n nn a a a a n a a a a n k k ka ka ka ka n ka ka ka ka n n n nn a a a a n a a a a n k k k a a a a n ka ka ka ka n n n nn a a a a n a a a a n k k k k a a a a n a a a a n n n nn a a a a n a a a a n n k a a a an (A) a a a a n n n nn Jadi, Jika adalah sebarang matriks persegi, maka (A) Contoh. Misalkan A maka A.

17 Dengan menggunakan perhitungan langsung, diperoleh bahwa dan. Hal ini sesuai dengan hubungan Misalkan dan adalah sebarang matriks persegi dengan A, B maka AB dimana 7 dan sehingga Teorema.7 Misalkan dan adalah matriks-matriks yang berbeda hanya pada satu baris, misalnya baris ke, dan asumsikan bahwa baris ke ke dari dapat diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada baris ke dari dan. Maka Contoh. Diketahui A, B, C Dengan menghitung determinan, dapat dihitung bahwa sehingga dan Teorema.8 Jika dan adalah matriks-matriks persegi dengan ukuran sama, maka Contoh. Misalkan matriks-matriks 7 A, B, AB

18 Kita peroleh Dengan perhitungan langsung diperoleh Teorema.9 sehingga. Suatu matriks persegi dapat dibalik jika dan hanya jika Contoh.: Diketahui matriks A. Karena baris pertama dan baris ketiga proporsional, maka. Jadi, tidak dapat dibalik. Akibat. Jika dapat dibalik, maka Contoh. : Dengan menggunakan matriks A, maka. Jadi, C. INVERS MATRIKS. Metode Untuk Mencari Melalui Matriks Elementer Definisi. Suatu matriks disebut matriks elementer E jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan (identitas) yaitu dengan melakukan operasi baris elementer tunggal. Contoh. : Berikut contoh matriks elementer dan operasi-operasi yang menghasilkannya. i. Baris pertama dikalikan dengan

19 ii. iii. iv. Baris pertama dan ketiga dari dipertukarkan kali baris ketiga ditambahkan dengan baris kedua Baris kedua dikalikan dengan Jika matriks elementer A dikalikan dengan matriks-matriks elementer E maka efeknya adalah untuk memperagakan operasi baris elementer pada A. Teorema. Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasi baris tertentu pada I dan m jika A adalah matriks mxn, maka hasil kali EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A. Contoh.6: Diketahui matriks A dan matriks elementer E yang dihasilkan oleh penambahan kali baris ketiga dari I ke baris kedua. Hasil kali EA adalah EA menambahkan kali baris ketiga dari A ke baris kedua. Maple Code yang sama persis dengan matriks yang dihasilkan apabila kita

20 Jika operasi baris elementer diterapkan pada matriks satuan/identitas I untuk menghasilkan matriks elementer E, maka terdapat operasi baris kedua yang apabila diterapkan pada matriks elementer E akan menghasilkan kembali matriks satuan/identitas I. Misalkan jika E kita peroleh dengan mengalikan baris ke i dari I dengan konstanta c, maka I dapat ditemukan kembali jika baris ke i dari E dikalikan dengan c. Tabel. Operasi Baris Elementer yang Mengubah Matriks Elementer Menjadi Matriks Satuan/Identitas, dan sebaliknya Operasi Baris pada I yang menghasilkan E Mengalikan baris ke i dengan konstanta c Operasi Baris pada E yang menghasilkan I Mengalikan baris ke i dengan konstanta c Menukar baris ke i dengan baris ke j Menukar baris ke i dengan baris ke j Menambahkan k kali baris ke i dengan baris ke j Contoh.7 : Menambahkan ke j k kali baris ke i dengan baris Berdasarkan Contoh.6 untuk menjadikan matriks satuan/identitas, maka operasi yang dilakukan terhadap matriks elementer i. Baris pertama E dikalikan dengan

