BAB IV VIBRASI KRISTAL

Transkripsi

1 BAB IV VIBRASI KRISTA Dala bab yang lalu, telah dibahas bahwa ristal tersusun oleh ato-ato yang dia pada posisinya di titi isi. Sesungguhnya, ato-ato tersebut tidalah dia, tetapi bergetar pada posisi esetibangannya. Getaran ato-ato pada suhu ruang adalah sebagai aibat dari energi teral, yaitu energi panas yang diilii ato-ato pada suhu tersebut. Getaran ato dapat pula disebaban oleh gelobang yang erabat pada ristal. Ditinjau dari panjang gelobang yang digunaan dan dibandingan dengan jara antar ato dala ristal, dapat dibedaan pendeatan gelobang pende dan pendeatan gelobang panjang. Disebut pendeatan gelobang pende apabila gelobang yang digunaan eilii panjang gelobang yang lebih ecil dari pada jara antar ato. Dala eadaan ini, gelobang aan elihat ristal sebagai tersusun oleh ato-ato yang disrit, sehingga pendeatan ini sering disebut pendeatan isi disrit. Sebalinya, bila dipaai gelobang yang panjang gelobangnya lebih besar dari jara antar ato, isi aan napa alar (ontinyu) sebagai suatu edia perabatan gelobang. Oleh arena itu, pendeatan ini sering disebut sebagai pendeatan isi alar. GEOMBANG EASTIK DAN FONON Dala pendeatan gelobang panjang, tinjau sebuah batang berpenapang A dengan rapat assa ρ, yang dirabati gelobang eani e arah eanjang batang x. Pada setiap titi x dala batang terjadi perubahan panjang u (x) sebagai aibat adanya tegangan σ(x) dari gelobang, lihat gabar. Dapat ditulisan regangan pada batang : Gabar Pendahuluan Fisia Zat Padat

2 du...() dx arena tegangan σ yang eenuhi huu Hooe sebagai beriut : E...() dengan E enyataan Modulus elasti atau Modulus Young. Selanjutnya, enurut huu edua Newton, tegangan yang beerja pada eleen batang dx enghasilan gaya sebesar : F A { (x dx) - (x)}...(3) aan enyebaban assa eleen batang tersebut (ρadx) endapatan percepatan u sebesar ( ) sehingga : t u Adx A{ ( x dx) ( x)}...(4) t Perhatian lebih lanjut ruas anan persaaan (.4), dapat dijabaran : dx x E dx dx du...(5) E dx x dx d u E dx dx Masuan ebali hasil (5) e persaaan seula (4) eberian : yang dapat disederhanaan enjadi : u u Adx E dx. A t x u u...(6) x E t yaitu persaaan gelobang elasti. Dan bila dibandingan dengan persaaan gelobang uu : u x v s u t Pendahuluan Fisia Zat Padat

3 aan diperoleh ungapan bagi ecepatan gelobang elasti : E v s...(7) Jelas bahwa ecepatan gelobang eani dala batang (secara uu pada zat padat) bergantung pada besaran elasti bahan tersebut, yani odulus Young. Karena perabatan gelobang tersebut bergantung pada besaran elasti aa gelobang yang bersangutan disebut gelobang elasti. Bentu penyelesaian dari persaaan gelobang, persaaan (6), dapat dipilih solusi gelobang bidang : u(x) u 0 exp (ix - it)...(8) dengan bilangan gelobang (= π/λ), ω freuensi sudut dan λ panjang gelobang. Bila hanya diperhatian bergantung gelobang terhadap posisi (x), dengan engabaian fator watu (t), aa fungsi gelobang bidang dapat ditulis : u(x) u 0 exp (ix) (9) Dengan enganggap panjang batang, fungsi gelobang harus eenuhi syarat periodi, yaitu nilai pada ujung iri (x = 0) harus saa dengan nilainya pada ujung anan (x = ), jadi : Ini berarti, atau : dan : u( x 0) u( x ) (0) u0 u0 exp( i) exp( i) i ln( ) n () dengan n = 0, ±, ±,... Persaaan terahir (.) engungapan bahwa gelobang dapat erabat dala batang yang panjangnya bilaana bilangan gelobangnya eilii harga elipatan bulat (0,,,...) dari π/. Atau dengan ata lain bilangan gelobang berharga disrit. Keadaan di atas bila ditulisan dala ruang (oordinat yang enyataan bilangan gelobang) aan terlihat seperti pada gabar a. Titi-titi dala ruang Pendahuluan Fisia Zat Padat 3

