3.1. Pengembangan Fungsi Legendre

Transkripsi

1 3.Fugsi egedre 3.. egebaga fugsi egedre 3.. Sifat-sifat Fugsi egedre 3.3. egedre Asosiasi 3.4. Haroik Sferis 3.5. Operator Moetu Agular

2 3.. egebaga Fugsi egedre Fugsi egedre dapat lagsug dikebagka dari basis fisika aki elektrostatik: ϕ ϕ 4πε q r 3. r r q a

3 Dala koordiat polar r da : ϕ q 4πε / r a ar cos 3. Dapat diekspasika dala polioial : ϕ q 4πε cos a r Disii adalah polioial egedre da dapat didefiisika: / g t t t t t < gt erupaka fugsi geerator utuk polioial egedre

4 Fugsi geerator dapat diekspasika: t t /! t t!!! t t!! 3.4 t t! t! Ekspasi bioial dari eghasilka deret dobel: t t / k k k k!! k!! k! k! k k! t k k t 3.5 k

5 Dapat diatur uruta suasi: t t / [ / ] k k k Badigka dega 3.4 diperoleh: k! k! k! k! k t 3.6 [ / ] k k k! k! k! k! k 3.7 Dapat dievaluasi lagsug beberapa utuk kecil. 3

6 Kebali ke asalah elektrostatis utuk kasus dipole: ϕ ϕ q 4πε r r r r r -q -a q a

7 4 r r q πε ϕ Diekspasika sesuai cosius utuk r>a : / / cos cos 4 r a r a r a r a q πε ϕ Jelas bahwa suku kedua serupa dega pertaa kecuali dega eggati a ejadi a. Guaka 3.4 aka diperoleh: cos cos 4 r a r a q πε ϕ 3.

8 3 q a a ϕ cos 3 cos... 4πε r r 3. Suku pertaa da suku palig doia kalau r>>>a adalah : ϕ aq 4πε cos r 3. Yag erupaka potesial dipol listrik ag sudah biasa dikeal. Disii aq erupaka oe dipol.

9 elajari sediri: Multipol listrik liear olioial Gegebauer - / T / t t! π t 3.3

10 atiha Kebagka potesial listrik dari dereta uata ag ebetuk kuadrupol: q -a -q q a Guaka E ϕ utuk edapatka kopoe-kopoe eda listrik sebuah dipole listrik. Aggap r>>>a.

11 3.. Sifat-sifat Fugsi egedre Hubuga Rekursi da Sifat-sifat Khusus Seperti pada fugsi Bessel fugsi geerator pada polioial egedre dapat diafaatka utuk egebagka hubuga rekursi g t t t / Turuka terhadap t: g t t t t t 3/ t Dapat disusu ejadi: t t t t t 3.4

12 Seterusa buktika!: Iilah hubuga rekursi tiga suku seperti pada fugsi Bessel. Misal utuk : Dari hal ii: Nilai utuk orde ag lebih tiggi secara iterasi.

13 olioial egedre Secara aual tekik eghitug polioial egedre dapat ebosaka. Nau dega koputer digital hal ii dapat udah dilakuka: ]/ [ 3.6

14 ersaaa Diferesial 3/ ' t t t t t g Sifat-sifat lai polioial egedre dapat diperoleh dega diferesiasi fugsi geerator: ' t t t t t atau 3.7 dari hal ii: ' ' ' 3.8

15 Diferesiasika 3.5 terhadap keudia kalika dua da gabug dega persaaa 3.8 didapat: ' ' 3.9 Gabuga 3.5 da 3.9 eghasika aca-aca relasi diataraa: ' ' ' ' ' '

16 Diferesiasika 3. da guaka 3. utuk eghilagka - diperoleh p.d. orde-: " ' 3.4 ersaaa terakhir iilah ag disebut dega persaaa diferesial egedre. Dala baak kasus di Fisika pers. egedre serig juga diataka dala diferesiasi terhadap dega cos d d si si d cos d cos 3.5

