L mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor

Transkripsi

1 ANALISIS VEKTOR

2 Vektor dan Skalar Macam-macammacam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti itu disebut dengan skalar. Kuantitas yang lain seperti gaya, kecepatan, dan momentum memiliki spesifikasi arah dan besar. Kuantitas seperti itu disebut vektor.

3 Vektor dan Skalar Sebuah vektor direpresentasikan (dinyatakan) dengan sebuah anak panah atau bagian garis berarah yang mengindikasikan arahnya. Besar vektor ditentukan dengan panjang dari anak panah, menggunakan satuan yang tepat (sesuai).

4 Lambang dan notasi Vektor Vektor ditulis dengan huruf cetak tebal seperti A atau A v Besarnya ditunjukkan dengan A r atau A. Vektor digambarkan dengan anak panah. Ekor anak panah menunjukkan posisi titik tangkap sedangkan ujung anak panah menunjukkan titik terminal.

5 Penggambaran Vektor Terminal A Titik Tangkap

6 Definisi Kesamaan vektor A = B A B Vektor yang berlawanan A = - B B = - A A B

7 Definisi Perkalian vektor dengan skalar ma vektor A C C = 3A

8 Definisi Penjumlahan vektor C = A + B VEKTOR B A B C=A+B A A B C=A+B

9 Definisi Pengurangan vektor D = A - B = A + (-B) VEKTOR B D=A-B -B A A -B D=A-B A

10 Definisi Vektor satuan a=a/a (hanya penentu arah, besarnya 1 satuan) Sehingga suatu vektor biasa ditulis sbg : A = Aa

11 Hukum Aljabar Vektor Jika A, B, C adalah vektor dan m, n adalah skalar. 1. A+B=B+A Komutatif Penjumlahan 2. A+(B+C)=(A+B)+C Asosiatif penjumlahan 3. m(na)=mn( )=mn(a)=n(ma) Asosiatif perkalian skalar 4. (m+n)a =ma+n +na Distributif 5. m( m(a+b) =ma+mb Distributif

12 Komponen sebuah Vektor A = A 1 i + A 2 j + A 3 k z A 1 i = komponen vektor A dalam arah sumbu-x A 2 j = komponen vektor A dalam arah sumbu-y A 3 k = komponen vektor A dalam arah sumbu-z A 1 i k i j A A 3 k y x A 2 j

13 Penjumlahan Vektor A = A 1 i + A 2 j + A 3 k B = B 1 i + B 2 j + B 3 k C = A + B = (A 1 i + A 2 j + A 3 k) + (B 1 i + B 2 j + B 3 k) C = A + B = (A 1 +B 1 )i + (A 2 +B 2 )j + (A 3 +B 3 )k C = A - B = (A 1 i + A 2 j + A 3 k) - (B 1 i + B 2 j + B 3 k) C = A - B = (A 1 -B 1 )i + (A 2 -B 2 )j + (A 3 -B 3 )k

14 Perkalian Vektor dengan skalar A = A 1 i + A 2 j + A 3 k B = B 1 i + B 2 j + A 3 k D = 3A = 3(A 1 i + A 2 j + A 3 k)

15 Besar Vektor Teorema Phytagoras : z (OP) 2 = (OQ) 2 + (QP) 2 tapi P (OQ) 2 = (OR) 2 + (RQ) 2 A Sehingga A 3 k (OP) 2 = (OR) 2 + (RQ) 2 + (QP) 2 Atau A 2 = A 12 + A 22 + A 2 3 x atau R A 1 i O A 2 j Q y A = A A2 A3

16 Contoh soal Diketahui r 1 = 2i+ i+4j-5k dan r 2 = i+2j+ j+3k a. Tentukan resultan vektor r 1 dan r 2 b. Tentukan vektor satuan dalam arah resultan vektor tersebut Jawab : a. R = r 1 +r 2 =(2i+ i+4j-5k) + (i+ i+2j+ j+3k) = 3i i + 6j 2k b. R ( 3 i + 6 j 2 ) = = 49 = 7 = k r = R R = 3i + 6 j 2k 7 Cek besar vektor satuan = 1

17 Perkalian Titik (Dot Product) Dot poduct antara A dan B Atau perkalian skalar didefinisikan : A. B = AB cos θ θ Adalah sudut terkecil yang diapit A dan B Secara fisis dot product adalah proyeksi suatu vektor terhadap vektor lainnya, sehingga sudut yang diambil adalah sudut yang terkecil

