Catatan Kuliah Aljabar Linier

Transkripsi

1 Catatan Kuliah Suryadi Siregar Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer Bandung BANDUNG 018

2 Kata Pengantar Bagian pertama, buku ini membahas tentang, operasi vektor dan aplikasi perkalian vektor. Skenario proses Gramm-Schmidt bagian ini, diakhiri dengan soal latihan yang harus dikerjakan secara mandiri maupun berkelompok Bagian kedua, membahas Kebergantungan Linier Vektor di Rn dan Matriks, pengertian bebas linier, kebergantungan linier Matrik, operasi matrik diakhiri dengan soal latihan Bagian ketiga, memberikan ragam cara menyelesaikan Sistem Persamaan Linier & Matriks Untuk mengasah keterampilan mahasiswa disampaikan beberapa soal pekerjaan rumah Bagian keempat, Aplikasi dengan studi kasus rangkaian listrik. Programa Linier,. Matrik Markovs dan banyak latihan soal Mahasiswa yang mengambil matakuliah ini hendaknya tidak mengandalkan buku ini sebagai satu-satunya sumber. Berselancar di internet, membaca buku dan jurnal di Perpustakaan merupakan hal mutlak yang harus dilakukan untuk mencapai sukses. Akhir kata semoga buku ini memberikan manfaat bagi pengguna, saran komentar untuk kesempurnaan akan kami terima dengan senang hati dan Acknowledgments Buku ini disusun dari banyak sumber yang telah menjadi public domain Bandung, akhir Januari 018 Penulis Suryadi Siregar FMIPA-ITB Page i

3 Daftar Isi Bab 1 Ruang Vektor 1 I. 1 Ruang Vektor Rn 1 I. Panjang vector dan jarak dua titik I. 3 Operasi pada vektor 3 I. 4 Cara menghitung penjumlahan vektor; 4 I. 5 Jarak antara dua titik 4 I. 6 Perkalian dengan Vektor 5 I. 7 Definisi 6 I. 8 Perkalian silang/vektor (cross product) 7 I. 9 Theorema Menentukan Himpunan Ortonormal dengan Proses Gramm-Schmidt 8 I. 11 Hitung Volume Kotak 1 I. 1 Kebergantungan Linier Vektor Di Rn 13 I. 13 Ruang Bagian (sub-space) 15 I. 14 Soal Latihan Bab Kebergantungan Linier Vektor di Rn dan Matriks 17 II. 1 Kombinasi Linier 17 II. Ruang Bagian (sub-space) 19 II. 3 M a t r i k s 0 II. 4 Operasi Matriks 4 II.5 Latihan 34 Bab 3. Sistem Persamaan Linier & Matriks 36 III. 1 Persamaan Linier 36 III. Sistem persamaan linier 37 III. 3 Operasi baris elementer 38 III. 4 Sistem persamaan linier homogen 4 III. 6 Operasi Matriks 44 III. 7 Latihan 54 III. 8 Representasi Matriks dalam Sistem Persamaan Linier 57 III. 9 Latihan 6 III. 10 Minor, Kofaktor dan Determinan 63 III. 11 Notasi dan Sifat-Determinan 66 III. 1 Soal latihan: 67 III. 13 Eliminasi Gauss-Jordan 68 III. 14 Mencari Solusi Persamaan Linier dengan Matrik Inversi 69 III. 15 Mencari Solusi Persamaan Linier dengan Metode Cramer 70 Bab 4 AplikasiAljabarLinier 73 FMIPA-ITB Page ii

4 IV. 1 Jaringan Listrik (Electrical Networks) 73 IV. Rangkaian listrik 74 IV. 3 Programa Linier (Linear Programming) dan Optimasi 75 IV. 4 Latihan 79 IV. 5 Matrik Stochastic, proses Markov 79 Bab V Nilai dan Vektor Eigen 8 V. 1 Menentukan nilai eigen 8 V. Algoritma mencari nilai dan vector eigen 83 V. 3 Soal Latihan 86 Daftar Pustaka 88 FMIPA-ITB Page iii

5 Bab 1 Ruang Vektor I. 1 Ruang Vektor R n 1. Ruang berdimensi satu R 1 = R = kumpulan bilangan real Menyatakan suatu garis bilangan; Ruang berdimensi dua R = bidang datar ; Setiap vektor di R dinyatakan sebagai pasangan terurut dua bilangan real dalam sumbu x dan sumbu y; Gambar 1. 1 Vektor pada suatu bidang mempunyai komponen x dan y Bila ditulis sebagai 1

6 A= (a 1,a ) vektor menyatakan sebuah titik Dapat juga ditulis sebagai A a1 i a j a1 a dimana i, j adalah vektor satuan sepanjang sumbu x dan sumbu y vektor A dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor a 1 dan a Dalam hal ini i (1,0) dan j (0,1) adalah vektor satuan, yaitu vektor yang panjangnya satu, masing sepanjang sumbu x, sumbu y dan saling tegak lurus I. Panjang vector dan jarak dua titik Panjang vektor (norm) A dapat dihitung dari dalil Phytagoras; A a a A a a 1 1 Untuk vektor di R 3 = dalam ruang. Prinsipnya sama; Bila ditulis sebagai ; A= (a 1,a,a 3 ) vektor menyatakan sebuah titik Jika ditulis A a i a j a k a a a dikatakan vektor A merupakan kombinasi linier dari vektor a 1, a dan a 3 Dalam hal ini i (1,0,0), j (0,1,0) dan k (0,0,1) adalah vektor satuan yakni vektor yang panjangnya satu dan saling tegak lurus satu sama lain.

7 Vektor dengan sifat seperti ini disebut vektor ortonormal (panjang/norm satu dan saling tegak lurus) Panjang vektor (norm) A dapat dihitung dari dalil Phytagoras; A a a a A a a a Gambar 1 Vektor dalam ruang mempunyai komponen x,y dan z I. 3 Operasi pada vektor Sifat vektor dapat dipindah asal norm dan arahnya tetap, jadi jika ada dua vektor A dan B dan C = A + B Diagram berikut menyatakan penjumlahan kedua vektor ini C = A + B adalah sama; 3

8 Gambar 1. Penjumlahan vektor I. 4 Cara menghitung penjumlahan vektor; Jika A dan B dua vektor di R n maka C = A + B juga merupakan vektor yang ada di R n, artinya Jika A =(a 1,a,..,a n ) dan B =(b 1,b,..,b n ) maka C = A + B = (a 1 +b 1,a + b,..,a n + b n ) Contoh Misalkan A =(1,,-) dan B = (3,4,-5) maka; 1) C = A + B =(1+3, +4, --5) = (4,6,-7) ) C = A - B = A + (- B )=(1,,-)+ (-3,-4,5)= (-,-,3) 3) C 3A 31,, 3, 6, 6 I. 5 Jarak antara dua titik Jika A =(a 1,a ) dan B =(b 1,b ) maka jarak A ke B sama saja dengan menghitung panjang (norm) vektor AB 4

9 Gambar 1. 3 Jarak antara dua titik A dan B identik dengan panjang Jadi panjang vektor; vektor AB dalam hal ini AB B A Dari gambar kita lihat; B = A + AB atau,,, AB BA b b a a b a b a AB ( b a ) ( b a ) ( a b ) ( a b ) BA I. 6 Perkalian dengan Vektor 1) Perkalian dalam/ titik (inner product/dot product) Definisi andaikan A dan B vektor di R atau di R 3 maka didefinisikan; A B = A. B Cos sudut yang dibentuk diantara vektor A dan B (perhatikan gambar 1.3) 5

