a. Integral Lipat Dua atas Daerah Persegi Panjang

Transkripsi

1

2 a. Integral Lipat ua atas aerah Persegi Panjang Misalan z = f(,) terdefinisi pada merupaan suatu persegi panjang tertutup, aitu : = {(, ) : a b, c d} b a z c d (,) Z=f(,). Bentu partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.. Pilih (, ) pada setiap sub interval pada [ i, i- ] dan [ i, i- ] 3. Bentu jumlah iemann. n n i i f (, ) A 4. Jia n ( P ) diperoleh limit jumlah iemann. n n lim f (, ) A n i i Jia limit ada, maa z = f(,) terintegralan iemann pada, ditulis n n f (, ) da lim f (, ) A n i i 4//6

3 efinisi integral lipat dua : Misalan f suatu fungsi dua peubah ang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup. Jia lim P n f (, ) A ada, ita ataan f dapat diintegralan pada. Lebih lanjut f (, ) da lim P n f (, ) A f (, ) da f (, ) dd ang disebut integral lipat dua f pada diberian oleh : atau f (, ) dd lim P n f (, ) 4//6 3

4 Jia z = f(,) ontinu, f(,) pada persegpanjang, maa f (, ) da menataan volume benda padat ang terleta di bawah permuaan permuaan z = f(,) dan di atas. 4//6 4

5 Jia f(,) pada, maa volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, aitu: (i) Sejajar bidang XOZ z z= f(,) z A() b a A() c d a b b A ( ) f (, ) a d 4//6 5

6 d d b d b f (, ) d A A( ) d f (, ) d d Maa c c f, ) da a ( d c b a f (, ) dd c a f (, ) dd 4//6 6

7 (ii) Sejajar bidang YOZ z z= f(,) z A() A() b a c d c d d A ( ) f (, ) c d 4//6 7

8 b b d b d f (, ) d A A( ) d f (, ) d d Maa a a ( f, ) da c b a d c f (, ) dd a c f (, ) dd 4//6 8

9 . Hitung integral lipat dua beriut ini : 4 dimana = {(,) 6, 4} Jawab: da 6 dd da 4 3 d d //6 9

10 Atau, 4 6 da dd 4 7 d 6 d //6

11 . Hitung integral lipat dua beriut ini : sin / dimana Jawab: / = {(,) /, /} sin sin da / / d d / / cos( ) d / cos cos d sin / sin / sin sin sin. da 4//6

12 . Hitung a. e d d b. d d. f, d d untu fungsi. c d d a. f(,)= ( + ) dengan = [-, ] [, ] b. f(,)= + dengan = [, ] [, ] c. f(,)= 3 cos dengan = [-/, ] [, ] 4//6

13 Misalan f(,) dan g(,) terdefinisi di persegipanjang. f, da f,. f, g, da f, da g, 3. Jia = U, maa da, da f, da f, 4. Jia f(,) g(,), maa f, da g f, da da da 4//6 3

14 Ada dua jenis : Jenis I ( onstan) = {(,) a b, p() q() } Jenis II ( onstan) = {(,) r() s(), c d } 4//6 4

15 q() Integral lipat dua pada daerah dapat dihitung sebagai beriut : p() f (, ) da b q( ) f (, ) d d a b a p( ) ={(,) ab, p()q()} 4//6 5

16 d Integral lipat dua pada daerah dapat dihitung sebagai beriut : c r () s () f (, ) da d c s( ) r( ) f (, ) d d ={(,) r()s(), cd} 4//6 6

17 Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentu (daerah integrasi). alam perhitunganna, adangala ita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebaban dengan perubahan urutan pengintegralan aan memudahan dalam proses integrasina. Oleh arena itu, langah pertama ita harus dapat menggambaran daerah integrasi, selanjutna ita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada setsa daerah integrasi. (pandang daerah integrasi sebagai daerah jenis I atau jenis II) 4//6 7

18 . Hitung e da, dibatasi =, =, sumbu = = {(,), } e e da e d dd e d e e e 4//6 8

19 Atau dibali urutan pengintegralanna, aitu: = {(,), } = e e da e e e dd d d e e e e e ( ) e 4//6 9

20 4. e d d Jawab: aerah integrasina = {(,) 4, / } iubah urutan pengintegralanna, aitu: = = {(,), } Sehingga = / 4 4 e d d e e e d d e d e d 4 4//6

21 3 3. e d d. sin 3 cos d 3. d d d 5. e d d 6. 4 e 3 d d 7. d d 4 4. sin( ) d d 8. cos sin d d 4//6

22 Hitung e da, ={(,) + 4} alam sistem oordinat artesius, integral ini sulit untu diselesaian. Sistem Koordinat Polar r P(r,) Hubungan Kartesius Polar = r cos + =r = r sin = tan - r (/) = (sumbu polar) 4//6

