InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.2, September 2013

Transkripsi

1 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 RUANG BARISAN SELISIH c 0, c, l DAN l Oleh: Hery Suhara Uiversitas Khairu Terate ABSTRACT Ruag uruta sebagai salah satu kose dala aalisis, ebahas tetag uruta yag ruag uruta c 0, c, l ad l. Beberaa hasil eelitia sebeluya ebuktika bahwa ruag uruta c 0, c, l ad l adalah ruag Baach, Solid da BK- Ruag. Berdasarka ilustrasi di atas, tesis ii aka ebahas tetag erbedaa uruta ruag l, c, c 0 da l utuk seua N, adalah ruag Baach, Solid, BK-Ruag da Pegoerasia dari erbedaa ruag uruta liear yag berkesiabuga. Metode yag diguaka dala eelitia ii adalah dega eelajari da baha eeriksa tetag erbedaa uruta ruagl, c, c 0 da l utuk seua N elalui karya iliah yag terkadug dala sebuah ublikasi dari jural yag saa da buku teks yag edukug. Hasil eelitia ii ebuktika bahwa erbedaa uruta saces l, c, c 0 da l utuk seua N, adalah ruag Baach, Solid, BK-Ruag da Pegorasia dari erbedaa ruag uruta liear yag berkesiabuga. Kata Kuci : Ruag Nor, Solid, BK-Ruag (Baach Kotiyu) da Oerator Liear Kotiu Seueces saces as oe cocet i aalysis, discussig about seueces which are seueces saces c 0, c, l ad l. Soe revious resecrhes ha roved that seueces saces c 0, c, l ad l are Baach saces, Solid ad BK-Saces. Based o illustratio above, this thesis will discuss abouth differeces seueces saces l, c, c 0 ad l for all N, are Baach saces, Solid, BK-Saces ad ad oerator fro the deffereces seueces saces is liear ad cotiuous. The ethod that used i this thesis are by studyig ad exaiig aterials about differeces seueces saces l, c, c 0 ad l for all N through scietifit work which be cotaied i a ublicatio of sae joural ad suortig text book. The result of this research roved that differeces seueces saces l, c, c 0 ad l for all N, are Baach saces, Solid, BK-Saces ad oerator fro the deffereces seueces saces is liear ad cotiuous. Key words : Nor saces, Solid, BK-Saces (Baach Cotiuous) ad Liear Cotiuous Oerators I. Pedahulua Mateatika sebagai salah satu ilu asti yag eiliki eraa etig dala erkebaga tekologi da kaajua sais. Sudah tidak disagsika lagi bahwa 00

2 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 ateatika eegag eraa etig dala kehidua ausia. Bayak yag telah disubagka ateatika bagi eradaba ausia, kaajua sais da tekologi dewasa ii tidak leas dari ateatika. Boleh dikataka bahwa ladasa utaa keajua tekologi da sais adalah ateatika. Ruag barisa sebagai salah satu kose yag ada di bidag aalisis yag ebahas tetag barisa yag diataraya adalah ruag barisa l, c, c 0, l, da lai-lai. Misalka S koleksi seua ruag barisa, aka c 0 = x = x k S barisa x k koverge ke 0 c = x = x k S barisa x k koverge l = x = x k S: l = x = x k S: su k k= x k < x k < dega < Dari gabara di atas daat dijelaska bahwa c 0 adalah koleksi barisa bilaga yag koverge ke-0, c adalah koleksi seua barisa yag koverge, l koleksi barisa bilaga yag su k x k < da l adalah k= x k < dega <. Dari barisa bilaga tersebut, telah diselidiki eruaka ruag Baach, solid (oral), ruag-bk da lai-lai. Deikia halya dega oerator ada ruag barisa c 0, c, l, da l eiliki sifat liear da kotiu Dala buku-buku ruag barisa telah dibuktika bahwa ruag barisa c 0, c, l, l da lai-lai eruaka ruag Baach, selajutya ruag barisa l, c,c0 da l diaa dega =,2.3, diaksud adalah selisih dari ruag barisa c 0, c, l, l eruaka ruag Baach terhada ora., Solid (oral), ruag-bk (Baach kotiu) da aakah oerator dari ruag barisa tersebut eiliki sifat liear da kotiu. II. Ladasa Teori 2.. Pegertia Dasar Defiisi 2... Diketahui X ruag liear. Fugsi dari x X x R, yag euyai sifat-sifat: (N ) x 0 utuk setia x X x = 0, jika da aya jika x = θ, (θ vektor ol) (N 2 ) αx = α x, utuk setia skalar α da x X (N 3 ) x + y x + y, utuk setia x, y X, disebut ora (or) ada X da bilaga oegatif x disebut ora vector x. Ruag liear X yag dilegkai dega suatu ora. disebut ruag berora 0

