Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:

Transkripsi

1 Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3., 4. Terdapat 0, disebut elemen nol, sedemikian sehingga 0 + = + 0 =, untuk setiap 5. Untuk setiap terdapat, sedemikian sehingga 0. 6., 7. Terdapat 1, disebut elemen satuan sedemikian sehingga 1 = 1 =, untuk setiap 8. Untuk setiap 0 terdapat, disebut elemen invers (kebalikan) dari, sedemikian sehingga = = 1, Anggota-anggota dari suatu field disebut skalar. Contoh 5.1 : Himpunan F = R = Himpunan bilangan real merupakan field terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. (Mudah ditunjukkan bahaw ke-8 sifat dia atas terpenuhi). 5.2 Ruang Vektor atas suatu Field MIsalkan diberikan suatu himpunan V dan lapangan F. Didefinisikan operasi penjumlahan terhadap elemen-elemen V dan perkalian elemen-elemen V dengan elemen-elemen F ( disebut perkalian skalar). Maka V disebut Ruang Vektor di atas filed F jika terpenuhi sifat-sifat: 1. Jika u,v V, maka u + v V 2. u + v = v + u 1

2 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w 4. Ada 0 V sehingga 0 + u = u + 0 untuk semua u V 5. Untuk setiap u V terdapat u V sehingga u + ( u ) = 0 6. Untuk sembarang skalar k, jika u V maka k u V 7. k ( u + v ) = k u + k v, k 8. (k + l) u = k u + l u, k,l 9. k( l u ) = ( kl ) u u = u Anggota-anggota dari suatu ruang vektor disebut vektor. Istilah vektor disini bersifat umum, bukan semata-mata vektor ilmu ukur seperti uyang dibicarakan di bagian sebelumnya. Jadi setiap himpunan apapun yang memenuhi ke-10 sifat di atas disebut ruang vektor dan anggota-anggotanya disebut vektor. Contoh 5.2: Himpunan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar merupakan ruang vektor. Contoh 5.2: V = himpunan semua polinom berderajat 2 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar merupakan ruang vektor. Contoh 5.3 : Himpunan semua matriks 2 x 2 berbentuk 0 dengan operasi 0 penjumlahan dan perkalian skalar merupakan ruang vektor. Sedangkan himpunan semua matriks 2 x 2 berbentuk 1 dengan operasi penjumlahan dan perkalian 1 skalar bukan ruang vektor. 5.3 Ruang Bagian Misalkan V ruang vektor, dan W V, W. Misalnya dengan sifat tertentu,w memenuhi sifat-sifat ruang vektor, sehingga merupakanruang vektor juga, maka W disebut sebagai ruang vektor bagian( subspace) dari V. Kadang-kadang disebut dengan ruang vektor di V, atau ruang bagian dari V. 2

3 Selanjutnya untuk memeriksa apakah W V, dengan W, merupakan ruang bagian, cukup diperiksa: 1. Untuk setiap u, v W maka haruslah u + v W. 2. Untuk setiap skalar k maka haruslah ku W Jika kedua sifat di atas dipenuhi maka W adalah sub ruang dari V. Contoh 5.4: Himpunan titik-titik di bidang XOY merupakan subruang dari R. Untuk memeriksa kebenarannya, perhatikan bahwa: 1. Ambil u = (,,0 dan v = (,,0, maka u + v =,,0 2. Untuk sembarang skalar k dan u = (a,b,0), maka ku = (ka, kb,0). Jadi terbukti XOY subruang dari R. Contoh 5.5: Misalakan M 22 = himpunan semua matriks berukuran 2 x 2 dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian skalar. Maka Himpunan semua matriks 2 x 2 berbentuk 0 dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar 0 merupakan sub ruang dari M Kombinasi Linier Suatu vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor,,, jika v dapat dinyatakan dengan dimana.,, skalar. v =, Contoh 5.6: Vektor v = (5,0,9) merupakan kombinasi linier dari vektor 2,1,5 dan 1,2,1 karena v dapat dinyatakan sebagai v = 2. 3

