PERBANDINGAN KINERJA PENGENDALIAN SISTEM TIGA TANGKI ANTARA METODE POLE PLACEMENT, INCREMENTAL CONTROL DAN MODEL PREDICTIVE CONTROL SKRIPSI

Transkripsi

1 UNIVERSITS INONESI PERNINGN KINERJ PENGENLIN SISTE TIG TNGKI NTR ETOE POLE PLCEENT, INCREENTL CONTROL N OEL PREICTIVE CONTROL SKRIPSI HRRY NOFRINZ PRKS FKULTS TEKNIK EPRTEEN TEKNIK ELEKTRO EPOK ESEER 29

2 UNIVERSITS INONESI PERNINGN KINERJ PENGENLIN SISTE TIG TNGKI NTR ETOE POLE PLCEENT, INCREENTL CONTROL N OEL PREICTIVE CONTROL SKRIPSI iajan sebagai salah sat syarat nt memperoleh gelar Sarjana Teni HRRY NOFRINZ PRKS FKULTS TEKNIK EPRTEEN TEKNIK ELEKTRO EPOK ESEER 29 i

3 HLN PERNYTN ORISINLITS Sripsi ini adalah hasil arya saya sendiri, dan sema smber bai yang ditip mapn dirj telah saya nyataan dengan benar. Nama : Harry Nofrian Praasa NP : Tanda Tangan : Tanggal : 3 esember 29 ii Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

4 HLN PENGESHN Sripsi ini diajan oleh : Nama : Harry Nofrian Praasa NP : Program Stdi Jdl Sripsi : Teni Eletro : Perbandingan Kinerja Pengendalian Sistem Tiga Tangi antara etode Pole Placement, Incremental Control dan odel Predictive Control Telah berhasil dipertahanan di hadapan ewan Pengji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperlan nt memperoleh gelar Sarjana Teni pada Program Stdi Teni Eletro Faltas Teni,. EWN PENGUJI Pembimbing : Ir. ries Sbiantoro,.SEE.. Pengji : r. Ir. Feri Ysivar,.Sc... Pengji : r. Ir. bdl Halim,.Eng.. itetapan di : epo Tanggal : 3 esember 29 iii Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

5 KT PENGNTR Pji syr saya panjatan epada llah SWT, Than Yang aha Esa, arena atas arnia dan rahmat-nya, saya dapat menyelesaian sripsi ini. Penlisan sripsi ini dilaan dalam ranga memenhi salah sat syarat nt mencapai gelar Sarjana Teni Jrsan Teni Eletro pada Faltas Teni. Saya menyadari bahwa, tanpa bantan dan bimbingan dari berbagai piha, dari masa perliahan sampai pada penysnan sripsi ini, sangatlah slit bagi saya nt menyelesaian sripsi ini. Oleh arena it, saya mengcapan terimaasih epada: 1. Ir. ries Sbiantoro,.SEE sela dosen pembimbing yang telah menyediaan wat, perhatian, dan piiran nt mengarahan saya dalam penysnan sripsi ini. 2. Unt yahanda, Firmansyah, dan Ibnda, Yenni, dengan rasa cinta dan tanggng jawabnya sehingga saya selal bersyr, eda aa saya, Gigin dan wi, yang selal memotivasi tanpa lelah, terimaasih atas ilmnya yang mengbah saya nt banya belajar. 3. iger sela rean bimbingan dan ayat yang telah banya membant dalam proses pembatan simlasi serta teman seperjangan eletro dimanapn enga berada, terimaasih. 4. Rean-rean sema yang telah membant penyelesaian sripsi ini, tetap semangat. hir ata, saya berharap llah SWT, Than Yang aha Esa berenan membalas segala ebaian yang dilaan oleh sema piha yang telah membant. Semoga sripsi ini memberian onstribsi bar dalam dnia pendidian. epo, 3 esember 29 iv Penlis Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

6 HLN PERNYTN PERSETUJUN PULIKSI TUGS KHIR UNTUK KEPENTINGN KEIS Sebagai sivitas aademi, saya yang bertanda tangan di bawah ini : Nama : Harry Nofrian Praasa NP : Program Stdi : Teni Eletro Faltas : Teni Jenis arya : Sripsi emi pengembangan ilm pengetahan, menyetji nt memberian epada Ha ebas Royalti Noneslsif Non-eslsif Royalty-Free Right atas arya ilmiah saya yang berjdl: PERNINGN KINERJ PENGENLIN SISTE TIG TNGKI NTR ETOE POLE PLCEENT, INCREENTL CONTROL N OEL PREICTIVE CONTROL eserta perangat yang ada jia diperlan. engan Ha ebas Royalti Noneslsif ini berha menyimpan, mengalihmedia/format-an, mengelola dalam bent pangalan data database, merawat, dan mempbliasian tgas ahir saya selama tetap mencantman saya sebagai penlis/pencipta dan sebagai pemili Ha Cipta. emiian pernyataan ini saya bat dengan sebenarnya. ibat di : epo Pada Tanggal : 3 esember 29 Yang menyataan Harry Nofrian Praasa v Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

7 STRK Nama : Harry Nofrian Praasa Program Stdi : Teni Eletro Jdl : Perbandingan Kinerja Pengendalian Sistem Tiga Tangi antara etode Pole Placement, Incremental Control dan odel Predictive Control. Sripsi ini membahas pemodelan linear dengan penyederhanaan model non-linear pada sistem tiga tangi menggnaan metode toregressive exogeneos RX. etode RX tersebt didapat dengan mengambil data masan dan elaran dari sistem open loop emdian memasan parameter orde dari sistem linear yang diinginan. esain pengendali yang dilaan pada sripsi ini menggnaan metode pole placement, incremental control, dan model predictive control. etode ontrol predisi dipilih nt sistem tiga tangi arena memilii settling time yang lebih cepat dengan pengatran nilai parameter Ψ, Γ, dan Θ yang dionfigrasi berdasaran horison predisi H p dan horison ontrol H. Kata nci : PC, ontrol predisi, tiga tangi terhbng vi Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

8 STRCT Name : Harry Nofrian Praasa Stdy Program : Electrical Engineering Title : The Performance Comparison of System Controlling with Three Tans on Pole Placement, Incremental Control, and odel Predictive Control ethod. This thesis discsses the simplification linear modeling of non-linear model of the three tans system sing the toregressive exogeneos RX method. RX method is obtained by taing the inpt and otpt data from openloop system and then enters the order parameters of the desired linear system. Controller design is done in this thesis sing the method of pole placement, incremental control, and model predictive control. Predictive Contol methods is chosen for three-tan system becase it has a settling time is faster by the parameter vales Ψ, Γ, and Θ is configred based on prediction horion H p and the control horion H. Key words: PC, predictive control, three tans connected. vii Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

