Ruang Vektor Umum. V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan

Transkripsi

1 /8/5 Mtris & Rng Vetor Rng Vetor Umm Strt Rng Vetor Umm Misln v w V dn l Riil V dinmn rng vetor ji terpenhi siom :. V terttp terhdp opersi penjmlhn Unt setip v V m v V.. v v ( v w ) ( v ) w. Terdpt V sehingg nt setip V erl 5. Unt setip V terdpt sehingg ( ) ( ) ( )

2 /8/5. V terttp thd opersi perlin dengn slr Unt setip ( v ) v ( l ) l V dn Riil m V 9. ( l ) l ( ) ( l).. Rng Eclides orde n Opersi-Opersi pd rng vetor Eclides: Penjmlhn ( v v ) v... n v n Perlin dengn slr Riil serng () ( )... n Perlin Titi (Ecliden inner prodct) v v v... v n n Pnjng vetor didefinisin oleh : ( )... n Jr ntr d vetor didefinisin oleh : d ( v ) v ( v ) ( v ) ( ) n v... n 5

3 /8/5 Contoh : ( ) Diethi dn v ( ) Tentn pnjng vetor dn jr ntr ed vetor terset Jw: Pnjng vetor : 5 Jr ed vetor d v ( ) ( v ) v ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) SRng (sspce) Misln W merpn shimpnn dri seh rng vetor V W dinmn srng (sspce) V ji W jg merpn rng vetor yng terttp terhdp opersi penjmlhn dn perlin dengn slr. Syrt W diset srng dri V dlh :. W { }. W V W W v W v W. Ji m. Ji dn Riil m 7

4 /8/5 //5 7:5 8 Contoh : Tnjn hw himpnn W yng erisi sem mtris orde x dimn setip nsr digonlny dlh nol merpn srng dri rng vetor mtris x Jw :. Jels hw W M x. Amil semrng mtris A B W Tlis dn m. W O { } W A B //5 7:5 9 Perhtin hw : Ini mennjn hw. Amil semrng mtris A W dn Riil m Ini mennjn hw Jdi W merpn Srng dri M x B A W B A W A A W

5 /8/5 Contoh : Peris ph himpnn D yng erisi sem mtris orde x yng determinn-ny nol merpn srng dri rng vetor M x Jw : Amil semrng mtris A B W Pilih : A B jels hw det (A) jels hw det (A) //5 7:5 Perhtin hw : A B Kren M det (A B ) Jdi D n merpn srng ren tid terttp terhdp opersi penjmlhn 5

6 /8/5 Kominsi Liner Seh vetor dinmn ominsi liner dri vetor vetor v v v n ji vetor vetor terset dpt dinytn dlm ent : v v... n v n dimn n dlh slr Riil. //5 7:5 Contoh Misl ( ) dn v ( ) dlh vetor-vetor di R. Aph vetor erit merpn ominsi liner dri vetor vetor di ts.. ( 5 ) c ( ) c. ( ) //5 7:5

7 /8/5 7 //5 7: Tlis n diperis ph d sehingg esmn terset dipenhi. Ini dpt ditlis menjdi: Jw : v - //5 7:5 5 ~ - - v r r r dengn OBE (Opersi Bris Elementer) diperoleh: merpn ominsi liner dri vetor dn t v ~ ; -

8 /8/5 8 //5 7:5 v v r r Tlis : ini dpt ditlis menjdi: //5 7:5 7 ~ - ~ 5 - dengn OBE dpt it peroleh : Bris terhir pd mtris ini mennjn hw SPL terset dlh tid onsisten (tid mempnyi solsi). Jdi tid d nili dn yng memenhi tid dpt dinytn segi ominsi liner dri dn v

9 /8/5 c. Dengn memilih dn m dpt ditlis r r r v c rtiny vetor nol merpn ominsi liner dri vetor ppn. //5 7:5 8 Memngn dn Bes Liner Himpnn vetor { v v... } S v n ditn memngn st rng vetor V ji setip vetor pd V sell dpt dinytn segi ominsi liner dri vetor vetor di S. Contoh : Tentn ph v v v ( ) ( ) dn ( ) memngn V??? //5 7:5 9 9

10 /8/5 //5 7:5 Jw : Misln:. Tlis :. Sehingg dpt ditlis dlm ent : Amil semrng vetor di R v v v //5 7:5 Syrt gr dpt ditn ominsi liner m SPL terset hrs mempnyi solsi (onsisten) Dengn OBE diperoleh : hrslh Agr SPL it onsisten Ini ontrdisi dengn pengmiln vetor semrng (nsr nsrny es t ersyrt) Dengn demiin vetor vetor terset tid memngn R

11 /8/5 Bes Liner { } Misln S... n dlh himpnn vetor di rng vetor V S ditn es liner (linerly independent) JIKA SPL homogen :... n n hny mempnyi st solsi (tnggl) yni... n Ji solsiny tid tnggl m S it nmn himpnn t es liner (Bergntng liner /linerly dependent) //5 7:5 Contoh : Diethi ( ) dn ( ) Aph sling es liner di R Jw : Tlis t r r r - //5 7:5

12 /8/5 //5 7:5 ~ - ~ dengn OBE dpt diperoleh : dengn demiin diperoleh solsi tnggl yit : dn. Ini errti ū dn ā dlh sling es liner. - //5 7:5 5 c c Jw : t Tlis : Aph etig vetor dits sling es liner R Contoh : Misln

13 /8/5 //5 7:5 ~ c dengn OBE diperoleh : Ini mennjn hw mrp solsi t hingg ny dlh vetor-vetor yng ergntng liner Jdi //5 7:5 7 Bsis dn Dimensi Ji V dlh semrng rng vetor dn S { ū ū ū n } merpn himpnn erhingg dri vetor vetor di V m S dinmn sis gi V ji ed syrt erit dipenhi : S memngn/merentng (spn) V (S spns V) S es liner

14 /8/5 //5 7:5 8 8 M d c 8 Contoh : Tnjn hw himpnn mtris erit : merpn sis gi mtris errn x Jw : Tlis ominsi liner : t d c 8 //5 7:5 9 d c 8 dengn menymn setip nsr pd ed mtris diperoleh SPL : Determinn mtris oefisienny (MK) 8 det (MK) SPL memilii solsi nt setip cd Jdi M memngn M x Keti c d det (MK) SPL homogen pny solsi tnggl. Jdi M es liner.

15 /8/5 5 //5 7:5 Kren M es liner dn memngn M x m M merpn sis gi M x. Ingt Bsis nt setip rng vetor dlh tid tnggl. Contoh : Unt rng vetor dri M x himpnn mtris : jg merpn sisny. //5 7:5 A Vetor ris Vetor olom Misln mtris : dengn meln OBE diperoleh : Perhtin olom-olom pd mtris hsil OBE Bsis Rng Bris & Kolom

16 /8/5 //5 7:5 mtris A mempnyi sis rng olom yit : sis rng ris diperoleh dengn cr Mentrnspose-n terleih dhl mtris A ln OBE pd A t sehingg diperoleh : A //5 7:5 Kolom-olom pd mtris hsil OBE yng memilii st tm ersesein dengn mtris sl (A). Ini errti mtris A terset mempnyi sis rng ris : Dimensi sis rng ris rng olom dinmn rn. Jdi rn dri mtris A dlh.