TRANFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN KONVERGEN

Transkripsi

1 TRANFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN KONVERGEN Wahidah Alwi Dosen pada Jurusan Mateatia Faultas Sains dan Tenologi UIN Alauddin Maassar Eail. Abstract: The calculus have introduce the real functions naely for all functions to ap real nuber to the real nuber. Now, the explanation it not only to real nuber but the apping of nor space that is a linier transforations, naely the atheatical sentences with the apping of a vector space to the others. The purpose of this research are how to now the requireents a infinite atrices in order to be a lie as transforations in the sequences space is the sequences space c 0 to c 0. Matrices A n x can be looed as linier transforation of R to R n. So the functions can ap to point (x 1, x, x 3,, x ) at R to a point (y 1, y, y 3,, y n ) at R n. The siilarly, a atrices can be looed as linier transforation of the sequences space to the others provided that line and colou atrices that infinite eleents. In this case, atrices ap the sequences (x 1, x, x 3, ) to the sequences (y 1, y, y 3, ). This atrices is a infinite atrices. There for, the infinite atricres ust fulfill several requireents in order be linier transforations of the sequences space to the certain sequences space, that is the infinite atrices A = (a ) n 1 ( certain) with a finite supriu can be linier transforation of the sequences c 0 to c 0. Key Words: The atrices of transforation, Banach space, Hilbert space, the sequences space c 0 to c 0. PENDAHULUAN T ransforasi linear erupaan salah satu bagian dari ateatia yang penting, hususnya transforasi atris yang epunyai banya penerapan dala eecahan persoalan-persoalan fisia, bidang teni, ilu sosial, dan berbagai cabang ateatia lainnya. Hal ini disebaban begitu banyanya odel ateatia yang terbentu dari bidang tersebut. Telah dietahui bahwa atris A n dapat dipandang sebagai transforasi linear dari R e R n. Jadi ia eetaan titi (x 1, x,, x ) di R e suatu titi (y 1, y,, y n ) di R n. Dengan jalan piiran serupa ita dapat eandang atris sebagai transforasi linear dari suatu ruang barisan e ruang barisan lain asalan baris dan olo atris tersebut ta hingga banyanya. Dala hal ini atris eetaan barisan (x 1, x, x 3 ) e barisan (y 1, y, y 3 ). Matris seperti ini disebut atris ta hingga. 90

2 Wahidah Alwi, Transforasi Matris pada Ruang Barisan Konvergen_ 91 Misalan A = (a ), n, = 1, adalah atris ta hingga diana X dan Y ruang barisan, aa ita dapat enghubungan A dengan suatu transforasi T A = X Y, jia x = (x ) X oleh T A diawaan dengan Ax Y, aa a11 Ax = a1... a1 a x1 a x a x x a x a x... Y Oleh arena itu secara foral barisan x dipetaan e barisan Ax diana (Ax) n A n (x) diberian oleh, A n (x) = 1 a, asalan A n (x) onvergen untu setiap n. x Jadi barisan (A 1 (x), A (x), ) Y adalah peta barisan (x 1, x, ) dibawah transforasi T A. Matris ta berhingga tersebut harus eenuhi beberapa syarat agar dapat enjadi transfornasi linear dari suatu ruang barisan e ruang barisan tertentu. Berangat dari latar belaang tersebut penulis encoba untu enuangannya dala bentu arya tulis iliah dengan judul Transforasi Matris Pada Ruang Barisan Konvergen. Tinjauan Pustaa Ruang Vetor Obye utaa tentang vetor adalah vetor-vetor dapat dijulahan dan enghasilan vetor, dan dialian dengan suatu bilangan enghasilan vetor lagi. Sebarang hipunan obye dengan sifat seperti ini disebut ruang vetor. Pada bagian ini seua anggota hipunan bilangan oples dipandang sebagai salar. Sebelu endefinisian ruang vetor V atas aa ada dua operasi yang harus diperhatian yaitu: 1. Operasi tabah di dala hipunan V. Masudnya adalah jia a, b V, aa (a + b) juga di V. Dala hal ini, V harus tertutup terhadap operasi tabah.. Operasi peralian salar antara anggota anggota hipunan dengan anggota anggota hipunan V. Masudnya adalah jia dan a V aa juga di V. Definisi.1.1 (Berberian, 1961:3) Ruang vetor V atas adalah hipunan obye obye x, y, z, disebut vetor. Vetor nol dinotasian dengan, untu setiap vetor x, negatif dari x dinotasian dengan x. Asioa asioa beriut diasusian berlau: (A) Untu setiap pasangan vetor x, y di V terdapat vetor yang disebut julah x dan y, dinotasian x + y di V, dan berlau: (A1) x + y = y + x untu setiap x, y V (A) x + (y + z) = (x + y) + z untu setiap x, y, z V (A3) Terdapat dengan tunggal V sedeiian sehingga x + = x untu setiap x V

