Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom [MA1124] KALKULUS II

Transkripsi

1 Program Peruliahan asar Umum Seolah Tinggi Tenologi Telom Integral Lipat ua [MA4]

2 Integral Lipat ua Misalan z f(,) terdefinisi pada merupaan suatu persegi panjang tertutup, aitu : {(, ) : a b, c d} b a z c Zf(,) // [MA 4] d (, ). Bentu partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.. Pilih (, ) pada setiap sub interval pada [ i, i- ] dan [ i, i- ] 3. Bentu jumlah iemann. n n i i f(, ) A 4. Jia n ( P ) diperoleh limit jumlah iemann. n n lim f(, ) A n i i Jia limit ada, maa z f(,) terintegralan iemann pada, ditulis n n f(, ) da lim f(, ) A n i i

3 Integral Lipat ua efinisi integral lipat dua : Misalan f suatu fungsi dua peubah ang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup. Jia lim n P f (, ) A // [MA 4] ada, ita ataan f dapat diintegralan pada. Lebih lanjut f (, ) da lim P n f (, f (, )da ) A f (, )dd ang disebut integral lipat dua f pada diberian oleh : atau f (, )d d lim P n f (, ) 3

4 Arti Geometri Integral Lipat ua Jia z f(,) ontinu, f(,) pada persegpanjang, maa f (, ) da menataan volume benda padat ang terleta di bawah permuaan permuaan z f(,) dan di atas. // [MA 4] 4

5 Menghitung Integral Lipat ua Jia f(,) pada, maa volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, aitu: (i) Sejajar bidang XOZ z z f(,) z A() b a A() c d a b b A ( ) f(, ) d a // [MA 4] 5

6 Menghitung Integral Lipat ua (Lanjutan) d d b d b f (, ) da A( ) d f (, ) d d Maa c c f, ) da a d b ( c a f (, ) d d c a f (, ) d d // [MA 4] 6

7 Menghitung Integral Lipat ua (lanjutan) (ii) Sejajar bidang YOZ z z f(,) z A() A() b a c d c d d A ( ) f(, ) d c // [MA 4] 7

8 Menghitung Integral Lipat ua (Lanjutan) b b d b d f (, ) da A( ) d f (, ) d d Maa a a f, ) da ( c b d a c f (, ) d d a c f (, ) d d // [MA 4] 8

9 Contoh + ( ). Hitung integral lipat dua beriut ini : 4 dimana {(,) 6, 4} Jawab: ( ) da ( ) d d da d d // [MA 4] 9

10 Atau, Contoh ( ) da ( ) d d + 4 ( ) 7 + d 6 d // [MA 4]

11 Contoh +. Hitung integral lipat dua beriut ini : sin( ) π/ dimana {(,) π/, π/} Jawab: sin ( ) da sin( ) + π/ π / π / + π / π / // [MA 4] d d cos( + ) d 6 π ( ) cos + + cos d π / π / π sin sin + π π sin sin( π ) + sin da

12 a Latihan. Hitung +. e d d ( ) b. d d. ( ) f, d d untu fungsi. c d + d a. f(,) ( + ) dengan [-, ] [, ] b. f(,) + dengan [, ] [, ] c. f(,) 3 cos dengan [-π/, π] [, ] // [MA 4]

13 Sifat Integral Lipat ua Misalan f(,) dan g(,) terdefinisi di persegipanjang. f (, ) da f (, ) da. ( f (, ) + g(, ) ) da f (, ) da g(, ) + 3. Jia +, maa (, ) da f (, ) da f (, ) f + 4. Jia f(,) g(,), maa (, ) da g( ) f, da da da // [MA 4] 3

14 Integral Lipat ua atas aerah Sembarang Ada dua tipe Tipe I {(,) a b, p() q() } Tipe II {(,) r() s(), c d } // [MA 4] 4

15 Tipe I q() Integral lipat dua pada daerah dapat dihitung sebagai beriut : a b p() f (, ) da b a q( ) f p( ) (, ) d d {(,) a b, p() q()} // [MA 4] 5

16 Tipe II d Integral lipat dua pada daerah dapat dihitung sebagai beriut : c r () s () d s() f (, )da c r() f (, ) d d {(,) r() s(), c d} // [MA 4] 6

17 Aturan Integrasi Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentu (daerah integrasi). alam perhitunganna, adangala ita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebaban dengan perubahan urutan pengintegralan aan memudahan dalam proses integrasina. Oleh arena itu, langah pertama ita harus dapat menggambaran daerah integrasi, selanjutna ita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada setsa daerah integrasi ang sama. // [MA 4] 7

18 Contoh. Hitung ( ) e da, dibatasi,, sumbu ( e ) da ( e ) {(,), } e d ( ) e d d d ( ) e e e // [MA 4] 8

19 Contoh Atau dibali urutan pengintegralanna, aitu: {(,), } ( e ) ( e ) da e e e d d d d ( e e + e ) e e ( + ) e // [MA 4] 9

20 4 Contoh. e d d Jawab: aerah integrasina {(,) 4, / } iubah urutan pengintegralanna, aitu: {(,), } Sehingga 4 / // [MA 4] 4 e d d e e d e e 4 d d e d

