SUATU KLAS BILANGAN BULAT DAN PERANNYA DALAM MENGKONSTRUKSI BILANGAN PRIMA

Transkripsi

1 SUATU KLAS BILANGAN BULAT DAN PERANNYA DALAM MENGKONSTRUKSI BILANGAN PRIMA I Nengah Suparta dan I. B. Wiasa Jurusan Pendidian MatematiaUniversitas Pendidian Ganesha isuparta@yahoo.com ABSTRAK: Misalan S > 1 sebuah bilangan bulat positif dan s 1, s 2,, s adalah semua fator positif dari S, dengan s i < S, untu semua i, 1 i. Pada tulisan ini fator-fator ini aan disebut sebagai fator sejati dari S. Pada tulisan ini aan dibahas bilangan-bilangan bulat positif S yang mempunyai sifat bahwa jumlah dari semua fator sejati dari S,, merupaan suatu Bilangan yg bersifat seperti ini dinamaan bilangan sumprime. Ditemuan bahwa elas bilanganbilangan ini terait dengan prima-prima Merssenne. Lebih jauh, ita menurunan beberapa fata yang menghubungan las bilangan ini dengan onstrusi bilanganbilangan Hasil ini menawaran suatu alternatif untu memperoleh bilangan Kata-ata unci: Bilangan prima, fator sejati, bilangan sumprime Teori bilangan adalah suatu topi yang berumur sangat tua yang merupaan salah satu fondasi dari perembangan matematia. Jia matematia dianggap sebagai ratunya ilmu pengetahuan, teori bilangan adalah ratunya matematia (Carl Friedrich Gauss in Long (1966)). Pernyataan ini bermana bahwa teori bilangan merupaan suatu ajian yang sangat penting bagi perembangan matematia. Ada banya topi menari dalam matematia yang bermula hanya dari pertimbangan teoreti, dan pada ahirnya menemuan sisi terapannya. Seperti contohnya ajian mengenai bilanganbilangan Bilangan-bilangan prima merupaan topi menari arena sifat uninya, yaitu bilangan yang mempunyai tepat 2 fator; 1 dan bilangan itu sendiri. Aan tetapi, belaangan orang mengetahui bahwa peran bilangan prima sangat penting dalam tenologi omuniasi dan informasi atau riptografi. Seja itu emudian banya matematisi berlomba untu menyelidii sifat-sifat penting lainnya dari bilangan prima yang dapat mengarahan pada pengonstrusian bilangan-bilangan prima besar. Aan tetapi di sisi lain, ada juga ditemuan beberapa topi yang sampai saat ini belum menemuan wilayah apliasinya walaupun onsepnya telah diperenalan dan dipelajari dari seja dahulu ala. Bilangan sempurna yag didefinisian sebagai bilangan yang mempunyai sifat bahwa jumlah dari semua fator positifnya sama dengan dua ali bilangan itu sendiri, sampai saat ini belum menemuan apliasi yang luar biasa. Aan tetapi, terlepas dari epentingan pratis, seelompo orang masih terus berjuang eras untu mengungap misteri-misteri dibali teori tentang bilangan sempurna. Beberapa pertanyaan seperti: adaah bilangan sempurna ganjil? atau apaah banyanya bilangan sempurna berhingga 865