9 FTR ISI HLN JUUL... i HLN PERNYTN ORISINLITS... ii KT PENGNTR... iv HLN PERNYTN PERSETUJUN PULIKSI... v STRK... vi STRCT... vii FTR ISI... viii FTR TEL... x FTR GR... xi 1 PENHULUN Latar elaang Tjan atasan asalah Sistematia Penlisan SISTE TIG TNGKI, PEOELN, POLE PLCEENT, INCREENTL CONTROL N OEL PREICTIVE CONTROL eania Flida FLUI ERGERK PERSN ERNOULLI Pemodelan Tiga Tangi OEL ISKRIT RX VLISI OEL esain Kendali dengan etode Pole Placement odel Predictive Control RECEING HORIZON STRUKTUR PENGENLI PC ESIN PENGENLI PC P SISTE TIG TNGKI Penrnan odel atematis Tiga Tangi Terhbng Uji Lp Terba Sistem Tiga Tangi Terhbng Indentifiasi Sistem Tiga Tangi Terhbng esain Pengendali etode Penempatan Ktb esain Pengendali PC viii Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

10 4 NLISIS HSIL SIULSI KESIPULN FTR REFERENSI LPIRN ix Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

11 FTR TEL Tabel 3. 1 Keterangan simbol nt membat sistem tiga tangi Tabel 3. 2 Parameter yang dignaan pada sistem tiga tangi Tabel 3. 3 ata hasil masan masan step t dan elarannya yt Tabel 3. 4 Nilai Parameter leta tb lp terttp yang diinginan Tabel 3. 5 Nilai Parameter Precompensator dan Controller x Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

12 FTR GR Gambar 1. 1 lo diagram pengendali PC... 3 Gambar 2. 1 Pipa dengan etinggian dan las penampang berbah... 6 Gambar 2. 2 Sema identifiasi berdasaran esalahan predisi... 8 Gambar 2. 3 iagram blo plant lp terttp dengan pengendendali 2-OF Gambar 2. 4 iagram blo plant lp terttp dengan parameter pengendali penempatan tb.. 12 Gambar 2. 5 iagram blo plant lp terttp dengan parameter-parameter pengendali Gambar 2. 6 Ide dasar pengendali preditif Gambar 2. 7 Strtr pengendali PC Gambar 3. 1 odel tiga tangi terhbng Gambar 3. 2 Respon sistem tiga tangi terhbng dengan masan step Gambar 3. 3 Perbandingan antara masan dengan etinggian air pada tangi e Gambar 3. 4 aerah erja sistem tiga tangi Gambar 3. 5 Perbandingan elaran model RX dengan Gambar 3. 6 Pemodelan dengan metode RX Gambar 3. 7 iagram blo incremental control Gambar 4. 1 Grafi hasil endali penempatan tb dengan leta pole lp terttp = Gambar 4. 2 Grafi hasil endali penempatan tb dengan leta pole lp terttp = Gambar 4. 3 Grafi hasil endali penempatan tb dengan leta pole lp terttp = Gambar 4. 4 Perbandingan respon plant awal sistem tiga tangi dengan pengendali penempatan tb dengan tb lp terttp berada pada = Gambar 4. 5 Perbandingan respon plant awal sistem tiga tangi dengan pengendali penempatan tb dengan tb lp terttp berada pada = Gambar 4. 6 Perbandingan respon plant awal sistem tiga tangi dengan pengendali penempatan tb dengan tb lp terttp berada pada = Gambar 4. 7 Hasil perbahan respon sistem penempatan tb sebelm dan sesdah diberian integrator Gambar 4. 8 Kelaran rang eadaan dengan riteria PC Hp=5 dan H= Gambar 4. 9 Kelaran rang eadaan dengan riteria PC Hp=8 dan H= Gambar 4. 1 Kelaran rang eadaan dengan riteria PC Hp=12 dan H= Gambar Kelaran terbai dari PC dengan model rang eadaan xi Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

13 1 PENHULUN 1.1 Latar elaang Pada proses sat masan dan sat elaran, sebah model proses yang diformlasian berdasaran informasi peralatan yang ada, dan sebah masan pengendali yang sesai nt diterapan e model proses diharapan mamp mencapai riteria erja yang diinginan. asan pengendali yang tepat aan menghasilan proses elaran yang tepat pla. Proses ontrol mngin saja slit pada proses otomatis, sebagai contoh nt pendeatan model proses mngin saja rang bersesaian sehingga aan menjadi slit dalam pengendaliannya, ata etia informasi yang didapat dari sensor tida presisi sehingga proses pengendalian menjadi tida benar. eberapa fitr yang membat model proses menjadi slit diontrol di dnia nyata arena adanya hambatan berpa: a. Tingat minimal proses system order yang tida dietahi. b. odel proses dimnginan dinamis, tetapi pada data operasi masan dan elaran mngin saja tida banya dan tida menampaan arateristi proses yang penting. c. Wat tnda antara masan dan elaran mngin tida tetap ata tida dietahi. d. odel proses lp terba dimnginan tida stabil. e. odel proses mngin tida memberian eterhbngan masan dan elaran seperti biasanya nonminimm-phase. da da cara dalam melaan pengendalian pada sistem yang non-linear, yait: cara pertama dengan membat indentifiasi dan parameter estimasi dari sistem tersebt, emdian merbahnya dalam bent pendeatan model proses yang linear. Cara eda tetap menyelesaian masalah non-linear tersebt dengan 1 Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

14 2 menggnaan metode pengendali yang non-linear jga. an terasa lebih slit lagi jia diperhitngan ganggan yang tida etahi pada sistem tersebt. etode model predictive control merpaan contoh sses nt mennjan emampan terhadap etidaarasian, etidaonsistenan, dan tingat eslitan yang dihadapi pada permasalahan tersebt. Pada laporan sripsi ini model yang dignaan adalah model tiga tangi terhbng seri dengan pemodelan linear dalam bent RX. odel RX dapat memberian arateristi yang menyerpai sistem analog dengan pendeatan domain digital dengan asmsi ondisi sistem dianggap tetap. aa, salah sat desain ontrol yang bersesaian dengan model tersebt adalah pengendali dengan metode penempatan tb. Hal ini bersesaian jga dengan pernyataan P. Kanjilal, yait: desain ontrol dipengarhi oleh pemodelan proses yang ada, tetapi alitas dari ontrol sangat bergantng pada optimasi riteria erja. [PKan95]. Unt it riteria erja pn dirancang pada pengontrol lp terttp, sehingga esalahan yang terjadi pada masan pengendali ters diminimalan dengan mpan bali yang diberian oleh sensor hingga mencapai nilai yang dinginan dan tercapai inerja terbai. Namn pengendali penempatan tb masih memilii esalahan galat tna dan incremental control memilii overshoot yang cp besar. Kinerja ontrol penempatan tb aan bergantng epada pilihan dari parameter desain, selain it pada enyataannya ecepatan omptasi pengendali harslah lebih cepat dibandingan dengan mpan bali yang diterima sehingga dihasilan masan e sistem dengan benar. Unt mengatasi permasalahan tentang esalahan galat tna dan overshoot dignaanlah pengendali PC yang dapat beradaptasi terhadap perbahan nilai refrensi yang diberian pada wat yang aan datang. Kemampan pengendali ini dalam merespon menjadi arater yang ni arena nilai elaran yang diberian dapat mendahl set point yang aan datang. Hal ini Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

