VEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =

Transkripsi

1 VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang vektor adalah; + + Vektor satuan ditulis, dengan Vektor satuan panjangnya satu dan searah. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Cara segitiga Cara jajaran genjang + + Jika dan, maka ( + ) + ( + ) + ( + ) Jika dan, maka ( ) + ( ) + ( ) dan panjangnya dan panjangnya Jika adalah sudut antara vektor dan, panjang + dan dapat ditentukan dengan aturan cosinus pada sebuah segitiga. Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal

2 cos + cos Pembagian Ruas garis dengan Vektor Jika adalah vektor posisi dari titik yang membagi garis dengan perbandingan, maka; Jika titik pada ruas garis, maka dan positif Jika titik ada di perpanjangan, maka salah satu atau negatif. Perkalian dan Sudut Dua Vektor Untuk dan dan antara dan menghasilkan nilai skalar sebesar: cos cos dengan + + jika tegak lurus maka catatan: Perkalian Silang Vektor sudut antara vektor dan maka perkalian titik (dot product) Jika + + dan + + untuk dan dan sudut antara vektor dan, berlaku rumus sebagai berikut: Luas segitiga jika dua sisinya diketahui dan adalah Proyeksi Vektor Proyeksi skalar (panjang proyeksi) vektor pada vektor adalah; Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal

3 Proyeksi orthogonal vektor pada vektor adalah; CONTOH SOAL. Diketahui vektor-vektor +, + 7, +, dan vektor +. Vektor.... a. + 6 d b. 7 8 e c Diketahui vektor +, + 5, dan + +. Jika vektor + tegak lurus, nilai.... a. atau d. atau b. atau e. atau c. atau Diketahui vektor dari a. b. c. 8, 6,dan d. e () + () Jika + tegak lurus maka ( )( + ) atau + atau Sehingga atau 7. Jika vektor tegak lurus, hasil Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal

4 maka ()( )+ (8)()+ (6)() 6 9 Sehingga 9. Diketahui vektor,dan a. 5 d. 6 b. e. 5 c. 9 ()+ ()(7)+ (6) + n Karena maka dan saling tegak lurus atau (,) 9 5. Diketahui vektor....,dan a. d. b. e. c. ()+ ()+ ()() () sudut antara vektor dan adalah..... Nilai sinus sudut antara vektor dan adalah cos,, 6 sin, sin6 cos, 6. Diketahui segitiga dengan titik (,,), (,,), dan (,,). Vektor proyeksi pada adalah.... a. + 6 d. + 6 b e. + c Misal Misal 8 + () + 9 ()+ ()+ (8)() 8 Vektor proyeksi pada ; + Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal

5 7. adalah vektor proyeksi + pada Panjang adalah.... a. 5 d. 6 b. 5 e. 6 c merupakan vektor proyeksi pada, maka panjang dapat dihitung dengan rumus proyeksi skalar; 5 ()+ ()()+ (5) 8. Diketahui vektor-vektor dan +. Sudut antara dan adalah.... dengan cos. Proyeksi pada adalah +. Nilai dari a. d. 7 b. 5 e. 5 c Vektor proyeksi pada adalah, maka berlaku; (,) cos ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Substitusi ( ) 6 6 (5 + 9) 8( ) 6 (5 + 9) Kuadratkan kedua ruas; 6 (5 + 9) ( ) 6 (5 + 9) ± ± ± 5 Jadi 5 atau 5 9. Diketahui vektor (,) dan vektor (,). Jika titik terletak pada sehingga, panjang vektor.... a. d. b. e. c. Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 5

6 ,dan Maka 5 panjang vektor + +. Diketahui (,9,), (6,,),dan (,6,) adalah titik titik sudut suatu segitiga. Luas segitiga itu sama dengan.... a. 6 d. 8 b. e. c. Misal Luas Luas () + + () Luas Luas SOAL LATIHAN. Jika, 5, dan maka panjang vektor + adalah.... a. 5 d. b. e. c. 7, dan 5, Maka; 9 + (6) Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 6

7 . Diketahui dan (,). Jika dan berlawanan arah dengan maka koordinat titik adalah.... a. (6,) d. (8,) b. (6,) e. (8,) c. (6,6) (,), dan misalkan (, ) dan berlawanan arah dengan + 7 8, sehingga vektor dan saling berlawanan, maka; Jadi koordinat titik (8,). Panjang vektor,,dan + berturut-turut adalah, 8, dan 7. Besar sudut antara dan adalah.... a. 5 d. b. 6 e. 5 c. 9, 8,dan cos, cos, cos, 8 + 9cos, 96 9cos, cos,,. Jika,, dan sudut, maka a. 5 d. b. 6 e. c.,, dan sudut, cos, + 9() + () + ()()cos + 9()+ (9) Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 7

