PENYEDERHANAAN PENYELESAIAN PERHITUNGAN DALAM MENCARI MAKSIMALISASI TERKENDALA PADA BEBERAPA MODEL EKONOMI DENGAN MENGGUNAKAN RUMUS AMS

Transkripsi

1 2004 A. Mubarok Poted: 24 Deceber, 2004 Makalah Pribadi Falafah Sain (PPS 702) Sekolah Paca Sarjana / S3 Intitut Pertanian Bogor Deeber 2004 Doen: Prof Dr Ir Rudy C Taruingkeng, M F (Penanggung Jawab) Prof. Dr. Ir. Zahrial Coto, M.Sc Dr. Ir. Hardjanto, M.S PENYEDERHANAAN PENYELESAIAN PERHITUNGAN DALAM MENCARI MASIMALISASI TERENDALA PADA BEBERAPA MODEL EONOMI DENGAN MENGGUNAAN RUMUS AMS Oleh: A.Mubarok A /PWD aubarok@plaa.co PENDAHULUAN Dala ata kuliah Teori Ekonoi Mikro kita akan apai pada teori perilaku konuen dan teori perilaku produen. Pada kedua teori ini terdapat hitungan yang cara penyeleaiannya aa yaitu enghitung kepuaan akiu konuen jika engkonui dua jeni barang dengan kendala anggaran dala teori perilaku konuen dan enghitung produki akiu jika enggunakan dua aca faktor produki dengan kendala julah biaya dala teori produki. Untuk enghitung akialiainya digunakan cara Lagrange Multiplier. Dari pengalaan penuli yang kebetulan engauh ata kuliah Teori Ekonoi Mikro di Fakulta Ekonoi Univerita Ibn haldun Bogor, ering perhitungan ini enjadi ganjalan bagi ahaiwa, di ana hal ini terjadi karena : 1. Panjangnya perhitungan 1

2 2. eungkinan terjadinya kealahan dala enurunkan fungi lagrange, apalagi jika pangkatnya pecahan 3. eungkinan terjadinya kealahan dala eindahkan tanda-tanda,,, dan 4. Waktu peneyeleaian oal yang relatif laa, apalagi jika oalnya berabung 5. ebanyakan dari ahaiwa bukan yang berlatar belakang ekakta ehingga lebih enyulitkan lagi. Secara pribadi penuli endiri eraakan keulitan terebut, naun eang begitulah adanya, eperti yang penuli teui dala buku-buku tek. Terdorong oleh kepedulian ata adanya keulitan terebut diata penuli encoba elakukan percobaan untuk dapat eneukan cara yang udah untuk dipahai dan dikerjakan oleh ahaiwa. Dan ternyata Alhadulillah berkat petunjuk-nya, penuli eneukan penyederhanaan atau jalan cepat dala enyeleaikan perhitungan akialiai terkendala terebut. Selain itu ternyata ruu terebut juga erupakan fungi perintaan konuen terhadap barang X dan Y pada berbagai tingkat harga X dan Y dengan kendala anggaran tertentu. Peraaan dan perhitungan dengan etode Lagrange akan diteui juga dala teori produki yang enerangkan tentang fungi produki, ialnya fungi Coubb Dougla. Dengan deikian cara ringka di ata dapat digunakan dala penyeleaian oal tentang fungi produki Coubb Dougla, di ana : U atau fungi utility enjadi Q atau fungi produki X dan Y atau barang yang dikonui enjadi dan L atau faktor produki M atau anggaran enjadi TC atau total Cot Px dan Py atau harga barang enjadi r dan i atau harga input Fungi perintaan terhadap barang konui enjadi fungi perintaan terhadap input 2