3 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 (ored sace) da dituliska sigkat dega X,. atau X saja asalka oraya sudah diketahui. Teorea 2.. Setia ruag berora X,. eruaka ruag etrik terhada etrik d: d x, y = x y, utuk setia x, y X Berdasarka Teorea 2.. di atas, yaitu setia ruag berora eruaka ruag etrik, aka seua kose, egertia, sifat-sifat, serta Teorea-Teorea yag berlaku di ruag etrik berlaku ula ada ruag berora dega egertia d x, y = x y Defiisi 2..2 Barisa x di dala ruag berora X dikataka koverge (coverget) jika ada x X sehigga utuk setia bilaga asli ε > 0 terdaat bilaga asli 0 (bergatug ada ε), sehigga utuk setia bilaga asli 0 berlaku. x x < ε Jika deikia halya, dikataka barisa x koverge ke x atau barisa x euyai liit x utuk da ditulis dega li x x = 0 atau daat ditulis dega li x = x. Sedagka titik x disebut titik liit barisa x. Defiisi 2..3 Barisa x di dala ruag berora X,. disebut barisa Cauchy atau barisa fudaetal jika utuk setia bilaga ε > 0 terdaat bilaga asli 0, sehigga utuk setia dua bilaga asli, 0 berlaku x x < ε Teorea 2..2 Setia barisa yag koverge di dala ruag berora X,. eruaka barisa Chaucy. Defiisi 2..4 Ruag berora dikataka legka (colete) jika setia barisa Cauchy di dalaya koverge. Defiisi 2..5 Ruag Baach (Baach saces ) adalah ruag berora yag legka. Teorea 2..3 ( Ketaksaaa Ho lder ) i. utuk setia x = x k l da y = y k l bear bawa 02

4 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 k= x k y k k= x k y k dega x = x k k= x. y da y = su k ii. jika <, < da + =, aka utuk setia x = x k l y = y k l bear bawa k= x k y k dega x = x k k= k= x k y k y k da y = x. y k= y k da Teorea 2..4 ( Ketaksaaa Mikowski ) Jika aka utuk setia x = x k, y = y k l bear bahwa x + y x + y Teorea 2..5 utuk setia, aka l eruaka ruag Baach Oerator Liear da Kotiu Oerator adalah fugsi liear da kotiu, orator ditulis dega huruf caital: A, B, C. Fugsi dari suatu ruag berora ke ruag berora yag haruslah dari dua ruag berora atas laaga yag saa yaitu atau R Defiisi 2.2. Diberika ruag berora X da Y. fugsi f X Y dikataka liear, jika f αx + βy = αf x + βf y, utuk setia skalar α, β R da utuk setia x, y X. Defiisi Diberika ruag berora X,. da Y,.. fugsi f X Y dikataka i. Kotiu ada a X, jika utuk sebarag bilaga ε > 0 ada bilaga δ > 0 sehigga utuk stia x X dega a x < δ berakibat f a f x < ε. ii. Fugsi f dikataka kotiu ada X jika f kotiu disetia x X Defiisi Diberika ruag berora X,. da Y,.. Fugsi liar f X Y dikataka terbatas, jika terdaat M > 0 sehigga f x M x, utuk setia x X. 03

5 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 Teorea 2.2. Diberika ruag berora-ruag berora X,. da Y,.. Fugsi f X Y kotiu di suatu titik a X jika da haya jika utuk setia barisa x X yag koverge ke a berakibat barisa f x koverge ke f a. Teorea Diketahui X da Y asig-asig ruag berora. Jika fugsi f X Y fugsi liear, aka eryataa-eryataa berikut ekuivale: a. Fugsi f kotiu ada X b. Fugsi f kotiu di θ X c. Fugsi f kotiu di x X d. Hiua f x : x X da x terbatas e. Ada bilaga M 0 sehigga f x M x utuk setia x X Teorea : Diketahui X ruag berora yag legka da A X. Dieroleh A tertutu jika da haya jika A legka. III. Ruag Barisa Selisih Sebelu ebahas ruag barisa lebih lajut, dierlihatka barisa selisih bilaga sebagai berikut: Jika x = x k suatu barisa bilaga da x = x k+ x k, utuk setia k N x disebut barisa selisih ertaa terhada barisa x = x k i=0 x = x k = i x i k+ i, utuk setia k N x disebut barisa selisih ke- terhada barisa x = x k Berdasarka gabara di atas aka dibetuklah barisa bilaga x = x k, 2 x = 2 x k, x k = x k yag disebut dega barisa selisih ertaa, barisa selisih kedua, da seterusya saai barisa selisih ke. 3. Ruag Barisa Selisih c 0, c, l da l Teorea 3.. : Ruag barisa l, c 0 da c eruaka ruag Baach, terhada ora x, = x + x dega x = x k = x k+ x k. Selajutya c 0 c l Bukti: i) l eruaka ruag liear, sebab: Utuk setia x, y l x, y l 04