4 enyataan raga (oda) gelobang. Andaian panjang batang cuup besar (>>), aa jara π/ aan endeati nol dan ini berarti titi-titi dala ruang - ain berdeatan (ruang - endeati alar/ uasi ontinyu), lihat gabar b. Gabar. Ruang satu diensi : a. disrit, dan b. alar Berdasaran gabar dapat didefinisian julah raga gelobang elasti yang epunyai bilangan gelobang antara dan + d (dala interval d) adalah : dengan : d d.() Julah raga gelobang seperti pada persaaan (.) untu setiap satuan volue disebut rapat eadaan atau ditulis g() d. Rapat eadaan dapat juga diungapan sebagai freuensi sudut ω, yaitu g(ω) dω; yang enyataan julah raga gelobang elasti persatuan volue dengan freuensi antara ω dan ω+dω (dala interval dω). Di piha lain, dan ω berhubungan satu saa lain elalui hubungan dispersi, lihat gabar 3., yaitu bahwa ω berbanding lurus terhadap untu isi alar : v s.(3) Pendahuluan Fisia Zat Padat 4

5 Pendahuluan Fisia Zat Padat 5 Gabar 3. Hubungan dispersi linier untu isi alar (pendeatan gelobang panjang) dengan v s adalah ecepatan gelobang pada ediu yang bersangutan. Melalui hubungan ini g(ω) dapat ditentuan : v s ) ( ) ( d d g d d g.(4) Anga pada persaaan tersebut uncul arena raga gelobang eliputi daerah (positif dan negatif), yaitu berhubungan dengan gelobang yang erabat e arah anan dan iri. ebih lanjut, perubahan gelobang di atas dapat diperluas untu asus tiga-diensi. Dala ruang tiga-diensi, fungsi gelobang dengan engabaian fator watu ditulis : )} ( exp{ ),, ( 0 z y x i u z y x u z y x (5) Syarat batas periodi enghasilan : )} ( exp{ z y x i (6) Hal ini dapat dipenuhi oleh :,..., 0,,, ; ; n l n l z y x

6 Setiap titi dala ruang - q dinyataan oleh : ( x,, ) y z.(7) l,, n yang erupaan satu raga gelobang. Pada gabar 4. diluisan ruang - tigadiensi, proyesi pada bidang y - z dan besarnya volue yang ditepati oleh satu titi ( x, y, z ) dala ruang - tersebut. Gabar 4. Ruang tiga diensi : a. ruang dala uadran I ( x, y, z 0); b. proyesi ruang pada bidang y - z ; c. volue yang ditepati oleh satu titi dala ruang Rapat eadaan g(ω) dala ruang tiga-diensi dari rabatan gelobang dapat ditentuan berdasaran gabar 4. Julah raga gelobang (dala bola berjejari q) adalah perbandingan antara volue bola dan volue yang ditepati oleh satu titi dala ruang -, jadi : 4 3 N (8) Turunan (diferensiasi) N terhadap q aan eberian g(ω) dω : Pendahuluan Fisia Zat Padat 6

