Abstract: Given a graph G ( V,

Transkripsi

1 PELABELAN SUPER GRACEFUL UNTUK BEBERAPA GRAF KHUSUS Prias Tri Ajar Ajai, Robertus Heri SU, Bayu Surarso,, Jurusa Mateatika Uiversitas Dipoegoro Jl. Prof. Soedarto, SH, Tebalag, Searag 7 Abstract: Give a graph G ( V, E), super graceful labelig is bijective fuctio f : V( G) E( G),,,, p q such that f ( uv) f ( u) f ( v) for every edge uv E(G). A graph G that has a super graceful labelig called a super graceful graph. I this fial paper discuss about super graceful labelig for special graphs graph P, graph P (), graph P + e, graph C graph P,,,, graph K,, ad graph Cocout tree. Keywords: Graph labelig, super graceful labelig, super graceful graph. I. Pedahulua Graf erupaka salah satu cabag ateatika yag berkebag pesat saat ii. Bayak peeua-peeua baru tetag graf seperti berbagai aca graf, aca-aca pelabela graf da cara elabelkaya. Pelabela graf pertaa kali dikealka oleh A.Kotsig da Rosa (967). Pelabela pada graf G adalah peberia ilai vertex da edge pada grafg. Ada bayak pelabela yag telah dikebagka, diataraya pelabela super graceful. Pelabela super graceful erupaka peetaa bijektif f : V( G) E( G),,,,, p q sedeikia sehigga f ( uv) f ( u) f ( v), utuk setiap sisi uv E(G). Sebuah graf G disebut graf super graceful jika erupaka pelabela super graceful. II. Pebahasa Defiisi. Pelabela graceful dari graf G ( V, E) adalah peetaa ijektif f : V( G) 0,,,,, q, q E(G) sedeikia sehigga f ( uv) f ( u) f ( v), utuk setiap uv E(G) sehigga label sisi yag dihasilka berbeda. Cotoh. v v 0 v v Gabar. Graf graceful

2 Defiisi. Pelabela super graceful dari graf G adalah peetaa bijektif f : V( G) E( G),,,, p q sedeikia sehigga f ( uv) f ( u) f ( v), utuk setiap sisi uv E(G). Sebuah graf G yag eiliki pelabela super graceful disebut graf super graceful. Cotoh. v v 6 7 Teorea. Graf P adalah graf super graceful. Bukti: Misal P da E( P ). v v Gabar. Graf super graceful v v v v path dega pajag, dega V( P ) Pelabela titik utuk graf P ( ) didefiisika dega: j, j, j 0(od) f v j = j, j, j (od) Pebuktia bahwa graf P adalah graf super graceful, aka dibagi ejadi dua kasus. Kasus, adalah bilaga gajil. Hipua label titik pada graf P, adalah: V = f v j j 0(od ) V = f v j j (od ) = j j 0(od ) = j j (od ) Hipua label sisi pada graf P, adalah: E = f v j v j + j 0 o d = ( j) j =0(od ) =,,,, =,,,

3 =,, 6,, E = f v j v j + j (od ) = j j od = ( ), ( ), ( ),, Terbukti utuk bilaga gajil, f : V E,,, p q,,, bijektif da f ( uv) f ( u) f ( v) sehigga graf P erupaka graf super graceful. Kasus, adalah bilaga geap Hipua label titik pada graf P, adalah: V = f v j j 0(od ) V = f v j j (od ) = j j 0(od ) = j j (od ) Hipua label sisi pada graf P, adalah: E = f v j v j + j 0(od ) = j j 0 od =,, 6,, E = f v j v j + j (od ) = j j od = ( ), ( ), ( ),, =,,,, =,,, + Terbukti utuk bilaga geap, f : V E,,, p q,,, bijektif da f ( uv) f ( u) f ( v) sehigga graf P ( ) erupaka graf super graceful. Dari kedua kasus diatas, dapat dilihat bahwa seua hipua label titik euat ilai gajil da seua hipua label sisi euat ilai geap. Terbukti, graf P adalah graf super graceful. Cotoh. a) Graf P adalah graf super graceful.

