ALGORITMA KEKANGAN MULTI TITIK DALAM ANALISIS STRUKTUR DENGAN METODE MATRIKS

Transkripsi

1 GOIM ENGN MI II DM NISIS S DENGN MEODE MIS Binar Hariandja Guru Bear eknik Sipil, Intitut eknologi Bandung Binar_hariandja@yail.co BS Makalah ini enyajikan etode penerapan hubungan antara beberapa derajat kebebaan ite truktur ata peraaan keeibangan ite truktur. Metode ini, yang dinaakan algorita kekangan ulti titik, enerapkan peraaan kekangan langung ke dala peraaan keeibangan truktur, tanpa erubah ukuran dari pada atrik kekakuan truktur. Metode dapat diterapkan kepada beberapa kau, terauk proble truktur dengan abla, perodelan truktur tiga dieni enjadi dua dieni, dan proble truktur dengan perpindahan yang diketahui (precribed diplaceent proble). ata kunci: ekangan, ulti titik.. ENDHN roe analii truktur dengan etoda perpindahan encakup penentuan vektor perpindahan akibat gaya luar yang diuun ebagai vektor gaya ebagai ana tertuang dala peraaan keeibangan truktur. erpindahan global ini keudian digunakan untuk enyuun vektor perpindahan eleen dala tata ubu global, erotaikannya ke tata ubu lokal ebelu engalikan hailnya dengan atrik kekakuan eleen untuk endapatkan gaya-gaya dala eleen, yang ditabahkan dengan gaya-gaya ujung jepit untuk endapatkan gaya-gaya inal dala eleen-eleen. Dala terapan ering dihadapi berbagai kau di ana yang bekerja ata truktur bukan erupakan beban atau gaya, naun ebagai bentuk pengaruh yang tidak dapat dikuantiiir ebagai gaya naun pada akhirnya enibulkan perpindahan dan gaya reaki dala truktur. ejadian ini khuunya diteukan dala kau ite truktur yang tati tidak tentu. Contoh-contoh dari pada pengaruh luar eaca ini antara lain penurunan (ettleent) dari pada perletakan, perobahan uhu dan kealahan peotongan dan peaangan koponen. Dala analii, akibat dari pada pengaruh luar eaca itu dapat diintroduir ebagai perpindahan yang diketahui atau hubungan antara beberapa koponen perpindahan di beberapa titik ipul. Yang diebutkan terakhir ini dinaakan kekangan ulti titik (ulti-point contraint) yang enjadi bahan bahaan daar dala bab ini. Bahaan diulai dari pada bentuk peraaan kekangan ulti titik, orulai erta algorita, dan pada akhirnya eberikan contoh penerapan. lgorita ekangan Multi itik Dala nalii Struktur Dengan Metode Matrik 97 (Binar Hariandja)

2 . ENGN MI II Secara uu, analii truktur dengan etoda perpindahan [-7] pada akhirnya beruara kepada penyeleaian ite peraaan keeibangan iultan () yang perlu dieleaikan untuk endapatkan vektor perpindahan yang koreponden dengan vektor gaya yang diketahui. Selain eenuhi kriteria keeibangan yang terirat dala peraaan iultan terebut, vektor perpindahan juga ialnya haru eenuhi peryaratan tabahan berupa kaitan antara beberapa koponen perpindahan yang nota bene berada pada beberapa titik ipul, dengan hubungan eaanya yang dinyatakan dala bentuk atrik. C B () dala ana encakup beberapa atau keeluruhan dari pada koponen C perpindahan. Sebagai contoh, untuk ite truktur balok dengan perletakan iring (kew-upport) eperti dala Gabar, keeibangan truktur dianietaikan oleh er. () dala bentuk dengan olui bahwa perpindahan ujung balok di arah tegak luru arah pergerakan rol, haru bernilai nol. ntuk dapat elakukan hal ini, aka perpindahan global truktur dala Gabar (a) dirotaikan ke arah eperti dala Gabar (b) dengan hubungan in co () yang dapat ditulikan dala orulai atrik ebagai in co (5) Dengan deikian, untuk contoh ini, bentuk dala er. () diperoleh dengan () 9 Jurnal eknik Sipil Volue 9 Noor, Oktober : 5-