17 Kebali ke fugsi geerator: g t t t / t Utuk dapat dievaluasi: g t t t / t t Dapat disipulka: 3.6 Juga dapat dibuktika dega cara serupa: 3.7

18 Bila aka dapat dievaluasi: g t t / t Seetara kita ketahui bahwa: t / t 3 8 t ! t... Maka:.3...!!!!! 3.8

19 aritas Dapat dibuktika dega udah bahwa: g-t- gt

20 atiha ihat Arfke. Tujukka bahwa etujuk dala koordiat polar sferis:. Tujukka bahwa: cos r t t t 3/ cos r cos r t si r Hasil ii berafaat utuk eghitug uata teriduksi pada bola etal oleh suatu uata titik q.

21 Ortogoalitas Fugsi egedre ersaaa differesial egedre 3.4: dapat ditulis: Kalika dega keudia itegrasi dega batas - sapai didapat: ' " ] ' [ d d ] [ ] ' [ ] ' [ d d d d d d

22 Karea faktor - aka suku sebelah kiri sehigga: [ ] Utuk aka: d d tapak ortogoalitas pada iterval [-]. Masih harus dihitug utuk jelas itegral tidak saa dega ol Bagaiaa ecaria?

23 Dari fugsi geerator: t t t Itegrasika dari - sapai aka suku bersilag aka ejadi ol sehigga: d t t Misalka -tt didapat: d t t t [ ] t t d d l t t t t

24 Ekspasika dala deret pagkat: Sehigga dapat disipulka badigka 3.34 da 3.36: Jadi: l t t t [ ] t d d δ

25 Defiisi alteratif utuk polioial egedre elajari sediri forula Rodrigues d! d 3.38 atiha: Cek utuk beberapa kecil.

26 Cotoh-cotoh pegguaa di Fisika. Meda Gravitasi Bui Salah satu pegguaa deret egedre adalah utuk ejelaska potesial gravitasi Bui. Dega R radius equator 6378 ± k GM R Dapat ditulis: GM R U r R r 6494 ± k / s R cos a r

27 . Bola dala Meda Uifor E roble: ecari potesial ag terdistorsi karea ada bola koduktor dega radius r.

28 otesial elektrostatik eeuhi pers. aplace: V Guaka etode separasi variabel lihat. Fisika Mateatika II pada koordiat polar sferis: cos cos V ar b r Megapa tidak ada ketergatuga ϕ? Bagaiaa ecari koefisie a da b? Guaka sarat batas kodisi fisis.

29 V a r cos b cos r Bila eda origial tak terdistorsi adalah E aka: Vr E E r cos E r cos Karea deret egedre adalah uique aka dapat disipulka: a utuk > a E

30 Kita dapat eilih pada bola koduktor da bidag π/ potesial sehigga: Supaa hal ii bisa terjadi aka seua koefisie cos harus ol. a b b utuk E cos cos r b r E r b r b a r r V

31 Da juga b E r 3 otesial elektrostatik di luar bola ejadi: V E E r cos r cos E r r 3 ada teori Meda Elektroagetik hasil ag saa dapat dikerjaka dega etode baaga detail lihat Jackso. r r 3 3 cos

32 Sebagai iforasi tabaha kerapata uata perukaa teriduksi dapat dihitug: σ ε V r r r cos Moe dipole listrik teriduksi: 3ε E 4πr ε E 3

33 elajari sediri 3. otesial istrik Muata Cici

34 3.3. Fugsi egedre Asosiasi Fugsi egedre Asosiasi dapat dikebagka dari fugsi egedre: ' " Dituruka sebaak kali aka diperoleh: ' " u u u Dega: d d u 3.39 Sekarag kalau kita abil: / / d d u v 3.4

