BAB II TEORI DASAR PELAT

Transkripsi

1 II Teori Dasar lasisias Linier BAB II TORI DASAR PLAT Teori elasisias merupakan cabang ang sanga pening dari fisika sais, ang mengkaji hubungan anara gaa, perpindahan, egangan dan regangan dalam benda elasis Bila suau benda pejal dibebani oleh gaa luar, benda ersebu akan berubah benuk aau akan mengalami deformasi, sehingga imbul egangan dan regangan Perubahan benuk ini erganung pada konfigurasi geomeris dari benda ersebu dan pada sifa mekanis bahanna Dalam eori elasisias kia baasi pembahasanna hana pada bahan ang elasis linier, aiu keadaan dimana hubungan anara regangan dan egangan bersifa linier dan perubahan benuk sera egangan akan hilang bila gaa luar dihilangkan Selain iu, eori elasisias menganggap bahan bersifa homogen dan isoropik, dengan demikian sifa mekanis bahan sama dalam segala arah Dalam saika benda egar rigid bod, kia hana mengkaji gaa luar eernal forse ang bekerja pada suau benda dan idak meninjau perubahan benuk ang imbul Sebalikna, dalam eori elasisias kia meninjau perubahan benuk akiba gaa luar elalui perubahan benuk pada benda ersebu, gaa-gaa luar dikonersi menjadi gaa dalam inernal force Pn Perubahan Benuk PP P P Gambar Respon suau benda elasis erhadap gaa luar Sumber : Teori dan analisis pela Silard,989 II Komponen Tegangan Tinjaulah suau benda elasis dengan benuk sembarang dalam sisim koordina karesius X,Y,Z ang memikul gaa luar P, P,, Pn, ang berada dalam keadaan Uniersias Sumaera Uara

2 seimbang Unuk menenukan gaa dalam ang imbul dianara parikel-parikel benda ersebu, baangkanlah benda ersebu dipenggal menjadi dua bagian oleh suau bidang, seperi Gambar ajika sekarang kia baangkan baha bagian B dihilangkan, keseimbangan benda ersebu harus diperahankan oleh gaa-gaa luar ang bekerja pada permukaan penampangna Kemudian kia ambil suau luas A ang kecil pada penampang ersebu dan kia naakan gaa dalam ang bekerja pada luasan ini sebagai P Gambar bperbandingan P/ A adalah egangan raa-raa ang didefenisikan sebagai limi dari perbandingan, jadi Tegangan adalah : σ = P Lim n A gaa persauan luas Z P Pn P B Bidang Penampang Z P ΔA n Pn ΔP ΔP A O P P X o P P X Y a Y b Gambar eode Irisan Sumber : Teori dan analisis pela Silard, 989 Karena P pada umumna idak egak lurus penampang, kia lebih mudah menggunakan komponen normal egak lurus dan angensial sebidang Dengan demikian, defenisi egangan normal σ dan egangan geser τ Gambar b adalah : Uniersias Sumaera Uara

3 P σ = Lim n A dan τ = P Lim n A Dimana egangan pada suau bidang adalah ekor suau egangan Resulane egangan dengan mudah dapa dicari dengan penjumlahan ekor dari komponenkomponennakeadaan egangan pada benda elasis biasana berariasi dari sau iik ke iik lainna, jadi dapa diuliskan σ,, dan τ,, Unuk menggambarkan keadaan egangan iga dimensi, ambillah suau elemen ang sanga kecil dalam benuk koak ang sisina d, d, d, ang mukana sejajar dengan bidang koordina Gambar Komponen egangan normal X, Y, dan Z, masing-masing diberi noasi σ, σ, dan σ Subkripna huruf baah menunjukkan garis normal egak lurus permukaan empa ekor egangan ersebu bekerja Z d X d d Z Gambar lemen iga dimensi Sumber : Teori dan analisis pela Silard, 989 Tegangan geser τ biasana memiliki dua subkrip Subkrip perama menunjukkan arah garis normal permukaan, sedangkan subkrip kedua menunjukkan arah ekor egangan geser τ Karena egangan merupakan fungsi dari leakna erhadap suau benda, inensiasna akan berubah bila bidang rujukanna digerakkan sejauh d, d, d Perambahan ang imbul dinaakan oleh dua suku perama dari dere Talor Gambar Uniersias Sumaera Uara

4 Perjanjian anda beriku akan digunakan, aiu pada bidang deka suau elemen dipandang dari ujung sumbu koordina posiif, semua egangan ang bekerja dalam arah sumbu koordina posiif dianggap posiif Pada bidang jauh suau elemen, semua egangan ang bekerja pada arah sumbu koordina negaif dianggap posiifperjanjian anda ini mengikui auran umum dalam prakek bidang eknik, akni arikan beranda posiif dan ekanan beranda negaif Keadaan egangan iga dimensi disembarang iik benda elasis dienukan oleh sembilan komponen egangan dengan marik sebagai beiku : [ σ ] = ang simeris erhadap diagonal uama Karena sifa simeris ini, maka :,, dan 4 Persamaan disebu Hukum Timbal Balik Tegangan Geser Dengan demikian enam besaran σ, σ, σ,,, dan cukup unuk menjelaskan egangan ang bekerja pada koordina bidang melalui sebuah iik, besaran inilah ang disebu Komponen Tegangan pada sebuah iik Unuk kasus dua dimensi, maka σ,, dan, sama dengan nol Dengan demikian keadaaan egangan bidang plane sress ang besarna idak erganung kepada ang idak berubah sepanjang ebalna Berari komponen ini hana merupakan fungsi dan saja II Komponen Regangan Benda elasis ang diperlihakan pada Gambar diumpu sedemikian rupa sehingga perpindahan benda egar / rigid bod ranlasi dan roasi idak erjadi Karena benda elasis ersebu berubah benuk akiba gaa luar, seiap iik padana mengalami Uniersias Sumaera Uara

5 perpindahan elasis ang kecil Dengan menaakan komponen perpindahan ranlasi dalam arah X, Y, Z, sebagai u,, dapa kia uliskan : u = f,, = f,, = f,, 5 ang menunjukkan baha komponen perpindahan merupakan fungsi dari leakna Unuk menghubungkan perpindahan dan perubahan benuk, injaulah kembali koak ang sanga kecil dengan sisi d, d, d pada suau benda elasis Gambar Karena keseluruhan benda elasis iu berubah benuk, elemen ang sanga kecil ersebu juga akan berubah benuk, akni sepanjang sisina dan sudu anara permukaanna ang semula siku - siku juga akan berubah Gambar 4 Z, Z, Δd d o X,u o X,u Y, d Δd d Δd Y, ; ; Gambar 4 Deformasi suau elemen Sumber : Teori dan analisis pela Silard, 989 Dengan membaasi pembahasan pada perubahan benuk ang sanga kecil, kia defenisikan regangan normal ε, perubahan sauan panjang sauan isalna regangan normal dalam arah X adalah : ε = d d 6 di mana perambahan, jadi unuk keiga arah dapa diuliskan : d dapa dinaakan dengan suku kedua dere Talor Gambar 4 Deformasi Suau lemen Sumber : u d d Uniersias Sumaera Uara

6 ε = u ; ε = ; ε = 7 Akiba pengaruh regangan geser, permukaan elemen ersebu akan berpuar Gambar 4b Sebagai conoh, dengan mengambil proeksi elemen ersebu pada bidang XY, Gambar 5, kia defenisikan regangan geser sebagai disorsi sudu O X,u A u A d B u u d d d ' B C " C d u u d Y,u u ' " 8 Gambar 5 Disribusi sudu ang diproeksikan Sumber : Teori dan analisis pela Silard, 989 Dengan cara ang sama kia peroleh : u ; 9 Sama halna dengan ensor egangan persamaan disuau iik, regangan ensor dapa didefenisikan : 0 Uniersias Sumaera Uara

7 Selanjuna dapa diliha baha dengan memiliki iga sauan perpanjangan dalam iga arah ang saling egak lurus dan iga regangan geser dengan arah ang sama, sehingga perpanjangan dalam arah sembarang dan peleningan sudu anara dua arah sembarang dapa dihiung Keenam besaran ε, ε, ε, γ, γ, γ disebu Komponen Regangan Componen of Srain Unuk kasus dua dimensi, perpindahan memanjang sepanjang sama dengan nol, maka dari persamaan 6 dan 8 didapa u 0 ; 0 ; ε = 0 II4 Hubungan Tegangan - Regangan Hukum Hooke Hubungan linier anara komponen regangan dan komponen egangan umumna dikenal sebagai Hukum Hooke Unuk bahan srukur ang menunjukkan baas elasis linier ang jelas, Hukum Hooke suau dimensi menghubungkan egangan dan regangan normal sebagai : σ = ε dengan adalah odulus lasisias Jika egangan normal bekerja dalam arah X, perpanjangan ε, diikui oleh perpendekan laeral, maka regangan dalam arah X,Y, Z adalah : ε = ; ε = ; ε = dimana suau konsana ang disebu dengan Poisson Raio ang berkisar anara 0,5 0,5 unuk kebanakan bahan srukur Persamaan dapa juga digunakan unuk kasus penekanan sederhana dimana modulus elasis dan Poisson Raio pada keadaan ekan sama dengan keadaan arik Uniersias Sumaera Uara

8 Unuk kasus srukur linier ang mengikui hukum Hooke, prinsip superposisi dapa dierapkan, dengan demikian jika σ, σ, dan σ bekerja secara bersamaan pada elemen ang kecil ersebu, hukum Hooke dapa diperluas menjadi : ε = [ ] ε = [ ] 4 ε = [ ] Dengan cara ang sama, hubungan egangan geser dan regangan geser adalah : γ = G 5 Dimana G adalah odulus Geser ang mempunai hubungan dengan odulus lasisias dan Poisson Raio akni : G = 6 Jika regangan geser bekerja pada semua permukaan elemen, persamaan 4 menjadi :, G, G 7 G Persamaan dan persamaan 6 menghasilkan komponen regangan sebagai fungsi komponen egangan Kadangkala komponen egangan dinaakan sebagai komponen regangan Komponen ini dapa diperoleh sebagai beriku : Tambahkan persamaan bersama sama dengan noasi e = ε + ε + ε, θ = σ + σ + σ 8 Kia dapakan hubungan anara pengembangan olume e dengan jumlah egangan normal θ,aiu : Uniersias Sumaera Uara

9 e = 9 Persamaan diaas dapa disederhanakan menjadi : σ + σ = e 0 Gunakan noasi persamaan 7 dan selesaikan persamaan unuk memperoleh σ, σ, dan σ sehingga didapa : e e e Dan gunakan e Dan persamaan 0 ini menjadi : e G e G e G II5 Perilaku Umum Pela Terlenur Pela dan shell pada mulana adalah suau lemen srukur bidang raa maupun lengkung Dimana keebalanna lebih kecil dibandingkan dimensi lainna Keebalan suau pela biasana diukur pada arah normal sumbu garis bera pela Diliha dari segi keebalanna pela dapa dikaegorikan dalam iga jenis aiu : Pela ipis dengan lenduan kecil hin plae ih small deflecion Pela ipis dengan lenduan besar hin plae ih large deflecion Uniersias Sumaera Uara

10 Pla ebal hick plae dan diliha dari segi cara ransper gaa dari pela ke kolom,pela dibagi aas iga jenis aiu : Pela dengan balok Slab ih beam Pela anpa balok dan drop panel disekiar kolom Fla Slab Pela anpa balok,drop panel Fla Plae Drop panel Pela kolom Balok Kolom Pela Gambar 6a Fla slab Gambar 6b Plae ih beam Kolom Pela Gambar 6c Fla Plae Sumber : Teori dan analisis pela Silard, 989 eliha kaegori ersebu sering digunakan dan diaplikasikan unuk mendefenisikan pela ipis sebagai perbandingan ebal dengan benang erpendek pela lebih kecil dari /0 unuk maerial beon Dengan hana memperimbangkan lenduan kecil pada pela ipis, Uniersias Sumaera Uara

11 erdapa suau penederhanaan ang konsisen dengan besarna lenduan ang biasana diemukan pada srukur pela Asumsi ang mendasar didalam eori lenduan kecil pada pela erlenur aau disebu eori klasik unuk maerial isoropik, homogen, dan elasis didasarkan pada geomeri lenduan deformasi anara lain : a Z A a X A n r m A n m Y u Gambar 7 Geomeri lemen Pela Sumber : Teori dan analisis pela Silard, 989 Lenduan di engah benang pela lebih kecil dibanding keebalan pela iu sendiri dan kemiringan kelengkungan pela sanga kecil sehingga dapa diabaikan Penampang pada bidang sisim pela idak berobah pada saa erjadi lenuran Bidang egak lurus pada bidang sisem pela akan eap egak lurus seelah pelenuran sehingga regangan geser erical γ dan γ dapa diabaikan 4 Tegangan normal di engah benang σ sanga kecil dibanding komponen lainna sehingga dapa diabaikan Pada pela ebal, regangan geser sanga pening seperi balok pada umumna II6 Hubungan Regangan Kelengkungan Beranjak dari anggapan ang ersebu diaas, regangan perpindahan dapa digambarkan sebagai beriku : ε = u ε = = 0 Uniersias Sumaera Uara

12 ε = = u =0 = u = =0 elalui persamaan : u = 0 u u u uo, dan, akan didapakan fungsi dalam parameer, aau =,, dengan kaa lain perpindahan laeral idak dipengaruhi fungsi komponen ebal pela dengan asumsi kedua diaas didapakan harga uo, = 0 dan o, = 0 Sehingga didapa : u dan 4 subiusi persamaan 4 ke persamaan dan menghasilkan :, ε =, = ε = 5 Persamaan ini memberikan nilai regangan di seiap iik Kelengkungan dari pela erlenur didefenisikan sebagai laju perubahan kemiringan sudu sepanjang peladengan asumsi perama dan persamaan 4, luasan kemiringan pela diabaikan dan diferensial parsial pada persamaan 5 meakili kelengkungan pela Sehingga kelengkungan k kappa pada engah benang ang parallel dengan bidang,, dan dapa digambarkan sebagai beriku : r k Uniersias Sumaera Uara

13 k 6 r d Z X Y d Gambar 8 Sumbu Lokal Punir lemen Pela Sumber : Teori dan analisis pela Silard, 989 Sehingga hubungan regangan dan kelengkungan adalah superposisi persamaan 5 dengan persamaan 6 sebagai : ε = k, ε = k, γ = k 7 II7 Tegangan dan Resulan Tegangan Pada kasus egangan dan regangan iga dimensi ang mengikui Hukum Hook unuk benda isoropis, homogen dan elasis, hubungan egangan regangan adalah sebagai beriku : ε = [ X ] ε = [ ] ε = [ ] G 8 G G Uniersias Sumaera Uara

14 d Z d X d Y d d X d d Gambar 9 Komponen - komponen Tegangan pela Sumber : Teori dan analisis pela Silard, 989 dimana : = odulus elesis bahan V = Poisson raio G = odulus geser [ G = /+V ] Noasi unuk egangan normal digunakan lambing σ sigma dan egangan geser digunakan lambang τ au Subcrip perama menunjukkan arah normal erhadap bidang ang diinjaudan huruf kedua menunjukkan arah egangan iu sendiri Tegangan normal bernilai posiif bila egangan ersebu menghasilkan egangan arik dan sebaliknaarah posiif egangan geserpada sisi sembarang dari elemen kubus diambil sebagai arah posiif sumbu koordina, apabila egangan arik pada sisi ang sama mempunai arah posiifdari sumbu ang bersangkuanapabila arah egangan arik berlaanan dengan arah posiif, maka arah posiif komponen egangan geser dibalik Dengan memasukkan : 0 Diperoleh : Uniersias Sumaera Uara

15 9 G Unuk pela lengkung persamaan menjadi : k k 0 k Dari persamaan persamaan diaas dapa dikeahui baha egangan idak erjadi pada sumbu pela dan akan berubah secara linier sepanjang ebal pela ang diakibakan oleh momen lenur,, dan Dengan mengambil inegral pada Gambar 5 : d d d d d Dengan cara ang sama egangan ang lain akan diperoleh dan dibua dalam benukmarik hubungan momen lenur dan egangan : d Dimana : Hubungan gaa geser dengan egangan geser adalah : d Q Q 4 elalui persamaan diselesaikan seperi : Uniersias Sumaera Uara

16 d X X d Z X d 5 Fakor - disebu fakor kekakuan lenur pela Dari persamaan persamaan ersebu diaas diperoleh : 6 Unuk menenukan komponen komponen egangan arah aiu :,, dan Digunakan persamaan differensial keseimbangan unuk elemen pela dalam suau benuk egangan umum : Dari persamaan 7 diperoleh : d Uniersias Sumaera Uara

17 d d d d d 4 8 Dengan cara ang sama diperoleh : 4 9 melalui persamaan diaas dapa diliha disribusi komponen egangan dan sepanjang keebalan pela merupakan persamaan parabola Sedangkan komponen egangan normal dapa dienukan melalui persamaan keiga pada persamaan 7 dengan mensubsiusi komponen egangan ang elah diperoleh pada persamaan 8 dan 9 sebagai beriku : d 4 4 d 4 4 d Uniersias Sumaera Uara

18 4 d 40 4 komponen egangan arah selalu kecil dibandingkan dengan egangan pada arah lain plane sress dan ini sesuai dengan asumsi ke empa di aas, dimana egangan arah pada bidang engah pela sanga kecil dan dapa diabaikan II8 Variasi Tegangan di dalam Pela Komponen egangan pda umumna berubah dari iik ke iik lainna pada suau pela ang diberi beban Perubahan aau ariasi ini disebabkan oleh pengaruh keseimbangan sais anara komponen - komponen egangan Unuk memenuhi keadaan ini perlu dibua suau hubungan seperi persamaan keseimbangan Perhaikan suau elemen pela kecil d d ang memikul beban erbagi meraa per sauan luas p Gambar 7 Unuk penederhanaan, diasumsikan gaa dan momen ang bekerja pada sisi penampang erdisribusi meraa sepanjang sisi elemen Dengan adana perubahan empa, misalna dari sudu kiri aas ke sudu kanan baah elemen pela, maka salah sau komponen gaa misalkan ang beraksi pada sisi elemen negaif akan berubah relaif erhadap elemen posiif Q d d d Q Q d p d d Q Q d d Gambar 0 Komponen gaa dan momen elemen pela Sumber : Teori dan analisis pela Silard, 989 Uniersias Sumaera Uara

19 Turunan parsial dipergunakan karena adalah fungsi dari dan dari Gambar 7, pela dalam kondisi seimbang bilamana jumlah gaa ang bekerja pada arah sama dengan nol 0 p d d d d Q d d Q Sehingga diperoleh : 0 p Q Q 4 Keseimbangan momen pada sumbu : 0 d d Q d d d d sehingga diperoleh : 0 Q 4 Begiu juga dengan keseimbangan momen pada sumbu : 0 Q 4 Subsusikan persamaan 4 dan 4 ke persamaan 4 sehingga diperoleh p 44 Persamaaan 44 merupakan persamaan differensial keseimbangan lenur pela ipis Gaa geser erikal dinaakan dalam fungsi dan adalah urunan perama dari persamaan keseimbangan momen pada persamaan 4 menjadi : D D Q D D Q 45 Uniersias Sumaera Uara

20 Dimana II9 Persamaan Lenduan Pela menjadi : Persamaan differensial dasar lenduan pela diambil dari persamaan 4 dan 45 K K K p 46 D Dengan menggani persamaan kelengkungan diaas menjadi persamaan lenduandengan memasukkan persamaan 6 diperoleh : p D Persamaan ini merupakan persamaan differensial lenduan pela ang ang dibebani beban meraa sebesar p Persamaan lenduan didapa dengan menginegrasikan persamaan persamaan ersebu pada sara baas ang ada Jika persamaan 45 dan persamaan 47 dimasukkan kedalam persamaaan egangan pada 7, 8 dan 9 akan diperoleh : Q Q p 4 48 II0 Beberapa Sara Baas Disribusi egangan ang erjadi pada pela idak erlepas dari sara baas boundar condiion, anara lain gaa dan perpindahan Pada persamaan differensial keseimbangan pela dibuuhkan dua sara baas uama pada masing masing epi aiu lenduan dan roasi aau gaa dan momen aau kombinasi anara keduana Uniersias Sumaera Uara

21 Perbedaan ang mendasar anara sara baas pela dan balok adalah momen punir orsi disepanjang epi pela Beberapa kondisi baas unuk suau pela persegi panjang, dimana sumbu dan diambil sejajar dengan sisi-sisi pela aiu : a Tepi erjepi Jika pada epi pela = a erjepi, lenduan dan kemiringan sepanjang epi ini adalah nol 0 a 0 a b Tepi ang diumpu sederhana Jika pada epi pela = a diumpu sederhana, maka lenduan sepanjang epi ini adalah nol Namun epi ini dapa berpuar bebas erhadap garis epi, sehingga idak erdapa omen lenur sepanjang epi ini 0 a 0 a a D c Tepi bebas Jika epi pela bebas pada = a, maka pada epi ini idak erdapa momen lenur dan momen punir dan gaa geser Q, sehingga : 0 a a D 0 a a D 0 a a D Q D Q V Uniersias Sumaera Uara

22 b a d d d d d Gambar Transpormasi punir Sumber : Teori dan analisis pela Silard, 989 Oleh Kelin dan Tai dua kondisi baas dan Q ini dapa dijadikan sau, Karena momen punir d ang bekerja pada suau elemen sepanjang d pada epi = a dapa diganikan dengan dua buah gaa erical sebesar dan erpisah dengan jarak sebesar d Dari gambar erliha baha : Q' a Oleh karena persaraan gabungan anara momen punir dan gaa geser Q sepanjang epi baas = a menjadi : Q Q' Q a 0 aau D a 0 Dengan menranspormasikan momen punir seperi ang erliha pada Gambar 7 selain diperoleh gaa geser Q sepanjang epi = a, juga diperoleh dua buah gaa erpusa pada sudu epi ersebu Dengan cara ang sama, ranspormasi momen punir sepanjang epi = b juga akan menghasilkan gaa geser sepanjang epi dan gaa erpusa pada suduna Sehingga besarna reaksi pada sudu R unuk = a dan ialah : Uniersias Sumaera Uara

23 R a, b D a, b Uniersias Sumaera Uara