3 in co C B () Y X Z Gabar. Struktur dengan perletakan iring. eryaratan dala er. () yang ditulikan dala bentuk atrik dala er. (5) erupakan kekangan (contraint) yang haru dipenuhi oleh olui dari er. (). Contoh berikutnya adalah ite truktur balok di ata tiga perletakan eperti dala Gabar, dala ana perletakan pada ujung C engalai abla ebear ke bawah. Selain akibat gaya luar, ablaan ini akan enibulkan gaya-gaya dala balok. ntuk dapat eperhitungkan pengaruh dari ablaan, kebebaan perpindahan vertikan di titik C diaktikan ehingga ada epat koponen perpindahan truktur. Dengan derajat kebebaan truktur eperti dala Gabar (b), peraaan keeibangan diberikan identik dengan bentuk dala er. () dengan kekangan atau (7) () Dengan deikian, untuk contoh ini, bentuk dala er. () diperoleh dengan C B ntuk perletakan tanpa ablaan, diperoleh atau () () lgorita ekangan Multi itik Dala nalii Struktur Dengan Metode Matrik 99 (Binar Hariandja) (9)

4 yang dinaakan kekangan abolut (retraint). Y Z B C ' C X Gabar. Struktur balok dengan ablaan perletakan. Contoh lainnya adalah ite truktur portal ruang eperti dala Gabar, yang dala analii diabil penyederhanaan dengan enganggap lantai ebagai diaraga kaku, edeikian hingga perpindahan horiontal kepala-kepala ata kolo berpindah eraga di arah horiontal. ui ini didekati dengan uatu odel dikrit dala ana ketiga portal bidang dijejer ebidang eperti dala Gabar (b). i 5 E E E E E Gabar. Struktur portal ruang dengan lantai ebagai diaraga. Jurnal eknik Sipil Volue 9 Noor, Oktober : 5-

5 erpindahan horiontal eraga ini diiik dengan peberian eleen-eleen pendel dengan kekakuan akial E edeikian hingga hanya ada 7 derajat kebebaan, berupa rotai titik ipul kepala kolo dan perpindahan horiontal lantai (du juga kepala kolo). Berikut ini kita akan enurunkan orulai dala ana ite peraaan keeibangan truktur dala er. () digabungkan dengan kekangan dala er. () dala uatu ite peraaan iultan, yang oluinya otoati eenuhi baik peraaan keeibangan aupun peryaratan kekangan.. SISEM ESMN MODIFISI DENGN ENGN ntuk eulai orulai, kita pertaa-taa eerika ukuran dari pada atrik koeiien dala peraaan kekangan. Jika ukuran atrik ini adalah ( q) C dipartii ata tiga bagian, yaitu ata ub-vektor yang berukuran ( q p) erta yang encakup koponen p, aka vektor perpindahan terkekang perpindahan yang dianggap atau dipandang ebagai koponen perpindahan pengekang (ater, diberi indek ), dan ub-vektor yang berukuran ( p ) erta yang encakup koponen perpindahan yang dianggap atau dipandang ebagai koponen perpindahan terkekang (lave, diberi indek ). Bagian ketiga encakup ia koponen perpindahan lainnya yang beba erta tidak terlibat dala peraaan kekangan, yang dinaakan ub-vektor yang diberi indek. Dengan deikian, vektor perpindahan truktur dipartii dala bentuk [] yang ekaligu ecara koreponden ebagi atrik kekakuan dan vektor perpindahan truktur ata partii yang koreponden, dala bentuk () lgorita ekangan Multi itik Dala nalii Struktur Dengan Metode Matrik (Binar Hariandja)

6 Jurnal eknik Sipil Volue 9 Noor, Oktober : 5- () dan peraaan kekangan dala bentuk B () Sebelu kekangan dala er. () diterapkan ata er. (), kita elihat bahwa kekangan dala er. () identik dengan penerapan vektor kekangan ata bagian dala partii bawah er. (), yaitu dengan dikerjakannya vektor gaya edeikian hingga (5) Berikutnya, vektor perpindahan dala er. () diberi tanda yang enyatakan bahwa vektor ini belu terodiikai oleh penerapan kekangan, yaitu dengan eberi tanda gari di atanya. Jadi, er. () enjadi () Selanjutnya, vektor perpindahan dala er. () dikaitkan dengan vektor perpindahan dengan tranorai ' B I I (7) dala ana ub-peraaan dala partii terbawah, eberikan

7 lgorita ekangan Multi itik Dala nalii Struktur Dengan Metode Matrik (Binar Hariandja) B () Merujuk kepada bentuk dala er. (), peenuhan yarat kekangan dala er. () identik dengan penerapan kekangan (9) ata bentuk dala er. (). Hal ini dapat dilakukan dengan enerapkan odiikai ata er. () enjadi O B B O O O O () atau ' ' () ita ekarang eialkan uatu edan perpindahan aya dengan kineatika yang aa dengan yang ada dala er. (7), yaitu I I () eaukan bentuk dala er. (7) ke dala er. () erta pengalian dari peraaan yang diperoleh dengan bentuk er. () dari depan, eberikan hail ebagai berikut. ' B ' () arena erupakan perpindahan aya yang beriat ebarang naun ecara kineati diungkinkan (kineatically adiible), aka er. () eberikan