4 Untuk menunjukkan bahwa suatu vektor v merupakan kombinasi dari vektorvektor,,,, kita perlu mencari apakah ada skalar,,, sehingga v =. Misalnya pada contoh 5.6 di atas, ada 2 dan 1 sehingga v = 2. Darimana diperoleh 2 dan 1 adalah sebagai berikut. Tulis, v = 5,0,9 2,1,5 1,2,1 2,,5,2, 2, 2,5 Diperoleh SPL, Masalah selanjutnya adalah menentukan solusi dari SPL di atas. Menggunakan metode yang pernah dipelajari pada bagian sebelumnya, diperoleh solusi SPL ini adalah 2 dan 1. Contoh 5.6: Tunjukkan bahwa v = (3,1,4) bukan merupakan kombinasi linier dari vektor 1,2,3, 2,2,6, dan 1,3, 3. Penyelesaian : Perhatikan bahwa, v = 4

5 3,1,4 1,2,3 2,2,6 1,3, 3,2,3 2,2,6,3,3 2,2 2 3,3 6 3 Diperoleh SPL, Dengan OBE, SPL menjadi Yang merupakan SPL yang tidak konsisten (tidak punya solusi). Jadi tidak ada., sehingga v =. Jadi v = (3,1,4) bukan merupakan kombinasi linier dari vektor 1,2,3, 2,2,6, dan 1,3, Himpunan Perentang Himpunan vektor,,, di dalam suatu ruang vektor V dikatakan merentang atau membangun V jika untuk setiap v di dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari,,,, yaitu v =, untuk setiap v di dalam V. Selanjutnya himpunan semua kombinasi linier dari,,, disebut subruang yang dibangun atau direntang oleh,,,. Sedangkan vektor,,, disebut perentang atau pembangun. Contoh 5.7: Vektor-vektor 1,0,0, 0,1,0, dan 0,0,1 merentang R. Mudah ditunjukkan bahwa setiap vektor (a,b,c) di dalam R dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari,,, yaitu 5

6 ,, 1,0,0 0,1,0 0,0,1. Pembangun tidaklah tunggal, misalnya vektor-vektor 1,1,0, 0,1,1, dan 1,0,0 juga merentang R (tunjukkan!). Contoh 5.8: Tunjukkan bahwa vektor-vektor 1,2,3, 2,2,6, dan 1,3, 3 tidak membangun R. Penyelesaian: Ambil sembarang vektor v =,, R. Masalahnya adalah adakah skalar,, sehingga v =. Perhatikan, v =.,, 1,2,3 2,2,6 1,3, 3,2,3 2,2,6,3,3 2,2 2 3,3 6 3 Diperoleh SPL, Dengan OBE, SPL menjadi

7 Yang merupakan SPL yang tidak konsisten (tidak punya solusi), artinya tidak ada., sehingga v =. Jadi 1,2,3, 2,2,6, dan 1,3, 3 tidak membangun R. Alternatif lain untuk menunjukkan bahwa SPL non homogen tidak konsisten adalah dengan memperhatikan determinan matriks kooefisen dari SPL tersebut. SPL AX = B (dengan A matriks persegi), akan konsisten jika A punya invers. Matriks A punya invers jika det(a) 0. Jadi jika det (A) = 0, maka SPL tidak konsisten. Dengan demikian SPL pada contoh 5.8 dapat diketahui konsisten atau tidaknya dengan menghitung determinan matriks koefisiennya, yaitu: Det Karena determinan matriks koefisiennya sama dengan nol, maka SPL tidak konsisten. 5.5 Kebebasan linier Himpunan vektor,,, dikatakan bebas linier jika kombinasi linier 0 =, Hanya terpenuhi oleh skalar 0. Jika tidak demikian maka,,, dikatakan bergantung linier. Contoh 5.9: Vektor-vektor 1,2,3, 2,2,6, dan 1,3, 3 tidak bebas linier (bergantung linier), karena 0 = 0,0,0 1,2,3 2,2,6 1,3, 3 7