6 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 berakibat su k x k + y k = su k su k x k < da su k x k + y k su k y k < x k + y k su k x k + su k y k < Jadi x + y l atau x + y l (3...) Diabil sebarag α skalar da x l x l x l su x k = su x k+ x k < k k k k Jadi αx l su αx k = su α x k+ x k yag berarti αx l (3...2) = α su k x k < Dari (3...) da (3...2) terbukti bahwa l eruaka ruag liear Selajutya c 0 da c ruag liear da c 0 c l sebab: Utuk setia x, y c 0 x, y c 0 li k Jika z = x + y, aka z = z k+ z k z k z k = li x k+ + y k+ x k + y k li k k = li k Jadi z c 0 z c 0 Dega kata lai x + y c 0 (3...3) x k+ x k = 0 da li k y k+ y k = 0 x k+ x k + li k y k+ y k = = 0 Diabil sebarag α skalar da x c 0 x c 0 x c 0 li x k+ x k = 0 k jadi αx li αx k+ αx k = liα x k+ x k = α li x k+ x k = α. 0 = 0 k k k yag berarti αx c 0 (3...4) Dari (3...3) da (3...4) dieroleh c 0 eruaka ruag liear. selajutya c eruaka ruag liear sebab: Utuk setia x, y c x, y c li x k+ x k = k da li y k+ y k = l k k jika z = x + y, aka z = z k+ z k li z k z k = li x k+ + y k+ x k + y k k k = li x k+ x k + li y k+ y k = k + l (ada) k Jadi z c z c k Dega kata lai x + y c (3...5) 05

7 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 Diabil sebarag α skalar da x c x c x c li x k+ x k = k k jadi αx li αx k+ αx k = liα x k+ x k = α li x k+ x k = α. k k k k (ada) yag berarti αx c (3...6) Dari (3...5) da (3...6) dieroleh c eruaka ruag liear. Selajutya c 0 c l sebab: Diabil sebarag x c 0 x c 0 x c x c Jadi c 0 c Selajutya diabil sebarag x c x c li x k+ x k = k dega deikia li x k+ x k = k su x k < k k Dega kata lai x l Jadi c l ii) a). Selajutya dibuktika c 0, c, l eruaka ruag berora terhada ora.,. x, = x + su x k k (N ) Utuk setia x l x, = x + x = x + su x k 0 k x, = 0 x + x = x + su x k = 0 x = 0 da su k k x k+ x k = 0 k x = 0 da x k+ x k = 0; utuk setia k x = 0 da x 2 x = 0, x 3 x 2 = 0,.. x = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x = x 2 = x 3 = 0 x = 0 = 0 (N 2 ) Utuk setia x l da α skalar αx l αx l αx, = αx + αx = αx + su = α x + α su k k αx k x k = α x + α x = α x + x = α x, (N 3 ) Utuk setia x, y l x, y l x + y l berakibat x + y, = x + y + x + y = x + y + su x k + y k k 06

8 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 x + y + su x k + su y k k k = x + y + x + y = x + x + y + y = x, + y, Dari (N ), N 2 da (N 3 ) bear bahwa l eruaka ruag berora. Karea c 0 da c eruaka ruag liear bagia di dala l aka c 0 da c eruaka ruag berora ula. b). Selajutya ditujuka l legka Diabil sebarag barisa Cauchy x = x k x = x k l dega = x, x2, x3, Jadi, jika diberika bilaga ε > 0 terdaat bilaga asli 0 sehigga utuk setia dua bilaga asli, 0 bear bahwa x x < ε, 2 x x + su x k x k < ε k 2 x x < ε da su x 2 k x k k < ε (3...7) 2 Hal ii berakibat, berdasarka (3...7) utuk setia, 0 bear bahwa: x k xk < ε, utuk setia k atau di eroleh utuk setia k barisa, x k eruaka barisa (bilaga) Cauchy. Jadi, utuk setia k barisa x k koverge, kataka koverge ke x k atau li x k = xk atau li x k xk = 0 Dibetuk barisa x = x k, egigat (3...7) dieroleh x x = x, x + su x k x k k = li x x + li su x k xk k < ε + ε = ε, (3...8) 2 2 jadi barisa x koverge ke x. Selajutya, x, = x x + x, 07