21 Latihan.. 7. π 3 3 e 3 d d 3. sin cos d d 4. + π π d d sin( + ) d d ( + ) d d 8. π cos sin d d e 3 d d 6. e d d // [MA 4]

22 Integral lipat dalam oordinat utub/polar Hitung e + da, {(,) + 4} alam sistem oordinat artesius, integral ini sulit untu diselesaian. Sistem Koordinat Kutub r P(r,θ) Hubungan Kartesius Kutub r cos θ + r r sin θ θ tan - (/) r + θ θ (sumbu utub) // [MA 4]

23 Transformasi artesius e utub Misalan z f(,) terdefinisi pada persegipanjang utub {(r, θ) a r b, α θ β} A f(, ) da ra θβ rb? θα Sumbu Kutub θ A r - r Jia P, maa da r dr dθ Pandang satu partisi persegi panjang utub A Luas juring lingaran dengan sudut pusat θ adalah ½θr A ½ r θ- ½ r - θ ½ (r - r - ) θ ½ (r + r - ) (r - r - ) θ r r θ ( P panjang diagonal A) // [MA 4] 3

24 Transformasi artesius e utub Sehingga f(, ) da f( r cosθ, r sinθ) r dr dθ p Contoh:. Hitung e. Hitung + da da, {(,) + 4}, adalah daerah di uadran I di dalam lingaran + 4 dan di luar + // [MA 4] 4

25 Contoh +. e da dengan {(,) + 4} Jawab. adalah daerah di dalam lingaran dengan pusat (,) jari-jari. {(r,θ) r, θ π} Sehingga e + da // [MA 4] π e r π r dr e r 4 e π e 4 ( ) dθ dθ π dθ θ r 5

26 Contoh. da dengan adalah persegipanjang utub di uadran I di dalam lingaran + 4 di luar + {(r,θ) r, θ π/} Sehingga r da π / // [MA 4] π / 3 3 r sinθ r dr dθ r 3 3 ( 8 ) ( ) π / 7 cosθ 3 7 sinθ dθ π / sinθ dθ θ r 6

27 Latihan. Hitung. Hitung 4 sin( + ) d d d d 3. Tentuan volume benda pejal di otan I di bawah paraboloid z + dan di dalam tabung + 9 dengan menggunaan oordinat utub. // [MA 4] 7

28 daerah sembarang/umum. {(r, θ) φ (θ) r φ (θ), α θ β}. {(r, θ) a r b, ψ (r) θ ψ (r)} rφ (θ) θβ rφ (θ) θα ra θψ (r) rb θψ (r) Sumbu Kutub Sumbu Kutub // [MA 4] 8

29 Tulisan daerah integrasi dalam oordinat polar Terlihat bahwa adalah lingaran dengan pusat di (,) dan berjari-jari Jadi, ( ) r r cos θ r r cos θ r (r cos θ ) r atau r cos θ Untu batas θ (dari gambar) θ π / θ π/ Sehingga, {(r, θ) r cos θ, π / θ π/} // [MA 4] 9

30 Tulisan daerah integrasi dalam oordinat polar θπ/4 + ( ) + ini merupaan lingaran pusat (,), jari-jari Untu batas r dihitung mulai r cos θ r sec θ hingga r cos θ Untu batas θ (dari gambar) θ θ π/4 Sehingga oordinat polarna adalah {(r, θ) sec θ r cos θ, θ π/4} // [MA 4] 3

31 Tulisan daerah integrasi dalam oordinat polar Terlihat bahwa adalah lingaran dengan pusat di (,) dan berjari-jari Jadi, + ( ) r r sin θ r r sin θ r (r sin θ ) r atau r sin θ Untu batas θ (dari gambar) θ θ π Sehingga, {(r, θ) r sin θ, θ π} // [MA 4] 3

32 Tulisan daerah integrasi dalam oordinat polar Untu batas r r cos θ r sec θ Untu batas θ (dari gambar) θ θ π/4 Sehingga oordinat polarna adalah {(r, θ) r sec θ, θ π/4} // [MA 4] 3

33 Contoh. Hitung + dd Jawab: ari soal terlihat batas untu dan : + ( ) + ini merupaan lingaran dengan pusat (,), jari-jari θπ/4 Koordinat polarna adalah {(r, θ) sec θ r cos θ, θ π/4} // [MA 4] 33

34 Contoh (Lanjutan) Sehingga, + d d π / 4 cosθ secθ. r r dr dθ π / 4 ( ) cosθ r ( cosθ secθ ) sec θ dθ π / 4 ( sinθ ln secθ + tanθ ) π / 4 π π π sin ln sec tan ln + ln ( ) ( ) + ln + dθ ( sin( ) ln sec( ) tan( ) ) // [MA 4] 34

35 Latihan. Hitung r dr dθ S. Hitung, S daerah dalam lingaran r 4 cosθ dan di luar r d d 3. Hitung (dengan oordinat utub) 4 da, daerah uadran I dari lingaran + antara dan // [MA 4] 35