8 ,2,3 2,2,6,3,3 2,2 2 3,3 6 3 Diperoleh SPL homogen, SPL homogen akan mempunyai solusi nontrivial (SPL punya tak hingga banyak solusi) jika determinan matriks koefisiennya nol. Perhatikan bahwa SPL homogen pada contoh 5.9 ini mempunyai matriks koefisien sama dengan contoh 5.8, dan telah ditunjukkan bahwa determinan matriks koefisiennya nol. Jadi SPL homogeny pada contoh 5.9 ini punya solusi nontrivial. Dengan kata lain 0 =, tidak hanya dipenuhi oleh 0. Dengan demikian vektor 1,2,3, 2,2,6, dan 1,3, 3 tidak bebas linier (bergantung linier). Contoh 5.10: Tunjukkan bahwa vektor 1, 2, 1, 4,3,1 bebas linier. 3,1,4, dan Penyelesaian: Harus ditunjukkan bahwa 0 = hanya dipenuhi oleh 0. Perhatikan, 0 = 0,0,0 1, 2, 1 3,1,4 4,3,1,2, 3,,4 4,3, 3 4,2 3, 4 8

9 Diperoleh SPL homogen, SPL ini ekuivalen dengan (Gunakan OBE), Ekuivalen dengan SPL, Dengan substitusi mundur, diperoleh solusi trivial, 0. Dengan demikian vektor 1, 2, 1, merupakan vektor-vektor yang bebas linier. 3,1,4, dan 4,3,1 Untuk menunjukkan bahwa SPL homogen pada contoh 5.10 punya solusi trivial, dapat dilakukan dengan menunjukkan bahwa determinan matriks koefisien SPL homogen tersebut tidak sama dengan nol. Perhatikan bahwa, Det Basis Misalkan V ruang vektor, dan S =,,, di dalam V dikatakan basis bagi ruang vektor V jika : 9

10 (i) (ii) S membangun V S bebas linier Selanjutnya banyaknya vektor dalam suatu basis dinamakan dimensi. Contoh 5.12 : Tunjukkan bahwa vektor-vektor 1, 2, 1, 3,1,4, dan 4,3,1 merupakan basis bagi R. Jawab: Harus ditunjukkan bahwa 1, 2, 1, membangun R dan bebas linier. 3,1,4, dan 4,3,1 (i) Ambil sembarang vektor v =,, R. Akan ditunjukkan ada skalar,, sehingga v =.,, 1, 2, 1 3,1,4 4,3,1,2, 3,,4 4,3, 3 4,2 3, 4 Diperoleh SPL, Harus ditunjukkan bahwa SPL ini konsisten. Menggunakan OBE diperoleh, Atau

11 Terlihat bahwa SPL ini punya solusi. Jadi 1, 2, 1, 3,1,4, dan 4,3,1 membangun R. Perlu dicatat bahwa kita tidak perlu mendapatkan siapa skalar,,, yang penting disini adalah bahwa,, ada. (ii) 1, 2, 1, 3,1,4, dan 4,3,1 bebas linier sudah kita tunjukkan pada contoh Jadi 1, 2, 1, 3,1,4, dan 4,3,1 adalah suatu basis bagi R. Dari contoh-contoh di atas, perhatikan bahwa untuk menunjukkan bahwa vektor vektor,, merentang R diperoleh SPL nonhomogen dan untuk menunjukkan,, bebas linier diperoleh SPL homogen. Kedua SPL ini mempunyai matriks koefisien yang sama. Selanjutnya perhatikan bahwa untuk menunjukkan bahwa,, merentang R dan bebas linier dapat dilakukan secara sekaligus dengan menunjukkan bahwa determinan matriks koefisiennya tidak sama dengan nol. Silakan anda coba soal latihan. Soal latihan : 1. Tunjukkan bahwa M 22 = himpunan semua matriks berukuran 2 x 2, terhadap operasi penjulahan matriks dan perkalian skalar merupakan ruang vektor! 2. Manakah yang merupakan sub ruang dari M 22 terhadap operasi penjulahan matriks dan perkalian: (i) M 1,, skalar 0 (ii) M 2 1, skalar 0 3. Manakah yang bebas linier: (i) 2,6,2, 3,1,2, dan 8,16,3 11

12 (ii) 1,2,3, 4,5,6, dan 0, 1, 2 4. Tentukan a dan b agar vektor-vektor berikut bebas linier (i) 4,5,1, 3,0,2, dan, 10,9 (ii) 1,2,3,, 0,0, dan 0,, 1 5. Manakah yang merupakan basis bagi R 2 : (i) 1,1, 2,3 (ii) 1,1, 2,3, dan 3,1 6. Manakah yang merupakan basis bagi R 3 (i) 1,2,3, 1,2, 1, dan 3, 1,0 (ii) 4,2, 1, 2,1,5, dan 4,1,10 12