21 ii. iii. Baris pertama dan ketiga dari E dipertukarkan kali baris ketiga E ditambahkan dengan baris kedua Teorema. Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya juga matriks elementer Jika A matriks persegi nxn dan matriks A tersebut ekuivalen baris dengan matriks satuan I n maka dapat ditemukan m matriks elementer yang sedemikian rupa sehingga jika dikalikan dengan matriks A maka matriks A tersebut menjadi matriks satuan, sehingga E E E A I m Karena matriks elementer mempunyai invers, maka kalikan dengan invers masing-masing matriks elementer dan diperoleh atau E E E E E E A E E E I m m m n A E E E I n m n Persamaan di atas memperlihatkan bahwa A mempunyai invers. Karena A memiliki invers, maka dengan A A I A Em EEI n Karena matriks invers tunggal, maka (jika A memiliki invers) matriks A ekivalen baris dengan matriks satuan I. OBE A I I A Berdasarkan hal di atas, cara mudah untuk menentukan invers dari suatu matriks persegi adalah dengan melakukan serangkaian operasi baris elementer secara bersamaan antara matriks A dengan matriks

22 satuan I dengan target mengubah matriks A menjadi matriks satuan I dan akibatnya diperoleh perubahan matriks I menjadi matriks A tidak memiliki invers. Contoh.8: Tentukan matriks invers (jika ada) dari 6 A, B, C Penyelesaian A. Jika A tidak dapat berubah menjadi matriks satuan, berarti b b b 7 b b 7 7 A I Jadi, 7 7 A 7 7 Maple Code

23 7 b b bb b b BI bb 7 Jadi, B Maple Code

24 6 6 6 bb bb CI b b 8 9 Karena tidak didapatkan matriks satuan, maka C tidak memiliki invers. Maple Code

25 Error, (in linalg:-inverse) singular matrix. Metode untuk Mencari Melalui Matriks Adjoin Definisi. Matriks Kofaktor dan Adjoin dari A Jika A sebarang matriks persegi nxn dan Cij adalah kofaktor aij maka matriks C C C C C C C C C n n n n nn merupakan matriks kofaktor A. Transpose matriks ini dinamakan adjoin A yang ditulis dengan adj A Contoh.9: Diketahui matriks A = Penyelesaian a c b carilah invers dari matriks A! d Kofaktor dari matriks aij atau C ij, yaitu: C =M = d C = - M = - c

26 C = - M = - b C =M = a sehingga matriks kofaktor C adalah d C b c a Maple Code Dari pembahasan sebelumnya telah diketahui bahwa jika matriks persegi A = (a ij ) berdimensi n adalah invertible (non singular) maka ada matriks A - (matriks invers A) sehingga berlaku hubungan: AA - =A - A=I Untuk setiap matriks persegi A = (a ij ) berdimensi n, ada adjoint matriks A. Adjoint matriks (adj) merupakan transpose dari matriks kofaktor. Adjoint matriks A ditulis dengan adj A sedemikian hingga berlaku hubungan:

27 A (adj A) = (adj A) A = A I atau adja A A adja A Dengan A A I Sehingga dapat disimpulkan bahwa: A - = adja ; dengan A A Dengan demikian jelas bahwa suatu matriks persegi akan mempunyai invers jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol, atau dengan kata lain matriks tersebut non singular. Contoh.: Dengan menggunakan contoh.9 T d b C adj A. c a Jadi, adja d b A A ad bc c a

28 LATIHAN SOAL!. Hitunglah nilai determinan dari matriks persegi dimensi berikut: a. G b. x x x D. Berapakah nilai x jika: a. 7 x x b. c x b x c x a x b x a x. Andaikan A = d c b a dan B = I. Tunjukkan bahwa: Det (A+B = det A + det B jika dan hanya jika a+d =.. Hitunglah determinan berikut ini dengan ekspansi minor dan kofaktor: a. k k k k k A 7 b. A

29 c. 6 9 A. Carilah invers dari matriks berikut ini, jika matriksnya invertible: a. C = 8 b. E = 8