8 O O B B B B () Mengaati bentuknya, terlihat bahwa er. () erupakan perpaduan dari bentuk peraaan keeibangan dala er. (), dan bentuk kekangan dala er. (). Dengan deikian, olui dari peraaan ini ecara otoati eenuhi kriteria keeibangan dan yarat kekangan. Menarik untuk elihat bahwa atrik kekakuan yang baru dala er. () tetap beriat ietri. Solui yang diperoleh dari er. () keudian dapat diaukkan ke dala er. (5) untuk enghitung gaya-gaya di arah kekangan, yaitu (5) Sebelu enyajikan algorita operai penerapan kekangan yang telah dipaparkan di depan, aka terlebih dahulu diberikan beberapa koentar yang enyangkut peraaan terodiikai dala er. (). azinya, koponen perpindahan pengekang dan terkekang tidak elalu enepati lokai yang berurutan dala vektor perpindahan. Jika deikian halnya, aka penerapan kekangan ata peraaan iultan dapat dilakukan ecara bari per bari dari peraaan kekangan. Hal berikutnya yang penting untuk dicatat dan diperhatikan adalah bahwa penerapan yarat kekangan yang enghailkan peraaan terodiikai dala er. (), enghailkan atrik kekakuan terodiikai yang eiliki bear paroh lajur yang berbeda dibandingkan dengan bear paroh lajur atrik kekakuan awal. Hal ini perlu diperhatikan untuk enyiapkan lokai penyipanan atrik kekakuan terodiikai yang eadai. Jurnal eknik Sipil Volue 9 Noor, Oktober : 5-

9 . GOIM ENGN lgorita kekangan ekarang dapat diuun dengan urutan tindakan operaional ebagai berikut.. akitkan peraaan keeibangan truktur global eperti dala er. ().. Suun yarat kekangan dala bentuk atrik eperti dala er. ().. Berdaarkan er. (), uun peraaan eperti dala er. (5) yang perlu diipan untuk nantinya dapat dianaatkan enghitung gaya reaki di arah perpindahan terkekang.. Modiikai ite peraaan keeibangan eturut dengan er. (). 5. Soluikan peraaan terebut dala butir untuk endapatkan vektor perpindahan truktur, yang eenuhi kriteria keeibangan dan yarat kekangan ekaligu.. Gunakan vektor perpindahan dala butir 5 untuk enghitung reaki di arah kekangan dala er. (5). 7. Hitung gaya-gaya reaki eleen-eleen dengan proedur yang tandar. 5. CONOH ENEN ntuk eningkatkan pengertian erta eperdala peahaan tentang ii bahaan dala bab ini, aka berikut ini diajikan beberapa contoh terkait. ertaa, truktur balok tunggal priati berbentang dala Gabar, engalai abla pada perletakan B. entukan gaya reaki balok dan perletakan akibat ablaan terebut. Site diodel dengan uatu eleen dengan kebebaan eperti dala Gabar (b) dengan perpindahan yang dapat eodelkan ablaan. eraaan keeibangan yang koreponden dengan odel ini adalah () eraaan kekangan adalah (7) eudian, bari pertaa yang berkaitan dengan perpindahan ini diodiikai eturut dengan er. (5), yaitu () lgorita ekangan Multi itik Dala nalii Struktur Dengan Metode Matrik 5 (Binar Hariandja)

10 Jurnal eknik Sipil Volue 9 Noor, Oktober : 5- erhatikan bahwa ub-vektor perpindahan tidak uncul dala er. (7). Modiikai peraaan iultan enurut er. () eberikan (9) yang jika dieleaikan, enghailkan () Y Z X, B B ' Gabar. Struktur contoh pertaa. Gaya reaki batang enjadi ) ( p p p p () eaki di arah dapat dihitung dengan er. (), yaitu

