PELABELAN FUZZY PADA GRAF. Siti Rahmah Nurshiami, Suroto, dan Fajar Hoeruddin Universitas Jenderal Soedirman.

Transkripsi

1 JMP : Volume 6 Nomor, Juni 04, hal. - PELABELAN FUZZY PADA GRAF Siti Rahmah Nurshiami, Suroto, dan Fajar Hoeruddin Universitas Jenderal Soedirman oeytea0@gmail.com ABSTRACT. This paper discusses fuzzy labeling graph and its properties. The properties discussed are fuzzy labeling subgraph, union graph, and fuzzy magic graph. The results showed that the strength of connectedness for pair of vertices in a graph with fuzzy labeling is always greater than or equal to the strength of connectedness for pair of vertices in its subgraph. In addition, union of two graph with fuzzy labeling will form a graph with fuzzy labeling. Meanwhile, on magic labeling there is always a fuzzy bridge on fuzzy magic graph. Keywords: Fuzzy labeling, fuzzy bridge, fuzzy magic graph ABSTRAK. Pada maalah ini, dibahas pelabelan fuzzy dan sifatnya. Sifat terait yang dibahas pada maalah ini adalah pelabelan fuzzy subgraf, gabungan dua graf, dan graf ajaib fuzzy. Hasil menunjuan bahwa euatan eterhubungan sepasang simpul pada sebuah graf dengan label fuzzy selalu lebih besar atau sama dengan euatan eterhubungan sepasang simpul tersebut di subgrafnya. Selain itu, gabungan dua graf dengan label fuzzy aan membentu sebuah graf dengan pelabelan fuzzy. Sementara itu, pada pelabelan yang bersifat ajaib selalu terdapat jembatan fuzzy pada graf ajaib fuzzy. Kata unci: Pelabelan fuzzy, jembatan fuzzy, graf ajaib fuzzy. PENDAHULUAN Perembangan ilmu pengetahuan tida pernah terlepas dari peran serta matematia sebagai alat untu berbagai ilmu pengetahuan. Hal ini disebaban arena matematia dapat diapliasian dalam bidang disiplin ilmu lain dalam mengatasi permasalahan bai dalam bentu perumusan, logia, pemodelan dan metode matematia lainnya. Salah satu poo bahasan dari matematia yang memilii banya terapan sampai saat ini adalah teori graf. Dalam bidang ajian ilmu matematia, graf merepresentasian obje-obje disrit dan hubungan antara objeobje tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyataan obje sebagai simpul, sedangan hubungan di antara obje dinyataan dengan sisi.

2 Siti Rahmah Nurshiami, d Seiring perembangannya, banya teori yang beraitan dengan graf diperenalan sebagai penemuan baru. Salah satu yang menjadi perhatian baru dewasa ini adalah tentang teori graf fuzzy yang merupaan pengembangan dari onsep himpunan fuzzy dan graf lasi. Sejarah perembangan himpunan fuzzy dimulai pada tahun 965 oleh Lotfi A. Zadeh yang mengangat tentang fenomena etidapastian pada situasi ehidupan nyata yang dijelasan dalam eranga matematis. Teori ini lahir aibat banyanya permasalahan yang tida bisa diselesaian hanya dengan himpunan tegas, arena tida semua himpunan yang dijumpai dalam ehidupan sehari-hari terdefinisi secara jelas, misalnya himpunan orang misin, himpunan orang pandai, himpunan orang tinggi, dan sebagainya. Kemudian, Bede (03) mendefinisian himpunan fuzzy sebagai suatu fungsi yang memetaan semua elemen semestanya e dalam interval tutup 0,. Selanjutnya menurut Sunitha (00), pada tahun 973 Kaufmann memperenalan gagasan tentang definisi graf fuzzy yang didasaran pada relasi fuzzy yang diembangan oleh Zadeh. Definisi yang lebih terperinci diberian oleh Rosenfeld pada tahun 975 yang mendefinisian sebuah graf fuzzy dengan himpunan simpul fuzzy dan himpunan sisi fuzzy. Seiring dengan semain banyanya penelitian tentang graf fuzzy maa onsep-onsep dasar teori graf fuzzy banya ditemuan sebagai hasil generalisasi dari teori graf. Di antaranya penelitian yang dilauan oleh Gani dan Subahashini (0) dan Gani, d (04) mengenai pelabelan fuzzy pada suatu graf. Dalam maalah ini aan dibahas mengenai pelabelan fuzzy pada suatu graf beserta sifatnya.. METODE PENELITIAN Metode yang digunaan adalah studi literatur mengenai definisi pelabelan fuzzy yang telah diaji oleh Gani dan Subahashini (0). Adapun langahlangah dalam melauan pelabelan fuzzy pada sebuah graf dasar G adalah dengan memberian fungsi bijetif simpul e himpunan A 0, dan fungsi bijetif himpunan sisi e himpunan B 0,. yang memetaan seluruh himpunan yang memetaan seluruh Selanjutnya, diberian proposisi dan sifat