9 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 x x, + x, < (3...9) Berdasarka hasil (3...8) da (3...9) disiulka bahwa x = x k l Jadi terbukti barisa Cauchy x l koverge ke x = x k l Dega kata lai terbukti bahwa l eruaka ruag Baach. iii) Selajutya telah terbukti bahwa c 0 da c eruaka ruag berora bagia di dala l da telah terbukti l eruaka ruag Baach, cuku ebuktika c 0 da c tertutu di dala l. Diabil sebarag x = x k l titik liit c 0 c dibuktika x c0 c Karea x = x k titik liit c 0 c aka ada barisa x c 0 c yag koverge ke x = x k li = x atau li x k xk,c0 = 0 yaitu utuk setia ε > 0 ada bilaga 0 sehigga jika 0 bear bahwa x x,c0 < ε 2 Utuk setia, 0 hal ii berarti x x + su x k xk < ε k 2 aka x x < ε da su x 2 k xk k < ε 2. Hal ii berakibat x c 0 c eruaka barisa Cauchy yag legka oleh karea itu x c 0 c Jadi terbukti bahwa c 0 da c tertutu di dala l. Jadi bahwa c 0 da c eruaka ruag Baach. Berdasarka (i),(ii) da (iii) Teorea 3.. terbukti. Teorea 3..2 Jika < aka ruag barisa selisih l eruaka ruag Baach, terhada ora x, = x + x dega x = x k = x k+ x k Bukti: i. ) l eruaka ruag liear sebab: Karea x, y l x, y l 08

10 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 k= k= x k y k aka x + y = x + y l = x k+ x k k= = y k+ y k k= k= x k + y k = x k+ x k + y k+ y k k= k= = x k= x k+ x k + y k= Jadi x + y l (3..2.) + y k+ y k k= < < da < Utuk setia α skalar da x l dieroleh αx l sebab: αx = αx k k= α x k+ x k = α x k+ x k k= = α x k= = α x k+ x k k= < (3..2.2) Dari (3..2.) da (3..2.2) terbukti bahwa l ruag liear ii) l eruaka ruag berora terhada or x, = x + x sebab: (N ) Utuk setia x l 09

11 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 x l x, = x + k= k= x k x, = 0 x + x k= = x k+ x k k= < = x + x k+ x k x k= 0 = x + x k+ x k k= = 0 x = 0 da x k+ x k = 0 utuk setia k x = 0 da x 2 x = 0, x 3 x 2 = 0, x 4 x 3 = 0,. x = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0,. x = 0 = 0 (N 2 ) Utuk setia α skalar da x l x l k= x k = x k+ x k < k= Jadi αx, = αx + αx = αx + α x k+ x k k= = α x + α x k+ x k k= = α x + x = α x,. = α x + x k= (N 3 ) Utuk setia x, y l x, y l k= x Jika x + y, = x + y + x + y + k= = x + x k k= k= x k < da y x k + y k k= + y k k= + y + y k k= < = x + x + y + y = x, + y,. 0

12 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 Berdasarka hasil, (N ), (N 2 ) da (N 3 ) bear bahwa l ruag berora iii. ) l legka sebab: Diabil sebarag barisa Cauchy x l x l dega x = x k = x, x2, x3, Jadi, jika diberika bilaga ε > 0 terdaat 0 N sehigga utuk setia dua bilaga asli, 0 bear bahwa x x, < ε 2 atau x x + xk x k x x < ε 2 k= da x k x k k= utuk setia, 0. Hal ii berakibat bahwa: < ε 2 < ε 2 x k = x k+ xk barisa Cauchy utuk setia k. a x = x2 x = x 2 x barisa bilaga Cauchy Jadi ada x sehigga x koverge ke x da x 2 barisa bilaga Cauchy Jadi ada bilaga x 2 sehigga x 2 koverge ke x 2 Hal ii berakibat x 2 = x 2 x li x 2 x koverge ke x 2 x. = x 2 x (b) x 2 = x3 x2 = x 3 x 2 koverge ke x 2 aka x 3 x 2 barisa bilaga Cauchy. Karea barisa bilaga Cauchy. Jadi ada bilaga x 3 sehigga x 3 koverge ke x 3 Hal ii berakibat x 2 = x 3 x2 koverge ke x 3 x 2.