8 5. Diketahui titik (,,8) dan titik (,,). Titik terletak pada perpanjangan sehingga. Jika vektor posisi titik, maka.... a. 5 + d. b. 5 e. 5 c. (,,8), (,,) (,,8) dan (,,) : Misalkan dan, maka; Diketahui titik (,9,6) dan (,,). Titik membagi dengan perbandingan. Panjang.... a. 5 d. b. 9 e. 7 c. (,9,6) dan (,,) : Sehingga; (6) + (9) Jika titik,,, (,,) dan (,5, ) terletak pada satu garis lurus maka.... a. d. b. e. c.,,, (,,) dan (,5, ),,dan segaris, maka berlaku; ( ) Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 8

9 Substitusi ; () () + 8. Vektor (,), vektor (,), dan vektor (,7). Jika + maka.... a. d. b. e. c. (,), (,),dan (,7) Substitusi ke persamaan; + ()+ + Sehingga; () 9. Diketahui persegi panjang dengan panjang dan 5. Jika dan maka.... a. d. 9 b. 6 e. 56 c cos cos. Diketahui vektor + dan + 8. Vektor + akan tegak lurus pada vektor jika.... a. d. b. e. c. pembahasan: ( + ) tegak lurus, maka; ( + ) ( + ) + ( ) ()+ (8 + ) Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 9

10 . Jika +, +, +, dan 6 maka.... a. d. b. e. c. + koordinat titik (,,) + koordinat titik (,,) + koordinat titik (,,) Diketahui 6, 6 cos, cos6 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + Kuadratkan kedua ruas; ( ) Kedua ruas dibagi ; 8 ( + )( ) atau. Sudut antara vektor + ( + ) dan adalah 6. Jika panjang proyeksi ke sama dengan 5 maka.... a. atau d. atau b. atau e. atau c. atau + ( + ) , 6 Misalkan panjang proyeksi ke adalah, maka 5, cos, + ( + ) + cos6 kedua ruas kalikan ; Kuadratkan kedua ruas; ( )( + ) atau. Vektor + + dan + 6. Jika panjang proyeksi pada adalah 6 maka.... a. 8 d. b. e. 6 c Misalkan panjang proyeksi pada adalah, maka 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal

11 Diketahui vektor + dan vektor 6 +. Proyeksi vektor orthogonal pada adalah.... a. 8 + d. + b e. + c (6) ()+ ()(6)+ () Proyeksi vektor orthogonal pada adalah; Diberikan vektor-vektor berikut:,,dan. Jika panjang proyeksi vektor pada vektor adalah, dan vektor tegak lurus dengan vektor, nilai a. d. b. e. c. Diketahui;,, Panjang proyeksi vektor pada vektor adalah, dan. ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) ()+ ( )+ + + Substitusi : Sehingga; + + Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal

12 SOAL PENDALAMAN. (UM-UGM ) Jika,,,dan berturut-turut adalah vektor posisi titik-titik sudut jajar genjang dengan sejajar, maka.... a. + + d. + b. + e. + + c. Jika maka; Arah arah Sehingga +. (UM-UGM 6) Jika proyeksi vektor + ke vektor + 8 adalah vektor, maka adalah.... a. 5 d. b. 5 e. c ()+ (8) () Sehingga 5. (UM-UGM 8) Panjang proyeksi vektor (,5,) pada vektor (,,8) adalah, maka.... a. 6 d. b. 5 e. c. Misalkan; (,5,), (,,8), dan panjang proyeksi vektor pada adalah. ()+ 5()+ ()(8) (UM-UGM ) Diketahui vektor-vektor (,, ) dan (,, ). Jika vektor proyeksi pada, vektor proyeksi pada, dan sudut antara dan dengan cos, maka luas jajaran genjang yang dibentuk oleh dan adalah.... a. d. 6 b. 6 e. c. (,, ), (,, ), dan (,) dengan cos + + ( ) ()+ ( )+ ( )( ) cos Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal

13 + ( ) (5 )( ) atau Untuk, maka (,,) dan (,,) + ()+ + ()+ () Panjang proyeksi vektor pada ; 5. (UM-UGM ) Panjang proyeksi vektor pada ; (,) (, ) cos sin Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh dan adalah: sin Diketahui vektor dan membentuk sudut sebesar. Jika panjang proyeksi vektor pada sama dengan sin dan panjang vektor adalah, maka tan.... a. d. b. e. c. Diketahui;,, cos cos cos Misalkan proyeksi vektor pada adalah, maka sin sin Substitusi cos ; sin sin cos tan tan tan 6. (SIMAK UI 9) Jika diketahui koordinat titik (,,), (,,),dan (,,5), maka luas segitiga sama dengan.... a. d. 6 b. e. c. Misal ( ) Luas Luas (8) Luas Luas 9 Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal

14 7. (SIMAK UI ) Vektor,, adalah vektor-vektor unit yang masing-masing membentuk sudut 6 dengan vektor lainnya. Maka adalah.... a. d. b. e. c., (,), 6,, adalah vektor-vektor unit, maka cos6 8. (SIMAK UI ) + + Dalam segitiga,,. Jika titik adalah titik berat segitiga maka.... a. + d. + b. + e. + c. + + Karena merupakan titik berat, maka; merupakan garis berat maka : + + : 9. (UMB 8) Diketahui titik-titik (,,), (,,),dan (,,). Jarak titik (,,) ke bidang yang melalui titik-titik,,dan adalah.... a. d. b. e. c. (,,) (,,) (,,) Misalkan jarak titik (,,) ke bidang yang melalui titik-titik,,dan adalah, maka; Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal

15 . (SNMPTN ) Nilai agar vekor + + dan saling tegak lurus adalah.... a. 6 d. 6 b. e. c. Misalkan; ()+ ()+ () + + (,,) 8 (,,) 6 Vektor dan saling tegak lurus, maka;. (SNMPTN ) Diketahui vektor (,,) dan (,,). Jika tegak lurus pada maka nilai adalah.... a. d. b. e. c. (,,) + (,,) Vektor dan saling tegak lurus, maka; ( )( ) ( )+ ()( )+ ()(). (SNMPTN ) Jika dan adalah dua vektor satuan yang membentuk sudut 6 maka ( + )... a. d. + b. + e. + c. dan adalah vektor satuan, maka dan, (,) 6. ( + ) + ( + ) cos (,)+. (SBMPTN ) ( + ) cos6 + ( + ) + Diketahui (,,), (,,) dan (,,5). Panjang proyeksi vektor adalah.... a. d. pada vektor b. e. c. Diketahui (,,), (,,) dan (,,5). 5 5 Misalkan proyeksi vektor pada vektor adalah, maka; ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 5

16 . (SBMPTN ) Diberikan limas. Misalkan, dan. Jika adalah titik berat maka.... a. ( + + ) d. ( + + ) b. ( + + ) e. + + c. ( + + ) + Karena merupakan garis berat, maka; + ( ) + Sehingga; ( + + ) + ( )+ 5. (SBMPTN 5) Misalkan ( +, ) dan (,) sehingga panjang vektor proyeksi terhadap kurang dari maka nilai yang mungkin adalah.... a. < atau > d. < < b. < atau > e. < < c. < < ( +, ), (,) Misalkan vektor proyeksi terhadap adalah, maka; < < < 6. (USM-STIS ) < + + < + < ( )( + )< Pembuat nol: atau Jadi nilai yang mungkin adalah; < < Jika sudut antara vektor dan + adalah 6 maka.... a. atau d. 5 atau 5 b. atau e. 5 atau 5 c. atau Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 6

17 ,, + + ( ) + +,, + + ( ) ( ) ( ) + 7. (USM-STIS 5) Diketahui vektor-vektor benar adalah...., a. dan membentuk sudut tegak lurus b. dan membentuk sudut lancip c. dan membentuk sudut tumpul d. dan membentuk sudut tegak lurus e. dan membentuk sudut lancip ()+ + () Karena hasilnya negatif maka dan membentuk sudut tumpul. + + (), 6 cos, Dengan demikian; cos, + + ( + ) + 5 ± 5 5 atau 5,. Pernyataan berikut yang Karena hasilnya positif maka dan membentuk sudut lancip. () + + Karena maka dan membentuk sudut tegak lurus. *ΨΦΦΦΦψΦΦΦΨ* Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 7