3 Untuk eudahkan ingatan, jika aja ruu ini belu epunyai naa aka penuli encoba enaakannya dengan Ruu AMS. Berangkat dari keinginan penuli dala ebantu eringankan ahaiwa, aka penuli angat berharap agar peneuan ini dapat diteria oleh para ahlinya dan dapat diebarluakan peakaiannya, engingat bahwa : 1. Dengan enggunakan ruu ini, kendala-kendala di ata relatif akan angat berkurang 2. Waktu yang dibutuhkan untuk enyeleaikan oal enjadi angat ingkat. 3. Jika ahaiwa lupa ruu diferenial dala enurunkan peraaan (terutaa dala ujian) hal terebut tidak enjadi gangguan 4. Ruunya angat ringka ehingga udah diingat Perlu diketahui pula bahwa pengunaan notai dala ebaha ruu ini penuli tidak enggunakan notai eperti yang biaa digunakan oleh ahaiwa atau ahli dala bidang ekakta, elainkan notai-notai yang langung erupakan terapan, dengan tujuan untuk eudahkan ahaiwa dala engingat ruu. PEMBAHASAN 1. Aui akialiai terkendala Dala ebaha ruu ini, perlu kiranya dibuat aui tertentu antara lain : 1. Fungi tujuan adalah U ( utility ) atau Q (Total Produki), 2. U atau Q erupakan fungi dari variabel-variabel beba yang akan dicari nilainya. 3. U atau Q erupakan perkalian dari beberapa variabel beba yang epunyai paraeter atau pangkat tertentu tertentu 4. Terdapat kendala baik berupa anggaran dala fungi utility aupun biaya dala fungi produki 3

4 2. Ruu AMS untuk Fungi dengan Dua Variabel Beba Sengaja kai endahulukan fungi yang enggunakan dua variabel beba terlebih dahulu, karena bukan aja ia percobaan awal yang kai lakukan tetapi juga untuk dapat lebih elihat keederhanaan dari forula ini, erta erupakan odel oal yang paling ering dihadapi ahaiwa. Diketahui : U ax Y Dengan kendala : M XPx YPy Di ana : U Fungi utility (kepuaan konuen) X dan Y Variabel beba a,, dan ontanta / paraeter (peilihan notai a,, dan hanya untuk eudahkan penuli dan ahaiwa dala engingat forula terebut, notai terebut beraal dari huruf awal naa penuli/iniial) M endala Px Harga / nilai X Py Harga / nilai Y Maka U akiu terjadi apabila enggunakan : X ebear, M X Px( ) dan Y ebear, M Y Py( ) 4

5 2.1. Pebuktian dan contoh penerapan ruu AMS Pebuktian Jika U ax Y endala M X Px Y Py Di ana : U Total kepuaan konue X dan Y Julah jeni barang X dan Y yang dikonui a,, dan ontanta / paraeter M Anggaran yang teredia Px Harga barang X Py Harga barang Y eeibangan onuen (kepuaan akiu) terjadi pada waktu konuen engkonui : M X Y Px( ) M Py( ) Bukti : U ax Y M X Px Y Py atau X Px Y Py M 0 Maka untuk eakiukan X dan Y : L ax Y λ (X Px Y Py M)..(1) δ L a. X δ X 1 Y λ Px 0..(2) δ L δ Y a. X Y 1 λ Px (3) 5

6 δ L XPx YPy M δ λ (4) Peraaan (2) a. X 1 Y λ Px 0 λ Px a. X 1 Y λ λ a. X Px a.. X Px 1 Y 1 Y.. (5) Peraaan 3 a. X Y 1 λ Py 0 λ Py a. X Y 1 λ λ a. X Y Py a.. X Y Py (6) Peraaan (5) (6) λ λ a. X Px. 1 a. 1 Y Py. X Y.. (7) Px a/. a. Py 1 / 1 X Y.. X Y.. (8) Px. X Y Py 1 1 X Y.. (9) 6

7 Peraaan (9) dibagi dengan X -1 Px. XY Py 1 Y.... (10) Peraaan (10) dibagi dengan Y-1 Px Y. (11) Py Peraaan (11) diubtituikan ke peraaan (4) Px XPx X ( Py / / ) M 0 Py / / XPx Px X M.... (12) XPx 1 M.... (13) M X Px 1.(14) Peraaan (14) dikalikan dengan / X / M / Px /. M X... (15) Px( ) Peraaan (15) diubtituikan ke peraaan (11) Px / / Y Py / /. M Px / / ( ) 7