10 Rumus cosinus a b c bccos b a c accos c a b abcos Gambar 1. 4 Segitiga sembarang Rumus sinus a b c Sin Sin Sin AB A B A. B Cos atau dapat juga ditulis; B A A B A. B Cos Atau dengan menggabungkan definisi dan pernyataan ini diperoleh; 1 AB A. B Cos A B B A atau dapat ditulis kembali; 1 A B ( a a ) ( b b ) ( b a ) ( b a ) a b a b A B a b a b jadi I. 7 Definisi Untuk ruang dimensi n, R n perinsipnya sama, jika A ( a1, a,... a n ) dan B ( b1, b,... b n ) 6

11 maka n A B a b a b a b a b n n i i 1 I. 8 Perkalian silang/vektor (cross product) Definisi Perkalian vektor atau perkalian silang hanya didefinisikan untuk R3 Jika A =(a 1,a,a 3 ) dan B =(b 1,b,b 3 ) maka A B sebagai; didefinisikan i j k a a 3 a1 a 3 a1 a AB a1 a a3 = i j k b b3 b1 b3 b1 b b b b 1 3 A B i ( ab3 a3b ) j( a1b 3 a3b1 ) k( a1b ab1 ) I. 9 Theorema 1) A B = - ( B A ) skew symmetry ) A ( B +C ) = A B + A C hukum distribusi 3) c( A B ) = (c A ) B c suatu skalar 4) A ( A B ) = 0 ortogonalitas terhadap A 5) B ( A B ) = 0 ortogonalitas terhadap B 6) A B A B ( A B) A B sin Identitas Lagrange 7

12 7) A B = O A dan B bergantungan linier, (yang satu merupakan kelipatan yang lain) disini O adalah vektor nol, yaitu vektor dengan panjang nol Ilustrasi; Gambar 1. 5 Perkalian dua vektor menentukan arah I. 10 Menentukan Himpunan Ortonormal dengan Proses Gramm-Schmidt Diberikan himpunan vector Y= a,b,c,d ingin dicari himpunan vector ortonormal O= e,e,e,e Penyelesaian 8

13 Jawab I : Buat Vektor Ortonormal e a e 1= a 1 II : Buat Ruang Vektor W dengan e dan b W= e,b 1 e * W e *=αe +βb, α,β bil ril sembarang 1 Jika e * e sehingga e *.e =0 αe+βb.e =0 1 1 αe.e +βb.e =0 α+βb.e = α=-βb.e e *= -βb.e e +βb Ambil β=1 e *=b- b.e e e = e* 1 1,maka e dan e Ortonormal. 1 e* III: Buat Ruang Vektor U= e,e,c e * U e *=αe +βe +γc, α,β,γ sembarang i e * e αe +βe +γc e = α + β(0) + c.e =0 Ambil γ=1 α=-c.e. ii e * e αe +βe +γc e = β + γc.e =0 β c.e e *=c- c.e e - c.e e e e3 * e * IV Buat ruang vector V e, e, e, d 1 3 9

14 e V e e e e d * * e e e e e d e 0 * d e 0 ambil 1 d e 1 1 e e e e e d e 0 * d e 0 d e e e e e e d e 0 * d e 3 0 d e 3 Dengan demikian kita peroleh e d d e e d e e d e e e * e e * 4 * 4 Sehingga himpunan ortonormal O sudah dapat ditentukan O e, e, e, e Ilustrasi 1. Diketahui : A 1,0,1,,1,0, 1,1,0 Carilah himpunan ortonormalnya? Penyelesaian: Misal = a = (-1,0,1), b=(-,1,0), c =(-1.1.0) a. Untuk e 1 a 1, 0,1 1 e1 1,0,1 a b. Untuk e

15 Buat ruang vektor B e1, b Maka ada e * B,1,0,1, ,0,1 1,0,1 * e b b e1 e1 1 1 Maka: e,1, 0,1, 0 1, 0,1 1, 0,1,1, 0 1, 0,1 1,1, 1 * * e e 1,1, 1 1 1,1, 1 3 c. Untuk, * * Maka ada e * 3 e e c c e e c e e ,1,0 1,1,0 1,0,1 1,0, ,1, 0 1,1, 1 1,1, ,1, 0 1 1, 0,1 1,1, 1,, ,1, 0 1,1, 0 1, 0,1 1, 0,1 1,1, 0 1,1, 1 1,1, 1 Maka: e 1 1 1,, e * * e ,,1 Sehingga diperoleh: O 1,0,1, 1,1, 1, 1,,1,

16 I. 11 Hitung Volume Kotak Vektor A dan B membentuk alas sebuah kotak. Vektor C menyatakan rusuk tegaknya. Ketiga vektor berada di R 3. Hitunglah volume kotak tersebut. Penyelesaian Gambar 1. 6 Kotak dibentuk oleh tiga vector A, B dan C. Sudut disebut inklinasi. Volume kotak V A B C Volume = Luas alas kali tinggi= Luas jajaran genjang kali tinggi 1 V Luassegi tiga tinggi A B sin C cos A B sin C cos A B C cos A B C Ilustrasi. Hitung luas alas, inklinasi dan volume kotak yang dibangun oleh vektor : 1

17 1,,3,, 3,1 1,0, dimana A B dan C A dan B sebagai alas dan C sebagai rusuk tegak Penyelesaian: i. Hitung i j k A B 1 3 i j k 11i 5 j 7k 11,5, ii. Hitung volume kotak Volume, V A B C 11, 5, 7 1, 0, Volume kotak = 3 satuan isi iii. Hitung inklinasi A B C A B C cos 3 11,5, 7 1, 0, cos cos cos 95,5 31, 5 Jadi, sudut inklinasinya adalah 95,5 derajad o I. 1 Kebergantungan Linier Vektor Di R n Definisi Jika vektor S dapat dinyatakan sebagai 1 1 n S a b a b a b... a b 1 i i n n dengan a i suatu konstanta dan b i menyatakan suatu vector. Maka S dikatakan merupakan kombinasi linier dari b i Definisi n Jika i i n n 1. S a b a b a b a b O Himpunan vector b1, b,..., bn disebut bebas linier jika dan hanya jika a 1 a... an o 13

18 Himpunan vector b1, b,..., b n disebut bergantungan linier jika ada salah satu a i dalam S yang tidak sama dengan nol Ilustrasi 1) Periksa apakah C 1, dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari dua vector A 3, 4dan B, 5 Penyelesaian: cari konstanta a i dari pernyataan : C a1 A ab 1, a1 3, 4 a, 5 3a1 a, 4a1 5a Jadi diperoleh persamaan linier; 1 3a1 a 1 a1 1 a 3 1 4a1 5a a 4a Kita peroleh a 1, a 3 3 Jadi ada a 1 dan a yang memenuhi. Jadi vector C merupakan kombinasi linier dari vector A dan vector B ) Periksa apakah C 1,3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari dua vector A 3,6 dan B 1, Penyelesaian: cari a i dari pernyataan : C a1 A ab 1,3 a1 3,6 a 1, 3 a1 a,6a1 a Jadi diperoleh persamaan linier; 3a a 1 () 1 6a1a 3 01 Tidak konsisten, jadi tidak ada a 1 dan a yang memenuhi, jadi vector C bukan merupakan kombinasi linier dari vector A dan vector B. 3) Periksa apakah C 4,8 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari dua vector A 3,6 dan B 1, Penyelesaian: cari a i dari pernyataan : 14

