BEBERAPA SIFAT QUASI-IDEAL MINIMAL PADA RING TRANSFORMASI LINEAR 1

Transkripsi

1 BEBERAPA SIFAT QUASI-IDEAL MINIMAL PADA RING TRANSFORMASI LINEAR K a r y a t i Jurusan Pendidian Matematia FMIPA Uniersitas Negeri Yogyaarta yatiuny@yahoo.com Abstra. Misalan R adalah ring, Q R disebut uasi-ideal dari R jia RQ QR Q, dengan Q adalah subring. Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X R adalah irisan semua uasi-ideal dari R yang memuat X, yang selanjutnya dinotasian dengan X. Quasi-ideal Q disebut uasi-ideal minimal jia dan hanya jia Q x untu semua x Q \ 0. Misalan V dan W adalah ruang etor atas lapangan F dan V, W menotasian himpunan semua transformasi linear : V W. Misalan adalah bilangan ardinal ta hingga dan V, W ran. Himpunan, membentu grup abelian terhadap operasi jumlah biasa pada transformasi linear. Selanjutnya, untu suatu V tertentu didefinisian suatu operasi pada, yaitu: untu semua,. Himpunan bersama operasi + dan * tersebut membentu ring, yang selanjutnya dinotasian dengan Dalam tulisan ini aan diselidii sifat-sifat uasi-ideal minimal pada ring Diperoleh hasil sebagai beriut :Misal V, W sedemiian sehingga F u untu suatu u W, Jia, W sedemiian sehingga u u maa dan Jia W sedemiian sehingga u au untu suatu a F maa a. Hasil lain yang berhasil diselidii adalah: Misal, V,, jia dalam ring,, maa. Misal sedemiian sehingga memenuhi dan. Jia ran, maa F dalam Misal sedemiian sehingga memenuhi dan. Jia ran, maa adalah uasi- ideal minimal dalam Kata Kunci: ring, uasi-ideal, uasi ideal minimal. Pendahuluan Ring merupaan strutur aljabar yang melibatan dua operasi biner yang disebut operasi jumlah dan operasi peralian. Terhadap operasi jumlah, ring membentu grup abelian, sementara itu terhadap operasi peralian membentu semigrup. Selain itu harus bersifat distributif iri maupun anan. Ring terhadap operasi peralian bersifat omutatif disebut ring omutatif. Selanjutnya jia memuat elemen satuan disebut ring dengan elemen satuan. Misalan R adalah ring. Himpunan S R disebut subring jia S terhadap operasi yang sama pada R membentu ring. Definisi ini euialen dengan S membentu sub grup terhadap operasi jumlah dan Disampaian pada Seminar Nasional dalam ranga Konferda IndoMS XIII Wilayah Jateng dan DIY, Jurusan Matematia FMIPA UNNES, Juli 2006

2 membentu sub semigrup terhadap operasi peraliannya. Himpunan Q R disebut uasiideal dari R jia RQ QR Q, dengan Q adalah subring. Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X R adalah irisan semua uasi-ideal dari R yang memuat X. Selanjutnya, uasi-ideal demiian dinotasian dengan X. Quasi-ideal Q disebut uasi-ideal minimal jia dan hanya jia Q x untu semua x Q \ 0. Diberian V dan W adalah ruang etor atas lapangan F dan V, W menotasian himpunan semua transformasi linear : V W. Misalan adalah bilangan ardina ta hingga dan V, W ran. Dietahui bahwa ran ran ran untu semua, V, W. Himpunan, membentu grup abelian terhadap operasi jumlah biasa pada transformasi linear ( []: p. 38 ). Selanjutnya, untu suatu V tertentu didefinisian suatu operasi pada, yaitu: untu semua,. Terhadap operasi ini, membentu semigrup ( [3]: p.69 ). Juga berlau distributif iri dan anan. Selanjutnya himpunan demiian dinotasian dengan V,,, ( []: p.37 ). Jelas bahwa himpunan ini membentu ring. Perlu diingat bahwa semua uasi-ideal minimal dalam suatu ring adalah ideal utama ( []: p.38 ). Dalam tulisan ini aan diselidii araterisasi semua uasi-ideal minimal dalam suatu ring,, dan mengindiasian bilamana ring tersebut mempunyai uasi-ideal minimal. 2. Kajian Teori Pada bagian ini aan diberian beberapa istilah dan sifat-sifat yang menduung dalam pembahasan artiel ini. Definisi. ( [2] : p. ) Himpunan ta osong S yang dilengapi dengan operasi biner diataan semigrup jia bersifat asosiatif yaitu : x, y, z S ( x y) z x ( y z) Definisi 2. ( [2] : p. ) Misalan S suatu semigrup, operasi yang didefinisian pada S, P membentu semigrup. P S disebut sub semigrup jia terhadap Definisi tersebut euialen dengan P tertutup terhadap operasi yang didefinisian pada S. Beriut diberian definisi uasi-ideal suatu ring: Definisi.3. ( []: p.37 ). Misalan R adalah ring, maa Q R disebut uasi-ideal dari R jia RQ QR Q, dengan Q adalah subring. 2