15 3 memberian entngan dengan semain ecilnya wat yang dibthan nt mencapai ondisi tna. Inisialisasi H dan H p PC PLNT y Set point Gambar 1. 1 lo diagram pengendali PC Pada Gambar 1.1 Cara erja pengendali PC menggnaan da bah lp yang beerja secara online. Keda lp berfngsi nt meminimman esalahan pada fngsi biaya dan mengatr parameter pengendali PC. 1.2 Tjan Tjan dari pembatan sripsi ini adalah: 1. engidentifiasi model matematis non-linear sistem tiga tangi terhbng dengan metode RX nt mendapatan model linear ber-orde tiga. 2. embat pengendali berpa metode pole placement, incremental control, dan PC. 3. embandingan sistem dengan menggnaan pengendali dengan berbagai riteria pada setiap pengendali menggnaan simlasi SIULINK R28a. 1.3 atasan asalah asalah yang dibahas dalam sripsi ini adalah proses identifiasi RX pada sistem tiga tangi terhbng seri. Teni RX bertjan nt memodelan sistem analog menjadi bent linear dalam domain digital. etode endali yang Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

16 4 dignaan adalah metode pole placement, incremental control dan model predictive control sehingga sistem tiga tangi dapat memberian elaran bersesaian dengan set point berdasaran analisa riteria dan lp terttp. 1.4 Sistematia Penlisan ab 1 Pendahlan. Pada bagian ini dibahas latar belaang, tjan, batasan masalah, dan sistematia penlisan dari penlisan sripsi ini. ab 2 asar Teori. erisi dasar teori, menjelasan meania flida, indentifiasi bent pemodelan menggnaan RX, desain endali dengan metode pole placement, incremental control, dan odel Predictive Control PC. ab 3 etodologi Penelitian. enjelasan sistem secara terperinci, mlai dari model matematis, validasi pemodelan RX, simlasi simlin, dan respon sistem analog menggnaan pengendali penempatan tb pole placement, incremental control dan pada bagian ini dijelasan jga desain PC nt pengendalian etinggian air dengan model rang eadaan. ab 4 nalisis Hasil Simlasi. Pada bagian ini dijelasan hasil pengjian dan evalasi nt perbaian inerja tiga tangi berbasis pole placement, incremental control, dan PC yang dijalanan menggnaan simlasi TL 28a. ab 5 Kesimplan. Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

17 2 SISTE TIG TNGKI, PEOELN, POLE PLCEENT, INCREENTL CONTROL N OEL PREICTIVE CONTROL 2.1 eania Flida Flida memilii sifat mengalir. liran tersebt diarenaan adanya gaya gravitasi sehingga air memilii sifat nt mengisi daerah yang lebih rendah sesai dengan wadah yang menampngnya. ir memilii nilai erapatan, dimana erapatan adalah perbandingan massa terhadap volme. Kerapatan diberi simbol ρ = massa m / volme V, dengan satan ρ dalam gr/cm 3, m dalam gr, dan V dalam cm 3 sehingga erapatan air dalam standar cgs adalah 1 gr/cm 3. [TPal98] Kerapatan air ini dipengarhi oleh temperatr, berdasaran sifat anomali air pada sh 4 derajat celcis merpaan nilai masimm erapatannya. Walapn cairan mengembang bila dipanasan dan menyst jia diberi teanan, perbahan volme yang terjadi sering ali diabaian. Sehingga dalam pemodelan nantinya fator teanan dan temperatr tida diperhitngan arena tida signifian. Hal ini aan sangat berbeda jia yang dianalisis adalah aliran gas Flida ergera Sebenarnya aliran air cp rmit diperhitngan jia air tersebt mengalami trblensi. Trbelensi ini merpaan gaya yang berptar-ptar secara sembarang. asalah ini dienal dengan aliran trblen. Pada perhitngan matematis nantinya trblensi ini tida diperhitngan diarenaan air yang 5 Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

18 6 terdapat pada tangi diasmsian bergera onstan dan memilii erapatan yang tetap. Volme air yang mengalir antara tangi dengan melewati pipa, dimana besarnya volme air yang terr dalam satan wat adalah V = a.v t 2. 1 Jadi, etia menghitng laj aliran air dari tangi 1 e tangi 2 aan memenhi persamaan aliran volme I v aan sama dengan elajan v dialian dengan las penampang pipa a. Persamaan tersebt dienal dengan persamaan ontinitas, yait laj aliran air terjadi secara onstan Persamaan ernolli yang berbeda. Pada aliran air dengan pipa yang tida sejajar dan las penampang pipa Gambar 2. 1 Pipa dengan etinggian dan las penampang berbah Pada Gambar 2.1 terdapat a 1 yang merpaan penampang awal dan a 2 merpaan penampang ahir. ari gambar 2.1 didapat gaya yang beerja W 1 = F 1. x 1 =P 1.a 1. x 1 =P 1. V Flida bergera e anan berlawanan dengan arah gaya yang bererja pada a 2 sehingga Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

19 7 W 2 = F 2. x 2 =P 2.a 2. x 2 =P 2. V Jadi gaya total yang beerja W total = W 1 W W total = P 1. V-P 2. V 2. 5 W total = P 1 -P 2 V 2. 6 berdasaran hm erja dan energi W total = U K ; 2. 7 U perbahan energi potensial massa. K perbahan energi ineti m = massa flida = ρ V sehingga persamaan ernoli dapat dibtian sebagai berit, P 1 -P 2 V= ρ. V.g y 2 -y 1 ½ ρ V v v P 1 -P 2 = ρ.gy 2 -ρ.gy 1 ρ½ ρv ½ ρv P 1 ρ.g.y 1 ½ ρv 1 = P 2 ρ.g.y 2 ½ ρv P ρ.g.y 1 ½ ρv 1 = onstan Pemodelan Tiga Tangi odel isrit RX Proses identifiasi adalah dengan mengambil elaran data dari elaran proses sebenarnya emdian nilai tersebt dideati dengan sinyal elaran pada model. Pendeatan nilai tersebt merpaan saha nt meminimman esalahan yang terjadi. Salah sat metode yang dignaan adalah least sqare, dengan metode ini model dan sistem aan teridentifiasi berdasaran jmlah N data sehingga diperoleh nilai parameter yang onvergen. Nilai adrat error Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

20 8 selisih elaran sistem dan model plant pada ondisi lp terba adalah fngsi biaya cost fction yang disimbolan dengan hrf J. N N 2 J = ti = i i i= 1 i= 1 [ ] 2 y t yˆ t ari penjelasan diatas metode ini coco nt metode yang statis artinya tida ada perbahan parameter erja sistem yang disebaban oleh berbahnya ondisi lingngan. etode ini dapat dignaan nt model yang non-linear. Jia digambaran nilai estimasi esalahan dari sinyal elaran sistem dengan elaran model aan menjadi sema dibawah ini. [Sbtr7] Gambar 2. 2 Sema identifiasi berdasaran esalahan predisi ent persamaan error dari gambar 2.2 dapat ditlis menjadi t = ˆ y t ˆ t 1 na 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 = a K a y t b b K bˆ nb 1 na 1 nb t = y t aˆ y t 1 K aˆ y t n 1 na a bˆ 1 ˆ t K b t n Persamaan error tersebt merpaan persamaan linear dengan elaran yang terpredisi sat langah edepan, disederhanaan menjadi, = y t yˆ t t 1 t nb b Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