19 C a1 A ab 4,8 a1 3,6 a 1, 3 a1 a,6a1 a Jadi diperoleh persamaan linier; 3a a 4 1 6a a 8 1 Kedua persamaan ini adalah identik jadi kita hanya dapat menyatakan Kita peroleh a 43a1 Jadi ada a 1 dan a yang tak hingga banyaknya yang memenuhi. Jadi vector C merupakan kombinasi linier dari vector A dan vector B I. 13 Ruang Bagian (sub-space) Definisi M himpunan satu atau lebih vector dari suatu ruang vector V dinamakan ruang bagian V jika memenuhi 1) u M, vm u vm ) R u M I. 14 Soal Latihan 1) Hitunglah sudut antara A dan B serta panjang C A + B jika; A=(1,) dan B=(-1,4) ) Panjang vektor A =(1,-) dan B = (3,4) membentuk rusuk suatu jajaran genjang hitunglah luas jajaran genjang tersebut 3) Sebuah kotak dibangun oleh rusuk-rusuk yang dinyatakan oleh 3 vektor ; A, B dan C. Jika A dan B diambil sebagai alas. a) Buktikan bahwa isi kotak tersebut adalah V = ( A x B ) C. b) Selanjutnya apabila diketahui vektor 15

20 A =(1,,0) dan B =(-,1,0) dan C =(1,,3). Hitunglah volume kotak jika A dan B menyatakan rusuk dari alas kotak tersebut. Hitung juga kemiringan(inklinasi),, dari kotak itu 4) Diketahui: A 1,0,1,1, 1,,1,0, 1, 1,1,0, 1,1,1,1 Carilah himpunan ortonormalnya? 16

21 Bab II Kebergantungan Linier Vektor di R n dan Matriks II. 1 Kombinasi Linier Definisi Jika S dapat dinyatakan sebagai 1 1 n S a b a b a b... a b 1 i i n n dengan a i suatu konstanta dan b i masing menyatakan suatu vector. Maka S disebut merupakan kombinasi linier dari b i Definisi Jika S aibi a1b 1 ab... anbn O. (3.1) i1 Himpunan vector b1, b,..., bn disebut bebas linier jika dan hanya jika dalam (3.1) dipenuhi a1 a... an o Himpunan vector b b b disebut bergantungan linier jika,,..., n 1 ada salah satu a i dalam (3.1) yang tidak sama dengan nol Ilustrasi 1) Periksa apakah C 1, dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari dua vector A 3, 4dan B, 5 Penyelesaian cari a i dari pernyataan : C a A a B 1, a 3, 4 a, 5 3a a, 4a 5a

22 Jadi diperoleh persamaan linier; 1 3a1 a 1 a1 1 a 3 1 4a1 5a a 4a Kita peroleh a 1, a 3 3 Jadi ada a 1 dan a yang memenuhi jadi vector C merupakan kombinasi linier dari vector A dan vector B ) Periksa apakah C 1,3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari dua vector A 3,6 dan B 1, Penyelesaian cari a i dari pernyataan : C a1 A ab 1,3 a1 1, a,4 a1 a,a1 4a Jadi diperoleh persamaan linier; a a 1 kalikan dengan 1 a14a 3 01 jumlahkan Tidak konsisten, jadi tidak ada a 1 dan a yang memenuhi dengan kata lain vector C bukan merupakan kombinasi linier dari vector A dan vector B 3) Periksa apakah C 4,8 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari dua vector A 3,6 dan B 1, Penyelesaian cari a i dari pernyataan : C a1 A ab 4,8 a1 3,6 a 1, 3 a1 a,6a1 a Jadi diperoleh persamaan linier; 3a a 4 1 6a a 8 1 Kedua persamaan ini adalah identik jadi kita hanya dapat menyatakan a 1 sebagai fungsi dari a atau sebaliknya; Kita peroleh a 43a 1 Jadi ada a 1 dan a yang tak hingga banyaknya yang memenuhi. Jadi vector C merupakan kombinasi linier dari vector A dan vector B 18

23 II. Ruang Bagian (sub-space) Definisi M himpunan satu atau lebih vector dari suatu ruang vector V dinamakan ruang bagian V jika memenuhi 1) u M, vm u vm ) R u M 19

24 II. 3 M a t r i k s Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan untuk menyatakan susunan bilangan-bilangan yang berbentuk empat persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam matriks tersebut dinamakan entry atau komponen matriks. Biasanya entry atau komponen-komponen matriks tersebut dituliskan di antara dua kurung. Setiap matriks mempunyai ukuran. Ukuran matriks ini ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang terdapat dalam matriks tersebut. Jadi untuk matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom ukurannya adalah m x n. Untuk menyatakan matriks, biasanya digunakan huruf besar, sedangkan untuk menyatakan kuantitaskuantitas numerik dari komponen (entry) matriks digunakan huruf kecil. Jadi jika A adalah sebuah matriks, maka aij menyatakan komponen matriks yang berada pada baris ke-i dan kolom ke-j. Sebagai contoh, matriks A yang berukuran m x n dituliskan Kolom ke-1 Baris ke-1 a a... a a a... a... A a a... a n 1 n m1 m mn 0

25 Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks A 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1 B = 3 1 Matriks B berukuran 1 x 3 C = Matriks C berukuran 3 x a b c d D = e f g h Matriks D berukuran x 4 e11 e1 e13 e1 e e 3 E e31 e3 e33 e41 e4 e43 Matriks E berukuran 4 x F Matriks F berukuran 3 x 4 Matriks A yang terdiri dari n baris dan n kolom, dinamakan matriks bujursangkar atau matriks kuadrat, dan komponen-komponen a11, a,..., ann dikatakan berada pada diagonal utama. a11 a1... a1 n a1 a... a n... A a n1 an... ann matriks n x n diagonal utama 1

26 Contoh II. Macam-macam matriks bujursangkar 3 4 A 5 1 matriks x b11 b1 b13 B b1 b b 3 b 31 b3 b 33 matriks 3 x 3 c11 c1 c13 c14 c1 c c3 c 4 C c31 c3 c33 c34 c41 c4 c43 c44 matriks 4 x e D e matriks 5 x 5 Dua buah matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut mempunyai ukuran dan komponen yang berkesesuaian yang sama. Contoh II.3 Tinjaulah matriks-matriks berikut 4 1 A B C D Matriks A = B karena keduanya mempunyai ukuran dan komponen matriks yang sama. Matriks A C karena tidak semua komponennya berkesesuaian. Matriks A D karena kedua matriks tidak mempunyai ukuran yang sama. Demikian juga halnya matriks B C, B D dan C D. Suatu matriks bujursangkar yang semua komponen pada diagonal utamanya terdiri dari bilangan satu dan komponen lainnya terdiri dari nol dinamakan matriks satuan atau matriks identitas. Matriks satuan ini biasanya dinyatakan dengan huruf I dan jika ukurannya disertakan maka dituliskan I n untuk matriks n x n seperti contoh di bawah ini.

