Part III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti

Transkripsi

1 Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti

2 Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS) dan tanda (MINUS)? Tanda + (PLUS) pada Pada permutasi (1,2), tidak terjadi inversi (bilangan yang lebih besar mendahului yang lebih kecil). 0 (genap) inversi) Permutasi (2,1) genap tanda permutasi + (plus). Tanda (MINUS) pada Pada permutasi (2,1) terjadi 1 (ganjil) inversi yaitu 2 mendahului 1. Permutasi (2,1) ganjil tanda permutasi (minus).

3 Bagaimana dengan matriks??

4 Determinan Determinan matriks A n n = Jumlahan n! hasil kali elementer bertanda. Bentuk hasil kali elementer bertanda : ±a 1j1 a 2j2 a njn + (PLUS) jika (j 1, j 2,, j n ) merupakan permutasi genap - (MINUS) jika (j 1, j 2,, j n ) merupakan permutasi ganjil

5 Khusus untuk matriks ukuran 3x3 ATURAN SARRUS Det (A)=

6 Sifat Determinan Jika matriks A memuat baris atau kolom nol, maka Det(A)=0. Det A = Det(A T ) Jika A n n merupakan matriks yang berbentuk diagonal atau segitiga (bawah atau atas) maka Det A = a 11 a 22 a nn, yaitu sama dengan perkalian entri-entri diagonal utamanya.

7 Determinan dan Operasi Baris Elementer (OBE) Misalkan A matriks berukuran nxn. Jika A adalah matriks yang diperoleh dengan cara mengalikan baris ke-i dari A dengan skalar k 0 maka Det A = kdet(a). Jika A adalah matriks yang diperoleh dengan cara menukar baris ke-i dengan baris ke-j dari A maka Det A = Det(A).

8 OBE ke-3 tidak mengubah determinan!! Jika A adalah matriks yang diperoleh dengan cara menambahkan k kali baris ke-i dari A pada baris ke-j dari A maka Det A = Det(A).

9 Menghitung determinan matriks dengan OBE?? Matriks OBE ke-3 (tidak mengubah determinan) matriks segitiga atas (bawah) Determinan sama dengan perkalian entri-entri diagonal utamanya.

10 Sifat Determinan Untuk sebarang matriks-matriks bujursangkar A n n berlaku A invertibel jika dan hanya jika Det(A) 0 Untuk sebarang matriks-matriks bujursangkar A n n dan B n n Det AB = Det A Det B Jika A invertibel maka Det(A 1 ) = 1 Det(A)

11 Menghitung determinan matriks dengan Ekspansi Kofaktor Untuk Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-1!!

12 Minor dan kofaktor Misalkan A matriks berukuran nxn. Minor elemen a ij, dinotasikan dengan M ij adalah determinan submatriks berukuran (n-1)x(n-1) yang diperoleh dengan cara menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari A. Kofaktor elemen a ij, dinotasikan dengan C ij didefinisikan sbb: C ij = ( 1) i+j M ij

13 Example Let

14 Menghitung Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Misalkan A matriks bujursangkar. Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara: Ekspansi sepanjang baris ke-i, 1 i n Det A = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in Ekspansi sepanjang kolom ke-j, 1 j n Det A = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj

15 Menghitung Determinan Matriks (besar) secara Efektif Gunakan kombinasi OBE dan ekspansi kofaktor Kerjakan OBE ke-3 (tidak mengubah determinan) pada matriks Diperoleh matriks dengan baris atau kolom yang memuat nol sebanyak mungkin Misalkan baris ke-i (atau kolom ke-j) memuat nol sebanyak mungkin Hitung determinan dengan ekspansi sepanjang baris ke-i (atau sepanjang kolom ke-j)

16 Contoh Dengan ekspansi sepanjang baris ke-1

17 Dengan OBE ke-3

18 Adjoin Matriks SIFAT : Misalkan A matriks bujursangkar. Perkalian entri-entri baris ke-i dari A dengan kofaktor-kofaktor elemen dari baris ke i : SAMA DENGAN DET(A) jika i = j SAMA DENGAN NOL jika i i Jadi, dan a i1 C i 1 + a i2 C i a inc in = Det(A) a i1 C i 1 + a i2 C i a inc in = 0 jika i = i jika i i

19 Yang dimaksud dengan matriks Kofaktor A n n adalah : dengan C ij merupakan kofaktor elemen a ij untuk setiap i, j = 1,2,, n. Yang dimaksud dengan matriks ADJOIN A n n adalah :

20 MENENTUKAN INVERS MATRIKS dengan matriks Adjoin Misalkan A matriks bujursangkar yang invertibel (yaitu, jika dan hanya jika Det(A) 0). Invers matriks A dapat ditentukan sbb : A 1 = 1 Det A Adj(A)

21 ATURAN CRAMER untuk menentukan solusi SPL Misalkan AX = B merupakan SPL dengan n persamaan dan n variabel x 1,, x n dengan Det(A) 0. Maka solusi SPL tersebut dapat ditentukan dengan Aturan CRAMER sbb : x 1 = Det(A 1),, x Det(A) i = Det A i Det A,, x n = Det(A n) Det(A) dengan matriks A i, i = 1,2,, n adalah matriks yang diperoleh dengan cara mengganti kolom ke-i dari A dengan matriks kolom B.