BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya

Transkripsi

1 5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel kotiu tersebut, dega megguaka koefisie korelasi polychoric. Oleh sebab itu, dalam bab ii aka dijelaska beberapa hal yag aka diguaka utuk mecari taksira koefisie korelasi polychoric (yag aka dijelaska dalam bab III) yaitu, koefisie korelasi, koefisie korelasi pearso, taksira maksimum likelihood serta koefisie korelasi kedall s tau yag aka dibadigka dega koefisie korelasi polychoric relatif terhadap koefisie korelasi (yag aka dijelaska dalam bab IV).. Koefisie Korelasi Misalka terdapat dua variabel radom X da Y dega mea µ da µ serta variasi σ da σ maka kekuata hubuga liear atara kedua variabel radom ii dapat diukur dega suatu koefisie yag disebut koefisie korelasi. Koefisie korelasi dari dua variabel radom X da Y diberika dega : Meaksir koefisie kolerasi..., Siska Wuladari, FMIPA UI, 008

2 6 cov( X, Y ) ρ = = σ σ E[( X µ )( Y µ )] E( X µ ) E( Y µ ) (..) Koefisie korelasi tidak bergatug pada satua pegukura da dapat dibadigka dega koefisie korelasi dari pasaga variablel radom laiya. Koefisie korelasi berilai atara sampai dega + (hal ii dapat dibuktika pada lampira ). Jika ρ = + maka terdapat hubuga liier positif yag sempura atara variabel radom X da Y. Kodisi ketika ilai ρ = + dapat digambarka pada bidag dimesi dua sebagai berikut : Gambar.. Koefisie Korelasi Berilai + ( ρ = + ). Meaksir koefisie kolerasi..., Siska Wuladari, FMIPA UI, 008

3 7 Jika ρ + maka terdapat hubuga liier positif yag cukup kuat atara variabel X da Y. Kodisi ketika ilai ρ + dapat digambarka pada bidag dimesi dua sebagai berikut : Gambar.. Koefisie Korelasi Medekati + ( ρ + ). Jika ρ = maka terdapat hubuga liier egatif yag sempura atara variabel X da Y. Kodisi ketika ilai ρ = dapat digambarka pada bidag dimesi dua sebagai berikut : Meaksir koefisie kolerasi..., Siska Wuladari, FMIPA UI, 008

4 8 Gambar..3 Koefisie Korelasi Berilai - ( ρ = - ). Jika ρ maka terdapat hubuga liier egatif yag cukup kuat atara variabel X da Y. Kodisi ketika ilai ρ dapat digambarka pada bidag dimesi dua sebagai berikut : Meaksir koefisie kolerasi..., Siska Wuladari, FMIPA UI, 008

5 9 Gambar..4 Koefisie Korelasi Medekati - ( ρ - ). Jika ρ = 0 atau ρ 0 maka dapat dikataka tidak terdapat hubuga liier atara variabel X da Y. Kodisi ketika ilai ρ = 0 atau ρ 0 dapat digambarka pada bidag dimesi dua sebagai berikut : Meaksir koefisie kolerasi..., Siska Wuladari, FMIPA UI, 008

6 0 Gambar..5 Koefisie Korelasi Berilai 0 ( ρ = 0 ) atau Medekati 0 ( ρ 0 ). Dalam sub bab ii aka dijelaska beberapa taksira koefisie korelasi yag aka diguaka dalam pembahasa bab berikutya yaitu, koefisie korelasi pearso, da koefisie korelasi kedall s tau... Koefisie Korelasi Pearso Korelasi atara variabel radom X da Y dapat ditaksir dega beberapa cara, jika variabel X da Y berskala rasio atau iterval maka salah satu taksira koefisie korelasi yag serig diguaka adalah koefisie korelasi pearso. Meaksir koefisie kolerasi..., Siska Wuladari, FMIPA UI, 008

7 Jika terdapat buah observasi berpasaga ( X, Y ), ( X, Y ),, ( X, Y ) maka taksira koefisie korelasi pearso utuk variabel radom X da Y diberika dega : r = i= i= ( x x)( y y) ( x x) i i i i= ( y y) i (...) Seperti halya koefisie korelasi populasi, koefisie korelasi pearso pu berilai atara sampai dega + (hal ii aka dibuktika pada lampira ). Nilai r = + meujukka adaya dugaa bahwa terdapat hubuga liier positif yag sempura atara variabel X da Y. Jika r + maka terdapat dugaa bahwa ada hubuga liier positif yag cukup kuat atara variabel X da Y. Nilai r = meujukka adaya dugaa bahwa terdapat hubuga liier egatif yag sempura atara variabel X da Y. Jika r maka terdapat dugaa bahwa ada hubuga liier egatif yag cukup kuat atara variabel X da Y. Nilai r 0 meujukka adaya dugaa bahwa terdapat hubuga liier yag sagat lemah atara variabel X da Y. Apabila r = 0 maka terdapat dugaa bahwa tidak ada hubuga liier atara variabel X da Y. Koefisie korelasi pearso serig diguaka utuk meaksir koefisie korelasi dari dua variabel kotiu berskala iterval atau rasio karea dalam Meaksir koefisie kolerasi..., Siska Wuladari, FMIPA UI, 008