27 I n Matriks satuan n x n 1 0 I 0 1 Matriks satuan x I Matriks satuan 3 x I Matriks satuan 4 x 4 Komponen-komponen suatu matriks dapat terdiri dari nol semuanya. Matriks semacam ini dinamakan matriks nol dan diberi simbol O seperti contoh di bawah ini O Matriks nol berukuran 3 x O Matriks nol berukuran 4 x 4 Jika komponen-komponen dalam kolom suatu matriks diubah menjadi baris maka akan diperoleh matriks baru yang dinamakan transpos A seperti yang didefinisikan di bawah ini. Definisi : Jika A adalah sembarang matriks m x n, dan apabila kolom pertamanya diubah menjadi baris pertama, kolom keduanya menjadi baris kedua dan seterusnya, maka matriks yang baru tersebut dinamakan transpos A dan diberi simbol A t dan ukurannya berubah menjadi n x m. 3

28 Contoh II.4 Matriks dan transposnya A t A b b b b b b B b b b b b b b b b b t B b1 b b3 b4 b b b b C t C D t D II. 4 Operasi Matriks Tidak setiap matriks dapat dijumlahkan atau dikalikan dengan matriks lain, karena ukuran matrik memegang peranan dalam penjumlahan dan perkalian matriks. Definisi : Jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama, misalkan m x n, maka A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan semua komponen yang berkesesuaian (komponen yang menempati posisi yang sama) dalam kedua matriks tersebut. Sedangkan A B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan semua komponen A dengan 4

29 komponen yang berkesesuaian dari matriks B. Matriks baru hasil penjumlahan atau pengurangan tersebut, mempunyai ukuran yang sama yaitu m x n, karena itu matriks yang ukurannya berlainan tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Contoh II.5 Tinjaulah matriks-matriks berikut, A B C Matriks A ditambah matriks B adalah, A B Matriks A + C dan B + C tidak didefinisikan karena ukurannya berbeda. Untuk pengurangan dapat dilakukan langsung seperti penjumlahan dan syaratnya pun sama yaitu kedua matriks harus berukuran sama. Jadi matriks A C dan B C tidak terdefinisi karena ukurannya berbeda, sedangkan matriks A dikurangi matriks B adalah, 5

30 ( ) 5 ( 1) A B (6) 0 ( 3) 5 ( ) ( 3) Definisi : Jika k adalah sebuah skalar dan A adalah sebuah matriks, maka hasil kali ka adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua komponen matriks A dengan k. Contoh II.6 Jika matriks A adalah, 9 5 A maka, (3)(9) (3)( ) (3)(5) A (3)(7) (3)(4) (3)( 3) A 1 artinya A 3 3 dan ( 1)A ( 1)(9) ( 1)( ) ( 1)(5) 9 5 ( 1)(7) ( 1)(4) ( 1)( 3) Teorema II.1 Andaikan matrik A, B, C dan O (matriks nol) mempunyai ukuran yang sama, dan k serta l adalah skalar. maka 1. A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan). A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum assosiatif untuk 6

31 penjumlahan) 3. k(a + B) = ka + k B = (A + B) k 4. k(a B) = ka kb = (A B)k 5. A + O = O + A = A 6. A A = O 7. O A = - A 8. (k + l)a = ka + la = A(k + l) 9. (k l)a = ka la = A(k l) 10. (kl)a = k(la) Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang komponenkomponennya ditentukan sebagai berikut; Untuk mendapatkan komponen dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks AB, ambil baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B. Kalikan komponen-komponen yang berkesesuaian dari baris dan kolom, kem udian jumlahkan semua hasil kali tersebut. Dari definisi di atas dapat kita lihat bahwa dua matriks dapat diperkalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama banyaknya dengan jumlah baris matriks kedua. Untuk mempermudah mengingat dapat digunakan Gambar II.1. Dari gambar tersebut, jika ukuran matriks yang berada di sebelah dalam sama, maka hasil kalinya dapat didefinisikan, dan ukuran matriks yang berada di sebelah luar memberikan ukuran hasil kali matriks tersebut. 7

32 A m x r di dalam di luar B r x n = AB m x n Ukuran matriks hasil perkalian Gambar II.1 Contoh II.7 Misalkan A adalah matriks x 4, B adalah matriks 4 x 3 dan C matriks x 3. Matriks A dengan matriks B dapat diperkalikan karena jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B yaitu 4. Hasil kalinya yaitu matriks AB mempunyai ukuran x 3. Matriks A dengan matriks C tidak dapat diperkalikan karena jumlah kolom matriks A (4) tidak sama dengan jumlah baris matriks C (3). Matriks B dengan matriks C dapat diperkalikan karena jumlah kolom matriks B sama dengan jumlah baris matris C yaitu 3. Hasil kalinya yaitu matriks BC mempunyai ukuran 4 x 3. Untuk mendapatkan komponen-komponen matriks hasil perkalian dapat dilihat dalam contoh di bawah ini. Contoh II.8 Diketahui tiga matriks berikut, 1 3 A B C Tentukanlah hasil kali AB, AC dan BC. Jawab : 8

33 Matriks A berukuran x 3 sedangkan matriks B berukuran 3 x 4, jadi matriks A dan matriks B dapat diperkalikan dan hasilnya adalah matriks x 4 seperti di bawah ini, AB ()(-1) + (-1)(5) + (3)() ()(3) + (-1)(-3) + (3)(4) ()(6) ( 1)(0) (3)(1) ()( ) ( 1)(1) (3)(5) ( 3)( 1) (4)(5) (5)() ( 3)(3) (4)( 3) (5)(4) ( 3)(6) (4)(0) (5)(1) ( 3)( ) (4)(1) (5)(5) Matriks A berukuran x 3 sedangkan matriks C berukuran 3 x, jadi matriks A dan matriks C dapat diperkalikan dan hasilnya adalah matriks x seperti di bawah ini, AC ()(3) ( 1)(4) (3)( ) ()(1) ( 1)( 5) (3)(1) ( 3)(3) ((4)(4) (5)( ) ( 3)(1) (4)( 5) (5)(1) Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks C berukuran 3 x, jadi matriks B dan C tidak dapat dikalikan, atau BC tidak terdefinisi. Hukum komutatif untuk perkalian dalam bilangan riil, tidak berlaku dalam perkalian matriks, karena AB tidak selalu sama dengan BA. Contoh II.9 9

34 Diketahui matriks A, B dan C seperti contoh II.8. Tentukanlah BA, CA dan CB. Jawab : Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks A berukuran x 3, jadi matriks A dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau BA tidak terdefinisi. Matriks C berukuran 3 x sedangkan matriks A berukuran x 3, jadi matriks C dan matriks A dapat diperkalikan dan hasilnya adalah matriks x seperti di bawah ini, AC = = = (3)() (1)( 3) (3)( 1) (1)(4) (3)(3) (1)(5) (4)() ( 5)( 3) (4)( 1) ( 5)(4) (4)(3) ( 5)(5) ( )() (1)( 3) ( )( 1) (1)(4) ( )(3) (1)(5) Matriks C berukuran 3 x dan matriks B berukuran 3 x 4, jadi matriks C dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau CB tidak terdefinisi. Dari contoh II.8 dan II.9 tersebut dapat kita lihat bahwa AB BA dan AC CA. Teorema II. Jika matriks A, B, C dan matriks nol O mempunyai ukuran yang memenuhi untuk penjumlahan dan perkalian matriks yang diperagakan di bawah ini, dan k adalah suatu konstanta, maka a. A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian) b. A(B + C) = AB + AC (hukum distributif) 30