4 v v v v v 9 b) Graf P6 adalah graf super graceful. 6 7 Gabar. Graf P v v v v v Gabar. Graf P 6 7 v 6 Teorea. Graf P () adalah graf super graceful utuk da. Bukti: Misal v,, v, v, v adalah titik dari path adalah titik yag eggatug pada setiap v i, V( P ( )) ( ) da E( P ( )) ( ). P da Pelabela titik utuk path P () didefiisika dega: + i, i, i 0(od ) f v i = + + i, i, i (od ) Pelabela titik utuk titik-titik yag eggatug pada setiap dega: Utuk i da i 0 od, f u i,j = + + i (j + ), j da Utuk i da i od, f u i,j = + i + j, j. u i,, ui,,, ui, i. Dega Selajutya dikelopokka hipua label titik da sisi sebagai berikut. Hipua label titik pada graf (), adalah: V = f v i i 0 od P = + i i 0 od Utuk geap diperoleh = +, +,, + Utuk gajil diperoleh = +, +,, + V = f v i i (od ) = + + i i (od ) vi didefiisika Utuk geap diperoleh = +, + ( ),, + ( + ) 6

5 Utuk gajil diperoleh = +, + ( ),, + ( + ) V = f u i,j i 0 od = + + i (j + ) i 0 od Utuk geap diperoleh = +, +,, + ( + ) +,, + ( + 0) + +,, + + ( + ) Utuk gajil diperoleh = +, +,, + ( + ) +,, + ( + 0) + +,, + + ( + ) V = f u i,j i od = + i + j i od Utuk geap diperoleh =,,,, + +, +,, + + +,, + + Utuk gajil diperoleh =,,,, + +, +,, + + +,, + + Hipua label sisi pada graf (), adalah: E = f v i v i+ i 0(od ) P = + i ( + + i ) i 0 od Utuk geap diperoleh = + ( ), +, + 6,,( + ) Utuk gajil diperoleh = + ( ), +, + 6,,( + ) 7

6 E = f v i v i+ i (od ) = + + i ( + i + ) i od Utuk geap diperoleh = + ( ), +,,,( + ) Utuk gaji diperoleh = + ( ), +,,,( + ) E = f v i u i,j i 0(od ) = + i,,( + i i 0 od Utuk geap diperoleh = {(( + )( + ) ),(( + )( + ) ),,(( + ) ( + ) ) {(( + ) ),(( + ) ),,} Utuk gajil diperoleh = ( + )( + ) ),(( + )( + ) ),,(( + ) ( + ) )} +,, + E = f v i u i,j i od = + + i ( + i + j ) i od Utuk geap diperoleh = +, +,, + ( +,,( + +, +,, + Utuk gajil diperoleh = +, +,, + ( +,,( + +, ( + ),, Terbukti utuk bilaga geap da gajil, f : V E,,, p q,,,,( ) bijektif da f ( uv) f ( u) f ( v) sehigga graf P () erupaka graf super graceful.

7 Dari hasil diatas, dapat dilihat bahwa seua hipua label titik euat ilai gajil da seua hipua label sisi euat ilai geap. Terbukti, graf P () adalah graf super graceful. Cotoh. Graf P () adalah graf super graceful. v v v 6 7 v , u u,, u, u, u, u, u, u,, u, u, u Teorea. Graf P e Gabar. Graf P () diaa e vu adalah super graceful utuk. u Bukti: Misal v, v, v,, v adalah titik dari path dega pajag da u, u, u,, u icidet berturut-turut dega titik v, v, v,, v. Dega V( P e ) da E( P e ). Pebuktia bahwa graf P e adalah graf super graceful dibagi ejadi dua kasus. Kasus, adalah bilaga gajil Pelabela titik utuk graf P e defiisika dega: f u = da f v = + i, i, i 0(od ) f v i = + i, i, i (od ) + i, i, i 0 od f u i = i, i, i od Selajutya dikelopokka hipua label titik da sisi sebagai berikut. Hipua label titik pada graf P e, adalah: V = f u = da V = f v = V = f v i i 0(od ) V = f v i i (od ) = + i =,,,, i 0(od ) = + i i (od ) 9

