tidak mempunyai fixed mode terdesentralisasi, dapat dilakukan dengan memberikan kompensator terdesentralisasi. Fixed mode terdesentralisasi pertama

Transkripsi

1 BB IV PENGENDLIN TERDESENTRLISSI Untu menstabilan sistem yang tida stabil, dengan syarat sistem tersebut tida mempunyai fixed mode terdesentralisasi, dapat dilauan dengan memberian ompensator terdesentralisasi. Fixed mode terdesentralisasi pertama ali diperenalan oleh Wang dan Davison (973) yang memberian syarat perlu dan syarat cuup untu estabilan sistem tedesentralisasi. arateristi fixed mode pada pengendalian terdesentralisasi dipresentasian emudian pada Corfmat dan Morse (976), ndersen dan Clements (98), ndersen (982), Vidyasagar dan Viswanadham (982), Davison dan Ozg& u& ner (983) dan Taroh dan jamshidi (987). da dua macam ompensator yang dapat digunaan, yaitu ompensator terdesentralisasi statis, dan ompensator terdesentralisasi dinamis. ompensator statis diperenalan oleh Corfmat dan Morse (976a dan 976b) sebagai hasil dari penyelidian estabilan terdesentralisasi, sedangan ompensator dinami diperenalan oleh Brasch dan Pearson (97) dan Jamshidi (983) yang menggunaan umpan bali output. Prinsip desain pengendali umpanbali dengan memberian suatu eigen value tertentu untu sistem loop tertutup dengan tujuan menstabilan sistem tertentu yang tida stabil adalah sama dengan teori pengendalian multivariabel.

2 Untu menstabilan suatu sistem tertentu yang tida stabil, maa eigen value sistem harus diubah e tempat tertentu di bagian negatip bidang omplesnya. Bila terdapat syarat tambahan pada sifat I/O maa syarat ini harus diformulasian sebelumnya sebagai batasan nilai eigen value sistem loop tertutup tersebut, dan berguna untu menemuan pengendali umpanbali yang dapat merubah eigen value sesuai yang diinginan. IV.. FIXED MODE TERDESENTRLISSI Syarat perlu dan syarat cuup untu eigen value (λ) menjadi fixed mode terdesentralisasi dijelasan oleh Wang dan Davison (973), yaitu adanya disjoint partisi D, H dari suatu himpunan I, yaitu D = [i, i 2,..., i ] H = [i +, i +2,..., i N ] (4.) di mana, sehingga B D = (B B 2... B ) dan C H = C C M C N (4.2) λi ran C H B D < n (4.3) di mana n = banyanya state Jadi sistem diataan mempunyai fixed mode terdesentralisasi jia dan hanya jia ran pada persamaan 4.3 dipenuhi.

3 Contoh 4..: Tentuan fixed mode terdesentralisasi dari sistem pada contoh 2.., dengan deomposisi pada contoh 2.4. Penyelesaian: Dengan mengapliasian persamaan 4.2. pada persamaan deomposisi sistem (persamaan 2.24) diperoleh: CSCS3 B D = (B SCS B SCS2 ) dan C H = CSCS4 Dengan menggunaan persamaan 4.3., jia D={} dan H={3} diperoleh: λi Ran C H B D = Ran SCS SCS2 C SCS3 SCS3 SCS4 B SCS = 5 Dengan cara yang sama, jia D={} dan H={4} diperoleh: λi Ran C H B D = Ran SCS SCS2 SCS3 C SCS4 SCS4 B SCS = 5 Demiian juga untu D={2} dengan H={3} dan H={4} mempunyai ran = 5 yang berarti lebih besar daripada banyanya state. Secara teori jia ran diatas lebih besar atau sama dengan banyanya state (n), maa sistem tida memilii fixed mode terdesentralisasi.

4 pabila sistem diatas tida stabil, yaitu ada eigen value yang berharga positip atau nol, maa sistem tersebut dapat distabilan oleh ompensator terdesentralisasi dengan menggunaan ompensator statis maupun dinami. IV.2. OMPENSTOR TERDESENTRLISSI STTIS Plant yang diberian oleh model orientasi I/O adalah sebagai beriut: x& = x+ N i= B i u i y i = C i x (4.4) Tujuannya adalah untu menstabilan sistem dan memberian himpunan eigen value σ o tertentu pada sistem loop tertutup tersebut. Pada metode yang aan disajian disini, pengendali terdesentralisasi harus terdiri dari N- umpanbali output statis. Stasiun pengendali statis yang diinginan adalah: u i = - i y i (4.5) Stasiun pengendalian statis tersebut harus dipilih sedemiian rupa sehingga sistem loop tertutup 4.4 dan 4.5 menjadi N x & = Bi ici x+ B i= i u y = C x (4.6) yang controllable melalui u dan observable melalui y. Stasiun pengendalian 4.5 digunaan untu menstabilan sistem 4.4 dengan cara memindahan posisi eigen