35 c. (A + B)C = AC + BC (hukum distributif) d. A(B C) = AB AC e. (A B)C = AC BC f. k(bc) = (kb)c = B(kC) g. AO = O ; OA = O Jika A adalah matriks m x n, I n adalah matriks satuan berukuran n x n dan I m adalah matriks satuan m x m maka AI n = A dan I m A = A. Jadi matriks satuan memegang peranan yang penting dalam perkalian matriks yang peranannya mirip dengan bilangan 1 dalam hubungan numerik a.1 = 1. a = a Contoh II.10 Tinjau matriks-matriks berikut, a a a A a a a I I Jika matriks I dikalikan dengan matriks A hasilnya adalah, I A 1 0a a a a a a a1 a a 3 a1 a a 3 Jika matriks A dikalikan dengan matriks I 3 hasilnya adalah, AI a a a a a a a1 a a 3 a1 a a Dalam perkalian bilangan riil berlaku pernyataan berikut, (i) Jika ab = ac dan a 0 maka b = c (ii) Jika ad = 0 maka a = 0 atau d = 0 Dalam perkalian matriks, pernyataan ini tidak selalu benar seperti yang diberikan dalam contoh berikut. A A 31

36 Contoh II.11 Diketahui matriks-matriks berikut, A B C D Kalikan matriks A dengan matriks B dan kalikan matriks A dan matriks C, diperoleh AB AC Dari kedua perkalian di atas didapatkan bahwa AB = AC, akan tetapi B C. Kalikan matriks A dengan matriks D, diperoleh AD Walaupun hasil perkalian di atas menunjukkan bahwa AD = O akan tetapi A O dan juga D O. Dari perkalian matriks yang telah dibahas di atas, dapat didefinisikan pangkat dalam matriks sebagai berikut, Definisi: Jika A adalah matriks bujursangkar, maka pangkat bilangan bulat tak negatif dari matriks A ini didefinisikan sebagai berikut, A 0 = I A n = A A A... A (n >0) n buah A 3

37 Perkalian matriks yang mempunyai pangkat, sama dengan perkalian bilangan riil yang berpangkat seperti ditunjukkan dalam teorema di bawah ini. Teorema II.3 Jika A adalah matriks bujursangkar, r dan s adalah bilangan bulat, maka A r A s = A r+s dan (A r ) s = A rs Contoh II.1 Diketahui matriks A = A 3 = A A A = = = A 4 = A 3 A 1 = = Teorema II.4 Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat dilakukan, maka a. (A t ) t = A b. (A + B) t = A t + B t c. (ka) t = k A t, di mana k adalah skalar sebarang Contoh II.13. Diketahui matriks A dan B

38 t A t B t t ( A ) A A B (A + B) t = A t t B = = A t t ( A) A II.5 Latihan 1. Tentukanlah tranpos matriks-matriks berikut, (i) A = (ii) B = (iii) C =

39 . Tinjaulah matriks-matriks berikut, A = D B E C F Hitunglah : (a) A + B (b) A + D (c) B + C (d) C + B (e) C + E (f) D + E (g) D + F (h) E + F 3. Hitunglah untuk matriks-matriks pada soal nomor. (a) A B (b) A D (c) B C (d) C B (e) C E (f) D E (g) D F (h) E F 4. Untuk matriks-matriks dalam soal nomor, hitunglah, (a) A t B (b) A D t (c) (B C) t (d) (C B) t (e) C E (f) (D E) t (g) (ED) t (h) E t D 35

40 BAB III. Sistem Persamaan Linier & Matriks III. 1 Persamaan Linier Persamaan linier umumnya ditulis sebagai a x a x a x b a, b konstanta, x variabel peubah bebas i i i Ciri-cirinya Y 4 (0, ) 3 n n n - Semua variabel berpangkat Satu - Semua suku hanya memiliki satu variabel Secara geometri Persamaan Linier dengan ; - variabel menyatakan suatu garis lurus - 3 variabel menyatakan suatu bidang Contoh : 1. Dua variabel x + 3y = 4 tan 3 (, 0 ) X disebut gradien atau koefisien arah y = - 3 x Z ( 0, 0, 5 ). Tiga variabel 3x + 4 y + z = 5 5 ( 0,, 0 ) 4 Y X 5 (, 0, 0 ) 3 36

41 Jika b n = 0, maka persamaan itu dinamakan Persamaan Linier Homogen. Secara geometri artinya o variabel garis lurus yang melalui (0,0) o 3 variabel bidang datar yang melalui (0,0,0) III. Sistem persamaan linier Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier dalam peubah bebas x1 x,,..., n x dinamakan sistem persamaan linier atau sistem linier. Bentuk umum dari sistem persamaan linier yang terdiri dari m persamaan linier dan n bilangan tak diketahui adalah, a x a x... a nxn b a x a x... a nxn b a x a x... + a x b m1 1 m mn n m di mana x 1, x,..., x n adalah bilangan-bilangan tidak diketahui (variabel), aij (i = 1,,..., m, j = 1,,..., n) adalah koefisien bilangan yang diketahui nilainya dan bi adalah konstanta. Tanda subscript pada koefisien aij merupakan alat untuk mempermudah 37

42 dalam menyatakan letak koefisien tersebut dalam persamaan. Subscript pertama yaitu i menyatakan persamaan yang ke-i dalam sistem persamaan linier tersebut, sedangkan subscript kedua yaitu j menyatakan letak koefisien tersebut pada bilangan yang tidak diketahui sebagai padanan perkaliannya. Sebagai contoh a3 adalah koefisien yang berada di persamaan kedua, kolom ke tiga yang dikalikan dengan x 3. III. 3 Operasi baris elementer Perhatikan bentuk umum sistem persamaan linier yaitu, a x a x... a x b n n 1 a1x1 ax... anxn b a x a x... + a x b m1 1 m mn n m Dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian matri a11 a1 a1n x1 b1 a a a x b 1 n a a a x b m1 m mn n n Pemecahan sistem persamaan linier ini tidak akan berubah jika, Dua baris dari sistem persamaan linier tersebut saling bertukar tempat. 38

43 Suatu baris dari sistem persamaan linier tersebut dikalikan dengan suatu bilangan tetap 0. Suatu baris diganti oleh jumlah baris tersebut dengan kali baris yang lain. Ketiga operasi ini dinamakan operasi baris elementer (disingkat OBE) dan masing-masing dinyatakan oleh simbol Oij, Oi() dan Oij(). Jadi, Oij berarti baris ke-i dan baris ke-j saling tukar tempat Oi( ) berarti baris ke-i diganti dengan kali baris ke-i. Oij( ) berarti baris ke-i diganti oleh baris ke-i yang sudah ditambah dengan kali baris ke-j. Dengan menggunakan operasi baris elementer (disebut juga metode Gauss) ini kita dapat memecahkan sistem persamaan linier seperti pada contoh berikut, Contoh I.3 Carilah pemecahan atau jawab sistem persamaan linier berikut, x y z 9 x 4y 3z 1 3x 6y 5z 0 J awab : 39