8 Y. M (16) Py( ) Contoh Penerapan 1. Jika diketahui fungi kepuaan adalah U 3X 2 Y 3. edangkan anggaran yang teredia M Rp ,- dan harga barang X adalah Rp 100,-, harga barang Y adalah Rp 200,- Carilah julah barang X dan Y yang dikonui agar kepuaan akiu! Jawab : A. Dengan Metode Lagrange U 3X 2 Y 3 M XPx Ypy X 200Y atau 100X 200Y Maka L 3X 2 Y 3 λ (100X 200Y ).. (1) δ L 6XY λ 0 (2) δ X δ L δ X δ L δ X 9X 2 Y 2 200λ (3) 100X 200Y (4) Peraaan (2) 6XY 3 100λ 0 100λ -6XY 3 6 XY λ... (5) 8

9 Peraaan (3) 9X 2 Y 2 200λ 0 200λ -9X 2 Y 2 9 X 200 Y 2 2 λ. (6) Peraaan (5) (6) 6 XY X Y (7) Peraaan (7) dibagi dengan XY Y X.... (8) Y 900X. (9) Y ¾ X. (10) Subtituikan peraaan (10) ke peraaan (4) 100X 200 (¾ X) (11) 100X 150X X X X (12) Subtituikan peraaan (12) ke peraaan (4) 100(40) 200Y (13) Y Y Y

10 Y Y (14) Jadi kepuaan akiu terjadi apabila konuen engkonui barang X ebear 40 dan Y ebear 30 B. Dengan Ruu AMS epuaan konuen akiu apabila engkonui ebear : M X dan Y Px( ) M Py( ) 2 (10.000) X 100 (2 3) (5) X 40 3 (10.000) Y 200 (2 3) (5) Y 30 Jadi kepuaan akiu terjadi apabila konuen engkonui barang X ebear 40 dan barang Y ebear 30 Terbukti kedua etode eperoleh hail yang aa 2. Jika diketahui fungi produki Coubb Dougla adalah : Q 2 ½ L 1½ dan biaya yang teredia adalah TC Rp ,- edangkan harga apital ebear r Rp ,- harga tenaga kerja adalah w Rp ,-, carilah produki akiunya! A. Dengan Ruu AMS Produki akan akiu apabila enggunakan ebanyak : TC.. TC dan Y r( ) w( ) 10

11 1 ( ) (2) ( ) Y (2) Y 36 Jadi produki akiu adalah : Q 2 ½ L 1½ 2 (2) ½. (36) 1½ 2 (1,41) (216) Q 609,12 dibulatkan Q 609 B. Dengan Metode Lagrange Q 2 ½ L 1½ TC r wl L atau L Z 2 ½ L 1½ λ ( L )... (1) δ Z ½ L 1½ λ (2) δ δ Z 3 ½ L ½ λ (3) δ L δ Z L (4) δ λ Peraaan (2) ½ L 1½ λ 0 11

12 λ - ½ L 1½ L λ.... (5) Peraaan (3) 3 ½ L ½ λ λ - 3 ½ L ½ L λ.... (6) Peraaan (5) (6) L 3 L (7) Peraaan (7) dibagi -½ L ½ L 3.. (8) L L L 18.. (9) Subtituikan peraaan (9) ke peraaan (4) (18 ) L

13 2... (10) Subtituikan peraaan (10) ke peraaan (4) (2) L L L L L 36.. (11) Jadi Q akiu adalah : Q 2 ½ L 1½ 2(2) ½ (36) 1½ 2 (1,41) (216) Q 609,12 dibulatkan Q 609 Terbukti kedua etode eperoleh hail yang aa 3. Ruu AMS untuk Fungi dengan Banyak Variabel Beba Penggunaan ruu AMS tidak terbata pada fungi yang epunyai dua variabel beba aja, tetapi juga dapat dipergunakan untuk fungi yang epunyai banyak variabel beba. ita udah ebayangkan betapa ulitnya encari akialiai uatu fungi terkendala dengan variabel beba yang banyak. Tetapi dengan penggunaan forula AMS, keulitan-keulitan itu relatif tidak akan terjadi. Malahan edeikian udah dan ringkanya ehingga dari euatau yang enjadi ganjalan, bia enjadi euatu yang dienangi. Baiklah kita lihat, ruu AMS untuk banyak variable terebut, yakni jika : Diketahui : 13

