BAB 3 RUANG BERNORM-2

Transkripsi

1 BAB RUANG BERNORM-. Norm- dan Ruang ` De nisi. Misalan V ruang vetor atas R berdimensi d (dalam hal ini d boleh ta hingga). Sebuah fungsi ; V V! R yang memenuhi sifat-sifat beriut;. x; y 0 ia dan hanya ia x; y bergantung linear. x; y y; x. x; y x; y untu setia R 4. x + y; z x; z + y; z disebut norm- ada V. Pasangan (V; ; ) disebut ruang bernorm-. Teori tentang norm- ertama ali dierenalan oleh Gähler ada ertengahan 960-an (lihat []). Contoh ruang bernorm- adalah R yang dilengai dengan norm- x; y det 4 x x y y Di ruang ` dengan ada dua versi norm-. Yang ertama adalah 9 x; y g(x) g(y) ; su f;g(`) 0 f;g Norm- x; y dierenalan oleh S. Gähler tahun 969 (lihat []). Belum banya sifat yang dietahui tentang norm- x; y. Versi lain norm- untu ruang ` dengan dierenalan oleh H. Gunawan tahun 00 (lihat []) yaitu x; y 4 X X det 4 x x y y

2 Pende nisian Norm- x; y diinsirasi oleh observasi terhada norm- bau di ruang ` (lihat []), yaitu x; y s 4 det hx; xi hx; yi 4 hx; yi hy; yi (.) Pende nisian tersebut bisa dilauan arena ` adalah Ruang Hilbert atau Ruang Hasil Kali Dalam yang lenga. Sementara itu, ` dengan 6 tida memunyai hasil ali dalam sehingga norm- tida bisa dide nisian seerti (??). Gunawan (lihat []) membutian bahwa norm- bau di ` daat ditulis sebagai Pada saat yang sama, norm x; y x; y 4 X X det 4 x x y y su z;w` z;w versi Gähler daat ditulis sebagai 9 X X x x z z ; Ketiga norm- di ruang ` tersebut adalah sama, yaitu y y w w untu setia x; y `. x; y s x; y x; y. Sifat-Sifat Norm- ; Sifat-sifat norm- x; y yang aan digunaan untu mencari hubungan antara norm- x; y dengan norm- x; y adalah sebagai beriut. Butinya lihat di [] Lemma. Untu setia x; y ` berlau etasamaan x; y x y Tanda s ecil di atas hanya untu menyataan norm bau dan membedaan dengan norm versi Gunawan. Buti lihat di srisi Tyas Rangga (00), Program Studi S Matematia ITB.

3 Seerti di ruang bernorm ; di ruang V yang dilengai dengan norm- ; dide nisian uga tentang barisan onvergen dan barisan Cauchy. De nisi eonvergenan barisan beriut euivalen dengan de nisi eonvergenan yang ada di [] De nisi. Barisan x n di (V; ; ) diataan onvergen e x V ia untu setia " > 0 terdaat N N sedemiian sehingga untu setia n N dan y V berlau x n x; y ". Barisan x n di (V; ; ) diataan Cauchy ia untu setia " > 0 terdaat N N sedemiian sehingga untu setia m; n N dan y ` berlau x n x m ; y ". Teorema.4 Suatu barisan di ` onvergen dalam norm- ; ia dan hanya ia onvergen dalam. Serua dengan hal tersebut, suatu barisan di ` Cauchy dalam norm- ; ia dan hanya ia Cauchy dalam norm De nisi. Ruang (V; ; ) diataan ruang Banach- ia setia barisan Cauchy di V onvergen dalam norm- ;. Ahirnya, hasil enting tentang norm- ; di ruang ` adalah teorema beriut. Teorema.6 Ruang `; x; y adalah ruang Banach. Sifat-Sifat Norm- ; Teorema lain yang dierluan untu mengelorasi sifat-sifat norm- ; dan mencari hubungan antara norm- x; y dengan norm- x; y adalah etasamaan Hölder untu deret ganda. Teorema.7 Untu setia x; y ` dan z; w `q dengan + ; berlau q P P det 4 x x y y det 4 z z w w x; y z; w q Buti. Untu x; y bergantung linear atau z; w bergantung linear, maa ruas iri dan ruas anan sama dengan 0. Jadi, ernyataan benar. Selanutnya untu x; y

4 4 bebas linear dan z; w bebas linear, ilih deret P P det 4 a a dan P P b b det 4 c c d d sedemiian sehingga P P det 4 a a b b dan P P det 4 c c d d q Berdasaran etasamaan bantu + q q, maa det 4 a a b b det 4 c c d d det 4 a a b b + q det 4 c c d d q Kemudian didaat P P det 4 a a b b det 4 c c d d Pilih det 4 a a b b det 4 x x y y ; untu setia ; ; ; x; y dan det 4 z z w w det 4 z z w w ; untu setia ; ; ;, z; w q maa atau P P det P P det 4 a a b b det 4 z z w w x; y z; w q 4 x x y y det 4 z z w w x; y z; w q