44 Untuk memecahkan sistem persamaan di atas akan digunakan operasi baris elementer sebagai berikut, x y z 9 x 4y 3z 1 3x 6y 5z 0 Langkah pertama, baris kedua diganti oleh baris kedua yang sudah ditambah - kali baris pertama, diperoleh x y z 9 y 7z 17 3x 6y 5z 0 Langkah kedua, baris diganti ketiga oleh baris ketiga yang sudah ditambah -3 kali baris pertama, diperoleh x y z 9 y 7z 17 3y 11z 7 Langakah ketiga, baris kedua diganti oleh baris kedua yang sudah dikalikan dengan 1/, diperoleh x y z 9 y 7 z 17 3y 11z 7 Langkah keempat, baris ketiga diganti oleh baris ketiga yang sudah ditambah dengan -3 kali baris kedua, diperoleh 40

45 x y z 9 y 7 17 Langkah kelima, 1 z z 3 baris ketiga diganti oleh baris ketiga yang sudah dikalikan dengan - 1/, diperoleh x y z 9 y 7 z 17 z 3 Langkah keenam, baris kedua diganti oleh baris kedua yang sudah ditambah /7 kali baris ketiga, diperoleh x y z 9 y z 3 Langkah ketujuh. baris pertama x y y 3 z 3 Langkah kedelapan, baris diganti oleh baris pertama diganti pertama yang oleh baris sudah ditambah pertama yang dengan - kali sudah ditambah baris ketiga, dengan -1 kali diperoleh baris kedua, diperoleh x y 1 z 3 Jadi pemecahannya adalah, x = 1, y = dan z = 3. 41

46 III. 4 Sistem persamaan linier homogen Sistem persamaan linier yang semua suku konstantanya berharga nol disebut sistem persamaan linier homogen. Bentuk umum dari sistem persamaan linier homogen adalah, a11x1 a1x... a1n xn a1x1 ax... anxn a x a x... + a x m1 1 m mn n Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1 0, x 0,..., x n 0 selalu merupakan pemecahan dari sistem tersebut. Pemecahan seperti itu dinamakan pemecahan trivial. Jika ada pemecahan lain selain pemecahan trivial, maka pemecahan tersebut dinamakan pemecahan taktrivial/non trivial. Karena sistem persamaan linier homogen harus konsisten, maka terdapat satu pemecahan atau takterhingga banyaknya pemecahan. Salah satu dari pemecahan tersebut adalah pemecahan trivial, karena itu dapat dibuat pernyataan berikut. Untuk sistem persamaan linier homogen, salah satu pernyataan berikut benar, Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial. Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan tak trivial dan salah satu diantaranya adalah pemecahan trivial. 4

47 Jika sistem persamaan homogen melibatkan lebih banyak bilangan tidak diketahui daripada banyaknya persamaan, maka sistem tersebut dipastikan mempunyai pemecahan taktrivial. Contoh I.5 Carilah pemecahan sistem persamaan linier di bawah ini x y z w 0 x y w 0 x 4y 3z w 0 Sistem persamaan linier terahir adalah x z w 0 y z 0 atau w x z z y Untuk x = s dan y = t maka z = t dan w = -s - t. Berapa saja nilai s dan t diambil akan merupakan pemecahan dari sistem persamaan linier homogen di atas. Pemecahan trivial dipenuhi untuk s = 0 dan t = 0. Catatan 1) Jika pada suatu persamaan diperoleh pernyataan 0x1 0x...0xn b n,bn 0 maka SPL tersebut dikatakan inkonsisten, artinya sistim persamaan linier tidak mempunyai solusi ) Jika pada suatu persamaan diperoleh pernyataan 1 n n n 0x 0x...0x b,b 0 maka persamaan tersebut dapat dihilangkan dan tidak mempengaruhi hasil 43

48 Soal Latihan 1. Carilah x,y, dan z dari sistim persamaan linier berikut dengan metode Gauss x y z 9 x 4y 3z 1 3x 6y 5z 0. Carilah solusi sistim persamaan linier x,y,z, dan u, berikut dengan metode Gauss,bila ada x y z u 9 x 4y 3z u 1 3x 6y 5z 0 3x 6y 5z 3u 0 III. 5 Operasi Matriks Tidak setiap matriks dapat dijumlahkan atau dikalikan dengan matriks lain, karena ukuran matrik memegang peranan dalam penjumlahan dan perkalian matriks. Definisi : Jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama, misalkan m x n, maka A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan semua komponen yang berkesesuaian (komponen yang menempati posisi yang sama) dalam kedua matriks tersebut. Sedangkan A B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan semua komponen A dengan komponen yang berkesesuaian dari matriks B. Matriks baru hasil penjumlahan atau pengurangan tersebut, mempunyai ukuran yang sama yaitu m x n, karena itu matriks yang ukurannya berlainan tidak dapat dijumlahkan atau 44

49 dikurangkan. Contoh II.5 Tinjaulah matriks-matriks berikut, A B C Matriks A ditambah matriks B adalah, A B Matriks A + C dan B + C tidak didefinisikan karena ukurannya berbeda. Untuk pengurangan dapat dilakukan langsung seperti penjumlahan dan syaratnya pun sama yaitu kedua matriks harus berukuran sama. Jadi matriks A C dan B C tidak terdefinisi karena ukurannya berbeda, sedangkan matriks A dikurangi matriks B adalah, ( ) 5 ( 1) A B (6) 0 ( 3) 5 ( ) ( 3) 11 45

50 Definisi : Jika k adalah sebuah skalar dan A adalah sebuah matriks, maka hasil kali ka adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua komponen matriks A dengan k. Contoh II.6 Jika matriks A adalah, 9 5 A maka, (3)(9) (3)( ) (3)(5) A (3)(7) (3)(4) (3)( 3) dan ( 1)A ( 1)(9) ( 1)( ) ( 1)(5) 9 5 ( 1)(7) ( 1)(4) ( 1)( 3) Teorema II.1 Andaikan matrik A, B, C dan O (matriks nol) mempunyai ukuran yang sama, dan k serta l adalah skalar. maka a) A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan) b) A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum assosiatif untuk penjumlahan) c) k(a + B) = ka + k B = (A + B) k d) k(a B) = ka kb = (A B)k e) A + O = O + A = A f) A A = O g) 1.A = A h) (k + l)a = ka + la = A(k + l) 46

51 i) (k l)a = ka la = A(k l) j) (kl)a = k(la) Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang komponenkomponennya ditentukan sebagai berikut; Untuk mendapatkan komponen dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks AB, ambil baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B. Kalikan komponen-komponen yang berkesesuaian dari baris dan kolom tersebut, kemudian jumlahkan semua hasil kali tersebut. Dari definisi di atas dapat kita lihat bahwa dua matriks dapat diperkalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama banyaknya dengan jumlah baris matriks kedua. Untuk mempermudah mengingat dapat digunakan Gambar II.1. Dari gambar tersebut, jika ukuran matriks yang berada di sebelah dalam sama, maka hasil kalinya dapat didefinisikan, dan ukuran matriks yang berada di sebelah luar memberikan ukuran hasil kali matriks tersebut. A m x r B r x n = AB m x n Ukuran matriks hasil perkalian Gambar II.1 Contoh II.7 Misalkan A adalah matriks x 4, B adalah matriks 4 x 3 dan C matriks 3 x 3. 47