3 Pelabelan Fuzzy pada Graf 3 yang beraitan dengan pelabelan fuzzy dan contohnya. Dalam penelitian ini juga dibahas mengenai pelabelan fuzzy ajaib beserta sifat dan contohnya. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Definisi. Misal V adalah himpunan simpul ta osong dan E adalah himpunan sisi pada graf G *( V, E ). Pelabelan fuzzy adalah fungsi bijetif dengan e B 0, memetaan simpul di G* e 0, A dan dan, memetaan sisi di G * sedemiian sehingga nilai fungsinya berbeda untu semua titi dan sisi, serta memenuhi ( u, v) ( u) untu setiap u, v V. Contoh Misal diberian graf *(, ) G V E dengan V v, v, v, v 3 4 E ( v, v ),( v, v ),( v, v ),( v, v ),( v, v ). Selanjutnya, diberian fungsi bijetif dan yang mengaitan setiap simpul vx di G* dengan fungsi dan ( v x ) x dan ( vx, vy). Graf G (, ) yang merupaan hasil pelabelan ( x y ) fuzzy dari graf G * dapat direpresentasian dalam Gambar. v 0,056 0,5 0,0 0, 0,5 v 0,077 v 4 0,5 0,04 v 3 0,67 Gambar Graf G (, )

4 4 Siti Rahmah Nurshiami, d Definisi. Misalan graf G (, ) adalah graf dengan pelabelan fuzzy. Graf H (, ) disebut subgraf dengan pelabelan fuzzy dari G jia memenuhi ( u) ( u) untu setiap u V dan ( u, v) ( u, v) untu setiap u, v V. Proposisi 3. Jia H (, ) adalah subgraf dengan pelabelan fuzzy dari G (, ) maa ( u, v) ( u, v) untu setiap u, v V. Buti. Misalan G (, ) adalah sembarang graf dengan pelabelan fuzzy dan H (, ) adalah subgraf dengan pelabelan fuzzy dari G sehingga berlau ( u, v) ( u, v) untu setiap u, v V. Ambil sembarang lintasan di H yang menghubungan titi u dan v dengan panjang lintasan n misalan lintasan ( u v) u, v, v,..., vn, v. Keuatan eterhubungan diantara dua titi u dan v dapat dirumusan sebagai dengan ( u, v) sup ( u, v),,3,... n 3 ( u, v) sup ( u, v ) ( v, v ) ( v, v )... ( v, v), disebut euatan lintasan dengan panjang. Perhatian embali bahwa untu sembarang titi u dan v berlau ( u, v) ( u, v) sehingga diperoleh ( u, v ) ( u, v ), ( v, v ) ( v, v ), ( v, v ) ( v, v ), 3 3 () Aibatnya, ( v, v) ( v, v). n n ( u, v ) ( v, v )... ( v, v) ( u, v ) ( v, v )... ( v, v). n n

5 Pelabelan Fuzzy pada Graf 5 Selanjutnya, 3 ( u, v) sup ( u, v ) ( v, v ) ( v, v )... ( v, v) sup ( u, v ) ( v, v ) ( v, v )... ( v, v) ( uv, ) 3 Kemudian, dengan mensubtitusian pertidasamaan ( u, v) ( u, v) e persamaan () diperoleh ( u, v) sup ( u, v),,3,... sup ( u, v),,3,... ( uv, ) Jadi, terbuti bahwa untu setiap u, v V berlau ( u, v) ( u, v). Proposisi 4. Gabungan dari dua graf dengan label fuzzy G dan G merupaan graf dengan pelabelan fuzzy, jia nilai fungsi untu setiap simpul dan sisi G dan G berbeda. Buti. Misal G (, ) dan G (, ) adalah dua graf dengan pelabelan fuzzy yang memilii nilai fungsi berbeda untu setiap sisi antara G dan G. Dengan demiian, ( u) ( u), ( u ) ( u, v ), ( u, v ) ( u), dan ( u, v ) ( u, v) untu setiap u, v V dan u, v V. Gabungan dari G dan G adalah graf G (, ) dengan ( x), untu x V V ( )( x) ( x), untu x V V mas ( x), ( x) untu x V V dan