2 Suparta dan Wiasa, Suatu Klas Bilangan Bulat, 866 atau tida berhingga?, adalah pertanyaanpertanyaan yang menari. Hal ini menggambaran bahwa pentingnya matematia tida melulu harus bersandar pada sudut pandang pratis. W. F. White dalam Long (1966) menyebutan: He must be a practical man who can see no poetry in mathematics. Pada tulisan ini diperenalan suatu las dari bilangan-bilangan bulat positif yang mempunyai sifat bahwa jumlah dari fator-fator sejatinya sama dengan suatu bilangan Ditemuan bahwa bilangan-bilangan dari las ini ternyata berhubungan erat dengan onstrusi bilangan-bilangan Bagian beriut dari tulisan ini aan membahas tentang definisi-definisi dasar, notasi-notasi, serta teori-teori dasar, yang detailnya aan disajian pada Bagian II. Hasil-hasil studi dan pembahasannya aan diuraian pada Bagian III. Selanjutnya, pada Bagian IV aan dipaparan beberapa catatan dan simpulan. Perlu disampaian bahwa pada seluruh isi tulisan ini sebutan bilangan prima nantinya sering hanya disebut prima saja. KAJIAN PUSTAKA Bagian ini aan dimulai dengan mendefinisian pengertian fator sejati dari suatu bilangan bulat positif. Sebuah bilangan positif d diataan merupaan sebuah fator sejati dari suatu bilangan bulat positif n, jia n habis dibagi oleh d dan d < n. Berdasaran definisi ini, bilangan bulat 1 selalu merupaan fator sejati dari sebarang bilangan bulat yang lebih dari 1. Beriut ini adalah fungsi yang sangat dienal dalam matematia yang dinamaan sebagai fungsi sigma, yang dinotasian dengan. Fungsi sigma ini merelasian suatu bilangan bulat positif n dan jumlah dari semua fator positifnya. Jia n adalah suatu bilangan bulat positif dan d adalah sebarang fator dari n (termasu n sendiri), maa (n) didefinisian sebagai. Sebagai contohnya, (6) , dan (8) Dietahui bahwa jia suatu bilangan bulat positif n memenuhi sifat (n) 2n, maa n disebut suatu bilangan sempurna (perfect number). Jadi, 6 adalah sebuah contoh dari bilangan sempurna, arena (6) Sebagaimana disebutan pada setion sebelumnya, tulisan ini secara utamanya aan membahas suatu las bilangan dari bilangan-bilangan bulat positif yang memenuhi sifat bahwa jumlah dari semua fator sejatinya sama dengan suatu Bilangan-bilangan seperti ini aan dinamaan bilangan sumprime. Jadi, jia n adalah sebuah bilangan sumprime, maa (n) n adalah suatu Sebagai contohnya, 4 adalah bilangan sumprime arena jumlah dari fator-ftor sejatinya, (4) merupaan Bilangan 8 juga merupaan suatu bilangan sumprime arena (8) adalah Aan tetapi, 6 buan bilangan sumprime arena (6) buan merupaan Mudah diamati bahwa bilangan-bilangan sumprime tida dapat merupaan bilangan prima, arena jia p adalah sebuah prima maa (p) p 1 yang buan sebuah Bagian ini aan ditutup dengan teorema beriut yang buti rincinya dapat ditemuan dalam beberapa buu teori bilangan elementer. Teorema 2.1 Jia n p 1 p 2 p, dimana p 1, p 2,, p adalah buah prima berbeda, maa (n) (p 1 p 2 p 1 ) + p (p 1 p 2 p 1 ).