8 =,, +,, V = f u i i= i 0(od ) = + i i 0(od ) = +, +, + 6,, V 6 = f u i i= i (od ) = i i (od ) =, 6,, + Hipua label sisi pada graf P e, adalah: E = f v i v i+ i 0(od ) =, +,, 6 E = f v i v i+ i (od ) = ( + i ) i 0 od = ( + i ) i od =, +, + 6, E = f v i u i i= i 0(od ) =, 6,, E = f v i u i i= i (od ) = i i= i 0 od = i i= i od =,,, 6 E = f u v = + = Terbukti utuk bilaga gajil, f : V E,,, p q,,, bijektif da f ( uv) f ( u) f ( v) sehigga graf P e erupaka graf super graceful. Kasus, adalah bilaga geap Pelabela titik utuk graf P e defiisika: f u = da f v = + i, i, i 0(od ) f v i = + i, i, i (od ) 90

9 i, i, i 0(od ) f u i = + i, i, i (od ) Selajutya dikelopokka hipua label titik da sisi sebagai berikut. Hipua label titik pada graf P e, adalah: V = f u = da V = f v = V = f v i i 0(od ) = + i i 0(od) =, +, +,, V = f v i i (od ) = + i i (od ) = +,,,, V = f u i i= i 0(od ) = i i= i 0(od ) =,, 7,, + V 6 = f u i i= i (od ) = +, +,, = + i i= i (od) Hipua label sisi pada graf P e, adalah: E = f v i v i+ = + i i 0(od ) =, +,, E = f v i v i+ i (od ) =, +,, 6 E = f v i u i i= i 0(od ) = i i= i 0 od =, 6, 0,, 6 i 0 od = ( + i ) i=0 i od 9

10 E = f v i u i i= i (od ) =,,, = i i= i od E = f u v = f u f v = Terbukti utuk bilaga geap, f : V E,,, p q,,, bijektif da f ( uv) f ( u) f ( v) sehigga graf P e erupaka graf super graceful. Dari kedua kasus diatas, dapat dilihat bahwa seua hipua label titik euat ilai gajil da seua hipua label sisi euat ilai geap. Terbukti, graf P e adalah graf super graceful. Cotoh. a) Graf P e adalah super graceful. v v v v v b) Graf P6 e adalah super graceful. 7 9 u u u u Gabar.6 Graf P e v v v v v v u u u u u6 Gabar.7 Graf P6 e Teorea.6 Setiap graf sikel C adalah graf super graceful. 9

11 Bukti: Misal V C ) u, u, u,, ( u, dega V( C ) da E( C ). Pebuktia bahwa sikel C adalah graf super graceful, aka dibagi ejadi dua kasus. Kasus, adalah gajil, yaitu utuk. Pelabela titik utuk graf sikel C defiisika dega: f u i = i, i f u i = + i, i f u = da f u + = + Selajutya dikelopokka hipua label titik da sisi sebagai berikut. Hipua label titik pada sikel C, adalah: V = V = f u i f u i = i = + i V = f u = V = f u + = + Hipua label sisi pada sikel C, adalah: E = f u i u i = i =, 6, 0,,6 E = f u i u i+ = ( i) =,,,, = ( ),( ),, E = f(u u = = + E = f(u u + = ( + ) = E = f(u + u = + = + =,,, + Terbukti utuk bilaga gajil, f : V E,,, p q,,, bijektif da f ( uv) f ( u) f ( v) sehigga graf C erupaka graf super graceful Kasus, adalah bilaga geap, yaitu utuk 9

12 Pelabela titik utuk graf sikel C defiisika dega: f u i = i, i f u i = i, i f u = da f u + = Selajutya dikelopokka hipua label titik da sisi sebagai berikut. Hipua label titik pada sikel C, adalah: V = V = f u i f u i = i = i =,,, + V = f u = V = f u = Hipua label sisi pada sikel C, adalah: E = f u i u i = ( i) = ( ),( ),, =,,,, E = f u i u i+ = i (i + ) = 6, 0,,6 E = f(u u = f u f u = + = E = f(u u = f u f u = E = f(u u = f u f u = Terbukti utuk bilaga geap, f : V E,,, p q,,, bijektif da f ( uv) f ( u) f ( v) sehigga graf C erupaka graf super graceful. Dari kedua kasus diatas, diperoleh seua hipua label titik da seua label sisi berbeda. Terbukti, graf sikel C adalah graf super graceful. Cotoh.6 Graf C 6 adalah super graceful. 9