6 6 Siti Rahmah Nurshiami, d ( x), untu x E E ( )( x) ( x), untu x E E mas ( x), ( x) untu x E E Selanjutnya, aan dibutian bahwa fungsi adalah fungsi bijetif. Untu membutian sifat injetif, maa harus ditunjuan bahwa jia u v, maa ( u) untu setiap u, vv V. Ambil sembarang u, vv V dengan u v. Terdapat tiga emunginan dalam pengambilan sembarang u, v V V, yani untu u V u, vv V. Jia u V dan v V, maa ( u) ( u) dan vv, untuu V dan vv V, dan sehingga diperoleh ( u). Jiau V dan vv V, maa ( u) ( u) mas, sehingga diperoleh ( u). Jiau, vv V, maa ( u) mas ( u), ( u) mas,

7 Pelabelan Fuzzy pada Graf 7 sehingga diperoleh ( u). Jadi, fungsi bersifat injetif. Selanjutnya, misalan fungsi untu simpul didefinisian V A : V A 0,, dan V V A A A : 0,, :( ) ( ) 0,. Kemudian, aan ditunjuan bahwa bersifat surjetif. Artinya, untu setiap a A selalu terdapat u V V, sehingga ( u) a. Untu a A, selalu terdapat u V sedemiian sehingga ( u) a. Demiian pula untu a A, selalu terdapat u V sedemiian sehingga ( u) a. Dengan demiian, terbuti bahwa bersifat surjetif. Lebih lanjut, arena bersifat injetif sealigus surjetif, maa bijetif. Dengan cara yang sama, aan dibutian bahwa fungsi adalah fungsi bijetif. Untu membutian sifat injetif, maa harus ditunjuan terlebih dahulu bahwa jia ( u, v) ( c, d), maa berlau ( u, v) ( c, d) untu setiap ( u, v),( c, d) E E. Ambil sembarang ( u, v),( c, d) E E dengan ( u, v) ( c, d). Terdapat tiga emunginan dalam pengambilan sembarang ( u, v),( c, d) E E, yani untu ( u, v) ( u, v) ( cd, ) ( cd, ) ( u, v) E dan ( c, d) E maa sehingga diperoleh ( u, v) ( c, d). Untu ( u, v) E dan ( c, d) E E, maa ( u, v) ( u, v) mas ( c, d), ( c, d) ( cd, ) ( cd, )

8 8 Siti Rahmah Nurshiami, d sehingga diperoleh ( u, v) ( c, d). Untu ( u, v),( c, d) E E, maa ( u, v) mas ( u, v), ( u, v) mas ( c, d), ( c, d) ( cd, ) ( cd, ) sehingga diperoleh ( u, v) ( c, d). Jadi, fungsi bersifat injetif. Selanjutnya, fungsi untu sisi didefinisian dengan E B : E B 0,, dan E E B B B : 0,, :( ) ( ) 0,. Kemudian, aan ditunjuan bahwa bersifat surjetif. Artinya, untu setiap b B selalu terdapat ( u, v) E E, sehingga ( u, v) b. Untu b B, selalu terdapat ( u, v ) E sedemiian sehingga ( u, v ) b. Demiian pula untu b B, selalu terdapat u V sedemiian sehingga ( u, v) b. Dengan demiian, terbuti bahwa bersifat surjetif. Lebih lanjut, arena bersifat injetif sealigus surjetif, maa bijetif.selanjutnya, aan ditunjuan bahwa untu setiap u, v V berlau ( )( u, v) ( )( u) ( ). Jia memperhatian asal sisi dari setiap sisi di G, maa terdapat tiga asus berbeda yang harus diselidii, yani untu ( u, v) EE, ( u, v) EE, dan ( u, v) EE. Kasus I: untu ( u, v) EE. Jia memperhatian asal simpul dari setiap sisi di G dengan ( u, v) E E. maa terdapat tiga subasus yani a. untu u, vv V ( )( u, v) ( u, v) ( u)