14 Q.A a B b C c N n Dengan kendala : AP A BP B CP C NP N Di ana : Q A,B,C,,N Fungi yang akan dicari akialiainya Julah aing-aing variabel beba yang digunakan,a,b,c,,n P A,P B,P C,,P N ontanta/paraeter endala Harga/nilai aing-aing variabel beba Maka Q akan akiu apabila enggunakan ebear : A a. P ( a b c... n) A B b. P ( a b c... n) B C c. P ( a b c... n) C N n. PN ( a b c... n) Pebuktian ruu AMS untuk fungi dengan banyak variabel beba 14

15 Jika diketahui : Q x.a a B b C c N n Sedangkan kendala : AP A BP B CP C NP N Di ana: Q Output A,B,C,,N Julah aing-aing input A,B,C apai N yang dipergunakan dala proe produki x a,b,c,,n kontanta Paraeter aing-aing input variabel endala biaya P A,P B,P C,,P N Harga aing-aing input variabel Maka Q akiu bila : Z x.a a B b C c Nn λ (AP A BP B CP C. NPN).. (1) δ Z x.aa a-1 B b C c N n λ P A 0. (2) δ A δ Z x.ba a B b-1 C c N n λ P B 0. (3) δ B δ Z x.ca a B b C c-1 N n λ P C 0. (4) δ C δ Z x.na a B b C c N n-1 λ P N 0 (5) δ N 15

16 δ Z APA BP B CP C NP N - 0 (6) δ λ Peraaan (2) x.aa a-1 B b C c N n λ P A 0 λ P A λ x.a P A - x.aa a-1 B b C c N n. A a-1 B b C c N n.. (7) Peraaan (3) x.ba a B b-1 C c N n λ P B 0 λ P B λ x.b P B - x.ba a B b-1 C c N n. A a B b-1 C c N n n.. (8) Peraaan (4) x.ca a B b C c-1 N n λ P C 0 λ P C λ x.c P C - x.ca a B b C c-1 N n. A a B b C c-1 N n.. (9) Peraaan (5) x.na a B b C c N n-1 λ P N 0 16

17 λ P N - x.na a B b C c N n-1 λ x.n P N. A a B b C c N n-1 (10) Peraaan (7) (8) x.a. A a-1 B b C c N n P A A a-1 B b C c N n A a-1 B b C c N n x.b P B / b a x.b / P B P P A B. A a B b-1 C c N n. P A / x/. a A a B b-1 C c N n. A a B b-1 C c N n.... (11) Peraaan (12) dibagi dengan A a-1 B b-1 C c N n B b a P P A B. A (12) Peraaan (7) (9) x.a P A. A a-1 B b C c N n x.c P C. A a B b C c-1 N n A a-1 B b C c N n A a-1 B b C c N n P A / x.c / / x/. a PC c a P P A C. A a B b C c-1 N n. A a B b C c-1 N n.... (13) Peraaan (14) dibagi dengan A a-1 B b C c-1 N n c PA C a PC. A. (14) 17

18 Peraaan (7) (10) x.a P A. A a-1 B b C c N n x.n P N. A a B b C c N n-1 A a-1 B b C c N n P A / x.n / / x/. a PN. A a B b C c N n-1.. (15) Peraaan (15) dibagi dengan A a-1 B b C c N n-1 N n PA a P N. A..... (16) Subtituikan peraaan (12), (14), (16) ke dala peraaan (6) AP A b a P P/ A B/. A (P B ) c a P P/ A C/. A (P C ) n a P P/ A N/. A (P N ) 0 AP A a b. PA. A a c. PA. A a n. PA. A AP A (1 a b a c a n ) A b c... n PA 1 a. (17) Peraaan (17) dikalikan dengan a a 18