3 Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X R adalah irisan semua uasi-ideal dari R yang memuat X. Selanjutnya, uasi-ideal demiian dinotasian dengan X. Quasiideal Q disebut uasi-ideal minimal jia dan hanya jia Q x untu semua x Q \ 0. Beberapa sifat yang berlau bahwa: Proposisi.. ( [] : p.37). Misal Q suatu uasi-ideal ring R, maa berlau: i. Jia Q uasi-ideal minimal maa Q adalahsubringnol atausubringpembagi dari R. ii. Jia Q subringpembagi dari R, maa Q adalah uasi-ideal minimal dari R. Proposisi.2. ( [] : p.38). Untu suatu himpunan ta osong X R, maa berlau X ZX RX XR, dengan Z adalah himpunan semua bilangan integer. Dari Proposisi 2 diperoleh aibat sebagai beriut: Aibat. ( [] : p.38). Dalam V,,,, berlau: Z LF V, W, LF V, W, untu setiap V, Buti: Menurut Proposisi 2 berlau bahwa untu suatu himpunan bagian ta osong X dari suatu ring R berlau X ZX RX XR. Dalam hal ini,, adalah ring dan,, sehingga,, =,, serta,, =,,, aibatnya dipenuhi persamaan sebagai beriut : Z LF V, W, LF V, W, 3. Pembahasan Misalan F adalah suatu lapangan dan atas lapangan adalah suatu transformasi linear dari ruang etor F, yaitu transfprmasi linear dari ruang ector V e ruang etor W, serta w W w, untu suatu V. Lemma beriut sebagai aibat dari ondisi F u untu suatu u W. Lemma. ( [] : p.38). Misal V, W sedemiian sehingga F u untu suatu u W i. Jia, W sedemiian sehingga u u maa ii. Jia W sedemiian sehingga u au untu suatu a F maa a 3

4 Buti: ( i ). Ambil sebarang c F, sehingga berlau cu c u c u cu. Dietahui bahwa w W w, untu suatu V cu W cu untu setiap c F dan suatu u W cu c F, untu suatu u W. Selanjutnya, diperoleh bahwa : cu cu cu sehingga berlau. Hal ini mempunyai onseuensi : Untu sebarang V berlau cu cu. Sebagai aibatnya berlau ( ii ). Dapat dipandang bahwa a a W dengan W adalah pemetaan identitas di W. Sehingga u au. W. Menurut bagian (i) sebelumnya beraibat a. a W Lemma beriut memberian hubungan antara suatu transformasi dalam uasi-ideal minimal dengan transformasi pembangun uasi-idealnya: Lemma 2. ( [] : p.38). Misal, V,, jia dalam ring,, maa. Buti: Dietahui, sehingga menurut Aibat berlau t untu suatu t Z dan suatu. Selanjutnya ambil w, maa terdapat V sedemiian sehingga berlau: w t t t Aibatnya w. Dengan demiian Lemma beriutnya menjelasan suatu ondisi yang menjamin bilamana uasi-ideal minimal F : Lemma 3. ( [] : p.38). Misal sedemiian sehingga memenuhi ondisi dan. Jia ran, maa F dalam 4