8 perhituga besarya koefisie korelasi pearso data sampel yag diguaka berupa variabel kotiu berskala iterval atau rasio sehigga iformasi megeai data populasi dapat dilihat secara keseluruha... Koefisie Korelasi Kedall s Tau Misalka variabel radom X da Y adalah dua variabel ordial, salah satu taksira koefisie korelasi utuk dua variabel ordial yag serig diguaka adalah koefisie korelasi kedall s tau, yag dapat dibedaka mejadi koefisie korelasi kedall s tau a da koefisie korelasi kedall s tau b.... Koefisie Korelasi Kedall s Tau - a Misalka ( X, Y ), ( X, Y ),, ( X, Y ) adalah buah observasi berpasaga. Suatu pasaga ( X i, Y i ) da ( X j, Y j ) disebut cocordat, jika X i < X j da Y i < Y j atau jika X i > X j da Y i >Y j. Suatu pasaga ( X i, Y i ) da ( X j, Y j ) disebut discordat,. jika X i > X j da Y i < Y j atau jika X i < X j da Y i >Y j. Sedagka, suatu pasaga ( X i, Y i ) da ( X j, Y j ) disebut tied jika pasaga observasi ii buka cocordat maupu discordat. Karea terdapat = ( ) pasaga observasi yag mugki maka total bayakya pasaga yag cocordat (C), ditambah total bayakya pasaga yag Meaksir koefisie kolerasi..., Siska Wuladari, FMIPA UI, 008

9 3 discordat (D), ditambah total bayakya pasaga yag tied aka sama dega = ( ). Bayakya pasaga yag cocordat da discordat dari observasi berpasaga ( X i, Y i ), i =,, dapat dihitug melalui tabel kotigesi dari variabel X da Y. Misalka variabel X memiliki I kategori da variabel Y memiliki J kategori maka dapat dibetuk tabel kotigesi dari variabel X da Y sebagai berikut : Tabel. Tabel Kotigesi dari Variabel X da Y. X... J total Y... J.... J I I I... IJ I. total J Meaksir koefisie kolerasi..., Siska Wuladari, FMIPA UI, 008

10 4 dimaa ij = bayakya observasi yag jatuh pada sel (i, j), i =,...,I; j =,...J. i. = total bayakya observasi pada kategori ke - i dari variabel. j = total bayakya observasi pada kategori ke - j dari variabel X. Y. Perhatika pasaga observasi yag dibetuk dari suatu observasi yag ada di sel (, ) dega suatu observasi yag ada di sel (, ), pasaga ii adalah pasaga yag cocordat. Setiap observasi yag ada yag ada di sel (, ) dapat dipasagka dega setiap observasi yag ada di sel (, ) maka dari kedua sel ii aka diperoleh pasaga cocordat. Setiap observasi pada sel (, ) juga dapat dipasagka dega setiap observasi yag ada di sel..., 3, 4,..., J, 3,..., 3J,..., I, IJ utuk membetuk pasaga yag cocordat, begitu pula dega observasi yag ada di sel (i, j) dapat dipasagka dega setiap observasi di sel yag kategoriya lebih tiggi atau lebih redah dariya pada kedua variabel gua membetuk pasaga cocordat. Dega demikia, dari suatu tabel kotigesi variabel X da Y dapat diperoleh pasaga cocordat sebayak : C = + ( ( I J + 3 ( IJ IJ ) ) J J I J ( J 3J IJ ) IJ I I IJ ( ) ) I (...) Meaksir koefisie kolerasi..., Siska Wuladari, FMIPA UI, 008

11 5 Selajutya, perhatika pasaga observasi yag dibetuk dari observasi observasi yag ada di sel (, ) dega observasi observasi yag berada pada sel (, ), (3,),.., da sel (I, ), passaga pasaga observasi ii merupaka pasaga discordat. Oleh sebab itu, dari suatu tabel kotigesi variabel X da Y aka diperoleh pasaga discordat sebayak : D = ( J ( I J ( + I I I ) + J ( I J ) + I I + I J I ) ) (...) Jika dalam pegamata diasumsika tidak ada observasi yag tied, maka hubuga atara variabel X da variabel Y dapat diukur dega koefisie korelasi kedall s tau a yag didefiisika dega : τ a = C D ( ) / (...3) Karea diasumsika tidak ada pasaga yag tied maka ( ) = C + D sehigga jika tidak ada pasaga yag discordat ( D = 0 ) maka koefisie korelasi kedall s tau a aka berilai +, sebalikya jika tidak ada pasaga yag cocordat maka koefisie korelasi kedall s tau a aka Meaksir koefisie kolerasi..., Siska Wuladari, FMIPA UI, 008