5 value tersebut pada bagian negatip bidang omples. Metode desain ini tida tercapai jia terdapat fixed mode terdesentralisasi (Jamshidi, 997). Jadi, untu menstabilan sistem yang tida stabil, dengan syarat sistem tersebut tida mempunyai fixed mode terdesentralisasi, maa bisa dicari ompensator statis sehingga sistem memberian eigen value pada bagian negatip bidang omples sesuai dengan himpunan eigen value σ o yang diinginan. Contoh 4.2.: Dari analisa estabilan pada contoh 3.2., dietahui sistem pada contoh 3.. tida stabil arena SCS4 tida stabil dan dari contoh 4.. dietahui bahwa sistem tida memilii fixed mode terdesentralisasi. Menurut teori di atas, sistem dapat distabilan dengan memberian ompensator terdesentralisasi statis pada sistem. Dapatan ompensator terdesentralisasi statis tersebut jia diinginan spetrum σ ={-,,-3}. Penyelesaian: ompensator tersebut berupa umpan bali dari y 8 e u 8 dan dari y 9 e u 9. u 8 = - 8 y 8 u 9 = - 9 y 9 (4.7) sehingga BC= 8 9

6 BC= BC= (4.8) 9 Eigen value dicari dari persamaan λ I ( BC) =, sehingga diperoleh ( ) 8 ( ) 9 = λ 2 ( 9 ) ( 8 ) λ+ ( 8 )( 9 ) = 2 λ ) λ+ ( + + ) = (4.9) ( Jia diinginan spetrum loop tertutup σ ={-,-3}, diperoleh persamaan: = 4 (4.) = 3 (4.) Dengan mensubstusi 9 pada persamaan 4. dengan menggunaan persamaan 4. ( 9 = (2-8 ), diperoleh persamaan: 8 + (2-8 ) + 8 (2-8 ) = 3 (4.2) = (4.3) Dari persamaan 4.3, dapat dicari 8, diperoleh: 8 = untu edua aarnya (4.4) 9 dapat dihitung dengan memasuan persamaan 4.4 edalam persamaan 4., diperoleh: 9 = untu edua aarnya (4.5) Sesuai dengan spetrum yang diinginan σ ={-,,-3}, maa diperoleh ompensator statis 8 = dan 9 =, sehingga asi endalinya adalah

7 u 8 = - y 8 u 9 = - y 9 (4.6) Diagram blo SCS4 setelah ditambah dengan ompensator terdesentralisasi statis terdapat pada Gambar 4.. SISTEM y 8 u x 8 + x 9 y u STSIUN 8 STSIUN 9 Gambar 4.. Diagram Blo SCS4 dengan ompensator Terdesentralisasi Statis Dari pembahasan ini, diperoleh gain ompensator 8 dan 9. Gain ompensator ini jia dipasang pada stasiun endali 8 dan stasiun endali 9 sesuai dengan Gambar 4., maa SCS4 menjadi stabil dan menyebaban sistem stabil. IV.3. OMPENSTOR TERDESENTRLISSI DINMI Dari bagian IV.2. telah dijelasan bahwa semua eigen value plant sistem x& = x + Bu y = Cx (4.7) dapat diubah dengan ompensator terdesentralisais statis u = - y y (4.8)

8 jia dan hanya jia sistem tida mempunyai fixed mode terdesentralisasi, dengan asumsi bahwa semua eigen value-nya dapat dipindah (movable). Tetapi, ompensator terdesentralisais statis pada umumnya tida dapat memindahan semua eigen value. Sedangan estabilan mensyaratan pemindahan secara serenta semua eigen value e bagian negatip bidang omples. Permasalahan ini dapat diselesaian dengan ompensator terdesentralisasi dinami. Pada pengendalian sentralisasi, ompensasi dinami telah diembangan sebagai alternatif untu merealisasian state pengendali umpanbali melalui observer. Dari plant: x & = x+ Bu y i = Cx (4.9) terbentu plant baru, x& = B x+ u I C y= x (4.2) I yang digunaan untu mendesain pengendali umpanbali output u = y (4.2) sehingga sistem loop tertutup 4.2 dan 4.2 mempunyai eigenvalue n + n r. Secara umum, tida ada umpan bali output u = -y yang dapat ditemuan bagi plant