3 9 _ Jurnal Tenosains, Volue 7 Noor 1, Januari 013, hl (A4) Untu setiap x V, terdapat dengan tunggal x V yang disebut negatif x sedeiian sehingga x + (-x) = (M) Untu setiap salar dan setiap vetor x di V, terdapat vetor disebut hasil ali x dengan, dinotasian dengan x di V, dan berlau: (M1) (x + y) = x + y untu setiap x, y V dan adalah salar (M) ( + )x = x + x untu setiap x V dan, adalah salar (M3) ()x = (x) untu setiap x V dan, adalah salar (M4) 1. x = x untu setiap x V Sebagai catatan, x + (-y) biasa ditulis dengan x y. Teorea.1. (Berberian, 1961: 6) Untu sebarang ruang vetor: (i) Persaaan vetor x + y = z epunyai satu dan hanya satu penyelesaian x (ii) Jia z + z = z aa z = (iii) = untu setiap salar (iv) 0x = untu setiap vetor x (v) Jia x = aa = 0 atau x = Aibat.1.3 (Berberian, 1961:7) Untu sebarang ruang vetor V berlau: (i). (-)x = (-x) = -( x) (ii). (x y) = x - y (iii). ( - )x = x - x Ruang Banach Strutur ateatia yang aan didefinisian adalah ruang Banach. Secara gablang ruang Banach diartian ruang vetor real/oples bernora dan lengap (terhadap nora tersebut). Definisi..1 Ruang vetor V diataan bernora jia terdapat fungsi bernilai riil pada. : V R dengan sifat-sifat sebagai beriut: 1. a 0 untu setiap a V a = 0 jia dan hanya jia a =. a = a untu setiap R, a V 3. a + b a + b untu setiap a, b V Sebarang hipunan ta osong X, disebut ruang etri, jia untu setiap pasangan (a,b) X X didefinisian bilangan riil d(a,b) eenuhi: (i). d(a,b) 0 d(a,b) = 0 jia dan hanya jia a = b (ii). d(a,b) = d(b,a) (iii). d(a,b) d(a,c) + d(c,b) untu setiap c X

4 Wahidah Alwi, Transforasi Matris pada Ruang Barisan Konvergen_ 93 Jia V ruang vetor bernora (ruang bernora), aa fungsi d dengan d(a,b) = a b eenuhi sifat-sifat etri (i), (ii), (iii) tersebut di atas. Ini berarti setiap ruang bernora erupaan ruang etri terhadap etri d, dengan, d(a,b) = a b. Jia untu setiap sebarang barisan Cauchy (x n ) di dala ruang etri X terdapat x X sehingga d(x,x n ) 0, aa ruang etri X diataan lengap. Searang aan didefinisian ruang Banach sebagai beriut: Definisi.. Ruang vetor bernora V disebut ruang Banach jia V lengap di dala ruang etri yang didefinisian oleh nora. Definisi.. enyataan bahwa ruang vetor bernora V diataan lengap jia terhadap nora. dengan d(a,b) = a b, V erupaan ruang etri lengap, yaitu jia untu setiap barisan Cauchy (x n ) di dala V (yaitu dengan sifat x n - x 0), terdapat x V sehingga x x n 0. Ruang Hilbert Konjugate dari bilangan oples aan dinotasian dengan *. Jadi, jia = + i, dan bilangan reall, aa * = - i. Sifat-sifat dari onjugate adalah ( * ) * =, ( + ) * = * + *, () * = * *, = *, dan * = jia dan hanya jia bilangan real. Definisi.3.1 Diberian ruang vetor V atas field yaitu: a. Fungsi, : V V diataan inner product bila eenuhi: (I 1 ). x, y * = y, x (tanda * dinotasian sebagai onyugate) (I ). x, y = x, y jia x dan y V dan adalah salar (I 3 ). x y, z = x, z + y, z jia x, y dan z V (I 4 ). x, x 0 untu setiap x V dan x, x = 0 hanya jia x =. b. Ruang vetor V yang diperlengapi dengan inner product dinaaan ruang inner product atau ruang Pre-Hilbert. Teorea.3. (Berberian, 1961:7) Dala sebarang ruang Pre-Hilbert berlau: (1). x, y z = x, y + x, z (). x, y = * x, y (3)., y = x, = 0 (4). x - y, z = x, z y, z x, y - z = x, y x, z