12 6 berilai. Dega demikia, dapat disimpulka koefisie korelasi kedall s tau a aka berilai atara sampai dega +. Nilai τ a = meadaka adaya dugaa bahwa terdapat hubuga liier positif yag sempura atara variabel radom X da Y. Jika τ a maka terdapat dugaa bahwa ada hubuga liier positif yag cukup kuat atara variabel radom X da Y. Nilai τ a = - meadaka adaya dugaa bahwa terdapat hubuga liier egatif yag sempura atara variabel radom X da Y. Jika τ a - maka terdapat dugaa bahwa ada hubuga liier egatif yag cukup kuat atara variabel radom X da Y. Utuk ilai τ a 0 meujukka adaya dugaa bahwa terdapat hubuga liier yag sagat lemah atara kedua variabel ordial X da Y. Jika τ a = 0 maka ada dugaa bahwa tidak ada hubuga liier atara variabel ordial X da Y.... Koefisie Korelasi Kedall s Tau - b Jika dalam pegamata diasumsika terdapat pasaga yag tied maka hubuga atara variabel X da variabel Y dapat diukur dega koefisie korelasi kedall s tau b yag didefiisika dega : τ b = C D {[ ) / T ][ ( ) / T ]} ( X Y / (...) Meaksir koefisie kolerasi..., Siska Wuladari, FMIPA UI, 008

13 7 dimaa : T X = bayakya pasaga yag tied pada variabel X. dega T X = i. ( i. ) / ; i. adalah total bayakya observasi pada kategori ke i dari variabel X. T Y = bayakya pasaga yag tied pada variabel Y. dega T Y =. j (. j ) / ;. j adalah total bayakya observasi pada kategori ke j dari variabel Y. Jika τ b maka terdapat dugaa bahwa ada hubuga liier positif yag cukup kuat atara variabel radom X da Y. Jika τ b - maka terdapat dugaa bahwa ada hubuga liier egatif yag cukup kuat atara variabel radom X da Y. Utuk ilai τ b 0 meujukka adaya dugaa bahwa terdapat hubuga liier yag sagat lemah atara kedua variabel ordial X da Y.. Taksira Maksimum Likelihood Defiisi... Misalka X, X,...., X suatu sampel radom dari distribusi dega p.d.f. f ( x; θ ). P.d.f. gabuga dari X, X,...., X adalah Meaksir koefisie kolerasi..., Siska Wuladari, FMIPA UI, 008

14 8 f x; θ ) f ( x ; θ )... f ( x ; θ ). P.d.f gabuga ii dapat dipadag sebagai ( suatu fugsi dari parameter θ. Fugsi dari parameter θ ii disebut sebagai fugsi likelihood dari suatu sampel radom X, X,...., X. Fugsi likelihood dari suatu sampel radom X.,, X,... X dapat ditulis sebagai berikut : L ( θ ; x, x,..., x ) = f ( x; θ ) f ( x; θ )... f ( x; θ ) (..) Nilai dari θ yag memaksimumka fugsi likelihood ii dapat dicari. Karea fugsi likelihood ii dapat mejelaska probabilitas suatu kejadia X = x, X = x,, X = x. maka ilai dari θ yag memaksimumka fugsi likelihood ii adalah ilai θ yag memaksimumka probabilitas X = x, X = x,, X = x. Oleh sebab itu, ilai θ tersebut merupaka taksira yag baik utuk ilai parameter θ yag sesugguhya. Defiisi... Misalka terdapat suatu fugsi dari x x,..., x, yaitu, u x, x,..., x ) sedemikia sehigga ketika θ digati dega ( u ( x, x,..., x ), fugsi likelihood L maksimum. Dega kata lai [ u( x, x x )] lebih besar atau sama dega L ( ; x, x,..., x ) L,..., θ utuk Meaksir koefisie kolerasi..., Siska Wuladari, FMIPA UI, 008

15 9 setiap θ, maka statistik u x, x,..., x ) disebut sebagai taksira maksimum ( likelihood dari θ da diotasika dega θˆ ( Hogg da Craig, 995). Utuk mecari θ yag memaksimumka fugsi likelihood L (θ ) maka fugsi likelihood L (θ ) harus dituruka terhadap θ da disamaka dega ol. Gua mempermudah perhituga dalam pecaria θ, fugsi likelihood L (θ ) dapat ditrasformasika ke betuk fugsi yag lai, dega syarat ilai θ yag memaksimumka fugsi hasil trasformasi juga harus memaksimumka fugsi likelihood L (θ ) awal. Salah satu fugsi yag serig diguaka utuk metrasformasika fugsi likelihood L (θ ) adalah fugsi l L ( θ ). Meaksir koefisie kolerasi..., Siska Wuladari, FMIPA UI, 008