9 4.9 untu memindahan semua eigenvalue loop tertutup. Perluasan umpanbali output 4.2 dapat dicari jia jumlah n r dari integrator cuup besar. Batas atas n r adalah nilai minimal dari indes controllability n c dan indes observability n o, yang didefinisian sebagai bilangan integer terecil di mana ran(b B nc- B) = n c atau ran(c C no- C ) = n o terpenuhi, sehingga n r = min(n c,n o ) (4.22) Syarat perlu agar ompensator terdesentralisasi dinami bisa digunaan adalah sistem linear 4.9 harus controllable dan observable. Sistem loop tertutup 4.2 dan 4.2 dengan = G y F x (4.23) adalah eivalen dengan loop tertutup yang ada pada plant asli (persamaan 4.9) dengan pengendali x& u r = Fx r = + Gy x x r y y (4.24) lgoritma penyelesaian ompensator terdesentralisasi dinami dengan sistem pada persamaan 2.9 dan diinginan himpunan eigen value σ o adalah:. Dari persamaan 4.22, diperoleh n r 2. Plant pada persamaan 4.9 diembangan seperti yang didesripsian pada persamaan 4.2

10 3. Matris pengendali dicari sehingga himpunan eigenvalue σ o dari sistem loop tertutup tersebut sesuai yang diinginan. Contoh 4.3.: Carilah ompensator terdesentralisasi dinami dari sistem yang tida stabil pada contoh 3.., jia spetrum yang diinginan adalah σ ={-,-3,-4}. Penyelesaian: arena ran(b) = n, maa n c (index controllability) =, juga ran(c) = n, sehingga n o (index observability) =, sehingga diperoleh n r = min(n c,n o ) =. arena n r =, diperoleh matris yaitu matris yang digunaan sebagai ompensator terdesentralisasi dinami. Matris yang diperoleh adalah y x = y2 (4.25) g f di mana y, y2, x, g dan f tida dietahui dan anga pada menunjuan n r =. Matrix loop tertutup +BC, yaitu +B C adalah y x + BC = y2 (4.26) g f Persamaan arateristi polinomialnya adalah: ( B C ) ( + ) g y ( + ) λ I = (4.27) y2 x f

11 Spetrum loop tertutup yang diinginan σ ={-,-3,-4}, maa parameter endali yang diinginan dapat dicari. Untu menyelesaian ini, dengan mempertimbangan matrix identitas beriut: M det M 2 M M 2 2 = det ( M ). det( M M M M ) (4.28) dan diapliasian e matrix persamaan 4.27, diperoleh λi ( B C ) = ( + ) y ( + ) ( + ). y x ( f ) ( g ) ( ) (4.29) + y2 y dan y2 dipilih sehingga dua pole pertama (-;-3) ditempatan dengan tepat. Untu Untu ( + ) y ( + ) y2 ( + ) y2 =, diperoleh y = 3 dan y2 = 3 (4.3) y x ( f ) ( g ) ( ) =, (4.3) + y2 λ+ 2 x ( f ) ( g ) = (4.32) λ+ 2 λ+ 2 x ( f ) ( g ) = (4.33) 2 λ + 4λ+ 3 λ+ 2 dengan memasuan pole etiga (λ = -4), maa persamaan menjadi: g( λ+ 2) x ( f ) + 2 λ + 4λ+ 3 = λ= 4 (4.34)

12 g( 2) x ( 4 f ) + = (4.35) g( 2) x ( 4 f ) + = (4.36) 3 jia dibuat g = dan x =, diperoleh f = (4.37) ompensator terdesentralisasi dinami mempunyai parameter endali: g =, x =, y = -3, y2 = -3 dan f = (4.38) Persamaan ompensator terdesentralisasi dinaminya adalah sebagai beriut: x& r8 = x r8 + y 8 u 8 = -x r8 + 3 y 8 u 9 = 3 y 9 SISTEM y 8 u x 8 + x 9 y u X r STSIUN 9 STSIUN 8 Gambar 4.2. Diagram Blo SCS4 dengan ompensator Terdesentralisasi Dinami

13 Diagram blo sistem dengan ompensator terdesentralisasi dinami terdapat pada Gambar 4.2. Dari pembahasan ini, diperoleh parameter endali, yaitu g, x, y, y2 dan f. Jia paramter endali ini ditambahan pada stasiun endali 8 dan stasiun endali 9 sesuai Gambar 4.2, maa SCS4 menjadi stabil dan menyebaban sistem stabil.