13 u u 6 9 u 0 6 u Gabar. Graf C6 Teorea.7 7 Graf P (,,, ) adalah graf super graceful utuk. 7 u u Bukti: Misal G P (,,, ), dega ( ) E ( G) ( ). Pelabela titik utuk graf G didefiisika dega: ( ) V ( G) da + + f v i = i +, i, i (od ) i(i + ), i, i 0(od ) Utuk i da i 0(od) f u i,j = + + i j, j i Utuk i da i (od ) f u i,j = i (i+) + j, j i Selajutya dikelopoka hipua label titik da sisi sebagai berikut. Hipua label titik pada graf G, adalah: V = f v i i od Utuk gajil diperoleh = + + i + i (od ) = +, + 7, + 7,, + + Utuk geap diperoleh = +, + 7, + 7,,

14 V = f v i i 0(od ) = i 0(od ) Utuk gajil diperoleh =,,,, Utuk geap diperoleh =,,,, + i i(i + ) V = f u i,j i 0 od i = + + i j i 0 od Utuk gajil diperoleh = + j; j + 7 j; j + + j; j Utuk geap diperoleh = + j; j + 7 j; j j; j V = f u i,j = i od i od i i i (i + ) + j Utuk gajil diperoleh = j ; j = + j; j + j; j + j; j Utuk geap diperoleh = j ; j = + j; j + j; j + j; j 96

15 Hipua label sisi pada graf G, adalah: E = f v i v i+ i od ) = + + (i + i + ) i od Utuk gajil diperoleh = +, +,, + Utuk geap diperoleh = +, +,, + E = f v i v i+ i 0od ) = i + i i 0 od Utuk gajil diperoleh = + 0, +,, + Utuk geap diperoleh = + 0, +,, + E = f v i u i,j i (od ) i i = + + j i(i + ) i od Utuk gajil diperoleh = + +, +, + 6,,, Utuk geap diperoleh = + +, +, + 6,,, + E = f v i u i,j i 0 od i 97

16 i = i i + + j ( + + ) i 0 od Utuk gajil diperoleh = + 6, +,,, + Utuk geap diperoleh = + 6, +,,,, Terbukti utuk bilaga gajil da bilaga geap, f : V E,,,, p q,,,, bijektif da f ( uv) f ( u) f ( v) sehigga graf P (,,, ) erupaka graf super graceful. Dari kedua kasus diatas, diperoleh seua hipua titik berilai gajil da seua hipua sisi berilai geap. Terbukti, graf P (,,, ) adalah graf super graceful. Cotoh.7 Graf P (,,, ) adalah super graceful. v v 7 v v u, u, u, u, u, u, 9 7 u, u, u, u, Gabar.9 Graf P (,,, ) Teorea. 7 Setiap graf bipartit koplit K, (, ) adalah graf super graceful. Bukti: Misal V V V diaa V u, u, u,, u da V v v, v,,. Dega V( K, ) da E K ), v Pelabela titik utuk graf K, didefiisika dega: (, f u i = i, i da f v j = + + j, j 9

17 Selajutya dikelopokka hipua label titik da sisi sebagai berikut. Hipua label titik pada graf K,, adalah: V = V = f u i f v j = i =,,, = + + j = + +, + +,, + ( + ) Hipua label sisi pada graf K,, adalah: E = f u i v j = + + j i = + +, + +,, , + +,, + + +, +,, + bijektif da f ( uv) f ( u) f ( v) sehigg graf K, erupaka graf super graceful. Terbukti f : V E,,,, p q,,,, ( ) Diperoleh seua hipua label titik da hipua label sisi berbeda da gabugaya adalah,,,, ( ). Terbukti, graf K, (, ) adalah graf super graceful. Cotoh. Graf K, adalah super graceful. 6 u u u v v Gabar.0 Graf K, v 99