18 Perkalian Titik (Dot Product) A. B = (A 1 i + A 2 j + A 3 k).(b 1 i + B 2 j + B 3 k) = (A 1 i ).(B 1 i + B 2 j + B 3 k) + (A 2 j).(b 1 i + B 2 j + B 3 k) + (A 3 k).(b 1 i + B 2 j + B 3 k) = A 1 B 1 (i.i) + A 1 B 2 (i.j) + A 1 B 3 (i.k) A 2 B 1 (j.i) + A 2 B 2 (j.j) + A 2 B 3 (j.k) + A 3 B 1 (k.i) + A 3 B 2 (k.j) +A 3 B 3 (k.k) A.B = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 o o o i. i = i i cos0 = 1 j. j = j j cos0 = 1 k. k = k k cos0 = 1 o i. j = j. i = i j cos90 = 0 o o j. k = k. j = j k cos90 = 0 i. k = k. i = k i cos90 = 0

19 Contoh dot product dalam Fisika F F θ θ S θ F S W = FS cos θ = F. S W = usaha F = Vektor gaya S = Vektor perpindahan

20 Contoh dot product dalam Fisika na B na B θ θ φ = BA cos θ = B. A φ = Fluks magnetik B = Medan magnetik A = arah bidang Catatan : Bidang adalah vektor memiliki luas dan arah. Arah bidang adalah arah normal bidang di suatu titik. Normal = tegak lurus

21 Perkalian Silang (Cross Product) Cross poduct antara A dan B Atau perkalian vektor didefinisikan : A x B = AB sin θ u θ Adalah sudut terkecil yang diapit A dan B Hasil perkalian silang antara vektor A dan vektor B adalah sebuah vektor C yang arahnya tegak lurus bidang yang memuat vektor A dan B, sedemikian rupa sehingga A, B, dan C membentuk sistem tangan kanan (sistem skrup)

22 Perkalian Silang (Cross Product)

23 Perkalian Silang (Cross Product) B C B θ A θ A -C C = A x B -C = B x A

24 Pada sistem koordinat tegak lurus i i =0 j j = 0 k k = 0 i j = k j k = i k i = j j i = k k j = i i k = j j k i

25 Perkalian silang (Cross Product) A x B = (A 1 i + A 2 j + A 3 k) x (B 1 i + B 2 j + B 3 k) = (A 1 i )x(b 1 i + B 2 j + B 3 k) + (A 2 j)x(b 1 i + B 2 j + B 3 k) + (A 3 k)x(b 1 i + B 2 j + B 3 k) = A 1B 1(ixi) + A 1B 2(ixj) + A 1B 3 3(ixk) + A 2 B 1 (jxi) + A 2 B 2 (jxj) + A 2 B 3 (jxk) + A 3 B 1 (kxi) + A 3 B 2 (kxj) +A 3 B 3 (kxk) = A 1 B 1 (0) + A 1 B 2 (k) + A 1 B 3 (-j) + A 2 B 1 (-k) + A 2 B 2 (0) + A 2 B 3 (i) + A 3 B 1 (j) + A 3 B 2 (-i) +A 3 B 3 (0)

26 Perkalian silang (Cross Product) A x B = A 1 B 1 (0) + A 1 B 2 (k) + A 1 B 3 (-j) + A 2 B 1 (-k) + A 2 B 2 (0) + A 2 B 3 (i) + A 3 B 1 (j) + A 3 B 2 (-i) +A 3 B 3 (0) A x B = (A 1 B 2 - A 2 B 1 ) k + (A 3 B 1 -A 1 B 3 ) j + (A 2 B 3 - A 3 B 2 ) i iˆ ˆj kˆ A B = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

27 Contoh perkalian silang dalam Fisika F θ r O r r τ = F = r F sinθ = r r F

28 Contoh Soal Jika gaya F = 2i - j + 3k bekerja pada titik (2,-1,1), tentukan torsi dari F terhadap titik asal koordinat

29 Gerak melingkar ω v P r v r = ω r r θ r

30 Perkalian tiga vektor r r B C r sinθ A r r r cosφ = B C A cosφ = r r A r ( B C)

31 Aplikasi Perkalian Skalar Tiga Vektor n F L r Komponen torsi terhadap garis L : τ II r = nˆ τ = nˆ O ( r r ) r F

32 Contoh Soal Jika gaya F = i + 3j k bekerja pada titik (1,1,1), tentukan komponen torsi dari F terhadap garis r = 3i + 2k + (2i - 2j + k)t.