5 94 _ Jurnal Tenosains, Volue 7 Noor 1, Januari 013, hl (5). Jia x, z = y, z untu setiap z, aa x =y. Teorea.3.3 (Berberian, 1961:30) 1. Ketasaaan Cauchy Schwarz Dala sebarang ruang Pre Hilbert, x, y x y. Teorea.3.4 (Berberian, 1961:30). Ketasaaan Segitiga Di dala sebarang ruang Pre Hilbert, x + y x + y. Dari sifat-sifat sederhana di atas, udah ditunjuan bahwa setiap ruang Pre-Hilbert V erupaan ruang bernora, sebab jia didefinisian x = x, x untu setiap x V aa. eenuhi sifat: a). x 0 x V x = 0 jia dan hanya jia x = b). x = x x V c). x + y x + y x, y V Definisi.3.5 Ruang Pre-Hilbert diataan lengap jia setiap barisan Cauchy (x n ) di dala X, onvergen di dala X Definisi.3.6 (Berberian, 1961:40) Ruang Pre-Hilbert (inner product) yang lengap dinaaan ruang Hilbert. Ruang Barisan Klasi Definisi.4.1 Ruang Barisan Klasi c 0 Ruang barisan lasi c 0 adalah olesi dari seua barisan bilangan riil onvergen e nol dan ditulis, c 0 = {x = (x ) : x 0} untu setiap x c 0, didefinisian nora c 0 sebagai beriut: sup x x = n1 Definisi.4. Ruang Barisan Klasi c Ruang barisan lasi c adalah olesi dari seua barisan bilangan riil onvergen dan ditulis, c = {x = (x ) : x onvergen} untu setiap x c, didefinisian nora c sebagai beriut: sup x x = n1

6 Wahidah Alwi, Transforasi Matris pada Ruang Barisan Konvergen_ 95 TUJUAN PENELITIAN Tujuan penelitian ini untu engetahui syarat-syarat dari suatu atris tahingga sehingga dapat enjadi transfornasi linear dari suatu ruang barisan e ruang barisan tertentu yaitu ruang barisan c 0 e c 0. PEMBAHASAN Transforasi Matris Pada Ruang Barisan Transforasi atris yang dibahas dala penelitian ini adalah transforasi atris ta hingga yang eetaan suatu ruang barisan e ruang barisan lain. Misalan A = (a ), n, = 1, adalah atris ta hingga diana V dan W ruang barisan, aa ita dapat enghubungan A dengan suatu transforasi T A = V W. Jia x = (x n ) V dipetaan e y = (y n ) = (A n (x)) W, aa a 11 Ax = (A n (x)) n1 = a 1... a 1 a A x 1 1 A1 ( x)... A x A ( x) W Oleh arena itu secara foral barisan x dipetaan e barisan Ax diana (Ax) n A n (x) diberian oleh, A n (x) = a x 1 n1, asalan A n (x) onvergen untu setiap n. Jia A = (a ) atris ta hingga dari V dan W diana V dan W asingasing ruang barisan, aa A liniear sebab jia x = (x ), y = (y ) V dan R berlau: A(x + y) = a ( y ) = a a y = A(x) + A(y) 1 n1 1 n1 1 n1 A(x) = a( ) a A( x). 1 1 n1 n1 Teorea Utaa Teorea utaa yang aan dibutian dala penelitian ini diebangan dari suatu hasil sederhana transforasi atris A = (a ) dengan sifat sup a. Aan ditunjuan bahwa dengan penabahan satu atau n1 1 beberapa syarat terhadap atris di atas, atris-atris seperti ini dapat enjadi transforasi linear bai dari c 0 e c 0 aupun c e c.

