I. PENDAHULUAN. Teori graf merupakan salah satu bagian ilmu dari matematika dan merupakan

Transkripsi

1 I. PENDAHULUAN. Latar Belaang Teori graf merupaan salah satu bagian ilmu dari matematia dan merupaan poo bahasan yang relatif muda jia dibandingan dengan cabang ilmu matematia yang lain seperti aljabar dan geometri. Teori graf pertama ali dienalan pada tahun 736 oleh seorang matematiawan Swiss yang bernama Leonard Euler untu menyelesaian permasalahan jembatan Konigsberg (searang bernama Kaliningrad). Konigsberg merupaan suatu ota yang terleta di bagian utara Jerman dan memberian pengaruh besar tehadap sejarah perembangan teori graf. Sungai Pregel yang melalui Konigsberg membagi wilayah daratan menjadi empat bagian. Di atas sungai Pregel dibangun tujuh jembatan yang menghubungan eempat wilayah tersebut. Beriut gambar dari jembatan Konigsberg. Gambar. Jembatan Konigsberg

2 Graf merupaan umpulan dari titi (vertex) dan sisi (edge) didefinisian sebagai G = (V,E). V menyataan himpunan titi yang ta osong dan E menyataan himpunan sisi yang merupaan pasangan sisi ta terurut dari titi-titi V. Setiap sisi menghubungan satu titi e titi yang lain, dan setiap titi dapat mempunyai banya sisi yang menghubungannya e titi yang lain. Banya penelitian telah dilauan pada graf, diantaranya pelabelan sisi, pelabelan titi, pewarnaan graf, teori Ramsey pada graf, dimensi partisi pada graf, dan lain lain. Pada teori graf, terdapat cabang ajian yang disebut dimensi metri. Dimensi metri pertama ali dienalan oleh Harary dan Melter pada tahun 976, emudian diembangan menjadi dimensi partisi pertama ali oleh Chartrand d. pada tahun 998. Konsep dimensi partisi juga merupaan salah satu onsep yang melatar belaangi munculnya onsep bilangan romati loasi. Misalan G = (V,E) suatu graf, dan. Jara dari titi v e himpunan S, dinotasian dengan d(v,s) adalah { } dengan adalah jara dari titi v e x. Misalan { } adalah partisi dari V(G) dengan adalah elas-elas partisi dari. Representasi v terhadap dinotasian dengan adalah pasang terurut ( ). Selanjutnya disebut partisi pembeda dari V(G) jia untu setiap dua titi berbeda u,. Dimensi partisi dari G, dinotasian dengan pd (G), adalah nilai terecil sehingga G mempunyai partisi pembeda dengan elas (Chartrand d.,998).

3 3 Penentuan dimensi partisi dari graf terhubung sebelumnya telah dilauan oleh Chartrand d.(998), husus untu elas pohon diperoleh dimensi partisi dari graf lintasan P n, n, yaitu pd(p n ) = dan graf bintang K,n, yaitu pd(k, n ) = n. Dimensi Partsisi Graf bintang ganda T berorde n 6, dengan x dan y dua titi yang buan daun, maa pd(t) = { }. Selain itu merea mendapatan batas atas dan batas bawah dimensi partisi dari graf ulat. Graf ulat adalah graf pohon yang mempunyai sifat jia semua daunnya dihapus maa aan menghasilan lintasan (Asmiati,0b). Penelitian terus dilauan untu mendapatan dimensi partisi graf terhubung lainnya. Kelas graf tertentu dapat ditentuan dimensi partisinya secara tepat, tetapi pada elas graf yang lain baru dapat ditentuan batas atas atau batas bawahnya. Chartrand d. (000) telah mengaji dimensi partisi pada graf bipartit K m,n dan Tomescu d. (007) untu graf roda W n untu n tertentu, dimensi partisi graf roda W n telah dapat dilauan secara tepat. Misalnya, pd(w n ) = 3 untu 4 n 7 dan pd(w n ) = 4 untu 8 n 9. Pada tahun 0 dan 0, Asmiati d. telah berhasil menentuan bilangan romati loasi graf amalgamasi bintang. Selanjutnya Asmiati (0) telah mendapatan dimensi partisi pada graf Amalgamasi Bintang. Ketertarian penulis pada penelitian ini adalah terait masalah penentuan dimensi partisi graf ns m, untu n,m, sebarang bilangan asli.

4 4. Batasan Masalah Graf amalgamasi bintang adalah graf yang diperoleh dengan mengidentifiasi sebuah daun dari setiap bintang. Titi hasil identifiasi disebut pusat amalgamasi, dinotasian dengan. Titi yang berjara satu dari pusat amalgamasi disebut titi tengah, dinotasian dengan, dan titi daun e- dari titi tengah adalah,. Jia dengan untu semua, graf bintang amalgamasi dinotasian sebagai. Diberian graf sebagai beriut l l 3 l l 3 l l l m l 3 l l l l 3 l l 33 l 3 ( m ) lm l 3 m l l ( m ) l( m ) l( m )3 l l 3 l l 3 l l m l 3 l l l l 3 l l 33 l 3 ( m ) lm l 3 m l ( m ) l ( m ) l( m )3 l m 3 l m l m l m 3 l m l m l m m n l m lm l m l m l m 33 3 l m 3 l n m l m l m 3 3 m l m ( m ) l m ( m ) l m ( m ) l m ( m ) x x x n Gambar. Graf Pada penelitian ini aan ditentuan dimensi partisi graf ns m,, untu setiap n,m, adalah sebarang bilangan asli.

5 5.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian tugas ahir ini adalah menentuan dimensi partisi dari graf amalgamasi bintang ns m, untu n,m, sebarang bilangan asli..4 Manfaat Penelitian Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai beriut:. Mengembangan wawasan tentang teori graf terutama tentang dimensi partisi dari graf amalgamasi bintang.. Memberian sumbangan pemiiran untu memperluas dan memperdalam ilmu matematia dalam bidang teori graf terutama tentang dimensi partisi dari graf amalgamasi bintang. 3. Sebagai bahan ajian untu referensi penelitian lanjutan mengenai dimensi partisi dari suatu graf.