KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN

Transkripsi

1 KS Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN

2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui apakah suatu vektor bebas linier atau tak bebas linier Dapat mencari basis dari suatu SPL Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 2 Page 2

3 Independensi Linier Basis & Dimensi RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 3

4 Surabaya, 3 September Tulis di papan Page 4

5 Merentang = spanning Surabaya, 3 September Page 5

6 Surabaya, 3 September Page 6

7 Kombinasi Linier (k.l): w k.l. S = {v 1, v 2, v 3,., v r } jika w = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3. + k r v r k 1, k 2, k 3,., k r terdefinisi /ada nilainya Independensi Linier: S = {v 1, v 2, v 3,., v r } disebut himpunan bebas linier / tidak-bergantung linier (linearly independent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3. + k r v r = 0 adalah solusi trivial k 1, k 2, k 3,., k r = 0 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 7

8 Independensi Linier: S = {v 1, v 2, v 3,., v r } disebut himpunan bebas linier / tidak-bergantung linier (linearly independent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen Dependensi Linier: k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3. + k r v r = 0 adalah solusi trivial k 1, k 2, k 3,., k r = 0 S = {v 1, v 2, v 3,., v r } disebut himpunan tidak-bebas linier / bergantung linier (linearly dependent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3. + k r v r = 0 adalah solusi non-trivial k 1, k 2, k 3,., k r = 0 dan ada k j 0 (j = 1.. r) RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 8

9 Diketahui : himpunan S = {v 1, v 2, v 3,., v r } Ditanyakan: apakah S linearly independent atau linearly dependent? Jawab: 1. Bentuk SPL Homogen k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3. + k r v r = 0 2. Tentukan solusinya 3. Jika solusinya trivial k 1, k 2, k 3,., k r = 0 maka S linearly independent 4. Jika solusinya non-trivial maka S linearly dependent RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 9

10 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 10

11 Ex. 6 hal 235 Surabaya, 3 September Page 11

12 ex. 2 hal 232 Surabaya, 3 September Page 12

13 Ex. 3 hal 233 Surabaya, 3 September Page 13

14 Surabaya, 3 September Page 14

15 Ex. 4 hal 233 Surabaya, 3 September Page 15

16 Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 16 Page 16

17 Basis: V adalah Ruang Vektor S = { v 1, v 2, v 3,, v n } di mana v 1, v 2, v 3,, v n V maka S disebut Basis dari V jika 1. S linearly independent 2. S merupakan rentang (span) dari V RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 17

18 Basis: V adalah Ruang Vektor S = { v 1, v 2, v 3,, v n } di mana v 1, v 2, v 3,, v n V maka S disebut Basis dari V jika 1. S linearly independent 2. S merupakan rentang (span) dari V V disebut Ruang Vektor dengan dimensi berhingga (n) Jika tidak bisa didefinisikan himpunan S (berhingga) yang dapat menjadi basis untuk V, maka V disebut berdimensi tak-hingga Suatu Ruang Vektor bisa mempunyai lebih dari satu basis RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 18

19 Surabaya, 3 September Page 19

20 Surabaya, 3 September Page 20

21 Surabaya, 3 September bilqis Page 21

22 Surabaya, 3 September Page 22

23 Basis Untuk Ruang jawab SPL (1) Surabaya, 3 September Page 23

24 Surabaya, 3 September Page 24

25 Surabaya, 3 September Page 25

26 Surabaya, 3 September Page 26

27 27

28 Basis Untuk Ruang jawab SPL (2) Contoh: Tentukan basis dan dimensi untuk ruang jawab dari SPL berikut: Penyelesaian: X1+2X2+7X3 9X4 +31X5 = 0 2X1+4X2+7X3 11X4 +34X5= 0 3X1+6X2+5X3 11X4 +29x5 = 0 Matriks eselon: Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 28 Page 28

29 Variabeltakbebasx1 danx3 x 2 = t 1 x 4 = t 2 x 5 = t 3 x 3 = t 2 4t 3 x 1 = -2t 1 + 2t 2 3t 3 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (-2t 1 + 2t 2 3t 3, t 1, t 2 4t 3, t 2, t 3 ) = t 1 (-2,1,0,0,0) + t 2 (2,0,1,1,0) + t 3 (-3,0,-4,0,1) Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 29 Page 29

30 Sehingga didapatkan : u u 1 2 = ( 2,1,0,0,0) = (2, 0,1,1, 0) u 3 = ( 3, 0, 4, 0,1) Basis dari RUANG JAWAB Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 30 Page 30

31 Dimensi: V adalah Ruang Vektor S={v1,v2,v3,, vn} basisdariv DimensidariV=n(banyaknyavektordiS) Contoh(1): Dari jawaban SPL soal sebelumnya: u u u = ( 2,1,0,0,0) = (2, 0,1,1, 0) = ( 3, 0, 4, 0,1) Dimensi dari ruang jawab tersebut = 3 (karena terdiri dari 3 vektor) RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 31

32 Contoh(2): tentukan dimensi dan basis dari SPL berikut : 2X1 + 2X2 - X3 + X5 = 0 -X1 - X2+2X3 3X4 +X5 = 0 X1 + X2-2X3 X5 = 0 X3 + X4 + x5 = 0 Penyelesaian: dengan melakukan OBE dan lain-lain didapatkan penyelesaian:x1 = - s -t,x2 = s,x3 = -t, X4 = 0,X5 = t Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 32 Page 32

33 Sehingga vektor penyelesaian bisa dituliskan : = + = = sehingga t s t t t s s t t s t s x x x x x RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 33 2 dim _ = = = ensi basis merupakan maka linier bebas saling karena jawab ruang span v dan u

34 Surabaya, 3 September Page 34

35 Surabaya, 3 September Page 35

36 Teorema Independensi Linear Teorema 1: a. Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tidak satu diantara vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor S lainnya. b. Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam vektor S lainnya. Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 36 Page 36

37 Teorema Independensi Linear Teorema 2: a. Jika semua himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu tak bebas linear. b. Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor tak bebas linear jika dan hanya jika salah satu dari vektor itu adalah perkalian dari skalar lainnya. Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 37 Page 37

38 Teorema Independensi Linear Teorema 3: Misalkan S = {v 1, v 2,..., v r } adalah himpunan vektor-vektor pada R n. Jika r>n, maka S tak bebas linear. Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 38 Page 38

39 Exercises Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 39 Page 39