7 96 _ Jurnal Tenosains, Volue 7 Noor 1, Januari 013, hl Diisalan A = (a ) atris ta hingga dan M = sup n 1 untu sebarang barisan x = (x ) berlau: A n (x) = 1 a x = a a 1 1 x a M as 1 1 untu suatu yang cuup besar. Dari (*) terlihat bahwa: 1. x 1 1 (*) a, aa a onvergen e nol bilaana (a ) n1 onvergen e nol untu setiap.. Jia (x ) onvergen e nol aa M ( as x ) onvergen e nol. 1 Ini berarti jia atris (a ) di atas bersifat (a ) n1 onvergen e nol untu setiap aa atris tersebut eetaan barisan onvergen e nol e barisan onvergen e nol lagi. Matris yang eetaan c 0 e c 0 Teorea 4..1 Dietahui A = (a ) atris ta hingga, (a ) n1 0 ( tertentu) dan, M = sup a, n1 1 supriu diabil di atas seua julahan atas untu setiap n aa A eetaan c 0 e c 0, ditulis A (c 0, c 0 ). Buti: Misalan x c 0 dan > 0. Berdasaran (1), untu setiap n berlau: A n (x) x a M as 1 1 untu suatu yang cuup besar. Karena x = (x ) onvergen e nol aa dapat dipilih yang cuup besar sehingga as x. Untu setiap n berlau: x 1 1 A(x) x a. 1 Karena a 0 aa untu n yang cuup besar berlau a 1 n1. Dengan deiian A n (x) < untu n yang cuup besar.

8 Wahidah Alwi, Transforasi Matris pada Ruang Barisan Konvergen_ 97 Sehingga A ( x ) 0 dala hal ini (A n n 1 n(x)) 0. Kesipulannya x c 0 aa A n (x) c 0 artinya A (c 0, c 0 ). Beriut ini diberian contoh atris ta hingga yang eetaan c 0 e c 0 dan eenuhi syarat-syarat pada Teorea Matris ta hingga beriut eetaan barisan x = (x ) c 0 e y = (y ) c 0. Contoh: Diberian atris ta hingga A = (a ), n, = 1,,, aa ita dapat enghubungan A dengan suatu transforasi T A = c 0 c 0, jia x = (x n ) = 1 n c 0 oleh T A diawaan dengan Ax c 0 diana c 0 adalah ruang barisan yang onvergen e nol, aa Ax = c y n = Oleh arena itu secara foral barisan x dipetaan e barisan Ax diana (Ax) n A n (x) yang diberian oleh, 1 A n (x) =, asalan A n (x) onvergen untu setiap n. n1 n Contoh: Diberian atris ta hingga A = (a ), n, = 1,,, aa ita dapat 1 enghubungan A dengan suatu transforasi T A = c 0 c 0, jia x = (x n ) = n c 0 oleh T A diawaan dengan Ax c 0 diana c 0 adalah ruang barisan yang onvergen e nol, aa Ax = c y n = Oleh arena itu secara foral barisan x dipetaan e barisan Ax diana (Ax) n A n (x) yang diberian oleh,

9 98 _ Jurnal Tenosains, Volue 7 Noor 1, Januari 013, hl A n (x) = 1 1 4, asalan A n (x) onvergen untu setiap n. PENUTUP Kesipulan Berdasaran tujuan penelitian ini yaitu untu engetahui syarat-syarat dari suatu atris tahingga sehingga dapat enjadi transfornasi linear dari suatu ruang barisan e ruang barisan tertentu atau dari ruang barisan c 0 e c 0, aa diperoleh beberapa syarat yang harus dipenuhi oleh atris ta hingga tersebut yaitu atris ta hingga A = (a ) n1 haruslah onvergen e 0 ( tertentu), dan eenuhi sifat sup a. n1 1 DAFTAR RUJUKAN Anton, Howard Aljabar Linear Eleenter. Erlangga, Jaarta. Bartle, G. Robert Introduction to Real Analysis. John Wiley & Sons. Inc, New Yor Berberian.K, Sterling Introdution to Hilbert Space. Oxpord University Press, New Yor Echols, John. M dan Hassan Shadily Kaus Inggris Indonesia. PT Graedia Pustaa Utaa, Jaarta Klabauer, Gabriel Real Analysis. Aerican Elseviser Publishing Copany, Inc, New Yor. Maddox, I. J Eleent of Functional Analisis. Cabridge at The University Press. P. Y. Lee. Zeller Theory And Classical Sequence Spaces. National University of Singapore, Singapore. Randolph. F, John Basic Riil and Abstract Analisis. Acadeic Press, New Yor and London. Rudin, Walter Riil and Coplex Analisis. Mc Graw-Hill International Edition, New Yor. Suarjono Aljabar Linear dan Penerapannya. Universitas Negeri Yogyaarta, Yoyaarta.