21 9 Pada simlasi aan terlihat pengran bar dir berdasaran pengran sebelmnya dan predisi sat langah e depan dir pada saat wat searang. Fngsi riteria J dapat dicari dengan peralian matris error predisi transpost dengan matris error predisi. m n i= m 2 J = t m T = m N m N T = y ψθ y ψθ T T T = y θ ψ y ψθ Y T T T T T = y y y ψθ θ ψ y θ ψ ψθ Nilai error tersebt diminimalan dengan mencari trnan terhadap matris parameter modelnya sama dengan nol, yait J T T T T = ψ y ψ y ψ ψθ ψ ψθ = θ sehingga parameter a dan b dapat dicari setelah parameter θ disederhanaan dari persamaan 2.22 T 1 T θ = ψ ψ ψ y dan dibah ebent persamaan estimasi parameter T m N 1 = P m N ψ m N y m N θ dengan menyesaian persamaan 2.23 dan 2.24 nilai dari matris varian adalah P m N = m N m N T 1 ψ ψ Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

22 Validasi odel Validasi model dilaan terhadap sistem tiga tangi yait dengan cara membandingan elaran antara plant dengan model sehingga terdapat selisih nilai error yang emdian dirmsan berdasaran riteria berit: var y y VF = 1 1 % var y RS N i = 1 = y i N y i dimana, y i adalah sinyal elaran sistem tiga tangi e-i y i adalah sinyal elaran model RX e-i N adalah jmlah data yang diambil 2.3 esain Kendali dengan etode Pole Placement Pole placement adalah menambahan tb bar yang diinginan sehingga mendapat inerja ata respon sistem lp terttp yang lebih bai. ent mm dari pengendali penempatan tb terdiri dari precompensator dan controller. Pengendali dengan strtr tersebt merpaan pengendali 2-OF egree of Freedom. Peran dari precompensator adalah nt mengrangi esalahan galat tna dan lebih cepat mencapai nilai acan. Selanjtnya peran controller adalah memperbaii inerja sistem, meningatan ehandalan sistem dan estabilan system lp terttp. erit merpaan diagram blo sistem pengendali penempatan tb pole placement pada plant. Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

23 11 Gambar 2. 3 iagram blo plant close loop dengan pengendendali 2-OF 1. Plant proses biasanya disimbolan dengan G P, jia masan sebagai set point masan dan y sebagai elaran maa aan didapat persamaan fngsi alih G P Z -1 = Z-1 Z -1 Z engan nilai parameter Z -1 =1a 1-1 a 2-2 a na -na Z -1 =b b 1-1 b 2-2 b nb -nb enentan leta pole destination P d yang merpaan persamaan arateristi pada sistem orde da. Karateristi ini menentan inerja sistem lp terttp dalam mengiti acan. Pole destination bernilai positif, misalnya da tb embar lp terttp bernilai.3 1 =.3 dan 2 =.3. Semain ecil nilai tb embar tersebt mendeati nilai nol maa gain yang dihasilan semain besar dan dapat menimblan overshoot hingga etidastabilan. erit bent pole destination orde da yang dipilih arena dapat mewaili berbagai macam plant yang ada P d Z -1 = P d Z -1 = Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

24 12 sedangan bent parameter mm adalah P d Z -1 = 1p 1-1 p Jia persamaan 2.32 dan 2.33 disesaian aan didapat nilai parameter p 1 = -12 dan p 2 = tran Kendali menggnaan pengendali linear sat masan dan da elaran. asan disimbolan dengan, elaran berpa sinyal acan w dan sinyal proses y. Hbngan tersebt dapat ditlis menjadi FZ -1 t=hz -1 wt-gz -1 yt dengan nilai nilai parameter FZ -1 =1f 1-1 f nf -nf GZ -1 =g g 1-1 g ng -ng H = h h 1-1 h nh -nh Jia digambaran dalam bent diagram blo sistem terttp aan terlihat sebagai berit: Gambar 2. 4 iagram blo plant close loop dengan parameter pengendali penempatan tb 4. encari parameter F, G, dan H jia dissn lang blo diagram pada gambar 2.4 aan menjadi diagram blo yang bersesaian dengan gambar 2.5, menjadi: Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

25 13 Gambar 2. 5 iagram blo plant lp terttp dengan parameter-parameter pengendali perl diperhatian pada sistem ini ganggan tida diperhitngan, sehingga persamaan sinyal endali yang didapat t= Z -1 HZ -1 Z -1 FZ -1 Z -1 Z -1 GZ dimana, Z -1 FZ -1 Z -1 Z -1 GZ -1 =P d Z Kemdian dengan memasan parameter 2.29, 2.3 dan ditambah dengan pemenhan syarat iophantine ni n f =n b, n g =n a -1, dan tida mempnyai fator set, dan n p n a n b pada persamaan 2.4. Tentan orde na dan nb berdasaran plant yang aan dimodelan misal jia diminta orde 3 n a =3 berarti terdiri dari parameter a 1, a 2, a 3 ; maa n b =2 terdiri dari b, b 1, b 2 arena dimlai dari nol maa parameter b adalah orde tiga pla, dan pole yang diinginan n Pd =2 terdiri dari parameter p 1 dan p 2 aan didapat nilai n f =n b, n g =n a -1, dan n p n a n b np = 2. aa aan terbent matris 1 a 1 a na 1 a 1 a na b f p 1 -a 1 1 p 2 -a 2 b nb b f nf g = -n a b nb g ng Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

26 14 Parameter dibawah ini merpaan langah terahir desain pengendali penempatan tb setelah dissn seperti pada gambar 2.5. FZ -1 =1f 1-1 f n GZ -1 =g g 1-1 g n Z dan HZ -1 = P d Z -1 Z -1 = odel Predictive Control PC dapat dignaan nt sistem yang stabil dan tida stabil. Sistem yang tida stabil ditandai dengan respon plse ata respon impls ta berhingga pada sistem yang ontin pole berada disebelah anan bidang, pada sistem disrit pole berada dilar nit lingaran. asalahnya adalah model yang beerja pada open loop, arateristi model sangat berbeda dan secara cepat berbah dari arateristi plant sebenarnya, dan nilai esalahan pada simlasi secara cepat membesar dalam eadaan tida stabil, sehingga nilai predisi dari arateristi plant benar-benar tida bergna. [C] Cara nt menstabilan model membthan penysnan elaran plant. rtinya, etia sistem berjalan nt menghasilan predisi arateristi plant, inisial ondisi diberian epada plant ban model dengan masan step. odel nstable memilii persamaan yang berbeda, y m n i= 1 n = a y i b i m i= 1 emdian penysnan model nt mendapatan predisi berdasaran y 1 = i n n ai y p 1 i b1 ˆ bi 1 i i= 1 i= 2 ˆ Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