11 lgorita ekangan Multi itik Dala nalii Struktur Dengan Metode Matrik 7 (Binar Hariandja) ) ( ) ( () Contoh berikutnya, truktur balok priati eneru di ata perletakan dengan ub-bentang aing-aing dibebani gaya terpuat di tengah ub-bentang kedua eperti dala Gabar 5. Dengan enggunakan teknik kekangan, hitunglah oen reaki pada ujung dan D akibat gaya terebut. ntuk dapat enghitung oen reaki yang diintakan, aka digunakan jeni eleen eperti dala Gabar 5(c). ntuk endapatkan oen reaki terebut, rotai di kedua titik yang diinati, dilepakan ehingga kebebaan truktur eperti terlihat dala Gabar 5(b). eraaan keeibangan enjadi () dan yarat kekangan adalah () Selanjutnya kekangan dala er. () erobah bari ke- dan ke- er. () enurut er. (5) enjadi (5) Sekarang, bari per bari kekangan dala er. () diterapkan ke dala er. () ecara berturutan, dala artian bahwa penerapan bari ke- dilakukan terhadap hail odikai yang diperoleh etelah penerapan bari ke-. enerapan bari pertaa eberikan, ()

12 Z Y B C,,, D X M Gabar 5. Struktur contoh kedua. enerapan kekangan bari ke- ata er. () eberikan (7) Solui dari pada ite peraaan terodiikai ini adalah () yang ecara otoati dan ekaligu eenuhi peraaan keeibangan dan yarat kekangan. eaki oen di perletakan dan D dihitung dengan er. (5) dengan hail (9) Gaya-gaya ujung eleen dei eleen dapat dihitung dengan cara yang tandard, ulai dari penyuunan vektor perpindahan eleen dala tata ubu global, erotaikannya ke tata ubu lokal, erta engalikan hailnya dari depan dengan atrik kekakuan, dan etelahnya enabahkannya dengan vektor gaya ujung jepit akibat beban luar. Jurnal eknik Sipil Volue 9 Noor, Oktober : 5-

13 . ESIMN Dari orulai dan penerapan algorita teknik operai kekangan yang telah dibaha dala bab ini, ditarik beberapa keipulan ebagai berikut. ertaa, penerapan algorita kekangan dengan cara yang diuulkan, beriat terintegral, tandard erta tidak erobah ukuran atrik kekakuan. Yang berubah akibat penerapan kekangan adalah ukuran paroh lajur atrik kekakuan global truktur. eudian, perilaku atrik koeiien terodiikai tetap baik erta tidak akan ill-condition eperti yang ering dihadapi beberapa teknik kekangan lainnya. Matrik kekakuan global truktur yang terodiikai akibat penerapan kekangan, tetap beriat ietri. Dala penerapan, dikeukakan beberapa aran ebagai berikut. ertaa, pada daarnya teknik yang diuulkan juga dapat digunakan untuk beberapa kau lain, ialnya penentuan olui ite peraaan iultan dengan yarat bata yang ering kita hadapi dala proble luida, rabat pana dan lain-lain. Cara di ata dapat diterapkan dala uatu ubroutine koputer ecara udah dan eiien. huunya, dala proble rekayaa dengan yarat bata yang berobah ecara quai-tati dapat diterapkan dengan angat baik. CN EIM SIH enuli engucapkan teria kaih yang tulu kepada ro. obert B. Haber yang telah ebibing penuli dala enyeleaikan progra philoophy o doctor di Civil Engineering Departent, niverity o Illinoi at rbana-chapaign. capan teria kaih yang aa juga penuli haturkan kepada ro. Jahid Ghabouzzi yang telah engajar penuli dala analii dengan etode atrik. enuli enghaturkan teria kaih kepada David aot, S yang telah engetik nakah akalah ini dengan ekaa. EFEENSI. rgyri, J.M., dan eley, S., Energy heore and Structural nalyi, Butterworth, ondon (9).. Ghali,., dan Neville,.M., Structural nalyi: niied Claical and Matrix pproach, Chapan and Hall, ondon, edii kedua (97).. Hariandja, B.H., nalii Struktur Berbentuk angka Dala Forulai Matrik, enerbit kara Hutaada, Bandung, edii pertaa (997).. Martin, H.C., Introduction to Matrix Method o Structural nalyi, McGraw-Hill Copany, New York (9). lgorita ekangan Multi itik Dala nalii Struktur Dengan Metode Matrik 9 (Binar Hariandja)

14 5. Vanderbielt, M.D., Matrix Structural nalyi, Quantu ubliher, Inc., New York (975).. Weaver Jr, W., dan Gere, J. M, Matrix nalyi o Fraed Structure, Van Notrand Copany, New York, edii kedua (9). 7. Wille, N., dan uca Jr, W.M., Matrix nalyi or Structural Engineer, rentice-hall, Inc., Englewood Cli, New Jerey (9). Jurnal eknik Sipil Volue 9 Noor, Oktober : 5-