7 atau, dn 3 d g d Gunaan hubungan dispersi : g 3 d d Sehingga diperoleh : g v ; V s 3 v s v s d ; d v.(9) s V = 3, yaitu volue ediu apabila berbentu ubus. Dengan hasil ruusan terahir, dapat diperluas hubungan antara julah raga gelobang yang dinyataan oleh titititi dala ruang -. Dala pengertian ini, satu titi ( x, y, z ) setara dengan 3 (tiga) raga gelobang dala ruang (oordinat) tiga-diensi. Anggap, isalnya, gelobang erabat e arah - x, aa raga e arah x ini enjadi gelobang longitudinal ( raga) sedangan raga e arah y dan z enjadi gelobang tronsversal ( raga), sehingga : ( x, y, z) - raga longitudinal - raga transversal Dala asus gelobang erabat e arah subu x, aa ungapan rapat eadaan dapat ditulisan ebali berbentu : g V 3 v s, vs, 3 T.(0) dengan v s, dan v s,t adalah ecepatan gelobang longitudinal dan ecepatan gelobang transversal. Sapai sejauh ini, ita telah ebahas rabatan gelobang elasti pada bahan padat. Gelobang elasti pada zat padat ini dapat disebaban bai oleh gelobang eani (bunyi/ultrasoni) aupun oleh gelobang teral (infraerah). Kedua gelobang tersebut dapat enyebaban getaran isi. Untu selanjutnya, paet-paet energi getaran isi disebut fonon. Fonon dapat dipandang sebagai uasi partiel seperti halnya foton pada gelobang cahaya/eletroagnet. Melalui onsep yang irip dualise partiel- Pendahuluan Fisia Zat Padat 7

8 gelobang ini, rabatan getaran isi dala zat padat dapat dianggap sebagai aliran fonon. Beberapa onsep dualise gelobang-pertiel ditunjuan pada tabel. Tabel. Beberapa esitasi eleenter pada zat padat. GEOMBANG PARTIKE Gel. Eletroagnet Foton Gel. Elasti/getaran Kisi Fonon Gel. Eletron Koletif Plason Gel. Magnetisasi Magnon Gel. Eletron + deforasi elasti Polaron Gel. Polarisasi Esiton. GETARAN KRISTA YANG BERBASIS SATU ATOM (MONOATOMIK) Kita ulai dengan asus yang sederhana. Yaitu asus yang elibatan getaran ristal aibat adanya gelobang elastis yang erabat dala arah [ 0 0] ; [ 0] ; [ ]. [ ] [ 0 0] [ 0] Untu setiap vetor gelobang ( ) terdapat 3 odel getaran yaitu : buah longitudinal dan buah transversal. Pendahuluan Fisia Zat Padat 8

9 ARAH RAMBAT (SB.X) US (ARAH SIMPANGAN) BUAH GEOMBANG ONGITUDINA Y SIMPANGAN X Z ARAH RAMBAT SIMPANGAN BUAH GEOMBANG TRANSVERSA Pendahuluan Fisia Zat Padat 9

10 Kita anggap bahwa ristal aan erespon Gelobang elasti secara linier terhadap gaya. Artinya : gaya yang beerja pada bidang ristal yang e : s adalah sebanding dengan selisih sipangannya. Jadi: F s = c (U s+ - U s ) + c (U s- - U s ) F s = c (U s+ + U s- U s )...() Dengan : F s C U s = gaya yang beerja pada bidang ristal yang e : s = tetapan elastisitas = sipangan bidang ristal yang e s U s+ = sipangan bidang ristal yang e s+ U s- = sipangan bidang ristal yang e s- Persaaan gera bidang ristal e s adalah : F =. a = c. Δx. a = huu newton c. Δx = huu hooe d U. s = c (U s+ + U s- U s )...() = assa ato. Solusi dari persaaan gera ini tergantung pada watu (t) yang dinyataan oleh : U s = e - i ω t Karena pers () erupaan turunan hanya terhadap watu, aa : d U s s U d = = e - i ω t [ e - i ω t ] = - ω. e - i ω t d s U = - ω U s Karena itu pers () dapat ditulis : -ω U s = c (U s+ + U s- U s )...(3) Pendahuluan Fisia Zat Padat 0

11 Solusi: U s = e - i ω t dapat ditulis sebagai beriut : U s = e - i ω t e - i π v t = e - i π v t λ/λ Us = e - i x = e - i s a Secara lengap U s dapat ditulis sebagai beriut: U = aplitudo Karena itu: U s =U. e - i s a...(4) U s+ =U. e - i (s+) a =U. e - i s a. e + i a Pers (5) (3) didapat : U s+ = U s e i a...(5) -ω U s = c (U s e i a + U s e - i a U s ) -ω = c (e i a + e - i a )...(6) Karena e + i θ = cos θ + i sin θ aa e i a + e - i a = cos a Sehingga persaaan (6) enjadi: ω = -c ( cos a ) ω c = (-cos a) ω c = [ (-cos a)] -/...(7) Dengan -cos a = sin (½ a), Persaaan (7) enjadi : ω c = sin (½a) ω = c sin ½ a...(8) c Persaaan (8) = A (aplitudo) erupaan Persaaan Dispersi. Persaaan (8) enyataan hubungan antara freuensi sudut (ω) terhadap vetor gelobang (). ω = f() Pendahuluan Fisia Zat Padat