27 15 yˆ 2 = ai y p 1 i ai y n i= 2 p 2 i b n 1 ˆ 1 b2ˆ bi 2 i i= Kelaran atal plant sebelmnya dan masan dignaan apan pn data tersebt tersedia. iperlihatan sebelmnya estabilan model, dan diinterprestasian sebagai implementasi observer nt plant, sehingga model menjadi tida onvergen. iarenaan model tida saja memberian masan, tetapi jga elaran plant y p, data tersebt dapat dignaan sebagai masan model. Penstabilan dapat jga dilaan dengan mendapatan pelacaan nilai offset dengan penysnan model, yait membat asi integral pada pengendali. Penstabilan model dapat jga dilaan dengan merbah model tida stabil e dalam bagian stabil dan tida stabil, emdian meninggalan bagian yang sdah stabil dan menstabilan yang tida stabil Receding Horion Pengendali nt sat masan dan sat elaran pada plant diasmsian sebagai wat disrit, dan wat erja yang sedang berlangsng ditandai dengan. Kelaran plant pada saat wat searang adalah y. Nilai set point trajetori nt setiap wat t dinotasian sebagai st. imlai dari set point trajetori yang merpaan trajetori refrensi. Jia elaran plant y, dan didefinisian sebagai trajetori ideal selama plant mengiti trajetori set point. Nilai yang diberian nt referensi trajetori hars disesaian dengan inerja sistem pada saat lp terttp dalam pengendalian plant. Sehingga error dapat didefinisian sebagai Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

28 16 = s y Kemdian nilai trajetori referensi dipilih berdasaran esalahan langah e-i sebelmnya. Nilai trajetori referensi didefinisian sebagai r i = s i i Pengendali preditif memilii model internal yang dignaan nt mempredisi prila dari plant, dimlai pada wat searang, hingga mencapai horison predisi. Prila yang dipredisi berdasaran asmsi masan trajetori ˆ i ; i =,1, K, H 1.iasmsian model internal adalah linear sehingga p selal didapat masan terbai. Unt notasi ûaan berbeda dengan. asan atal pada wat tertent, i. smsian jga elaran yang terr y tersedia etia nilai masan tersedia. Impliasinya model internal yang dignaan harslah pantas, jadi model y bergantng masan sebelmnya -1, -2,, tetapi tida nt masan. Impliasi yang dipilih nt masan trajetori seperti membawa elaran plant hingga ahir horison predisi, dinamaan dengan wat H p, yang dibthan nilai rh p. Sehingga dapat diataan, dengan menggnaan terminologi [Ric93] bahwa diberian sebah nilai pada wat Hp. da beberapa masan trajetori yang dignaan { ˆ, ˆ 1, K, ˆ Hp 1 } dengan mnerapan ini, dipilih sat dari nilai predisi tersebt, hssnya yang memilii ebthan energy yang paling sediit. iasanya masan tersebt cp nt menentan sttr dari masan trajetori dengan parameter dari variabel anga yang lebih ecil. Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

29 17 Gambar 2. 6 Ide dasar pengendali preditif Pada Gambar 2.6 diperlihatan masan yang mengasmsian banyanya tiga masan pertama dari horison predisi, tetapi yang perl diingat onstanta setelahnya, yait: ˆ 2 2 = ˆ 3 = K, ˆ Hp 1 sehingga ada tiga parameter yang dipilih: ˆ, ˆ 1, ˆ 2. Kemnginan sederhana pada strtr nt mengasmsian masan yang aan onstan setelah horison predisi: ˆ = ˆ 1 = K = ˆ Hp 1. alam masalah ini hanya ada sat parameter, yang dinamaan dengan ˆ diarenaan hanya ada sat persamaan yang sesai yait y ˆ Hp = r r Hp sebagai selesi ni. Sat masan yang aan datang dari masan trajetori yang telah dipilih, hanya elemen pertama dari trajetori yang dipilih sebagai masan sinyal pada plant. engan menerapan = ˆ dimana menyataan sinyal atal yang diterapan. Kemdian etia sils elaran, predisi, dan masan trajetori terr maa diperlan penglangan dengan sat jara cpli emdian yang dinyataan dengan elaran bar terr y1, dengan memberian trajetori referensi yang bar ri 1 dengan i=2,3, didefinisian, predisi yang berada pada horison 1i, dengan i=1,2,,hp. Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

30 18 Sebah masan trajetori bar ˆ 1 i i dengan i=,1,,hp-1 yang dipilih, dan ahirnya masan beritnya yang yang diberian e plant adalah 1 = ˆ 1 1 yang dipilih. iarenaan horison predisi memilii panjang yang sama dari sebelmnya, tetapi pergeseran sepanjang sat cpli setiap interval adalah sat langahnya, sehingga pengendalian plant sering disebt sebagai metode receding horion. [C] Strtr Pengendali PC Selama nilai constraint tida diatifan, maa solsi dari pengendali preditif menjadi permasalahan tanpa constraint. Gambar 2. 7 Strtr pengendali PC Strtr pengendali PC merpaan bent simlasi etia nilai dari selrh state dietahi. Nilai refrensi yang diberian menjadi acan pengendali dengan parameter Ψ, dan Γ dignaan nt meminimasi esalahan yang terjadi pada elaran plant sedangan Θ aan banya mempengarhi dari fngsi biaya. Ketiga parameter tersebt yang aan mengatr pemberian sinyal endali berdasaran perbahan sinyal endali yang terjadi selama perhitngan pengendali PC berlangsng. Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

31 3 ESIN PENGENLI PC P SISTE TIG TNGKI 3.1 Penrnan odel atematis Tiga Tangi Terhbng Gambar 3. 1 odel tiga tangi terhbng engan mengasmsian air nontrblensi maa sistem memenhi persamaan ernolli P 1 1 ρv2 2 1 ρgh 1 =P 2 1 ρv2 2 2 ρgh Pergeraan air terjadi diarenaan adanya pengarh massa dan gravitasi. Pada tabel 3.1 eterangan simbol yang dignaan etia mencari rms state space nt menghitng etinggian air pada setiap tangi terhadap debit air yang mas. Tabel 3. 1 Keterangan simbol nt membat sistem tiga tangi simbol eterangan simbol eterangan P teanan flida dyne/cm 2 las alas penampang tangi cm 2 ρ massa jenis flida Q in debit air yang mas cm 3 /s gram/cm 3 19 Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

32 2 v ecepatan flida cm/s Q ot debit air yang elar cm 3 /s g onstanta gravitasi 98 cm/s 2 dρh perbahan volm air cm 3 h etinggian flida cm dt perbahan wat s erdasaran esetimbangan massa yang terjadi antara debit air yang mas dan elar dihitng berdasaran dρh dt = ρq in -ρq ot 3. 2 dh dt = Q in -Q ot 3. 3 ari persamaan mm tersebt dapat ditentan ondisi setiap tangi yang terssn seri menjadi 1 dh1 dt = Q in1 -Q ot1 2 2 dh2 dt = Q ot1 2 -Q ot2 3 3 dh3 dt = Q ot2 3 -Q ot3 end ent rms 3.4 memberian informasi bahwa debit air yang mas mempengarhi etinggian air, dan etinggian air ini mempengarhi debit air yang elar dengan ecepatan setiap detinya. danya elaran air dari tangi 1 e tangi 2 dan setersnya hingga berahir adalah saling beraitan, sehingga didapat hbngan elaran air terhadap selisih etinggian air sebagai berit: Q ot1 2 = 1 signh1-h2 h1-h Q ot2 3 = 2 signh2-h3 h2-h Q ot3 end = 3 h Parameter n ini merpaan peralian las alas penampang tangi-n dialian dengan aar dari da ali nilai gravitasi 2g. Nilai debit tersebt Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