52 Matriks A dengan matriks B dapat diperkalikan karena jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B yaitu 4. Hasil kalinya yaitu matriks AB mempunyai ukuran x 3. Matriks A dengan matriks C tidak dapat diperkalikan karena jumlah kolom matriks A (4) tidak sama dengan jumlah baris matriks C (3). Matriks B dengan matriks C dapat diperkalikan karena jumlah kolom matriks B sama dengan jumlah baris matris C yaitu 3. Hasil kalinya yaitu matriks BC mempunyai ukuran 4 x 3. Untuk mendapatkan komponen-komponen matriks hasil perkalian dapat dilihat dalam contoh di bawah ini. Contoh II.8 Diketahui tiga matriks berikut, 1 3 A B C Tentukanlah hasil kali AB, AC dan BC. Jawab : Matriks A berukuran x 3 sedangkan matriks B berukuran 3 x 4, jadi matriks A dan matriks B dapat diperkalikan dan hasilnya adalah matriks x 4 seperti di bawah ini, AB ()(-1) + (-1)(5) + (3)() ()(3) + (-1)(-3) + (3)(4) ()(6) ( 1)(0) (3)(1) ()( ) ( 1)(1) (3)(5) ( 3)( 1) (4)(5) (5)() ( 3)(3) (4)( 3) (5)(4) ( 3)(6) (4)(0) (5)(1) ( 3)( ) (4)(1) (5)(5)

53 Matriks A berukuran x 3 sedangkan matriks C berukuran 3 x, jadi matriks A dan matriks C dapat diperkalikan dan hasilnya adalah matriks x seperti di bawah ini, AC ()(3) ( 1)(4) (3)( ) ()(1) ( 1)( 5) (3)(1) ( 3)(3) ((4)(4) (5)( ) ( 3)(1) (4)( 5) (5)(1) Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks C berukuran 3 x, jadi matriks B dan C tidak dapat dikalikan, atau BC tidak terdefinisi. Hukum komutatif untuk perkalian dalam bilangan riil, tidak berlaku dalam perkalian matriks, karena AB tidak selalu sama dengan BA. Contoh II.9 Diketahui matriks A, B dan C seperti contoh II.8. Tentukanlah BA, CA dan CB. Jawab : Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks A berukuran x 3, jadi matriks A dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau BA tidak terdefinisi. Matriks C berukuran 3 x sedangkan matriks A berukuran x 3, jadi matriks C dan matriks A dapat diperkalikan dan hasilnya adalah matriks x seperti di bawah ini, CA

54 = (3)() (1)( 3) (3)( 1) (1)(4) (3)(3) (1)(5) (4)() ( 5)( 3) (4)( 1) ( 5)(4) (4)(3) ( 5)(5) ( )() (1)( 3) ( )( 1) (1)(4) ( )(3) (1)(5) = Matriks C berukuran 3 x dan matriks B berukuran 3 x 4, jadi matriks C dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau CB tidak terdefinisi. Dari contoh II.8 dan II.9 tersebut dapat kita lihat bahwa AB BA dan AC CA. Teorema II. Jika matriks A, B, C dan matriks nol O mempunyai ukuran yang memenuhi untuk penjumlahan dan perkalian matriks yang diperagakan di bawah ini, dan k adalah suatu konstanta, maka a. A(BC) = (AB)C (hukum asosiatif untuk perkalian) b. A(B + C) = AB + AC (hukum distributif) c. (A + B)C = AC + BC (hukum distributif) d. A(B C) = AB AC e. (A B)C = AC BC f. k(bc) = (kb)c = B(kC) g. AO = O ; OA = O Jika A adalah matriks m x n, I n adalah matriks satuan berukuran n x n dan I m adalah matriks satuan m x m maka AI n = A dan I m A = A. Jadi matriks satuan memegang peranan yang penting dalam perkalian matriks yang peranannya mirip dengan bilangan 1 dalam hubungan numerik a.1 = 1. a = a. Contoh II.10 Tinjau matriks-matriks berikut, 50

55 a a a A a a a I I Jika matriks I dikalikan dengan matriks A hasilnya adalah, I A 1 0a a a a a a a1 a a 3 a1 a a 3 Jika matriks A dikalikan dengan matriks I 3 hasilnya adalah, AI a a a a a a a1 a a 3 a1 a a A A Dalam perkalian bilangan riil berlaku pernyataan berikut, (i) Jika ab = ac dan a 0 maka b = c (ii) Jika ad = 0 maka a = 0 atau d = 0 Dalam perkalian matriks, pernyataan ini tidak selalu benar seperti yang diberikan dalam contoh berikut. Contoh II.11 Diketahui matriks-matriks berikut, A B C D Kalikan matriks A dengan matriks B dan kalikan matriks A dan matriks C, diperoleh AB AC Dari kedua perkalian di atas didapatkan bahwa AB = AC, akan tetapi B C. 51

56 Kalikan matriks A dengan matriks D, diperoleh AD Walaupun hasil perkalian di atas menunjukkan bahwa AD = O akan tetapi A O dan juga D O. Dari perkalian matriks yang telah dibahas di atas, dapat didefinisikan pangkat dalam matriks sebagai berikut, Definisi: Jika A adalah matriks bujursangkar, maka pangkat bilangan bulat tak negatif dari matriks A ini didefinisikan sebagai berikut, A 0 = I A n = A A A... A (n >0) n buah A Perkalian matriks yang mempunyai pangkat, sama dengan perkalian bilangan riil yang berpangkat seperti ditunjukkan dalam teorema di bawah ini. Teorema II.3 Jika A adalah matriks bujursangkar, r dan s adalah bilangan bulat, maka A r A s = A r+s dan (A r ) s = A rs Contoh II.1 5

57 Diketahui matriks A = A 3 = A A A = = = A 4 = A 3 A 1 = = Teorema II.4 Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat dilakukan, maka a. (A t ) t = A b. (A + B) t = A t + B t c. (ka) t = k A t, di mana k adalah sebarang skalar Contoh II.13. Diketahui matriks A dan B t A t B t t ( A ) A A B (A + B) T =

58 A t t B = = Jadi (A + B) t =A t + B t A t t ( A) A III. 6 Latihan 1. Tentukanlah tranpos matriks-matriks berikut, (i) A = (ii) B = (iii) C = Tinjaulah matriks-matriks berikut, A = B C

59 1 9 4 D E F Hitunglah : (a) A + B (b) A + D (c) B + C (d) C + B (e) C + E (f) D + E (g) D + F (h) E + F 3. Hitunglah untuk matriks-matriks pada soal nomor. (a) A B (b) A D (c) B C (d) C B (e) C E (f) D E (g) D F (h) E F 4. Untuk matriks-matriks dalam soal nomor, hitunglah, (a) AB (b) BA (c) AD (d) DA (e) BC (f) BF (g) CD (h) DC (i) DE (j) ED (k) EF (l) FE 5.Diketahui a b b c 8 1 = 3d c a 4d 7 6. Tentukanlah harga a, b, c dan d. 6. Misalkan memenuhi, A (a) AB = 0 (b) BA = 0 7. Diketahui matriks-matriks berikut, A = Carilah matriks B berukuran x yang B = C = Hitunglah, (a) B +C (b) AB (c) BA (d) AC (e) CA (f) A(B 3C) 8. Tinjaulah matriks-matriks berikut, 55

60 3 0 A D B = E Hitunglah, (a) AB (b) D + E (c) D E (d) DE C (e) ED (f) 7B 9. Dengan menggunakan matriks-matriks pada soal nomor 8, hitunglah operasi-operasi di bawah ini. (a) 3C D (b) (3E)D (c) (AB)C (d) A(BC) (e) (4B)C + B (f) D + E 10. Hitunglah AB BA di mana, 0 0 A B Carilah harga a, b, c dan d yang memenuhi persamaan matriks berikut, (i) a b c d 5 (ii) a b c d Diketahui matriks, p q C r s t u 1 A dan 3 B Carilah matriks 56