35 Masukka ke 3.3 latiha!!! aka diperoleh: ' " v v v ers erupaka p.d. egedre asosiasi ag aka kebali ejadi egedre bila. Dala koordiat polar egedre asosiasi ejadi: 3.4 si si si v d dv d d 3.4

36 Solusi reguler dilabelka kebali adalah: / d d v Beberapa fugsi egedre asosiasi: 3 3/ / 3 3 / / 5si 5 si 5cos 5 si 5cos 5 3si 3 si 3cos 3 si 3.43

37 da dihubugka dega:!! da jelas bahwa: Terdapat juga fugsi geerator utuk egedre Asosiasi au aat sagat jarag diguaka di Fisika.

38 Hubuga Rekursi: Karea ada dua ideks da aka ada aca-aca variasi hubuga rekursi. Beberapa diataraa dapat dilihat di Arfke. Misal: 3.46

39 aritas Fugsi egedre Asosiasi: Ortogoalitas Fugsi egedre Asosiasi: q p q p q q q d!! δ atau dala koordiat polar: q p q p q q q d!! si cos cos δ

40 Cotoh kasus di Fisika: Meda iduksi aget dari loop arus I ϕ r A otesial vektor: da μ Idλ 4π r 3.5 Dari arguetasi sietri tapak bahwa A haa epuai kopoe ϕ da idepede dari ϕ. dλ A ϕ A ϕ r ˆ 3.5

41 ersaaa Mawell: H J D / t pada satua MKS 3.5 μ H B A Karea aka: A μ J Disii J adalah rapat arus. ada asalah ii ilai J adalah ol kecuali pada loop itu sediri. Jadi utuk ag jauh dari loop: ˆ ϕ A ϕ r Dala koordiat sferis: Aϕ Aϕ Aϕ ˆ ϕ A ˆ ϕ r ϕ r r r r r cot A 3.55 ϕ

42 Guaka etode separasi variabel: Didapat d R dr r r R dr dr d Θ dθ Θ cot Θ d d si A ϕ r R r Θ ersaaa ag kedua erupaka egedre asosiasi dega Θ cos 3.58 Kostata separasi dipilih utuk ebuat solusi ii well behaved.

43 Solusi trial Rr r α didapat α. Solusi pertaa diverge ketika r. Sehigga solusi ag sesuai: cos cos ϕ r a c r b A da: cos r a c r A ϕ Dari potesial vektor ii dapat dicari eda aget latiha!!

44 3.4. Haroik Sferis Dala separasi variabel dari a pers. aplace b pers. gelobag klassik bergatug ruag da c pers. gelobag Schrodiger utuk gaa setral ψ k f r ψ 3.6 Ketergatuga agular datag sepeuha dari operator aplacia adalah: Φ ϕ d dθ si si d d Θ d Φ ϕ ΘΦ ϕ si dϕ 3.6

45 Ketergatuga aiutal: Φ ϕ d Φ ϕ dϕ 3.63 Dega solusi: Φ ϕ iϕ iϕ e e Yag eeuhi kodisi ortogoalitas: π iϕ e e i ϕ dϕ πδ Dapat dibuktika dega arguetasi fisis isal dala elektrostatik da kuatu bahwa harus erupaka bilaga bulat buktika!

46 ers eutu kepada: Φ ϕ e π iϕ 3.66 ag erupaka ortooral ortogoal da teroralisasi terhadap sudut aiuth ϕ Ketergatuga pada Sudut: Kita lihat kebali ortogoalitas fugsi egedre Asosiasi pada pers atau Kita dapat defiisika fugsi ortooral dari egedre asosiasi aki: cos!! cos 3.67

47 Ketergatuga pada sudut dari solusi pers. 3.6 ejadi: cos Φ ϕ Hal terakhir disebut Haroik sferis ag dapat ditulis ejadi: Y φ 4π!! / cos e iφ 3.68 Disii diasukka suku fasa - utuk eesuaika da eudahka pada perhituga real di baak kasus Fisika.