33 21 emdian disbtitsian e persamaan mm ondisi tangi sehingga didapat perbahan etinggian air dari setiap tangi yait Tangi 1 dh1 Q = in1-1 signh1-h2 h1-h2 dt 1 Tangi 2 dh2 1 signh1-h2 h1-h2-2 signh2-h3 h2-h3 = dt Tangi 3 dh3 2 signh2-h3 h2-h3-q = ot3 end dt Setelah didapat rms state space etinggian dari setiap tangi langah selanjtnya adalah merbah bent persamaan tersebt edalam bent program ladder pada simlin. ent sistem analog plant tiga tangi tersebt dapat dilihat pada Lampiran. ent pemodelan terdiri dari tiga tangi yang terssn seri dengan pipa penghbng dengan ondisi horisontal [Yar4]. 3.2 Uji Lp Terba Sistem Tiga Tangi Terhbng Nilai parameter yang dignaan pada simlasi, yait Tabel 3. 2 Parameter yang dignaan pada sistem tiga tangi Las permaan pipa Las permaan tangi a1 =.4 cm 2 1 = 6 cm 2 a2 =.3 cm 2 2 = 5 cm 2 a3 =.2 cm 2 3 = 4 cm 2 Respon step dignaan nt menentan besar cpli yang aan dignaan pada pemodelan RX. Respon step dapat dilihat pada gambar berit: Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

34 22 Gambar 3. 2 Respon sistem tiga tangi terhbng dengan masan step Pada grafi masan yang diberian berpa fngsi step dengan masan 5,5 V aan didapat respon elaran berpa etinggian air pada tangi yang etiga. Nilai steady state yang didapat adalah Kemdian nt menghitng wat pencplian dir dari eadaan 5% sebelm nilai steady state, dengan ata lain cp dengan mengalian.95 dengan yait Nilai.95 dipaai arena respon tida terjadi overshoot, jia terjadi overshoot nilai yang dipaai adalah 1.5. Penentan batas wat pencplian berada pada: 1/2 T s < h < 1/5 T s Pada saat etinggian air 13.2 wat settling-nya T s adalah s, sehingga dengan menggnaan rms 3.13 didapat wat pencplian berada pada 23.15<h<92.6. Pada simlasi plant tiga tangi terhbng wat pencplian yang dipilih adalah 25. Nilai pencplian ini emdian dignaan e model matematis sistem tiga tangi sehingga sistem dapat mewaili sistem sebenarnya. Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

35 23 Ketinggian air pada tangi e-3 cm Grafi asan Step terhadap Ketinggian ir asan Step Volt Gambar 3. 3 Perbandingan antara masan dengan etinggian air pada tangi e-3 ari perbandingan gambar di atas terlihat pada masan 8 volt terjadi satrasi sehingga terlihat respon seperti grafi yang terpancng. Sehingga dapat dietahi dari sistem tersebt daerah erja berada pada sampai dengan 7 volt. Jia data-data tersebt dirangm dalam tabel aan terlihat titi erja sistem sebagai berit: Tabel 3. 3 ata hasil masan masan step t dan elarannya yt masan elaran masan Kelaran masan elaran Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

36 24 Nilai-nilai tersebt emdian diplot sehingga menjadi grafi daerah erja yang berbent persamaan linear. Persamaan linear tersebt dipilih arena mempnyai pendeatan yang paling bai pada gambar 3.3 yait berada pada rentang masan antara 4 sampai 7 volt. Ketinggian air pada tangi e-3 cm Persamaan Linearisasi y = 5.5x R² =.994 Ketinggian air pada tangi e asan Step Volt Gambar 3. 4 aerah erja sistem tiga tangi ent linear dari gambar 3.4 selanjtnya aan menjadi referensi nt membat model RX. engan ata lain pada saat membat model RX nilai masan indentifiasi pemodelan lihat Lampiran, diberian masan 4 sampai 7 Volt saja. asan inilah yang dijadian batasan dalam membent model linear. 3.3 Indentifiasi Sistem Tiga Tangi Terhbng Sistem tiga tangi merpaan sistem non-linear berorde tiga. Sifat sistem seperti ini hars dideati pla dengan riteria parameter orde tiga pla. etode RX dipilih arena emampannya dalam menyederhanaan sistem non-linear tersebt menjadi pendeatan linear disrit. ari perhitngan sebelmnya pers 3.13 diambil wat pencplian h sebesar 25, emdian orde parameter n a dan n b diberian orde tiga caranya pada matlab n b =2 arena dimlai dari b, b 1, Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

37 25 b 2, emdian n a =3 dengan pencplian data 2. idapat nilai linearisasi berpa riteria sebagai berit: odel Pendeatan iscrete-time IPOLY model: qyt = qt et q = q^ q^ q^-3 q =.2737 q^ q^-2 Estimated sing RX Loss fnction and FPE Sampling interval: 25 Kemdian model RX tersebt divalidasi dengan elaran model tiga tangi yang sebenarnya. Perbandingan ini dienal dengan persamaan Variance cconted For VF dan Root-ean-Sqare RS error, dapat ditlisan berpa var y y VF = 1 1 % var y RS N i = 1 = y i N y i dimana, y i adalah sinyal elaran sistem tiga tangi e-i y i adalah sinyal elaran model RX e-i N adalah jmlah data yang diambil engan mengallasian data berdasaran persamaan 3.14 dan 3.15 aan didapatan nilai validasi model RX dengan VF = % dan RS= Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

38 26 Gambar 3. 5 Perbandingan elaran model RX dengan model tiga tangi sebenarnya Paameter yang telah didapatan dari perhitngan model RX tersebt emdian dibent menjadi fngsi alih proses sistem tiga tangi, yait: -1 Z Z = Jia diambil pemodelan sistem tiga tangi tersebt memilii parameter sebagai berit yait: b =.2737, b 1 =.1914, a 1 =-1.66, a 2 =.292, dan a 3 = Parameter ini dignaan nt model plant pada desain pengendali pada bab beritnya. Grafi dibawah ini merpaan bent pendeaatan model RX dengan wat pencplian 25 deti sehingga menyerpai sistem tiga tangi sebenarnya. Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

39 27 Gambar 3. 6 Pemodelan dengan metode RX Perhitngan model dengan metode RX dapat dicari dari bent persamaan wat tndanya sebagai berit: ytt-1=-a 1 yt-1-a 2 yt-2-a 3 yt-3 b t-1b 1 t-2b 2 t = ψ T t.θt Kemdian bent persamaan 3.17 dan 3.18 tersebt dibat dalam bent matri yang dissn menjadi bent hbngan masan dan elaran seperti persamaan 3.19 ψ T t=[-yt-1 -yt-2 yt-3 t-1 t-2 t-3 ] ari persamaan jga dibent matri parameter nt nilai denmerator dan nmerator sistem pada persamaan 3.2, Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