18 Teorea.9 7 Graf Cocout tree adalah graf super graceful. Bukti: Pelabela titik utuk graf G didefiisika dega: i + j, j i, da j 0(od ) f v j = j, j i, da j (od ) f v k = k, i + k. Selajutya dikelopokka hipua label titik da sisi sebagai berikut. Hipua label titik graf G, adalah: i V = f v j j 0 od Utuk i geap diperoleh = i, i,, i + Utuk i gajil diperoleh = i, i,, i + i V = f v j j od Utuk i geap diperoleh =,,,, i Utuk i gajil diperoleh =,,,, i V = k=i+ f v k i = i + j j 0 od i = j j od = k k=i+ Utuk i geap diperoleh = i +,i +,, Utuk i gajil diperoleh = i +,i +,, Hipua label sisi garf G, adalah: i E = f v j v j + j 0 od Utuk i geap diperoleh = i, i,, i = (i j) j 0 od 00

19 Utuk i gajil diperoleh = i, i,, i E = f v j v j + j od Utuk i geap diperoleh = i, (i ),, Utuk i gajil diperoleh = i, (i ),, E = f v k v k=i+ i = (i j) j 0 od = k k=i+ Utuk i geap diperoleh = i, i +, i +,, Utuk i gajil diperoleh = i, i +, i +,, Terbukti utuk bilaga i geap da gajil, f : V E,,,, p q,,, bijektif da f ( uv) f ( u) f ( v ) sehigga graf Cocout tree erupaka graf super graceful. Dari kedua kasus diatas, diperoleh seua hipua label titik berilai gajil da seua hipua label sisi berilai geap. Terbukti, graf Cocout tree dalah graf super graceful. Cotoh.9 Graf Cocout tree utuk i da 9adalah graf super graceful. 0

20 v 6 v 7 v v 9 0 v 6 7 v v v Gabar. Graf Cocout tree utuk i da 9 v III. Kesipula Berdasarka pebahasa egeai pelabela super graceful utuk beberapa graf khusus, dapat diabil kesipula yaitu setiap hipua titik berlabel gajil da hipua sisiya berlabel geap, kecuali utuk graf C da graf K,. Utuk graf C tidak eiliki hipua label sisi geap da hipua label titik gajil karea pada graf C julah bayakya titik da sisi berilai geap, aka label titikya tidak seuaya berilai gajil begitu juga dega graf K, yag eiliki julah bayakya titik da sisi dapat berilai gajil atu geap aka label titikya tidak seuaya berilai gajil. IV. Referesi [] Arifi, Achad Aljabar. Badug: ITB. [] Bartle, Robert G da Doald R. Sherbert Itroductio to Real Aalysis Third Editio. New York:Joh Willey ad Sos. [] Baskar Babujee, J. da V. Vishupriya. 0. O A-Vertex Cosecutive Edge Biagic Labelig i Graphs. Europea Joural of Scietific Research, Vol.6, No., hal -9. [] Chartrad, G da L. Lesiak Graphs ad Digraphs, rd ed, Chapa & Hill. Lodo. 0

21 [] Dwi Asyai, Destia. 0. Pelabela Q a P(b)-super graceful-sisi pada graf kubus hiper Q k utuk k. Searag: FMIPA Uiversitas Dipoegoro. [6] Ghafur, Abdul. 00. Pelabela Super Edge-graceful pada path da fa graph. Searag: FMIPA Uiversitas Dipoegoro. [7] Perual, M.A, Navaeethakrisha, S, Arockiaraj, S da Nagaraja.A. 0. Super Graceful Labelig for Soe Special Graphs. IJJRAS, Vol.9, hal -0. [] Perual, M.A, Navaeethakrisha, S, Arockiaraj, S da Nagaraja.A.. 0. Super Graceful Labelig for Soe Siple Graphs. Joural of Matheatics ad Soft Coputig, Vol.,No.,hal -9. [9] Rose, Keeth H Discrete Matheatics ad Its Applicatio. edisi ke-7. New York: McGraw. Hill. [0] Seputro, Theresia MH Tirta. 99. Graf Pegatar. Surabaya :Uiversity Press IKIP. [] Susilo, Fras Hipua da Logika Kabur serta Aplikasiya. Yogyakarta : Graha Ilu [] Wilso, J. Robi ad Joh J. Watski Graphs A Itroductory Approach. New York : Uiversity Course Graphs, Network, ad Desig [] Yisiato, Babag da Irawato, Babag. 00. Buku Ajar Mateatika Diskret I. Searag: FMIPA Uiversitas Dipoegoro. 0