5 Buti: ( i ). Dibutian F Misal u \ dan u ' \, maa u 0, u V dan u ' 0, u' W dan z u' untu suatu z W \ 0. Karena ran, sehingga Fu dan aibatnya u ' a. u untu suatu a F dan a 0 Misal B adalah basis untu V yang memuat u dan B ' adalah basis untu W yang memuat u. Selanjutnya didefinisian suatu transformasi linear sebagai beriut: u jia u a z jia w u w 0 jia B \ u 0 jia w B'\ u Jelas bahwa V, W dan W. Dari definisi tersebut diperoleh bahwa V, W, ran, ran sehingga, V,. Berdasaran definisi tersebut juga diperoleh: u a z a z a u' a au u u u. Karena Fu, menurut Lemma, diperoleh. Sehingga untu setiap b F, maa berlau : b b b, sehingga b LF V, dan b b b, sehingga b LF V,. Aibatnya b LF V, V, Dengan ata lain jia b F, maa b LF V, V, dan menurut Aibat maa b. Dengan demiian terbuti F. ( ii ). Dibutian F Ambil, maa menurut Lemma 2 beraibat, dan menurut Aibat berlau t untu suatu t Z dan untu suatu. Aibat selanjutnya : t. Aan tetapi u Fu (sebab ran ), maa terdapat V sedemiian sehingga u. Aibat selanjutnya u cu untu suatu c F. Dengan demiian dipenuhi ondisi: V, W, Fu, W sehingga u cu untu suatu c F, sehingga menurut Lemma (ii) berlau c. Aibatnya diperoleh: t t c = t c F. Dengan demiian dipenuhi F 5

6 Dari (i) dan (ii) maa terbuti F Sebagai hasil ahir dari penelitian ini diperoleh hasil suatu ondisi yang dapat menjamin bilamana membentu uasi- ideal minimal dalam V, Lemma 4. ( []: p.38). Misal sedemiian sehingga memenuhi ondisi dan. Jia ran, maa adalah uasi- ideal minimal dalam Buti: Menurut Lemma 3, ondisi ini beraibat F. Ambil o \, maa a untu suatu Aibatnya a F, a 0, sebab: 0 a a 0 a 0 0 ' ' 0, tetapi ' a" untu suatu " V. Aibatnya : a " " a " 0, sehingga " dan arena ' a" sehingga a ' atau a ' 0 atau a ' 0. Dietahui a 0, sehingga a 0. Dengan demiian ' 0 atau ' Aibat lain adalah, sebab: Ambil w, sehingga terdapat V yang memenuhi w, aibatnya w a a. Disimpulan bahwa w. Ambil terdapat w', sehingga terdapat ' V yang memenuhi, ' w'. Karena ' V, maa a F, a 0 dan V sedemiian sehingga ' a. Aibatnya w' a a. Dengan ata lain w' Karena, maa ran (sebab ran ). Menurut Lemma 3, beraibat F, sehingga berlau juga F F a Fa F. Aibatnya =. 4. Simpulan Berdasaran hasil penyelidian di atas dapat disimpulan bahwa: i. Misal V, W sedemiian sehingga F u untu suatu u W a. Jia, W sedemiian sehingga u u maa, maa berlau: b. Jia W sedemiian sehingga u au untu suatu a F maa a 6

7 ii. Misal, V,, jia dalam ring V,,, maa. iii. Misal sedemiian sehingga memenuhi dan. Jia ran, maa F dalam i. Misal sedemiian sehingga memenuhi dan. Jia ran, maa adalah uasi- ideal minimal dalam Daftar Pustaa [] Chinram, R., Kemprasit, Y Minimal Quasi-Ideals of Generalized rings of Linear Transformations. PU.M.A Vol. 3, No. 3, p: [2] Howie, J.M, 976. An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press, Ltd, London [3] Kemprasit, Y Regularity and Unit-Regularity of Generalized Semigroup of Linear Transformations. Shoutheast Asian Bulletin of Mathematics 25, p: