BAB 2 LANDASAN TEORI
|
|
- Widyawati Budiono
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan himpunan dan beberapa definisi yang berkaitan dengan himpunan, serta konsep dasar dan teori graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Himpunan Sebelum mendefinisikan graf akan dijelaskan terlebih dahulu apa yang disebut dengan himpunan berdasarkan definisi-definisi yang sudah ada mengenai himpunan, karena graf merupakan bagian dari himpunan. Definisi 2.1 Objek dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan. Himpunan dinyatakan sebagai kumpulan dari elemen-elemennya.(rosen, 1999). Ada beberapa cara untuk mendeskripsikan suatu himpunan. Salah satu caranya adalah dengan mendaftar anggota dari himpunan tersebut bila hal itu mungkin dilakukan. Contoh Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 5 dari dapat ditulis dengan Z = {1,2,3,4}. 2. Himpunan bilangan bulat positif kurang dari 1000 dapat ditulis dengan Z = {1,2,3,...,999}. Suatu himpunan mungkin saja memiliki anggota yang sama banyaknya, bahkan mungkin memiliki anggota yang sama. Definisi 2.2 Duah buah himpunan disebut sama jika dan hanya jika memiliki elemen atau anggota yang sama. Contoh 2.2 Himpunan {a,i,u,e,o} sama dengan himpunan {o,i,e,u,a}.
2 Definisi 2.3 Himpunan A disebut subset dari B jika dan hanya jika setiap elemen di A juga merupakan elemen di B. Kita gunakan notasi A B untuk menyatakan A subset dari B (Rosen, 1999:41) Contoh 2.3: Misalkan himpunan A= {1,2,3,6} dan {1,2,3,4,5,6,7} maka himpunan A dapat disebut sebagai subset dari himpunan B ditulis A. Definisi 2.4 Misalkan S adalah suatu himpunan, jika terdapat tepat n buah elemen yang berbeda pada S dimana n adalah bilangan bulat tak negatif, dikatakan S adalah himpunan berhingga dan n adalah banyaknya bilangan (cardinality) dari S. Cardinality himpunan S dinotasikan dengan S.(Rosen, 1999) Beda Simetri Misalkan terdapat dua buah himpunan A dan B. Maka beda simetri dari himpunan A dan B didefinisikan sebagai himpunan yang elemennya terdiri dari gabungan masingmasing elemen himpunan A dan elemen himpunan B tetapi tidak memuat elemen yang terdapat pada himpunan A sekaligus terdapat pada himpunan B. Beda simetris himpunan A dan B dapat dinotasikan dengan A (Rosen, 1999) Karena beda simetri himpunan A dan B terdiri dari gabungan masing-masing elemen himpunan A dan elemen himpunan B tetapi tidak memuat elemen yang terdapat pada himpunan A sekaligus terdapat pada himpunan B, maka beda simetri dapat dinyatakan dengan (A Pernyataan ini ekivalen dengan (A\B) ).(Rosen, 1999) Contoh 2.4: Misalkan himpunan A = {1,2,3,4,5,6,11,12,13} dan B = {2,6,7,8.9,10} maka A B = {1,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13} Pengertian Graf Tulisan pertama tentang teori graf adalah karya Leonhard Eulerr pada tahun Tulisan ini menyajikan sebuah teori umum yang menyertakan sebuah solusi yang sekarang lazim dikenal dengan masalah jembatan K igsberg. Dalam masalah ini
3 terdapat dua pulau yang terhampar di sungai Pregel yang terletak di kota K igsberg ( kota tua di Prusia Timur yang sekarang dikenal dengan Kaliningrad) yang saling terhubung oleh tujuh buah jembatan. Permaasalahan yang muncul yaitu apakah ada sebuah rute yang memungkinkan agar ketujuh jembatan tersebut dapat dilewati tepat satu kali. Konfigurasi dari jembatan tersebut dapat dimodelkan dengan sebuah graf, yang pada akhirnya masalah tersebut terjawab bahwa tidak ada sebuah rute yang memungkinkan agar ketujuh jembatan tersebut dapat dilewati tepat satu kali.(rinaldi Munir, 2007) Ada beberapa definisi mengenai graf diantaranya: Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G= (V,E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul yang sering disebut vertices atau node, dan E adalah himpunan rusuk yang sering disebut edges atau arcs yang menghubungkan sepasang simpul. Graf dapat digambarkan atau diilustrasikan dengan 3 cara, yaitu dengan himpunan simpul dan sisi, matriks atau diagram. Jika digambarkan dalam bentuk diagram, simpul diwakili oleh titik atau noktah ( yang kita gambarkan sebagai lingkaran kecil) dan rusuk e= {u,v} diwakili oleh segmen garis atau kurva yang mengaitkan titik u dan titik v. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat contoh graf G seperti gambar 2.1. e 1 v1 e 2 e 3 v 5 e 4 e 5 e 6 e 7 v 3 e 8 Gambar 2.1 Graf G
4 Pada Graf G ini, yang merupakan himpunan nodenya adalahv( G) = { v1, v2, v3, v4, v5}, sedangkan himpunan edgenya E( G) = { e, e, e, e, e, e, e, e }. Jadi graf G pada Gambar 2.1 terdiri dari 5 node dan 8 edge Suatu edge e ditulis e={u,v} dapat juga ditulis dengan uv atau vu disebut sebagai garis penghubung antara simpul u dan v. Pada Gambar 2.1 e 1 = { v 1, }, e = { v, v }, e3 = { v2, v5} merupakan beberapa contoh edge yang dapat juga disebut garis penghubung. Suatu node u dan v disebut sebagai node ujung dari edge e, jika e merupakan garis penghubung dari node u dan v. Pada gambar 2.1 dan v 5 adalah node yang merupakan simpul ujung dari edge e 7. Pada graf-graf tertentu, terkadang sebuah edge terhubung ke node yang sama, edge seperti ini dapat disebut sebagai loop. Pada gambar 2.2 graf G mempunyai 1 loop yaitu e 7. Suatu graf dikatakan mempunyai edge ganda jika pada graf tersebut minimal dua edge yang menghubungkan dua node yang berlainan. Pada Gambar 2.1, e1 dan e2 merupakan edge ganda Istilah- istilah dalam graf Pada suatu graf G node u dan v disebut sebagai node yang saling ajasen jika node u dan v merupakan node-node ujung atau node u dan v menempel pada edge yang sama. Pada Gambar 2.1, node v 1 dan v 2, v 1 dan v 3, v 3 dan v 4 adalah pasangan node yang saling ajasen. Edge e 1 dan e 2 didefinisikan sebagai edge yang saling ajasen jika salah satu node dari kedua edge tersebut sama. Pada Gambar 2.1 beberapa contoh edge yang saling ajasen yaitu: e1 dan e 2, e 2 dan e 5, e 2 dan e 6, e 5 dan e 6, e 2 dan e 6.
5 Node u dan edge e, node v dan edge dan rusuk e disebut berisiden, jika u dan v merupakan node ujung dari edge e. Pada Gambar 2.1, v 3 dan e 8, v 4 dan e 8 adalah contoh node dan edge yang berinsiden. Misalkan terdapat suatu graf G. Maka node pada graf G disebut node terisolasi jika node tersebut tidak berajasen dengan edge manapun. Perhatikan Gambar 2.2, dalam hal ini v 3 disebut node terisolasi. v 3 v 5 v 1 Gambar 2.2 Simpul Terisolasi Derajat (degree) dari suatu node v yang dinotasikan dengan G(V) adalah banyaknya edge pada graf G yang berinsiden dengan node v. Khusus pada loop derajatnya dihitung dua kali. Suatu node v disebut berderajat n jika mempunyai derajat sebanyak n. Contoh 2.4: Perhatikan Gambar v 3 disebut berderajat 3 karena banyak edge yang berisiden dengan v 3 ada 3, yaitu e 5, e6 dan e v 5 disebut berderajat 4 walaupun banyaknya edge yang berisiden dengan v 5 ada 3, yaitu e 3, e 4 dan e 7, tetapi e 4 merupakan loop. Oleh karena itu, banyak derajatnya dihitung dua.
6 Derajat minimum dari graf G dinotasikan dengan δ(g) adalah jika banyaknya edge yang berisiden dengan node v paling sedikit dari node lain pada graf G. Sebaliknya, jika node yang berisiden dengan node v tersebut paling banyak, maka node v dikatakan mempunyai derajat maksimum dan biasa dinotasikan dengan (G). Misalkan terdapat G, jalan (walk) pada graf G didefinisikan sebagai suatu barisan yang tak kosong dan berhingga yang suku-sukunya bergantian antara node dan edge. Jalan boleh saja memuat edge dan node yang sama. Jalan dinyatakan dengan W. Pada Gambar 2.1, { vevevevev } merupakan contoh jalan, dan dapat ditulis dengan W ={ vevevevev }. Karena jalan pada contoh ini dimulai dari node v 1 dan berakhir pada node, maka v 1 disebut sebagai node awal dan v 4 disebut sebagai node akhir, sedangkan node-node selain v 1 dan v 4 disebut node-node internal dari W. Selanjutnya, panjang dari suatu jalan dapat didefinisikan sebagai banyaknya edge yang terdapat didalam suatu jalan. Jejak (trail) pada suatu graf G didefinisikan sebagai suatu barisan yang tak kosong dan berhingga yang suku-sukunya bergantian antara node dan edge dan masing-masing edge tidak boleh termuat lebih dari satu kali. Pada jejak, node boleh saja termuat lebih dari satu kali. Jejak dinyatakan dengan T. Pada Gambar 2.1 { vevevve } adalah contoh jejak dan dapat ditulis T={ vevevve }. Selanjutnya jika pada suatu jejak node awal dan node akhirnya sama maka jejak tersebut disebut jejak tertutup. Pada Gambar 2.1 T = { vevevev } adalah contoh jejak tertutup karena v 1 merupakan node awal sekaligus node akhir. Jika pada suatu jejak tertutup node awal dan simpul internalnya berbeda, maka jejak tertutup tersebut dinamakan siklus (cycle). Siklus dinotasikan dengan Cn dengan n adalah banyaknya node yang termuat dalam suatu siklus. Pada Gambar 2.1 { vevevevevev} merupakan contoh siklus.
7 Lintasan (path) dinotasikan dengan P, didefinisikan sebagai suatu barisan yang tak kosong yang suku-sukunya bergantian antara node dan edge, serta node- nodenya berlainan ( tidak ada node yang termuat lebih dari satu kali). Pada Gambar 2.1 yang merupakan contoh lintasan yaitu { vevevev }, sehingga dapat ditulis P = { vevevev }. Suatu graf dikatakan sebagai graf sederhana jika pada graf tersebut tidak mengandung edge ganda dan loop. Perhatikan Gambar 2.3, graf G bukanlah graf sederhana, karena mengandung edge ganda e 3 dan e 4 serta mengandung loop yaitu e 8, sedangkan Graf H merupakan contoh graf sederhana. Graf yang mengandung edge ganda dan loop biasanya disebut sebagai graf ganda. e 4 v 1 e 1 e 3 v 1 e 1 e 3 e 2 e 5 e 6 e 2 e 4 e 5 v 3 e 7 v 5 e 8 v 3 e 6 v 5 H) Graf 2.3a (Graf G) Graf 2.3b(Graf Gambar 2.3a Graf sederhana dan bukan sederhana Gambar 2.3.b Suatu graf G dikatakan sebagai graf kosong jika graf tersebut hanya terdiri dari himpunan simpul. Graf kosong yang terdiri dari n simpul dinotasikan dengan Nn. Gambar 2.4 merupakan contoh graf kosong.
8 N 1 N 2 N 3 N 4 Gambar 2.4 Graf Kosong Suatu graf G dikatakan sebagai graf lengkap jika tiap node pada graf tersebut berajasen dengan tiap node lainnya. Suatu graf lengkap dengan n yang menyatakan banyaknya node, dinotasikan dengan Nn. Gambar 2.5 merupakan contoh graf lengkap dengan 4 simpul. v 3 e 1 e 2 v 1 e 3 e 4 Gambar 2.5 Graf lengkap dengan 4 simpul Suatu graf G dikatakan sebagai graf berbobot jika setiap edgenya mempunyai nilai atau bobot tertentu. Bobot pada graf biasanya dinotasikan dengan wij dimana i dan j sebagai node yang berisiden dengan edge yang memiliki bobot w tersebut. Pada Gambar 2.6 bobot dari e 1 atau W vv 1 2= 4
9 v 1 v Gambar 2.6 Graf Berbobot Graf Bipartit Graf Bipartit didefinisikan sebagai graf yang memiliki himpunan node V yang dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian X dan Y, sehingga masing-masing edgenya memiliki titik ujung pada X dan titik ujung lainnya pada Y, dengan demikian {X,Y} dapat disebut sebagai bipartisi pada graf. Jika tiap node pada himpunan X berajasen dengan semua node pada Y maka graf bipartit tersebut dinamakan graf bipartit lengkap. Graf bipartit lengkap dengan banyaknya node pada X atau X = m dan banyaknya node pada Y atau Y = n, dinotasikan dengan Km,n. v 1 v 5 v 3 v 6 v 7 Gambar 2.7 Graf Bipartit lengkap K 4,3
10 Pada Gambar 2.7, dapat dilihat graf tersebut dapat dipartisi menjadi 2 himpunan bagian X dan Y dimana X = { v1, v2, v3, v 4} dan Y{ v 5, v 6, v 7 }. Tiap-tiap node pada himpunan X berajasensi dengan semua node pada himpunan Y Spanning Subgraph Subgraph dari G didefinisikan sebagai graf yang merupakan himpunan bagian dari himpunan node dan edge pada graf G. Sedangkan spanning subgraph dari graf G adalah subgraph yang memuat semua node dari graf G. Graf H pada Gambar 2.8 merupakan salah satu contoh spanning subgraph dari graf G pada Gambar 2.1. e 3 v 5 v 1 e 6 e 7 e 5 v 3 e 8 Gambar 2.8 Graf H (Spanning subgraph dari graf G)
11 2.3. Matching graf Sebelum membahas lebih jauh mengenai optimal assignment problem dan cara penyelesaiannya, akan dibahas mengenai definisi matching dan matching pada graf bipartit, karena penyelesaian optimal assignment problem akan menggunakan penerapan matching pada graf bipartit. Misalkan G=(V,E) adalah graf sederhana dan bukan graf kosong. Maka, matching M didefinisikan sebagai himpunan bagian yang tidak kosong dari edge E(G) sedemikian hingga tidak ada edge dari M yang saling ajasen di G. Selanjutnya nodenode ujung dari matching M disebut matched di bawah M. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Gambar 2.9. M = { e1, e6, e7} adalah salah satu contoh matching yang dapat dibuat pada graf G. v 5 v 1 e 1 e 7 e 2 e 5 e 4 e 8 v 6 e 3 e 6 v 5 Gambar 2.9 Contoh Matching Jika M adalah suatu Matching, maka suatu node v i dikatakan saturated oleh matching M atau matching M saturates terhadap node v i jika ada sebuah edge dari matching M menempel pada node v i tersebut. Sebaliknya jika tidak ada maka node v i disebut unsaturated M. Perhatikan Gambar 2.9, v 1 dan v 2 disebut saturated oleh M, sebaliknya pada Gambar 2.10., v 1 disebut unsaturated karena tidak ada matching M yang menempel pada v 1.
12 v 1 Gambar 2.10 Contoh simpul unsaturated M Matching M disebut matching sempurna jika setiap node pada G saturated oleh matching M. Pada Gambar 2.9 semua node saturated oleh matching M, maka graf pada Gambar 2.9 merupakan contoh matching sempurna. Sedangkan pada Gambar 2.10 ada satu node yaitu v 1 yang tidak saturated oleh matching M, maka graf pada Gambar 2.10 bukan contoh matching sempurna. Dari sebuah graf G, bisa saja diperoleh lebih dari satu matching M. Suatu matching M disebut matching maksimum jika untuk setiap matching pada graf G tidak terdapat matching M dengan M M. Sehingga setiap matching sempurna adalah matching maksimum. Namun sebaliknya, jika M adalah matching maksimum belum tentu M merupakan matching sempurna. Gambar 2.9 merupakan matching sempurna sekaligus matching maksimum dan Gambar 2.10 merupakan contoh matching maksimum tetapi bukan matching sempurna. Misalkan M adalah matching dan P adalah lintasan pada graf G. Lintasan P disebut M-alternating jika edge-edgenya pada P terbentang dalam M dan berada pada E(G)\M, dengan kata lain edgenya bergantian antara M dan E(G)\M. Selanjutnya Lintasan P disebut M-augmenting jika lintasan ini M-alternating dan node awal serta
13 node akhir dari Lintasan P merupakan M- unsaturated. Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar v 1 e 1 e 2 e 4 v 9 e 3 e 5 e 6 e 9 v 5 e7 v 8 v 3 e 8 v 7 Gambar 2.11 Contoh M-Augmenting dan M-Alternating Pada Gambar 2.11, yang merupakan contoh lintasan M-alternating yaitu { vevevevev }. Sedangkan { vevevevevev } merupakan contoh lintasan M- augmenting karena node awalnya yaitu v 8 dan node akhirnya yaitu v 7 merupakan node yang berada pada E(G)\M dan unsaturated M. Misalkan M adalah matching pada graf G, dan terdapat matching lain, sebut saja M dengan M M menunjukkan perbedaan simetris M dan M. Maka dapat diperoleh suatu graf H=G(M M ) yang merupakan graf yang direntang oleh edge M M dengan menghapus semua edge M M dan edge (G\M) (G\M ). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh 2.5. Contoh 2.5 Diberika graf G yang memuat matching M dan matching M seperti pada Gambar Akan dicari H=G(M M ).
14 v 1 v 3 v 5 v6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 11 Gambar 2.12 Graf G dengan matching M dan matching M Edge yang menghubungkan node v 5 dan node v 8 merupakan anggota-anggota matching M sekaligus anggota matching M (M M ). Maka, edge tersebut dihapus. Edge yang menghubungkan node v 5 dan node v 11 serta edge yang menghubungkan node v 6 dan node v 8 bukan anggota matching M sekaligus bukan anggota matching M ((G\M) (G\M )), oleh karena itu dihapus. Selanjutnya diperoleh H=G(M M ), seperti Gambar v 1 v 5 v 6 v 3 v 7 v 8 v 9 v 10 v 11 Gambar 2.13 H= GM ( M') Lemma 2.1 Misalkan M dan M adalah dua matching yang berbeda pada G, H = G (M M ), dengan M M menunjukkan beda simetris dari M dan M. Setiap komponen dari H pasti berkaitan dengan salah satu dari ketiga bentuk dibawah ini: 1. Node terisolasi.
15 2. Siklus (M,M )-alternating dengan orde genap. 3. Lintasan (M,M )-alternating. Bukti: Misalkan V adalah himpunan node dan E adalah himpunan edge pada graf G dengan M dan M adalah dua matching yang berbeda, maka akan terdapat tiga kasus: 1. Node yang berisiden dengan edge M M atau edge(g\m) (G\M ) tetapi tidak berinsiden dengan matching M maupun M, maka pada graf H node tersebut merupakan node terisolasi. v 1 v 3 v 5 v 6 M M v 7 v 8 v 9 v 10 v 11 Gambar 3.14 Contoh Graf G dengan matching M dan matching M v 1 v 3 v 5 v 6 v 7 v8 v 9 v 10 v 11 Gambar 3.15 H= GM ( M') dari Graf 2. Andaikan P adalah komponen dari H. Dalam hal ini 1 P 2. Jika semua node pada P mempunyai derajat dua, maka masing-masing nodenya berinsiden
16 dengan satu edge pada M dan satu edge pada M. Maka dapat disimpulkan bahwa siklus (M, M )-alternating dengan orde genap. 3. Ada x V( P) sedemikian hingga dengan H(x) = 1. Maka terdapat paling sedikit satu node misalkan saja node y, dengan derajat satu selain node x. Ketika (P) 2, P adalah lintasan yang menghubungkan x dan y. Node-node internalnya (jika ada) merupakan node berderajat dua, maka P adalah lintasan (M, M )-alternating. Contoh 2.6: 1. Perhatikan Gambar 2.14 dan Gambar Node {,, v 7 } pada graf G menjadi node terisolasi pada graf H. 2. Pada Gambar 2.15, { vvvv } adalah lintasan (M, M )-alternating. 3. Pada Gambar 2.15, { vvvv v 15}, adalah siklus (M,M )-alternating dengan orde genap. Teorema 2.1(Teorema Berge) Matching M pada graf G adalah matching maksimum jika dan hanya jika G tidak mengandung lintasan M-augmenting. Bukti: 1. Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Misalkan M adalah matching maksimum pada graf G dan terdapat lintasan M-augmenting P. Dalam hal ini, P haruslah memiliki jumlah edge yang ganjil, karena agar suatu lintasan P merupakan lintasan M-augmenting, setiap satu edge yang merupakan matching M harus berajasen dengan dua rusuk lainnya yang bukan matching (E(G)\M). Untuk lebih jelasnya, misalkan lintasan M-augmenting P= { vvv v v k 1 k }. Perhatikan bahwa k jumlah edge berjumlah ganjil, karena v 0 dan v k unsarated M, artinya vv 0 1 dan v 1 v k k harus bukan anggota matching M. Selanjutnya definisikan himpunan edge M (G) dengan M = ( M { vv, vv... v }) { vv, vv... v 1 }, maka M merupakan v k v 1 2 k k k matching pada graf G dengan nilai M = M +1. Hal ini kontradiksi dengan M adalah matching maksimum. Oleh karena itu, jika M adalah matching maksimum pada graf G, maka G tidak mungkin memiliki lintasan M-augmenting.
17 2. Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Misalkan M bukan matching maksimum dan M adalah matching maksimum di G. Akibatnya M H=G(M M ) dengan M M menunjukkan beda simetri di M dan M. M. Definisikan, Dari pembuktian lemma 2.1, diperoleh setiap node di H berderajat 1 atau 2, karena setiap node di H berinsiden dengan paling banyak satu edge di M dan satu edge di M. Dengan demikian, komponen H adalah lintasan yang edgenya bergantian di M dan M atau siklus dengan banyak edgenya adalah genap. Karena M dimisalkan sebagai matching maksimum, dari penjelasan sebelumnya diperoleh M M. Akibatnya, H mempunyai lebih banyak edge M dibandingkan edge M. Sehingga lintasan P di H yang edge awal dan edge akhirnya adalah anggota dari M. Dengan kata lain node awal serta node akhir dari lintasan P merupakan M-unsaturated. Maka lintasan P adalah lintasan M-augmenting. Kita peroleh pernyataan, jika M bukan matching maksimum di G maka mengandung lintasan M-augmenting. Pernyataan ini ekivalen dengan jika G tidak mengandung lintasan M-augmenting, maka M adalah matching maksimum di G. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, algoritma Kuhn-Munkres dapat direpresentasikan dengan graf bipartit. Representasi algoritma Kuhn-Munkres pada graf bipartit melibatkan penerapan matching, maka akan dibahas mengenai matching pada graf bipartit Matching Pada Graf Bipartit Sebelum membahas lebih jauh mengenai matching pada graf bipartit, akan dijelaskan dulu mengenai himpunan persekitaran. Misalkan terdapat graf sebarang G=(V,E), dengan V adalah himpunan node pada G dan S merupakan subset dari V(G), maka himpunan persekitaran dari S (neighbour set of S) adalah himpunan semua node yang berajasen dengan node-node di S. Himpunan persekitaran biasanya dinotasikan dengan N G (S). Teorema 2.2 (Teorema Hall) Misalkan G adalah graf bipartit dengan bipartisi {X,Y}. Maka G mengandung sebuah matching yang saturates untuk setiap node di X jika dan hanya jika S N G (S) untuk setiap S X. Bukti:
18 1. Misalkan G mengandung matching M yang saturated pada tiap node di X dan S adalah subset dari X. Karena tiap node pada S matched di bawah M dengan berbeda di N G (S, maka diperoleh S N G (S). 2. Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Misalkan G adalah graf bipartit yang memenuhi S N G (S) untuk setiap S X, tetapi G tidak mempunyai matching yang saturated pada setiap node dari X. Misalkan M* adalah matching maksimum pada G, maka akan terdapat node u di X yang merupakan unsaturated M*. Selanjutnya definisikan himpunan node di G dengan Z= {v V(G): terdapat lintasan M*alternating dari u ke v}, dengan kata lain Z adalah himpunan semua node yang terhubung ke u oleh lintasan M*-alternating. Karena M* adalah matching dan u unsaturated M*, dari teorema 3.1 (teorema Berge) diperoleh u adalah satu-satunya node yang unsaturated M* pada Z. Misalkan S= Z X dan T = Z Y. Maka diperoleh node pada S\{u} matched di bawah M* dengan node pada T. Sehingga T = S -1 dari T subset dari N G (S). Lebih tepat lagi N G (S)=T karena setiap node di N G (S) terhubung ke u oleh suatu lintasan M*-alternating. Tetapi T = S -1 dan N G (S) = T, jadi diperoleh N G (S) = ( S -1< S hal ini kontradiksi dengan pernyataan S N G (S). Maka haruslah G memiliki matching yang saturates terhadap setiap node di X. Akibat 1(Teorema Marriage, Forbenius) Graf bipartit G dengan bipartisi {X,Y}, memiliki matching sempurna jika dan hanya jika X = Y dan S N G(S) untuk setiap S X atau Y. Akibat 2 (König) Jika G adalah graf bipartit k-reguler dengan k>0, maka G memiliki sebuah matching sempurna. Bukti: Misalkan G adalah graf bipartit k- reguler dengan bipartisi {X,Y}. Karena G adalah k-reguler, maka k X =k Y. Karena k>0, maka X = Y. Misalkan S subset dari X, dengan E1 adalah himpunan edge yang berinsiden dengan node di S dan E2 adalah himpunan node yang berinsiden dengan node di N G (S). Maka berdasarkan definisi N G (S) diperoleh E1 subset dari E2 oleh
19 karena itu diperoleh k N G (S) S, maka berdasarkan Teorema2.2 (Teorema Hall) diperoleh pernyataan bahwa G memiliki matching M yang saturates terhadap setiap simpul di X, dan karena X = Y, maka M adalah matching sempurna.
BAB III MATCHING. Sebelum membahas lebih jauh mengenai optimal assignment problem dan
BAB III MATCHING Sebelum membahas lebih jauh mengenai optimal assignment problem dan cara penyelesaiannya, pada bab ini akan dibahas mengenai definisi matching dan matching pada graf bipartit, karena penyelesaian
Lebih terperinciBAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang
BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang dengan pesat. Teori ini sangat berguna untuk mengembangkan model-model terstruktur dalam berbagai keadaan.
Lebih terperinciHAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU. Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.
HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar
Lebih terperinciSuatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik
BAB II DASAR TEORI 2.1 Teori Dasar Graf 2.1.1 Graf dan Graf Sederhana Suatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tak kosong dan E adalah himpunan sisi. Untuk selanjutnya,
Lebih terperinciv 3 e 2 e 4 e 6 e 3 v 4
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi graf sebagai landasan teori dari penelitian ini... Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Penugasan Sebagai Masalah Matching Bobot Maksimum Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Penugasan Sebagai Masalah Matching Bobot Maksimum Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel Teori Dasar Graf Graf G adalah pasangan himpunan (V,E) di mana V adalah himpunan dari vertex
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong
Lebih terperinciMA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun
MA3051 Pengantar Teori Graf Semester 1 2013/2014 Pengajar: Hilda Assiyatun Bab 1: Graf dan subgraf Graf G : tripel terurut VG, E G, ψ G ) V G himpunan titik (vertex) E G himpunan sisi (edge) ψ G fungsi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf
Lebih terperinciBAB V PENERAPAN 5.1 PERMASALAHAN PENUGASAN PEGAWAI. Dalam suatu perusahaan, n pekerja-pekerja X 1, X 2,... X 3 tersedia untuk
BAB V PENERAPAN 5.1 PERMASALAHAN PENUGASAN PEGAWAI Dalam suatu perusahaan, n pekerja-pekerja X 1, X 2,... X 3 tersedia untuk mengerejakan n pekerjaan-pekerjaan Y 1, Y 2,... Y 3, masing-masing pekerja terkualifikasi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf
Lebih terperinciGraph. Rembang. Kudus. Brebes Tegal. Demak Semarang. Pemalang. Kendal. Pekalongan Blora. Slawi. Purwodadi. Temanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga
TEORI GRAPH Graph Graph Graph digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar berikut ini sebuah graph yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang
Lebih terperinciSebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah
BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi
Lebih terperinci2. TINJAUAN PUSTAKA. Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: himpunan tak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf yang diambil dari buku Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: Suatu Graf G adalah suatu pasangan himpunan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf, graf pohon dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 2.1 KONSEP DASAR GRAF Konsep
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciPENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF
PENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF 1 Sejarah Singkat dan Beberapa Pengertian Dasar Teori Graf Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui makalah tulisan Leonard Euler seorang ahli matematika dari Swiss. Euler
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.
6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan
Lebih terperinciBAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE. Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema
BAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah
Lebih terperinciMatematik tika Di Disk i r t it 2
Matematika tik Diskrit it 2 Teori Graph Teori Graph 1 Kelahiran Teori Graph Masalah Jembatan Konigsberg g : Mulai dan berakhir pada tempat yang sama, bagaimana caranya untuk melalui setiap jembatan tepat
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciLOGIKA DAN ALGORITMA
LOGIKA DAN ALGORITMA DASAR DASAR TEORI GRAF Kelahiran Teori Graf Sejarah Graf : masalah jembatan Königsberg (tahun 736) C A D B Gbr. Masalah Jembatan Königsberg Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul
Lebih terperinciPENDAHULUAN MODUL I. 1 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013 Blog: 1.
MODUL I PENDAHULUAN 1. Sejarah Graph Teori Graph dilaterbelakangi oleh sebuah permasalahan yang disebut dengan masalah Jembatan Koningsberg. Jembatan Koningsberg berjumlah tujuh buah yang dibangun di atas
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Lahirnya teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada Tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kompetisi Global yang kian hari kian meningkat memaksa perusahaan untuk menggunakan aset intelektual mereka dengan lebih baik. Berbagai metode digunakan demi meningkatkan
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan
Lebih terperinciBAB III PELABELAN KOMBINASI
1 BAB III PELABELAN KOMBINASI 3.1 Konsep Pelabelan Kombinasi Pelabelan kombinasi dari suatu graf dengan titik dan sisi,, graf G, disebut graf kombinasi jika terdapat fungsi bijektif dari ( himpunan titik
Lebih terperinciIII. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.(2002). = ( ) {1,2,3,, } dengan syarat
III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.00). Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf. Pewarnaan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Definisi 2.1.1: Graf (C. Vasudev, 2006:1) Sebuah graf G terdiri atas sebuah himpunan tak kosong V(G) = {v1, v2, }
BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Teori Graf Definisi 2.1.1: Graf (C. Vasudev, 2006:1) Sebuah graf G terdiri atas sebuah himpunan tak kosong V(G) = {v1, v2, } dimana setiap elemen himpunan V disebut sebagai simpul
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
15 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Graf Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
Lebih terperinciStruktur dan Organisasi Data 2 G R A P H
G R A P H Graf adalah : Himpunan V (Vertex) yang elemennya disebut simpul (atau point atau node atau titik) Himpunan E (Edge) yang merupakan pasangan tak urut dari simpul, anggotanya disebut ruas (rusuk
Lebih terperinciMIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS
PELABELAN DAN PEMBENTUKAN GRAF MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Meliana Deta Anggraeni 4111409019
Lebih terperinciGambar 6. Graf lengkap K n
. Jenis-jenis Graf Tertentu Ada beberapa graf khusus yang sering dijumpai. Beberapa diantaranya adalah sebagai berikut. a. Graf Lengkap (Graf Komplit) Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap titiknya
Lebih terperinciIII. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf.
III BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk 00) Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi pewarnaan graf Pewarnaan titik pada
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON 2.1 Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil dari Deo (1989). Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
5 BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Menurut catatan sejarah, masalah jembatan KÖnigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Di kota KÖnigsberg (sebelah timur Negara bagian
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum memulai pembahasan lebih lanjut, pertama-tama haruslah dijelaskan apa yang dimaksud dengan traveling salesman problem atau dalam bahasa Indonesia disebut sebagai persoalan
Lebih terperinciII.TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung
II.TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung dalam penelitian ini. 2.1. Konsep Dasar Teori Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Lebih terperinciBAB 2. Konsep Dasar. 2.1 Definisi graf
BAB 2 Konsep Dasar 21 Definisi graf Suatu graf G = (V(G), E(G)) didefinisikan sebagai pasangan himpunan 2 titik V(G) dan himpunan sisi E(G) dengan V(G) dan E(G) [ VG ( )] Sebagai contoh, graf G 1 = (V(G
Lebih terperinciBab 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
Bab 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori graf merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf di gunakan untuk merepresentasikan objek objek diskrit dan hubungan antara
Lebih terperinciHAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID DUA. Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.
HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID DUA Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
Bab LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan penelitian sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah
Lebih terperinciAssignment Problem. kolom. Di dalam matriks A yang berukuran m baris dan n kolom (m x n), adalah elemen matriks pada baris ke- dan kolom ke-.
Penerapan Hungarian Method untuk Menyelesaikan Personnel Assignment Problem Dian Perdhana Putra - NIM : 13507096 Program Studi Teknik Informatika Insitut Teknologi Bandung Jalan Ganesha 10 Bandung, email:
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan
4 II. LANDASAN TEORI Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan Konisberg yang kemudian menghasilkan konsep graf Eulerian merupakan awal dari lahirnya teori graf. Euler mengilustrasikan
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG GRAPH. Oleh: Baso Intang Sappaile
Algoritma (Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika), Vol.2 No.2 Desember 27 hal. 9-3 ISSN: 97-7882 SEKILAS TENTAN RAPH Oleh: Baso Intang Sappaile Abstrak. Suatu raph terdiri dari suatu himpunan tak
Lebih terperinciGraf. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP
Graf Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. 2.1 Graf Graf
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kompetisi Global yang kian hari kian meningkat memaksa perusahaan
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kompetisi Global yang kian hari kian meningkat memaksa perusahaan untuk menggunakan aset intelektual mereka dengan lebih baik. Berbagai metode digunakan demi meningkatkan
Lebih terperinciBab 2. Teori Dasar. 2.1 Definisi Graf
Bab 2 Teori Dasar Pada bagian ini diberikan definisi-definisi dasar dalam teori graf berikut penjabaran mengenai kompleksitas algoritma beserta contohnya yang akan digunakan dalam tugas akhir ini. Berikut
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Bab Konsep Dasar Graf. Definisi Graf
Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graf Definisi Graf Suatu graf G terdiri atas himpunan yang tidak kosong dari elemen elemen yang disebut titik atau simpul (vertex), dan suatu daftar pasangan vertex
Lebih terperinciSTUDI BILANGAN PEWARNAAN λ-backbone PADA GRAF SPLIT DENGAN BACKBONE SEGITIGA
STUDI BILANGAN PEWARNAAN λ-backbone PADA GRAF SPLIT DENGAN BACKBONE SEGITIGA Anis Kamilah Hayati NIM : 13505075 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Institut Teknologi
Lebih terperinciALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY. Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin
ALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin hasma_ba@yahoo.com Abstract Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai
Lebih terperinciPELABELAN GRAF SIKLUS SEDERHANA UNTUK MENGKONSTRUKSI VERTEX-MAGIC GRAPH
PELABELAN GRAF SIKLUS SEDERHANA UNTUK MENGKONSTRUKSI VERTEX-MAGIC GRAPH MAKALAH Disusun untuk Melengkapi salah satu Tugas Mata Kuliah Seminar Pendidikan Matematika Semester Genap Tahun Akademik 006/007
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Graf Menurut Foulds (1992) graf G adalah pasangan terurut (VV,) dimana V adalah himpunan simpul yang berhingga dan tidak kosong. Dan E adalah himpunan sisi yang merupakan pasangan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Logika Fuzzy Logika fuzzy pertama kali dikembangkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh, seorang peneliti dari Universitas California, pada tahun 1960-an. Logika fuzzy dikembangkan dari
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
4 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengertian Kemacetan Kemacetan adalah situasi atau keadaan tersendatnya atau bahkan terhentinya lalu lintas yang disebabkan oleh banyaknya jumlah kendaraan melebihi kapasitas
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Seiring dengan pertumbuhannya, setiap organisasi baik organisasi bisnis (perusahaan), industri, jasa dan sebagainya, menghadapi kenyataan bahwa sumber daya
Lebih terperinciAplikasi Algoritma Dijkstra dalam Pencarian Lintasan Terpendek Graf
Aplikasi Algoritma Dijkstra dalam Pencarian Lintasan Terpendek Graf Nur Fajriah Rachmah - 0609 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jalan
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang memiliki banyak. terapan di berbagai bidang sampai saat ini.
1 I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang memiliki banyak terapan di berbagai bidang sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek
Lebih terperinciAplikasi Pohon Merentang Minimum dalam Rute Jalur Kereta Api di Pulau Jawa
Aplikasi Pohon Merentang Minimum dalam Rute Jalur Kereta Api di Pulau Jawa Darwin Prasetio ( 001 ) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl.
Lebih terperinciGraf dan Operasi graf
6 Bab II Graf dan Operasi graf Dalam subbab ini akan diberikan konsep dasar, definisi dan notasi pada teori graf yang dipergunakan dalam penulisan disertasi ini. Konsep dasar tersebut ditulis sesuai dengan
Lebih terperinciDiscrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika
Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika 16/12/2015 2 Sub Topik A. Graf dan Model Graf B. Terminologi Dasar Graf dan Jenis
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graph Sebelum sampai pada pendefenisian masalah lintasan terpendek, terlebih dahulu pada bagian ini akan diuraikan mengenai konsep-konsep dasar dari model graph dan
Lebih terperinciBagaimana merepresentasikan struktur berikut? A E
Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? B D A E F C G Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? Contoh-contoh aplikasi graf Peta (jaringan jalan dan hubungan antar kota) Jaringan komputer Jaringan
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Definisi Graf
Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Definisi Graf Suatu graf G terdiri dari himpunan tak kosong terbatas dari objek yang dinamakan titik dan himpunan pasangan (boleh kosong) dari titik G yang dinamakan sisi. Himpunan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI. Teori Graf Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan
Lebih terperinciI. LANDASAN TEORI. Seperti yang telah dipaparkan pada bab sebelumnya, teori graf merupakan salah satu ilmu
I. LANDASAN TEORI Seperti yang telah dipaparkan pada bab sebelumnya, teori graf merupakan salah satu ilmu matematika yang mempresentasikan suatu objek berupa vertex (titik) dan edge (garis), edge merupakan
Lebih terperinciBab 2. Landasan Teori. 2.1 Konsep Dasar
Bab 2 Landasan Teori Pada bab ini akan diuraikan konsep dasar dan teori graf yang berhubungan dengan topik penelitian ini, termasuk didalamnya mengenai pelabelan total tak teratur titik dan total vertex
Lebih terperinciBAB II Graf dan Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super
BAB II Graf dan Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super 2.1 Graf dan Beberapa Definisi Dasar Graf G=(V,E) didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan berhingga dan tak hampa V dan himpunan E. Himpunan V dinamakan
Lebih terperinciTEORI DASAR GRAF 1. Teori Graf
TEORI SR GRF 1 Obyektif : 1. Mengerti apa yang dimaksud dengan Graf 2. Memahami operasi yang dilakukan pada Graf 3. Mengerti derajat dan keterhubungan Graf Teori Graf Teori Graf mulai dikenal pada saat
Lebih terperinci7. PENGANTAR TEORI GRAF
Definisi : Secara umum merupakan kumpulan titik dan garis. Sebuah garf G terdiri dari: 1. Sebuah himpunan V=V(G) yang memiliki elemen2 yg dinamakan verteks/titik/node. 2. Sebuah kumpulan E=E(G) merupakan
Lebih terperinciRepresentasi Graph dan Beberapa Graph Khusus
Modul 2 Representasi Graph dan Beberapa Graph Khusus Prof. Dr. Didi Suryadi, M.Ed. Dr. Nanang Priatna, M.Pd. W PENDAHULUAN alaupun representasi graph secara piktorial merupakan hal yang sangat menarik
Lebih terperinciAplikasi Pewarnaan Graf dalam Penyimpanan Senyawa Kimia Berbahaya
1 Aplikasi Pewarnaan Graf dalam Penyimpanan Senyawa Kimia Berbahaya Ario Yudo Husodo 13507017 Jurusan Teknik Informatika STEI-ITB, Bandung, email: if17017@students.if.itb.ac.id Abstrak Teori Graf merupakan
Lebih terperinciBAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF. Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari
BAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari teori graf, serta akan dijelaskan beberapa jenis pelabelan graf yang akan digunakan pada bab-bab
Lebih terperinciPenerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda
Vol. 9, No.2, 114-122, Januari 2013 Penerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda Hasmawati 1 Abstrak Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai ke
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Graf
Bab 2 TEORI DASAR Pada bab ini akan dipaparkan beberapa definisi dasar dalam Teori Graf yang kemudian dilanjutkan dengan definisi bilangan kromatik lokasi, serta menyertakan beberapa hasil penelitian sebelumnya.
Lebih terperinciKONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. sepasang titik. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Teori Graf 1. Dasar-dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tidak kosong (vertex)
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan dimana: 1. adalah sebuah himpunan tidak kosong yang berhingga yang anggotaanggotanya
Lebih terperinciDasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013
Dasar-Dasar Teori Graf Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Teori Graf Teori Graf mulai dikenal saat matematikawan kebangsaan Swiss bernama Leonhard Euler, yang berhasil mengungkapkan Misteri
Lebih terperinciGRAF. Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V).
GRAF GRAF Suatu Graph mengandung 2 himpunan, yaitu : 1. Himpunan V yang elemennya disebut simpul (Vertex atau Point atau Node atau Titik) 2. Himpunan E yang merupakan pasangan tak urut dari simpul. Anggotanya
Lebih terperinciPenerapan Algoritma Steiner Tree dalam Konstruksi Jaringan Pipa Gas
Penerapan Algoritma Steiner Tree dalam Konstruksi Jaringan Pipa Gas Achmad Baihaqi, NIM: 13508030 Program Studi Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung Jalan Ganesa 10 Bandung e-mail: baihaqi@students.itb.ac.id
Lebih terperinciBAB 2 BEBERAPA ISTILAH DARI GRAPH
BAB 2 BEBERAPA ISTILAH DARI GRAPH Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dan terminologi dalam graph yang akan dipergunakan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini. Juga akan dibahas
Lebih terperinciGraph. Matematika Informatika 4. Onggo
Matematika Informatika 4 Onggo Wiryawan @OnggoWr Definisi adalah struktur diskrit yang mengandung vertex dan edge yang menghubungkan vertex-vertex tersebut. vertex edge 2 Jenis-jenis Definisi 1: Suatu
Lebih terperinciGraf. Matematika Diskrit. Materi ke-5
Graf Materi ke-5 Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya
Lebih terperinciMisalkan dipunyai graf G, H, dan K berikut.
. Pewarnaan Graf a. Pewarnaan Titik (Vertex Colouring) Misalkan G graf tanpa loop. Suatu pewarnaan-k (k-colouring) untuk graf G adalah suatu penggunaan sebagian atau semua k warna untuk mewarnai semua
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
39 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Teori Graf 2.1.1 Definisi Graf Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang paling banyak aplikasinya dalam kehidupan sehari hari. Salah satu bentuk dari graf adalah
Lebih terperinciAplikasi Pewarnaan Graf pada Penjadwalan Pertandingan Olahraga Sistem Setengah Kompetisi
Aplikasi Pewarnaan Graf pada Penjadwalan Pertandingan Olahraga Sistem Setengah Kompetisi Ryan Yonata (13513074) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi
Lebih terperinciGraf dan Analisa Algoritma. Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017
Graf dan Analisa Algoritma Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017 Who Am I? Stya Putra Pratama, CHFI, EDRP Pendidikan - Universitas Gunadarma S1-2007 Teknik Informatika S2-2012
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Definisi 2.1 Graf (Deo,1989) Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan tak kosong dengan elemen-elemennya disebut vertex, sedangkan E(G)
Lebih terperinciKode MK/ Matematika Diskrit
Kode MK/ Matematika Diskrit TEORI GRAF 1 8/29/2014 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/2014 1 TEORI GRAF Tujuan Mahasiswa memahami konsep
Lebih terperinciPENENTUAN BILANGAN DOMINASI SISI PADA GRAF HASIL OPERASI PRODUK TENSOR
TESIS - SM 142501 PENENTUAN BILANGAN DOMINASI SISI PADA GRAF HASIL OPERASI PRODUK TENSOR ROBIATUL ADAWIYAH NRP 1214 201 019 DOSEN PEMBIMBING Dr. Darmaji, S.Si., M.T. PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik pencacahan dalam bentuk definisi dan teorema yang berhubungan dengan penelitian yang akan dilakukan. 2.1
Lebih terperinciANALISIS JARINGAN LISTRIK DI PERUMAHAN JEMBER PERMAI DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PRIM
ANALISIS JARINGAN LISTRIK DI PERUMAHAN JEMBER PERMAI DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PRIM SKRIPSI diajukan guna melengkapi tugas akhir dan memenuhi salah satu syarat untuk menyelesaikan Program Studi Pendidikan
Lebih terperinciDIMENSI METRIK PADA GRAF LINTASAN, GRAF KOMPLIT, GRAF SIKEL, GRAF BINTANG DAN GRAF BIPARTIT KOMPLIT
DIMENSI METRIK PADA GRAF LINTASAN, GRAF KOMPLIT, GRAF SIKEL, GRAF BINTANG DAN GRAF BIPARTIT KOMPLIT Septiana Eka R. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,Universitas Negeri
Lebih terperinci