MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Transkripsi

1 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks

2 Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi Matriks Solusi SPL Optimasi Model Ekonomi dan lain-lain. /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

3 Permutasi dan Determinan Matriks Permutasi adalah susunan yang mungkin dibuat dengan memperhatikan urutan Contoh: Permutasi dari {,,3} adalah (,,3) (,3,) (,,3) (,3,) (3,,) (3,,) 3 /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

4 Permutasi dan Determinan Matriks() Invers dalam Permutasi Sebuah inversi dikatakan terjadi dalam suatu permutasi jika bilangan bulat yang lebih besar mendahului bilangan bulat yang lainnya. Jika jumlah inversi dalam satu permutasinya genap maka disebut permutasi genap, dan begitu pula sebaliknya untuk permutasi ganjil. (,,3) permutasi genap (,3,) permutasi ganjil (,,3) permutasi ganjil (,3,) permutasi genap (3,,) permutasi genap (3,,) permutasi ganjil 4 /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

5 Permutasi dan Determinan Matriks(3) Hasil perkalian elementer matriks berukuran n n adalah hasilkali n buah unsur dari matriks tersebut tanpa ada pengambilan unsur dari baris dan kolom yang sama Contoh: A = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 Terdapat 6 (atau 3!) hasil kali elementer dari matriks A, yakni a a a 33, a a 3 a 3, a a a 33, a a 3 a 3, a 3 a a 3, a 3 a a 3 5 /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

6 Permutasi dan Determinan Matriks(4) Hasil kali elementer bertanda a a a 33 a a 3 a 3 a a a 33 a a 3 a 3 a 3 a a 3 a 3 a a 3 Perhatikan Tanda (+/-) muncul sesuai hasil klasifikasi permutasi indeks kolom, yaitu : jika genap + (positif) jika ganjil - (negatif) Determinan didefinisikan sebagai penjumlahan hasil kali elementer dengan bertanda. Sehingga hasil kali elementer dari matriks A (determinan) dengan orde 3 3 adalah a a a 33 a a 3 a 3 a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a a 3 6 /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

7 Permutasi dan Determinan Matriks(5) Contoh: Tentukan Determinan Matriks A = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 Jawab: Menurut definisi: det A 3 3 = a a a 33 a a 3 a 3 a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a a 3 Atau dapat dilihat lebih mudah menggunakan a a a 3 a a A = a a a 3 a a a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 Cara ini tidak berlaku untuk matriks 4x4, dst. ket : jumlahkan hasil kali elemen yang terlintasi garis hijau dan kurangi hasil kali elemen yang terlintasi garis merah 7 /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

8 Permutasi dan Determinan Matriks(6) Contoh: Tentukan Determinan Matriks Jawab: B = 3 B = 3 3 = = = 8 /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

9 Determinan dengan OBE Perhatikan a. det 3 = 3 b. c. det = = 45 hasil kali elementer bertanda selain unsur diagonal adalah nol Determinan matriks segitiga = Hasilkali unsur diagonal? 9 /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

10 Determinan dengan OBE() Menghitung determinan matriks dengan cara mengkalikan unsurunsur diagonalnya hanya berlaku untuk matriks dengan bentuk segitiga bawah ataupun matriks segitiga atas. Oleh karena itu : Matriks bujur sangkar ~ OBE ~ Matriks Segitiga Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatu matriks, yaitu :. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka det (B) = det (A) Contoh : sehingga A A 3 B B 3 A /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

11 Determinan dengan OBE(3). Jika matriks B berasal dari matriks A dengan mengalikan satu baris A dengan k maka det (B) = k det (A) Contoh : A A 3 dan B maka B A 6 3. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain maka det B = det A Contoh /9/7 Perhatikan 3 6 A A OBE yang dilakukan pada matriks tersebut adalah b + b MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

12 /9/7 Determinan dengan OBE(4) MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Tentukan determinan matriks berikut : Jawab : A A ke -dan ke - baris pertukaran

13 Determinan dengan OBE(5) A -3 - b b Pertukaran baris ke - dan ke b b 3 = 4 (hasil perkalian semua unsur diagonalnya) 3 /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

14 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Determinan dengan ekspansi kofaktor Misalkan a a A : an a a a : n... a... a... a n n : nn Beberapa definisi yang perlu diketahui : M ij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke i dan kolom ke j matriks A. 4 /9/7 Contoh : A maka M3 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

15 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor() C ij dinamakan kofaktor ij yaitu C ij = i+j M ij Contoh : maka A C = 3. = 5 /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

16 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(3) Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor: Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i det(a) = ai Ci + ai Ci a in C in Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j det(a) = a ij C j + a j C j a nj C nj Contoh: Hitunglah det(a) dengan ekspansi kofaktor : A 6 /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

17 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(4) Jawab : A. Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3 det( A) A 3 j a 3 jc 3 j = a 3 C 3 + a 3 C 3 + a 33 C 33 3 ( ) ( ) = + 6 = /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

18 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(5) B. Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-3 det( A) 3 i A a i 3c i 3 = a 3 C 3 + a 3 C 3 + a 33 C 33 ( ) 3 = + 6 = 4 33 ( ) 8 /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

19 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(6) Misal A n n merupakan matriks yang memiliki invers dan C ij adalah kofaktor a ij. Maka C C C n C C = C C n C n C n C nn disebut matriks kofaktor A. Transpos dari matriks tersebut dinamakan adjoin A (notasi adj(a)). C C C n adj A = C T C = C C n C n C n C nn 9 /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

20 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(7) Misalkan A punya invers maka A = adj (A) det A A mempunyai invers jika dan hanya jika det(a). Beberapa sifat determinan matriks adalah :. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka det A = det A t. Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran sama, maka: det(a) det(b) = det(ab) 3. Jika A mempunyai invers maka : det A = det(a) /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

21 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(8) Contoh: Diketahui A - Tentukan matriks adjoin A Jawab : Perhatikan bahwa 3 c ( ) c ( ) c3 ( ) c, c, c3, c3, c3, dan c33. /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

22 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(9) Sehingga matriks kofaktor dari A : C Maka matriks Adjoin dari A adalah : adj( A) T C /9/7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

23 . Tentukan determinan matriks dengan OBE dan ekspansi kofaktor dan. Diketahui : dan Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB) 3 /9/7 LATIHAN MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR P Q 4 3 A B

24 3. Diketahui : Tentukan k jika det (D) = 9 4. Diketahui matriks Jika B = A - dan A t merupakan transpos dari A. Tentukan nilai 4 /9/7 LATIHAN() MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR k k D A B A B A x t det 5 det det

25 THANK YOU