23 Misalan z = f(,) terdefinisi pada persegipanjang polar A ={(r, ) a r b, } r=a f (, ) da? = r=b = Sumbu Polar/Kutub A r - Jia P, maa da = r dr d r Pandang satu partisi persegi panjang polar A Luas juring lingaran dengan sudut pusat adalah ½ r A = ½ r - ½ r - = ½ (r - r - ) = ½ (r + r - ) (r - r - ) = r r ( P panjang diagonal A) 4//6 3

24 Sehingga f (, ) da p f ( r cos, r sin ) r drd Contoh:. Hitung. Hitung e da da, ={(,) + 4}, adalah daerah di uadran I di dalam lingaran + =4 dan di luar + = 4//6 4

25 . e da dengan = {(,) + 4} Jawab. adalah daerah di dalam lingaran dengan pusat (,) jari-jari. = {(r,) r, } Sehingga e da e r e 4 e r r dr e 4 d d d r 4//6 5

26 . da dengan adalah persegipanjang polar di uadran I di dalam lingaran + =4 di luar + = = {(r,) r, /} Sehingga r da / / 3 3 r sin r dr d r sin d / sin d 7 / cos 7 3 r 4//6 6

27 . Hitung 4 dd. Hitung sin( ) dd 3. Tentuan volume benda pejal di otan I di bawah paraboloid z = + dan di dalam tabung + = 9 dengan menggunaan oordinat polar/utub. 4//6 7

28 . ={(r, ) () r (), }. ={(r, ) a r b, (r) (r)} r= () = r= () = r=a = (r) r=b = (r) Sumbu Polar Sumbu Polar 4//6 8

29 Terlihat bahwa adalah lingaran dengan pusat di (,) dan berjari-jari Jadi, ( ) + = + + = + = r = r cos r r cos = r (r cos )= r = atau r = cos Untu batas (dari gambar) = / = / Sehingga, ={(r, ) r cos, / /} 4//6 9

30 =/4 Batas : Batas : ini merupaan lingaran pusat (,), jari-jari Untu batas r dihitung mulai = r cos = r = sec hingga r = cos Untu batas (dari gambar) = = /4 Sehingga dalam oordinat polarna adalah ={(r, ) sec r cos, /4} 4//6 3

31 Terlihat bahwa adalah lingaran dengan pusat di (,) dan berjari-jari Jadi, + ( ) = + + = + = r = r sin r r sin = r (r sin )= r = atau r = sin Untu batas (dari gambar) = = Sehingga, ={(r, ) r sin, } 4//6 3

32 = = = = Untu batas r = r cos = r = sec Untu batas (dari gambar) = = /4 Sehingga oordinat polarna adalah ={(r, ) r sec, /4} 4//6 3

33 . Hitung dd Jawab: ari soal terlihat batas untu dan : = = = = = + = ( ) + = ini merupaan lingaran dengan pusat (,), jari-jari =/4 dalam oordinat polarna adalah ={(r, ) sec r cos, /4} 4//6 33

34 Sehingga, dd / 4 / 4 cos sin ln. r r dr d sec / 4 cos r d cos sec sec sec tan / 4 sin ln sec tan sin ln ln ln d ln sec tan 4//6 34

35 . Hitung 9 da, daerah di uadran I dalam lingaran 4 dan di luar lingaran. Hitung d d (dengan oordinat polar) 3. Hitung 4. Hitung S 4 da, daerah uadran I dari lingaran + = antara = dan = r drd, S daerah dalam lingaran dan di luar 4 ( ) 4 4//6 35

36

37 . Partisi balo B menjadi n bagian; B, B,, B,, B n efinisian = diagonal ruang terpanjang dari B. Ambil 3. Bentu jumlah iemann 4. Jia diperoleh limit jumlah iemann Jia limit ada, maa fungsi w = f(,,z) terintegralan iemann pada balo B, ditulis 4//6 37 z ),z, ( B B z B z ),, ( n V z f ),, ( lim n V z f ),, ( n B V z f dv z f ),, ( lim ),, (

38 v = z dv = d d dz Sehingga integral lipat dalam oordinat artesius: f (,, z) dv f (,, z) dddz B B 4//6 38

39 Hitung B z dvdengan B adalah balo dengan uuran B = {(,,z),, z } Jawab. B z dv z z 3 dddz 3 ddz 7 3 z 7 z dz 4//6 39

40 Hitung S z dv Pandang S benda padat ang terlingupi oleh balo B, dan definisian nilai f nol untu luar S (gb. ) z B, Jia S benda padat sembarang S (gb. ) 4//6 4

41 z S z= (,) z= (,) Jia S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gb.) (S dibatasi oleh z= (,) dan z= (,), dan proesi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maa: b a = () S = () b ( ) (, ) S f (,, z) dv a ( ) (, ) f (,, z) dz d d (gb. ) Catatan: f (,, z) dv S Jia f(,,z) =, maa menataan volume benda pejal S 4//6 4

42 Hitung z dzdd Jawab : z dzdd dd 4 4 d d //6 4

43 Hitung / z sin( z) dddz 4//6 43