48 ϕ ϕ ϕ π φ π φ π φ π φ π φ i i i e Y e Y Y e Y Y 3si 96 5 si 8 3 cos 4 3 si Tabel beberapa Haroik Sferis: Selegkapa dapat dilihat di Arfke.

49 3.5. Operator Moetu Agular Dala Mekaika Kuatu kosep oetu agular eegag pera ag sagat petig serupa dega ag terjadi pada Mekaika Klassik disii oetu agular dihubugka dega torsi. Nau dala Mekaika Kuatu kita egeksplorasi Hailtoia klassik ag haa tergatug pada oetu agular.

50 Sekarag perhatika sebuah partikel klassik ag bergerak dala perukaa bola partikel boleh keaa saja selaa tetap berada jarak kosta R dari pusat bola. Jadi variabel ag tersisa dala koordiat polar haa ϕ. r p osisi partikel Rϕ oetu p φ

51 Dala kasus ii oetu selalu tegak lurus posisi: p r Vektor oetu agular klassik: r p Sekarag kita lihat kuadrat dari oetu agular: r p r p r rp p r pp r r p R p Tidak ada eergi potesial pada asalah ii haa eergi kietik. Hailtoia utuk geraka ii: H p R I dega I erupaka oe iersia.

52 Defiisi klassik utuk oetu agular r p eberika kopoe: p p p p p p p Operator oetu seperti biasaa ditulis: p ih / atau dala tiga diesi ih

53 Sekarag dapat kita evaluasi beberapa koutator: [ ] [p p ] [p ] i h [ p ] [p p p ] [ p ] p i p [ ] [ p ] da asih baak lagi koutator serupa. h

54 ih p ] [ h i p ] [ h i p ] [ Hubuga ii dapat dirigkas: * posisi da oetu: juga da [ p ] juga [ p ][ p ][ p ][ p ] [ p ] i i i i i i h h h h h h ] ;[ ] ;[ ] [ ] ;[ ] ;[ ] [ ] [ ] [ ] [ p i p p i p p i p p i p p i p p i p p p p h h h h h h ] ;[ ] ;[ ] [ ] ;[ ] ;[ ] [ ] [ ] [ ] [ * posisi da oetu agular: * oetu da oetu agular:

55 Sekarag kita guaka koutator-koutator tersebut utuk eelesaika hubuga koutasi atar kopoe. Misala: [ ] [ p p ] [ ] p [ p ] ih p ihp ih Dega udah dapat dibuktika juga: [ ] ih da [ ] Secara sibolik dapat ditulis: ih 3 [ i j ] ihε ijk k dega ijk ε ijk adalah evi civita ag berilai utuk perutasi geap/ siklis da utuk perutasi gajil/ atisiklis serta berilai ol kalau ada ideks ag saa.

56 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ i i i i h h h h Sekarag kita lihat kuadrat dari oetu agular Evaluasi koutator berikut: Dapat dibuktika juga berlaku utuk da ] [ i i

57 Karea berkoutasi dega seua kopoe oetu agular kita dapat teuka eigestate siulta dari da salah satu kopoe. Biasaa dipilih da. Aggap harga eige asigasig λ da : λ λ λ λ ħ λ Dala represetasi ϕ fugsi eige: ϕ λ ψ λ ϕ

58 Kita dapatka: ϕ λ λ ϕ λ ϕ λ ħ ϕ λ Utuk eelesaika asalah ii aka perlu eataka da dala represetasi ϕ. Berikut aka dibuktika bahwa represetasi ϕ λ atau ψ λ ϕ adalah haroik sferis Y φ λ

59 da dala represetasi ϕ: ϕ h i si si si ϕ h Tapak bahwa: φ φ l l Y Y h φ φ l l Y l l Y h