40 28 a 1 a 2 a 3 θt= b b 1 b vetor yait: Pada sistem orde tiga dapat ditlis persamaan model dalam peralian a 1 a 2 a 3 yt=-yt-1 -yt-2 -yt-3 t-1 t-2 t-3 b b 1 b Pada persamaan 3.21 tersebt merpaan bent mm dalam mendapatan parameter nmerator dan denmerator sistem. iasanya dalam membat model RX tida perl terlal banya data yang diambil cp 2 data saja. Hal ini dilaan arena sifat dari bent model it sendiri yang memilii elemahan dalam mencapai nilai esalahan minimmmya. y4 -y3 = y2 -y199 y -y2 -y198 -y1 -y197 ψ a 1 a 2 a 3 b b 1 b 2 θ erdasaran persamaan 3.22 parameter n a dan n b dapat dicari: θ = ψ T ψ -1 ψ T y Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

41 esain Pengendali etode Penempatan Ktb Pada pemodelan RX diberi riteria nb=2 na=3 dan np nanb=2 dengan syarat iophantine ni n f =n b=2, n g =n a -1=2 dihasilan model: Z -1 =1a 1-1 a 2-2 a Z -1 =b b arena pada persamaan didapat nilai dari p1=-12dan p2=1.2; = nilai penambahan pole lp terttp yang diinginan berpa anga real. P d Z -1 = 1p 1-1 p FZ -1 = 1f 1-1 f GZ -1 =g g erdasaran persamaan 3.27 Z -1 FZ -1 Z -1 Z -1 GZ -1 =P d Z -1 maa dapat disbtitsian menggnaan pers 3.16, 3.17 dan 3.18 sehingga menjadi: 1a 1-1 a 2-2 a 3-3 1f 1-1 f b b 1-1 g g 1-1 = 1p 1-1 p Kemdian dielompoan berdasaran wat tndanya, sehingga menjadi persamaan f 1 a 1 b g -1 f 2 a 1 f 1 a 2 b g 1 b 1 g -2 a 1 f 2 a 2 f 1 a 3 b 1 g 1-3 a 2 f 2 a 3 f 1 a 3 f 2-5 = 1p 1-1 p ent persamaan 3.2 emdian dissn berdasaran persamaan mm 3.21 menjadi bent matris 3.22, yait : Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

42 3 1 a 1 a na 1 a 1 a na ent matrisnya adalah b f p 1 -a 1 1 p 2 -a 2 b nb b f nf g = -n a b nb g ng b a 1 1 b 1 b a 2 a 1 b 1 a 3 a 2 a 3 f 1 p 1 -a 1 f p 2 g = 2 -a 2 -a 3 g Unt mendapatan nilai parameter f dan g maa matris parameter a dan b S hars dapat diinvers, caranya menggnaan psedoinverse yait mengalian matris tersebt dengan transposnya sehingga menjadi bent sqare. Perhatian ilstrasi berit: x=b T x= T b x= T -1 T b apat ditlis embali menjadi f 1 1 b f 2 a 1 1 b 1 b 1 b a 1 1 b 1 b g = a 2 a 1 b 1 a 2 a 1 b 1 g a 3 a 2 a 3 a 2 1 a 3 a 3 T -1 1 b a 1 1 b 1 b p 1 -a 1 p a 2 a 1 b 1 2 -a 2 a 3 a 2 -a 3 a 3 T ari persamaan 3.16 telah dietahi parameter dari b =.2737, b 1 =.1914, a 1 = 1.66, a 2 =.292, dan a 3 = Jia parameter ini disbtitsian e persamaan 3.26 dengan pole lp terttp tjan bernilai embar.2 ata.3 ata.4. aa aan didapat parameter P d Z -1 pada table berit ini: Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

43 31 Tabel 3. 4 Nilai Parameter leta tb lp terttp yang diinginan 1 = 2 real p 1 p Tabel 3. 5 Nilai Parameter Precompensator dan Controller 1 = 2 f 1 f 2 g g 1 H Parameter yang telah didapat tersebt emdian dimasan e persamaan iophantine sehingga didapat blo dari precompensator dan blo controller. Kemdian parameter desain ini dimasan e blo diagram pengendali penempatan tb. Lihat Lampiran C. dapn ada beberapa syarat yang hars dipenhi dalam penambahan integrator tersebt berpa derajat polinomial G hars dinaian sat nt mendapatan persamaan identitas yang ni. Z -1 FZ Z -1 Z -1 GZ -1 =P d Z Persamaan 3.38 merpaan persamaan lp terttp dari diagram blo pengendali incremental control yang ide dasarnya berasal dari penempatan tb. Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

44 32 Gambar 3. 7 iagram blo incremental control Parameter Polinomial F dan G pada incremental control aan berbeda dari perhitngan peletaan tb pada perhitngan awal. Hal ini menyebaban parameter leta lp terttp digeser aga lebih jah nt menghindasi sifat integrator yang lebih agresif. Unt it parameter yang dignaan adalah g =1.437, g 1 =-1.286, g 2 =.1984, f 1 =.4727, dan f 2 = Hasil ini didapatan dengan menyelesaian persamaan 3.38 menjadi bent matris Polinomial F, G tersebtlah yang dignaan nt mendapatan tbtb dapat terleta pada loasi yang diinginan. 3.5 esain Pengendali PC Hal pertama yang hars dilaan dalam mendesain PC adalah menganalisis odel Rang Keadaan odel Tiga Tangi, yang didapat dari fngsi alih RX:.13 = = Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

45 33 [ ] C = = 3. 4 erit nilai eigen λ dari model tiga tangi.2413 = -.4.6i i λ ari persamaan 3.41 nilai eigen tersebt semanya masih didalam nit circle, tida ada nilai real dari tb pole yang melebihi 1. engan demiian model yang didapatan memilii pole yang stabil artinya desain pengendali aan lebih cepat diselesaian etimbang hars menstabilan dl pole yang dilar nit cicle tersebt. da da hal lagi yang penting nt dipertimbangan dalam medesain pengendali dengan model rang eadaan ini, yait controllability dan observerability. Sifat dari controllability adalah emampan model nt dapat diendalian nt setiap statenya, sedangan observerability berfngsi nt membat sat observer nt berbagai eperlan seperti nt mengestimasi beberapa elaran dengan cepat epengendali sistem tanpa hars menggnaan sensor. Kengglan observer ini lebih epada penghematan wat dan biaya arena cp menggnaan perhitngan matematis nt mendapatan elaran yang dimasd berdasaran data-data yang tersedia dari sensor. Controllability dan observerability ini harslah dalam ondisi fll ran, jia tida berarti sistem ehilangan emampan nt diendalian atapn emampan nt dibatan desain observer state-nya. erit merpan nilai controllability co dan observerability ob dari model rang eadaan, yait: = co Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