12 Bila dinyataan dengan grafi Sin π/ = sin 90 o ax = Sin Sin / /3 = sin 45 o = ½ = sin 30 o = ½ Kecepatan grup (ecepatan elopo) vg d V g = gradien d Daerah Brillovin I d = ( d Pada saat : a = π c sin ½ a ) V g = a c a = π λ = a cos½ a...(9) V g = a grafi) a = π/ c cos½ a = 0 artinya : tida ada gradien eiringan (lihat di a = π/ λ = 4a V g = a c cos π/4 Pendahuluan Fisia Zat Padat

13 0,74 a c ada gradien eiringan. 3. VIBRASI KRISTA DIATOMIK Persaaan gera : F =.a = c. Δx Untu d U s = c {(V s - U s )+( V s- -U s ) d U s = c { V s + V s- U s }...() Untu d U s = c {(U s+ -V s )+(U s -V s ) Solusinya : d U s = c {U s+ +U s V s }...() U s+ U s V s i (sa ωt) = U. e i (sa ωt) = V. e = U. e i (sa ωt).e ia V s- = V. e i (sa ωt).e -ia...(3) Persaaan (3) diasuan e persaaan () diperoleh U s i (sa ωt) = U. e du s = - iωu. e i (sa ωt) d s U = -ω i (sa ωt) U. e -.U ω e i (sa ωt) =c{u. e i (sa ωt) + V. e i (sa ωt).e -ia - U. e i (sa ωt) } Pendahuluan Fisia Zat Padat 3

14 -.Uω =c{u+ Ve -ia - U}...(4) Dengan cara yang saa bila persaaan (3) diasuan e persaaan () didapat : -.Vω =cu(+ e ia )- cv}...(5) Dari persaaan (4) dan persaaan (5) bila dibuat deterinant: c ( c)( e ia ) ( c)( e ia ) U c- V = 0 c ( c)( e ia ) ( c)( e ia ) =0 c- {( c )( c )}-{ ( c)( e ia ) ( c)( e ia ) } =0 ( )ω 4 -{c( + )}ω -c (+ e ia+ e -ia ) =0 Ingat e + i a = cos a + i sin a e i a + e - i a = cos a Maa ( )ω 4 -{c( + )}ω +c (- cos a)=0 Ruus abc: (ω ) = Ingat c( ) -cos a = sin ½ a Maa {c( )} ( 4( ) )(c )( cos a) (ω ) =c( ) + c 4 a ( ) sin ( )...(6) Persaaan (6) erupaan persaaan cabang opti (gelobang eletroagneti) (ω ) =c( ) - c 4 a ( ) sin ( )...(7) Persaaan (7) erupaan persaaan cabang austi (bunyi) Pendahuluan Fisia Zat Padat 4

15 Grafi: f ) Untu ( =0 ω op= (c)( ) ω op= (c)( ) ω a = c( )-c( )=0 =π/a ω op = c( ) + c 4 ( ) = c( ) + c 4 ( ) ( ) Dengan cara yang saa : = c( ) + c ( ) ( ) = c( ) + c ( ) = c( ) + c ( ) ω op= ω a= c( ) - c ( ) ω a= c...(8) c...(9) Bila c c Pendahuluan Fisia Zat Padat 5

16 ω op ={c( )} / Cabang opti (c/ ) Daerah terlarang(tida ada energi yang dilalui) (c/ ) Cabang austi -π/a -π/a 0 π/a π/a Bila c c Yang terjadi adalah tida ada celah terlarang yang artinya untu setiap energi selalu enghasilan getaran Pendahuluan Fisia Zat Padat 6

17 DAFTAR PUSTAKA - Ditat Pendahuluan Fisia Zat Padat oleh Dra.Wiendartun, M.Si - Introduction To Solid State Physics Edition 6 oleh C.Kittel Pendahuluan Fisia Zat Padat 7