3 867, KNPM V, Himpunan Matematia Indonesia, Juni 2013 Proof. Karena p 1 p 2 p adalah primaprima dan p i p j untu semua i j, diperoleh (p 1 p 2 p 1 p ) (p 1 p 2 p 1 ) (p ) (p 1 p 2 p 1 ) (p 1 p 2 p 1 ) (p 1 p 2 p 1 ) + p (p 1 p 2 p 1 ). HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil-hasil menari yang diperoleh beraitan dengan las bilangan sumprime adalah hubungannya dengan onstrusi bilangan-bilangan Teorema 3.1 dan hanya jia p adalah sumprime jia p 1 p 1 adalah prime. Sebelum membutian teorema di atas, diingatan bahwa jia p 2 dan 2 1 adalah prima, maa ita berurusan dengan prima-prima Merssene. Kasus husus ini aan diformulasian sebagai sebuah aibat (corollary) dari teorema ini. Lebih jauh, sebagaimana dinyataan sebelumnya, dapat diamati bahwa teorema ini menyodoran suatu cara untu menghasilan bilangan-bilangan Buti. Amati bahwa ( ). Oleh arena itu diperoleh bahwa p 1 p 1 adalah prima jia dan hanya jia ( ) juga Dengan menggunaan Teorema 3.1 diperoleh bahwa adalah bilangan sumprime arena 2801 merupaan sebuah 2 adalah sumprime jia Aibat 3.2 dan hanya jia 2 1 adalah prima, untu suatu bilangan bulat positif. Teorema 3.3 Misalan p dan q merupaan bilangan-bilangan prima berbeda. Maa, pq adalah sumprime jia dan hanya jia p + q + 1 adalah Proof. Perhatian bahwa arena p dan q adalah prima-prima berbeda, maa diperoleh pq pq 1 p q pq pq 1 p q. Itu berarti, (pq) pq prima jia dan hanya jia p + q +1 Sebagai contoh, 11 dan 31 adalah primaprima berbeda dan adalah Berdasaran pada teorema di atas didapatan bahwa adalah sumprime. Catat bahwa 1 + p + q (p) + q( (p) p). Dengan menggunaan espresi yang serupa, Theorem 3.3 dapat diperumum menjadi teorema beriut ini. Teorema 3.4 Misalan p, q, r, merupaan prima-prima berbeda. Maa, pqr adalah sumprime jia dan hanya jia (pq) + r( (pq) pq) adalah Buti. Perhatian bahwa (pqr) pqr 1 + p + q + r + pq + pr + qr + pqr pqr 1 + p + q + pq + r(1 +p + q) (pq) + r( (pq) pq). Searang jelas bahwa (pqr) pqr prima jia dan hanya jia (pq) + r( (pq) pq)

4 Suparta dan Wiasa, Suatu Klas Bilangan Bulat, 868 Dengan meniru pembutian dari teorema ini, hasil di atas dapat diperumum sebagaimana diformulasian beriut ini. Teorema 3.5 Misalan p 1, p 2,, p adalah buah prima berbeda. Maa, p 1 p 2 p adalah sumprime jia dan hanya jia (p 1 p 2 p 1 ) + p ( (p 1 p 2 p 1 ) p 1 p 2 p 1 ) adalah Buti. Dengan menggunaan Theorem 2.1 pada Bagian II, Teorema 3.5 ini dapat dibutian segera. Teorema 3.6 Misalan p dan q merupaan dua prima berbeda, dan misalan t dan merupaan bilanganbilangan bulat positif. Maa, hasil ali p l p adalah sumprime, jia dan hanya jia ( ) ( ) adalah Buti. Untu bilangan-bilangan prima berbeda p dannd q diperoleh bahwa (p l q ) p l q p l q ( ) ( ) Berdasaran pada identitas di atas teorema terbuti. Teorema beriut memberian batasan di ruang mana tida dimunginannya untu ditemuan bilangan-bilangan sumprime.. Teorema 3.7 Jia n 2p, dimana p sebuah prima ganjil, maa n buan sumprime. Buti. Karena p adalah sebuah prima ganjil, maa p dapat ditulisan sebagai salah satu dari atau 4l + 3. Selanjutnya diperoleh (2p) 2p p, yang sama dengan ( + 1) untu p 4 + 1, atau sama dengan 3 + 4l + 3 2(2l + 3) untu p 4l + 3. Dalam setiap asus diperoleh bahwa (2p) 2p buan merupaan suatu Oleh arena itu, n 2p buan sebuah sumprime. KESIMPULAN Telah diturunan pada tulisan ini hubungan antara bilangan-bilangan sumprime dan bilangan-bilangan Secara lebih husus dapat diataan bahwa jia dalam asus tertentu dietahui bahwa sebuah bilangan adalah sumprime, maa suatu bilangan prima telah dapat dionstrusi. Permasalahannya adalah pada bagaimana mengenali suatu bilangan adalah sebuah bilangan sumprime tanpa harus memerisa eprimaannya (primality) dari jumlah fator-fator sejatinya. Jadi, merumusan arateristi yang seperti ini dari bilangan-bilangan sumprime adalah merupaan ajian yang sangat relevan untu emudian dilauan. DAFTAR RUJUKAN Long, C. T Elementary Introduction to Number Theory. Washington: D.C. Heath and Company.

5 869, KNPM V, Himpunan Matematia Indonesia, Juni 2013