19 a/ A. a / a a /. b c... n PA 1 a/ a. A P ( a b c... n). (18) A Subtituikan peraaan (18) ke peraaan (12) B P/ a/. a/ P P/ ( a b c... n) b A / B A / b. B P ( a b c... n).. (19) B Subtituikan peraaan (18) ke dala peraaan (14) c P/ A/ a/. C a/ P P/ ( a b c... n) C A / c. C P ( a b c... n).. (20) C Subtituikan Peraaan (18) ke dala peraaan (16) n P/ A N / a/. a/ P P/ ( a b c... n) N A / n. N P ( a b c... n) (21) N 19

20 dengan deikian terbukti bahwa forula AMS benar dan erupakan hail langung dari Lagrange Multiplier. 4. egunaan lain dari ruu AMS Jika kita eperhatikan lebih ekaa lagi dan kita lakukan beberapa percobaan aka akan terlihat beberapa kegunaan lain dari ruu AMS dala enyeleaikan perhitungan, antara lain yang telah penuli teliti atau teukan : 1. Jika fungi perintaan adalah erupakan uatu fungi yang enunjukkan hubungan antara julah barang/input tertentu yang akan dan apu dibeli oleh konuen atau peruahaan pada berbagai tingkat harganya. Ceteri paribu Maka ruu AMS dala encari julah barang/input yang dapat eakialkan utility atau produki adalah erupakan fungi perintaan konuen atau peruahaan terhadap barang/input yang berangkutan pada berbagai tingkat harganya. Ceteri paribu 2. Ternyata pula bahwa dengan ruu yang aa dapat digunakan untuk enyeleaikan fungi yang berbentuk logarita. Untuk hal ini, ruu AMS dapat langung digunakan. Contoh : Jika Q adalah fungi produki, Q log C log L Dengan kendala biaya, TC CP C LP L Di ana : Q Fungi produki C Julah unit kapital L Julah unit tenaga kerja dan ontanta TC Total biaya P C P L Harga kapital Harga tenaga kerja 20

21 Maka Q akan akiu apabila enggunakan ebanyak : TC. C dan P ( ) C L. TC P ( ) L Bukti : Z log C log L λ (CP C L P L TC)... (1) δ Z λp C 0... (2) δ C C δ Z δ L λp L 0... (3) L δ Z CP δ λ C LP L TC (4) Peraaan (2) λ PC 0 C λ P C - C λ - CP C... (5) Peraaan (3) λ PL 0 L λ P L - L λ - LP L... (6) 21

22 Peraaan (5) (6) - - CP C LPL L P L. C P C. L PC. C... (7) P S Subtituikan peraaan (7) ke dala peraaan (4) PC C P C. C (P L ) TC P/ L/ C P C C P C TC C P C (1 ) TC C TC... (8) PC 1 Peraaan (8) dikalikan dengan / /. C / P C 1 TC / TC. C... (9) P ( ) C Subtituikan peraaan (9) ke dala peraaan (7) L P/ C / TC /. P / P/ C ( ) S / 22

23 . TC L. (10) P ( ) L Terbukti 3. Dapat eperudah dala elakukan penelitian lanjutan. 5. Cara engingat ruu AMS Untuk lebih eperudah lagi, penuli encoba ebuat cara untuk engingat ruu AMS. Jika fungi yang akan diakialiai dan kendala telah diketahui aka julah aing-aing variabel yang eakialkan fungi terebut adalah : Nilai dari variabel yang dicari Pangkat variabel yang berangkutan kendalanya Harga variabel yang berangkutan jl eua pangkat dari variabel bebanya 6. eipulan dan Harapan Dari pebahaan di ata yang diertai dengan contoh-contoh, aka ternyata penggunaan ruu AMS pada beberapa odel tertentu akan angat ebantu, khuunya bagi para ahaiwa Fakulta Ekonoi dan uunya iapa aja yang eerlukan. Sehubungan dengan hal terebut, penuli angat berharap kiranya para ahli dapat eneria ruu ini dan kalaupun banyak kekurangan dan kealahannya, kai ohonkan kritik dan arannya, udah-udahan kai dapat egera eperbaikinya. Akhir kata udah-udahan peneuan ini dapat berguna bagi etiap yang eerlukan dan enjadi aal ibadah penuli kepada Allah Yang Maha Meiliki Segala Ilu. Aaiin 23