5 Teorema. Untu setia x; y ` berlau x; y x; y Buti. Berdasaran Teorema Reresentasi Riesz, terdaat z; w `q dengan z q f dan w q g sehingga P P g(x) g(y) x z y z P P X x w y w Dengan cara yang sama didaat, g(x) g(y) X X z w x y x y X X z w X z w x y x y x y x y (.) (.) Kemudian (??) dan (??) diumlahan, maa di daat X X (z w z w ) g(x) g(y) X X z w x z w x x x y y y y Jadi, f(x) g(x) f(y) g(y) X X Kita gunaan etasamaan Holder untu deret ganda, maa g(x) g(y) z; w q x; y z w z w x y x y (.4) Berdasaran Lemma., z q f dan w q g, maa didaat sehingga Aibatnya, su f;g(`) 0 f;g f(x) g(x) z; w q q zq w q q f(y) g(y) f(x) g(x) 4 X X det 4 x y x y f(y) g(y) 9 ; 4 X X det 4 x y x y

6 6 atau x; y x; y Berdasaran (??), norm- versi Gähler daat uga ditulis sebagai 9 x; y X X z z x x ; su z;w`q z;w Aibat.9 Untu setia x; y ` berlau etasamaan w w y y x; y x y Buti. Berdasaran Teorema. dan Lemma., maa didaat x; y x; y x y x y Aibat.0 Suatu barisan di ` onvergen dalam norm- ; ia onvergen dalam norm Serua dengan hal tersebut, suatu barisan di ` Cauchy dalam norm- ; ia Cauchy dalam norm Teorema. Suatu barisan di ` onvergen dalam norm ia onvergen dalam norm- ; Buti. Misalan x (n) onvergen e x ` dalam norm- ;, maa untu setia " > 0 terdaat N N sedemiian sehingga untu setia n N dan y ` berlau x (n) x; y " atau su z;w`q z;w X X x (n) x x (n) x y y z w z w 9 ; " Ini berarti X X x (n) x x (n) x y y z w z w ",

7 untu setia z; w `q yang memenuhi z ; w Pilih y (; 0; 0; ) `, z (z ; z ; ) `q, dengan z sgn(x (n) x )x (n) x x(n) x dan w (; 0; 0; ) `q, maa 7 X x (n) x (.) x (n) x Jia ita ilih y (0; ; 0; ) `, z ( sgn(x (n) x )x (n) x ; 0; 0; ) dan w (0; ; 0; 0; ), maa Kemudian (??) dan (??) diumlahan, maa didaat x(n) x x (n) x x (n) x " (.6) X x (n) x x (n) x " x (n) x " Ini menunuan bahwa x (n) onvergen e x dalam norm Diagram beriut meruaan ranguman dari hasil-hasil di atas. Keonvergenan di ; Keonvergenan di ; & % Keonvergenan di Teorema. Suatu barisan di ` Cauchy dalam norm ia Cauchy dalam norm- ; Buti. Serua dengan Teorema., hanya mengganti alimat onvergen e x dengan Cauchy dan x (n) x dengan x (n) x (m). Hasil utama ada bagian ini adalah teorema beriut. Teorema. Ruang (`; ; ) adalah ruang Banach-. Buti. Misalan x (n) barisan Cauchy di ` terhada norm- ;. Berdasaran Teorema., x (n) barisan Cauchy dalam norm. Karena ` adalah lenga terhada norm ; maa x (n) onvergen e suatu x ` dalam norm. Kita gunaan Aibat.0, maa x (n) onvergen e suatu x ` dalam norm ;. Ini membutian bahwa (`; ; ) adalah ruang Banach-.

8 .4 Hubungan Norm- ; dengan Norm- ; Hubungan Norm- ; dengan Norm- ; di ruang ` daat dietahui dengan mende nisian euivalensi norm n di suatu ruang vetor. Seerti di Bab, de nisi dua buah norm- euivalen ada suatu ruang vetor diberian sebagai beriut. De nisi.4 Dua buah norm- ; a dan ; b ada ruang bernorm- V adalah euivalen ia dan hanya ia terdaat ; > 0 sehingga x; y a x; y b x; y a untu setia x; y V Aibat. Jia ; a dan ; b dua buah norm suatu barisan x n di V onvergen dalam norm onvergen dalam norm ; b Dua buah norm yang euivalen di V, maa ; a ia dan hanya ia x n di suatu ruang vetor yang memberian eonvergenan yang sama disebut euivalensi lemah. Berdasaran Teorema., eonvergenan dalam norm ; mengaibatan eonvergenan dalam norm ;. Selain itu, berdasaran diagram, eonvergenan dalam norm ; mengaibatan eonvergenan dalam norm ; Hal ini berarti norm ; euivalen lemah dengan norm ;. Pertanyaan aaah norm- ; euivalen dengan norm- ; hingga saat ini masih belum terawab.