60 edekata Operator Secara Uu Sekarag kita tijau etode operator sebut saja triplet operator oetu agular J J J ag tidak tergatug pada represetasi. Ketiga operator ii tidak terbatas pada ag didefiisika dari hubuga Klassik. Hubuga koutasi: [J J ] iħj siklis Kita defiisika: J J J J

61 Maka seperti sebelua: [J J i ] i atau Sekarag kita pilih eigestate ag erupaka eigestate siulta utuk J da J dega harga eige λ J da ħ. J λ J λ J λ J J λ J ħ λ J alu kita defiisika operator o-heritia: J J ij J J ij

62 Koutasi dega J dapat dega udah dievaluasi: [J J ] ħj ; [J J ] ħj [J J ] ħ J ebih lajut dapat dibuktika latiha! J J J J ħj J J J J ħj egeala pada J J tidaklah begitu aeh karea serupa pada kasus operator tagga aik/turu dala osilator harois aka dibahas pada bab berikuta

63 Dari relasi koutasi diperoleh J J J J ħ Sehigga: J J λ J J J ħ λ J ħ J λ J Tapak bahwa J λ J erupaka eigestate dari J ag eiliki harga eige ħ. Oleh karea itu J disebut sebagai operator tagga aik.

64 Hal serupa dapat dibuktika J J λ J ħ J λ J Jadi J erupaka operator tagga turu. Dapat ditulis: J λ J cλ J λ J J λ J dλ J λ J Dega c da d erupaka kostata ag harus dihitug.

65 Sebelu eghitug itu kita lihat bahwa ilai pua batas bawah da batas atas. Hal ii secara udah dibuktika dega keataa bahwa harga ekspektasi J J tidak bisa egatif atau: λ J J J λ J λ J J J λ J λ J ħ Jadi ħ λ J artia utuk ilai λ J tertetu ilai dibatasi aki ada i da a.

66 Di atas a tidak ada keadaa lagi artia: J λ J a da juga J J λ J a atau J J ħj λ J a hal ii eberika: λ J a a ħ Hal serupa dari keataa tidak ada lagi keadaa di bawah i aka J λ J i diperoleh: λ J i i ħ

67 Kedua persaaa digabug diperoleh: a a i i Salah satu solusi persaaa ii: i a hal ii tetu saja tidak ugki. Solusi ag bear adalah: a i Misal a j aka λ J jj ħ Hasil terakhir ii sagat irip dega harga eige ag dikerjaka dega susah paah! egguaka cara diferesial.

68 Tetapi apakah J da saa persis? Terata tidak bahka aka ada kejuta disii. Nilai j tidak boleh sebarag hal ii terlihat: a i j j j Karea a i selalu bulat positif atau ol aka j deikia juga. Artia j bisa bulat ol atau setegah-bulat half-iteger.

69 Kodisi j ag dapat epuai ilai setegahbulat ii agak egejutka karea berbeda dega l dari ag haa boleh berilai bilaga bulat positif atau ol. Jadi tapak bahwa J da sedikit berbeda. Apakah fisisa ada utuk kasus j setegah bulat ag secara Klassik tidak ada aalogia? Terata ada aitu utuk oetu agular spi. Selajuta disebut sebagai oetu agular orbital S disebut sebagai oetu agular spi. Sedagka oetu agular J erujuk ke S atau julah keduaa.

70 Sekarag kita evaluasi ilai kostata c da d. Keadaa λ J kita tulis saja sebagai j. Karea J J aka j J J j J j J j c j Seetara j J J j j J J ħj j jjħ ħ ħħ Jadi c j ħ [jj ] ½

71 Evaluasi J J pada j aka eghasilka d j ħ [jj ] ½ Dapat dirigkas utuk kedua operator tagga J j > h j j j > J j > h j j j >

72 elajari Sediri Teorea Adisi utuk Haroik Sferis Itegral dari hasil kali 3 Haroik Sferis Fugsi-fugsi egedre Jeis Kedua

73 Bab 4