61 sehingga A + B C = O 13. Diketahui matriks-matriks berikut, 3 5 A B C a. Tunjukkanlah bahwa AB = OA = O, AC = A, CA = C b. Gunakanlah hasil pada bagian a untuk memperlihatkan bahwa ACB = CBA dan A B = (A B)(A + B) 14. Diketahui matriks-matriks berikut, 1 3 A Buktikanlah bahwa, 3 4 B I (a) (A t ) t = A (b) (5A) t = 5A t (c) (AB) t = B t A t (d) (AI) t = A t 15. Dengan menggunakan matriks-matriks pada soal 14, hitunglah, (a) A t B (b) B t A (c) (AI)B (d) A(IB) III. 7 Representasi Matriks dalam Sistem Persamaan Linier Pada waktu membahas mengenai sistem persamaan linier, telah diperkenalkan bentuk umum sistem persamaan linier, yaitu 57

62 a x a x... a x b n n 1 a x a x... a x b 1 1 n n a x a x... + a x b m1 1 m mn n m Apabila kita buat sebuah matriks yang komponen-komponennya terdiri dari koefisien-koefisien sistem persamaan linier di atas maka akan diperoleh matriks berikut, a11 a1... a1n a1 a... a. n a m1 am... amn Matriks ini disebut matriks koefisien dari sistem persamaan linier. Jika konstanta bi (i = 1,,..., m) disertakan dalam matriks ini, maka matriksnya menjadi, a11 a1... a1 n b1 a1 a... an b a m1 am... amn bm atau tanpa garis pemisa h a11 a1... a1 n b1 a1 a... an b a m1 am... amn bm Matriks yang menyertakan konstanta bi ini disebut matriks yang diperbesar. Contoh II.14 58

63 Diketahui sistem persamaan linier yang terdiri dari tiga persamaan linier dan tiga bilangan yang tidak diketahui berikut, x x x x 4x 3x x 6x 5x Pertanyaannya hitunglah x 1,x dan x 3 dengan metode Eliminasi Gauss Matrik koefisien dari sistem persamaan linier ini adalah, Sedangkan matriks yang diperbesarnya adalah, atau Perkalian matriks mempunyai penerapan yang penting dalam sistem persamaan linier. Tinjaulah suatu sistem yang terdiri dari m persamaan linier dan n bilangan tidak diketahui. a x a x... a x b n n 1 a x a x... a x b 1 1 n n a x a x... + a x b m1 1 m mn n m Karena dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika komponenkomponen yang berkesesuaiannya sama, maka sistem persamaan linier di atas dapat dituliskan dalam persamaan matriks tunggal berikut, 59

64 a11x1 a1x... a1 nxn b1 a x a x... a x b 1 1 n n a x a x... + a x b m1 1 m mn n m Matriks di ruas kiri adalah matriks m x 1 dan matriks di ruas kanan juga matriks m x 1. Matriks di ruas kiri dapat dituliskan sebagai hasil kali yang memberikan, a11 a1... a1 n x1 b1 a a... a x b 1 n a a... a x b m1 mn mn n m A Jika matriks dengan komponen-komponennya a ij diberi nama matriks A (matriks m x n), matriks yang komponen-komponennya x i (matriks n x 1) diberi nama matriks X dan matriks dengan komponen-komponennya b i (matriks m x 1) diberi nama matiks B, maka perkalian matriks di atas dapat dituliskan menjadi, X B AX = B Dengan demikian sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks. Untuk sistem persamaan linier homogen, bentuk perkalian matriksnya adalah AX = O, di mana O adalah matrik nol berukuran m x 1. Contoh II.15 Tinjaulah sistem persamaan linier berikut, 60

65 3x x x x 3x x x x 3x x 7x 30 1 Matriks ini dapat dituliskan sebagai perkalian matriks AX = B, di mana A x1 X x x B Matriks A berukuran 4 x 3 dan matriks X berukuran 3 x 1, jadi menurut peraturan perkalian matriks, matriks A dapat dikalikan dengan matriks X dan hasilnya yaitu matriks B berukuran 4 x 1. Dari matriks B di atas, dapat kita lihat bahwa matriks B betul berukuran 4 x 1. Jika kita coba kalikan lagi matriks A dengan matriks X maka akan diperoleh, AX 3 1 3x x x x 5x1 3x x 3 x x1 x 3x 3 x x1 7 x Karena AX=B maka diperoleh; 15 0 B AX 3x1 x x3 15 5x1 3x x 3 0 B 3 x1 x 3x x1 7 x 30 ata u 3x x x x 3x x x x 3x x 7x

66 III. 8 Latihan Buatlah sistem-sistem persamaan linier pada soal nomor 1 sampai dengan 7 menjadi bentuk perkalian matriks. 1. x 3y 4z 0 x y z 1 4x 5y 6z x x x 3x 1 7x 4x 5x x 6x 4 3 5x 7x 6x x 3x x x x 4x 3x x 4x x y 3z 5 x y 4z 11 y z 3 4. x y 5z 4w 1 x 3y z 3w 3 x 5y 3z w x 4y 6z 5w x y w 0 3x 5y z 3w 0 x 7y 6z 0 8x z 5w x 5x x x x 7x x x 6x 5x 3x x x 4x 6x x 3x x 8x Tentukanlah bentuk sistem persamaan linier dari perkalian matriks dalam soal nomor 8 sampai dengan x x 0 4 x x y z x 4 x x x y z w 8 6

67 x y z w x 0 x x x III. 9 Minor, Kofaktor dan Determinan Tinjau matriks bujur sangkar (jumlah baris sama dengan jumlah kolom/variable) a a... a a a... a... A a a... a n 1 n n1 n nn Definisi : Matriks yang diperoleh dengan membuang baris ke-i kolom j disebut minor ke ij diberi symbol, M ij Contoh M a a3... an a1 a3... an a a... a a a... a n n......, M a a... a a a... a 11 1 n n3 nn n1 n3 nn 63

68 Definisi : Kofaktor, A ij adalah determinan M ij dikalikan dengan -1 jika i+j ganjil atau dikalikan dengan 1 jika i+j genap. Jadi dapat ditulis dengan rumus; A 1 ij det 1 i M j M ij ij ij Definisi : Determinan matrik A a ij i 1, n dan j 1, ndapat dihitung dengan berbagai cara; det a11 A11 a1 A1... a1 na1 n baris ke-1 sebagai referensi a1a1 a A... a na n baris ke- sebagai referensi A an 1An 1 an An... ann Ann baris ke-n sebagai referensi Apabila determinan suatu matrik tidak sama dengan nol. Matrik disebut matrik non-singular Definisi : Jika determinan matrik bujur sangkar A a ij i 1, n dan j 1, n tidak sama dengan nol, maka matrik tersebut 1 disebut non-singular dan mempunyai inversi (symbol A ). Matrik 1 inversi A didefinisikan sebagai; A11 A1.. A1 n 1 A A.. A A det A..... A An 1 An.. Ann 1 1 n ij A, i j 1, n t t t A ij disebut Ajoint matrik Adisebut juga matrik ajoint Contoh; carilah inversi matrik berikut 64