9 Pelabelan Fuzzy pada Graf 9 b. untu u V V dan vv V ( )( u) ( ) ( )( u, v) ( u) c. untu u, vv V ( )( u) ( ) ( )( u, v) ( u) ( u) ( )( u) ( ) Kasus II: untu ( u, v) EE, Jia memperhatian asal simpul dari setiap sisi di G dengan ( u, v) E E, maa terdapat tiga subasus yani a. untu u, vv V ( )( u, v) ( u, v) ( u) b. untu u V V dan vv V ( )( u) ( ) ( )( u, v) ( u) c. untu u, vv V ( )( u) ( ) ( )( u, v) ( u) ( u) ( )( u) ( ) Kasus III: untu ( u, v) EE Jia memperhatian asal simpul dari setiap sisi di G dengan ( u, v) E E maa hanya terdapat satu emunginan yani untu u, vv V

10 0 Siti Rahmah Nurshiami, d ( )( u, v) ( u, v) ( u, v) Dengan demiian, terbuti bahwa u u v v ( u) ( u) < ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( u) ( ) ( )( u, v) ( )( u) ( ) sehingga graf G juga merupaan graf dengan pelabelan fuzzy. Definisi 5. Graf dengan pelabelan fuzzy pada graf diataan graf ajaib fuzzy jia ( u) ( u, v) memilii nilai onstanta ajaib yang sama untu setiap u, v V yang dinotasian dengan m ( G). 0 Proposisi 6. Jia G setidanya memilii satu jembatan fuzzy. adalah graf dengan pelabelan fuzzy ajaib, maa G Buti. Misal G adalah graf dengan pelabelan fuzzy ajaib. Pilih sebuah sisi ( x, y ) yang memilii label tertinggi dari himpunan V. Dengan demiian, untu setiap simpul u, v V pasti memenuhi ( u, v) ( x, y). Keuatan eterhubungan antara simpul x dan y adalah 3 ( x, y) sup ( x, y), ( x, y), ( x, y)... ( x, y) ( x, y),sup ( x, y) ( y, y),..., sup sup ( x, y ) ( y, y )... ( y, y ) ( xy, ) Selanjutnya, jia sisi ( x, y ) dihilangan sehingga ( xy, ) 0. Misal euatan eterhubungan antara simpul x dan y adalah ' ( x, y) ' ( u, v) untu suatu u, v V, maa

11 Pelabelan Fuzzy pada Graf ' ( x, y) ' ( u, v ) ( xy, ) ( xy, ) Dengan demiian, euatan eterhubungan antara simpul x dan y menjadi lebih ecil dari sebelumnya atau ' ( x, y) ( x, y). Karena penghapusan sisi ( x, y ) pada graf G mengurangi euatan eterhubungan antara simpul x dan y, maa sisi ( x, yadalah ) jembatan fuzzy. Dengan demiian, terbuti bahwa untu sembarang graf ajaib selalu terdapat minimal satu jembatan fuzzy. 4. KESIMPULAN DAN SARAN 4. Kesimpulan Berdasaran hasil dan pembahasan, maa diperoleh esimpulan bahwa pelabelan fuzzy merupaan fungsi bijetif yang memetaan semua simpul dan sisi pada graf dasar G* e himpunan 0, sedemiian sehingga label sisinya selalu lebih ecil dari minimum edua simpul yang bersisian dengannya. Gabungan dari dua graf dengan pelabelan fuzzy merupaan graf dengan pelabelan fuzzy jia semua label simpul dan sisi di edua graf tersebut berbeda. Graf dengan pelabelan fuzzy G ( V, E) diataan graf ajaib fuzzy jia ( u) ( u, v) memilii nilai yang sama untu setiap u, v V. Selalu terdapat jembatan fuzzy pada sembarang graf ajaib fuzzy. 4. Saran Dari hasil penelitian ini, dapat dilauan penelitian lebih lanjut mengenai graf ajaib fuzzy, menentuan formulasi onstanta ajaib fuzzy pada beberapa graf husus, serta membahas apliasi dari pelabelan fuzzy pada sebuah graf.

12 Siti Rahmah Nurshiami, d DAFTAR PUSTAKA Bede, B. (03). Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. New Yor: Springer. Gani, A. N. dan Subahashini, A. R. (0). Properties of Fuzzy Labeling Graph. Applied Mathematical Sciences. 6(70): Gani, A. N. Aram, M. dan Subahashini, A. R. (04). Novel Properties of Fuzzy Labeling Graphs. Journal of Mathematics Sunitha, M. (00). Studies On Fuzzy Graphs. Cochin: Cochin University