33 Solusi: Pertama kita tentukan vektor torsi terhadap sebuah titik pada garis yaitu titik (3,0,2). Torsi tersebut adalah τ = r x F dimana r adalah vektor berasal dari titik pada garis ke titik dimana F bekerja, yaitu dari (3,0,2) ke (1,1,1), sehingga r = (1,1,1) - (3,0,2) = (-2,1,-1). Dengan demikian vektor torsi τ : r r τ = r F

34 Contoh Torsi: Torsi untuk garis adalah n.(.(rxf) dimana n adalah vaktor satuan sepajang garis, dengan n = 1/3(2i- 2j+k). Kemudian torsi untuk garis adalah n.(.(rxf) = 1/3(2i- 2j+k).(2i-3j-7k)=1)=1

35 Aplikasi Tripel Scalar Product Aplikasi Tripel Scalar Product salah satunya pada momentum linear

36 PERSAMAAN GARIS LURUS DAN PERSAMAAN BIDANG

37 Persamaan Garis Lurus y (x 0,y 0 ) 0 0 B (x,y) Q (y-y 0 ) garis P (x-x 0 ) A b r 0 r a x

38 Definisi Garis Apakah garis itu? Garis adalah deretan titik-titik secara kontinu Dari gambar : B = r r 0 dan A // B (Perbandingan setiap komponen akan sama dimana B = (xi+yj)-(x 0 i+y 0 j) = (x-x 0 )i+(y-y 0 )j dan A = ai+bj

39 D c z z b y y a x x D b y y a x x = = = sehingga Disebut p Disebut persamaan garis lurus simetris ersamaan garis lurus simetris c b a (x 0,y 0,z 0 ) adalah suatu titik yang dilalui garis a,b,c. Komponen vektor arah.

40 Dari gambar di atas juga : dan sehingga atau r = r 0 + B B = ta r = r 0 +At = (x 0,y 0,z 0 ) + (a,b,c)t r = ix 0 + jy 0 + kz 0 + (ai+ i+bj+ j+zk) k)t Disebut persamaan garis lurus parametrik

41 Contoh Tentukan persamaan garis lurus parametrik dan simetrik yang melalui titik (2,1,5) dan titik (3,3,1)! (3,3,1) (2,1,5) A x 0 =2 y 0 =1 z o =5

42 Solusi A = (3,3,1) (2,1,5) = (1,2,-4) A = i+2j-4k a = 1, b = 2, c = -4 Sehingga : r = (2,1,5) + (1,2,-4)t atau r = 2i+j+5k+( +(i+2j-4k)t Persamaan garis parametrik Titik yang dilalui Arah garis

43 Lanjutan Lanjutan = = = = z y x c z z b y y a x x = = z y x Persamaan Garis Simetrik

44 Latihan Soal 1. Cari suatu persamaan garis lurus melalui (3,2,1) dan sejajar dengan vektor (3i-2j+6k)! 2. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (3,0-5) dan sejajar dengan garis r = (2,1,-5) + (0,-5,1)t!

45 Persamaan Bidang z N = ai+bj+ck A(x 0,y 0,z 0 ) B(x,y,z) y x

46 AB=(x =(x-x 0 )i+(y-y 0 )j+(z-z 0 )k N = ai + bj + ck Lakukan dot product antara AB dan N o NAB = NABcos 90 = 0 (ai+bj+zk)[(x-x 0 )i+(y-y 0 )j+(z-z 0 )k]=0 a(x-x 0 )+b(y-y 0 )+c(z-z 0 )=0 ax+by+cz=ax 0 +by 0 +cz 0

47 Yang diperlukan minimal: 1. Vektor normal bidang (N) 2. Suatu titik pada bidang Jika diketahui 3 titik pada bidang bisa juga. Catatan: Jika suatu garis sejajar dengan arah bidangnya, maka θ=0.

48 N Garis Catatan: Arah bidang selalu tegak lurus terhadap bidang

49 Contoh Soal: 1. Tentukan persamaan bidang yang mencakup 3 titik A=(0,1,1); B=(2,1,3); C=(4,2,1) N C=(4,2,1) θ A=(0,1,1) B=(2,1,3) AB=B-A AB=(2,1,3)-(0,1,1) AB=(2,0,2) AC=C-A AC=(4,2,1)-(0,1,1) AC=(4,1,0)

50 N=ABxAC N=(2,0,2)x(4,1,0) N= i j k N=0+8j+2k+0-2i+0 N=-2i+8j+ j+2k a=-2, b=8, c=2

51 Lanjutan Solusi Titik yang ditinjau A=(0,1,1) x 0 =0; y 0 =1; z 0 =1 ax+by+cz= ax 0 +by 0 +cz 0-2x+8y+2z=8+2-2x+8y+2z=10

52 Latihan Soal: 1. Cari persamaan bidang melalui titik (1,-1,0) 1,0) dan sejajar dengan garis r=(5i+j-2k)+(2i-j+k)t!