46 34 = ob ari bent matris 3.42 dan 3.43 dapat dicari nilai determinannya tida nol yang merpaan indiator dari sifat fll ran tersebt. apat langsng ditentan arena nilai dari baris matris ban elipatan dari matris baris yang lain. Setelah model dirasa sdah cp mewaili arater dari plant tiga tangi tahap selanjtnya adalah merancang pengendali PC dengan menghitng matri riteria pengendali Ψ, Γ, dan Θ. 1 x x = x C = = = = = x H x H x H x x Hp i i H i i H i i Hp H H p = = = = H H Hp i i Hp i i H i i H i i L L L O L L K L Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

47 35 = 1 1 H x x C C C H p p L O L L Jia persamaan 3.46 dan persamaan 3.47 disederhanaan aan didapat 3.5 dengan persamaan elaran model rang eadaan 3.48 aan didapat hbngan menjadi persamaan x Z Θ Γ Ψ = x x C Θ Γ Ψ = L Kx x = C L C Kx C x C = encari Ψ, Γ, Θ yang bar jia elaran dipengarhi masan secara langsng 1] [ 1 1 = x C x 1] [ 1 2 = x C x 1] [ = H H x C H x K 1] [ = H H x C H x p P K Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

48 36 = H x x x C C C C H H x p p 1 p H H L O emdian dari persamaan 3.46 dan 3.53 menjadi bent 3.54 dan L K x x = N NL NK x x N = 1 P O Persamaan hasil elaran dari rang eadaan dapat ditentan yait. 1 P N O NL NK x = Θ Γ = Ψ x bar bar bar Setelah mendapatan persamaan elaran yang bar emdian langah selanjtnya adalah mencari sinyal pengendali berdasaran cost fnction dari pengendali PC. Penjelasannya adalah sebagai berit: 1 Θ Ψ = x i r ε N O P Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

49 37 Hasil pengrangan persamaan 3.56 dengan persamaan 3.57 aan didapatan penyelesaian dari fngsi biaya V, yait: V V V V V Hp 2 Q H 1 = i r i i i= Hw 2 2 r Q R i= = Q R = Θ ε T T T T = [ Θ ] Q[ Θ ε ] R ε T T T T T = ε Qε 2 Θ Qε Θ QΘ R 2 R sehingga persamaan dari fingsi biaya menjadi V T T const G H = dimana, T G = 2Θ Qε T H = Θ QΘ R Solsi optimal dari persamaan fngsi biaya adalah etia sinyal endali yang paling memberian entngan terbesar yait dengan V = G 2H opt = H G Sehingga dapat ditentan sinyal endali yang aan diberian e model rang eadaan berdasaran perbahan sinyal endali dan masan sinyal endali sebelmnya, yait: Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

50 38 opt 1 = Pada pengendali PC nilai horison ontrol H dan horison predisi H p yang dipilih secara berrtan adalah 4 dan 5, sehingga matris dapat dihitng berdasaran bent mm berit ini: Ψ = C C C C C 3. 7 Γ = C C C C C = Θ C C C C C Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

51 39 Kriteria pengendali ini dicari etia proses inisialiasi dilaan dan bernilai onstan selama simlasi dijalanan Ψ = Γ = Θ = Hasil perhitngan riteria pada hasil perhitngan 3.73, 3.74 dan 3.75 emdian dignaan nt mendapatan penyelesaian persamaan 3.58 sebagai perhitngan error dan persamaan 3.65 sehingga didapat parameter riteria G dan H yang dibthan jga oleh PC nt menentan perbahan sinyal endali optimm. Sinyal endali pada persamaan 3.69 dihitng berdasaran perbahan sinyal endali optimm tersebt ditambah dengan sinyal endali sat pencplian sebelmnya. Sehingga sistem ini bersifat integrator ata dihasilan esalahan galat tna bernilai nol dengan engglan berpa sifat mempredisi sinyal endali terhadap informasi refrensi yang aan datang sehingga respon yang diharapan semain cepat dan terlihat mendahli perbahan set point yang terjadi pada wat tersebt. Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

52 4 NLISIS HSIL SIULSI erit merpaan hasil respon model RX dengan pengendali lp terttp, secara berrt menjadi tiga bent respon yang bervariasi, variasi pertama pada leta lp terttp berada di smb real.2. Gambar 4. 1 Grafi hasil endali penempatan tb dengan leta pole lp terttp =.2 ari grafi di atas terlihat elaran sistem mengiti nilai acan yang diberian, sehingga pengendali dapat beerja sesai dengan tjan yang diinginan. Kemdian dengan mengbah parameter tb lp terttp plant tiga tangi menjadi.3 diperoleh sistem lp terttp yang tetap stabil. Hal tersebt dapat dilihat pada gambar dibawah ini: 4 Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

53 41 Gambar 4. 2 Grafi hasil endali penempatan tb dengan leta pole lp terttp =.3 Gambar 4. 3 Grafi hasil endali penempatan tb dengan leta pole lp terttp =.4 engan mengbah leta tb lp terttp menjadi.4 pada gambar 4.3 c berarti leta tb tersebt memilii redaman yang lebih besar menyebaban nilai overshoot berrang. ari etiga pamater perl dietahi esalahan galat tna yang dihasilan bernilai nol. engan wat respon menj galat tna yang tida jah berbeda. Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

54 42 erit pada gambar 4.4, 4.5 dan 4.6 merpaan hasil respon dari sistem plant tiga tangi yang awal. apat dilihat respon yang berada pada daerah erja air berisar di level 15 cm memberian respon yang bai, sedangan etia level air di set menjahi dari daerah erjanya maa esalahan yang dihasilan aan semain besar. Gambar 4. 4 Perbandingan Respon Plant wal Sistem Tiga Tangi dengan Pengendali Penempatan Ktb dengan tb lp terttp berada pada =.2 Gambar 4. 5 Perbandingan respon plant awal sistem tiga tangi dengan pengendali penempatan tb dengan tb lp terttp berada pada =.3 Timblnya esalahan galat tna pada sistem tiga tangi paling besar etia leta lp terttp berada di.4. Jia dihitng etia sistem diharapan Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29

55 43 memilii etinggian refrensi 2 cm, respon sistem tiga tangi steady state pada 23,41 cm. Jadi besarnya overshoot yang terjadi 3,41/2*1% = 17.5 %. Gambar 4. 6 Perbandingan respon plant awal sistem tiga tangi dengan pengendali penempatan tb dengan tb lp terttp berada pada =.4 engan demiian pengendali yang telah dirancang beerja berdasaran titi erjanya pada level berisar 15 cm dan nt mengatasi permasalahan error tersebt dapat ditambahan integrator. Pengendali tersebt dienal dengan nama incremental control dimana tida memerlan pre-compensator dan dapat dignaan nt sistem dengan orde sembarang Pada pengendali incremental diberian leta tb lp terttp di.6 dan dibandingan dengan respon pengendali penempatan tb tanpa integrator pada lp terttp di.2 aan didapatan hasil sebagai berit: Perbandingan inerja..., Harry Nofrian Praasa, FT UI, 29