13 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 (c) x 3 barisa x 3 Cauchy. li x 3 x2 = x 3 x 2. = x 4 x3 = x 4 x 3 barisa bilaga Cauchy. Karea barisa Cauchy ( koverge ke x 3 ) aka x 4 barisa bilaga Jadi x 4 koverge ke suatu bilaga x 4. Hal ii berakibat x 3 = x 4 x3 koverge ke x 4 x 3. li x 4 x3 = x 4 x 3 (d) Selajutya diagga bear x k Dibuktika x aka barisa x Karea x + koverge da x + da x, aka x = x x x jadi ada bilaga x sehigga x koverge ke x Berakibat x koverge ke x k utuk setia k=,2,3, = x x barisa Cauchy. barisa bilaga Cauchy yag koverge ke barisa bilaga Cauchy x = x x Berdasarka hasil a, b, c da (d) di eroleh. Barisa x k koverge utuk setia k. koverge ke x da ada x sehigga koverge ke x x da dieroleh. Jadi x koverge ke x dega x = x k (3..2.3) x, = x x + x, x x + x < (3..2.4),, Jadi berdasarka (3..2.3)da (3..2.4) terbukti barisa Cauchy x l koverge ke x = x k l Jadi x l atau x l. Dega kata lai terbukti bahwa l legka. Berdasarka (i), ii da (iii) terbukti bahwa l eruaka ruag Baach. 2

14 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 Teorea 3..3 : Ruag barisa l 2, c 0 2 da c 2 eruaka ruag Baach, terhada ora x 2, = x + x x da Selajutya c 0 2 c 2 l 2. 2 x = x k+ x k = x k+2 x k+ x k+ x k = x k+2 2x k+ + x k, Teorea 3..4 Jika < aka ruag barisa selisih l 2 eruaka ruag Baach, terhada ora x 2, = x + x x dega 2 x = 2 x k = x k+2 2x k+ + x k Teorea 3..5 : Ruag barisa l, c 0 da c eruaka ruag Baach, terhada ora x, = r= x r + x da Selajutya c 0 c l. x = x k = i=0 i i x k+ i Teorea 3..6 Jika < aka ruag barisa selisih l eruaka ruag Baach, terhada ora x, = r= x r + x dega x = x k = i=0 i i x k+ i Defiisi 3..: Ruag barisa berora X disebut ruag-bk jika X ruag Baach da utuk setia N, eetaa koordiat P X R dega, P x = x, kotiu, dega x = x k. Teorea 3..7 Ruag barisa l, c 0, c da l eruaka ruag- BK Bukti: (i) Ditujukka ruag barisa l eruaka ruag-bk. (a). Berdasarka Teorea 3.. l eruaka ruag Baach. (b). Ditujuka P l R dega P x = x kotiu. Utuk setia x, y l da diabil N; berlaku P x P y = x y x y. Diberika bilaga ε > 0, diilih δ = ε 2 > 0 da jika x y < δ, aka berakibat P x P y < ε. Jadi P kotiu utuk setia N. Berdasarka (a) da (b) l eruaka ruag-bk. 3

15 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 (ii) Ditujukka ruag barisa c 0 eruaka ruag-bk. (a). Berdasarka Teorea 3.. c 0 eruaka ruag Baach. (b) Dibuktika P c 0 R dega P x = x kotiu Utuk setia x, y c 0 x, y c 0 da diabil N; aka P x P y = x y x y Diberika bilaga ε > 0 diilih δ = ε > 0 da jika x 2 y < δ, aka berakibat P x P y < ε. Jadi P kotiu utuk setia N. Berdasarka (a) da (b) c 0 eruaka ruag-bk. (iii) Ditujukka ruag barisa c eruaka ruag-bk. (a) Berdasarka Teorea 3.. c eruaka ruag Baach. (b) Dibuktika P c R dega P x = x kotiu. Utuk setia x, y c da diabil N; aka P x P y = x y x y. Diberika bilaga ε > 0 diilih δ = ε > 0 da jika x 2 y < δ, aka berakibat P x P y < ε. Jadi P kotiu utuk setia N. Berdasarka (a) da (b) c eruaka ruag-bk. (iv) Ditujukka ruag barisa l eruaka ruag-bk. (a) Berdasarka Teorea l eruaka ruag Baach. (b) Dibuktika P l R dega P x = x kotiu. Utuk setia x, y l da diabil N; berlaku P x P y = x y x y. Diberika bilaga ε > 0, diilih δ = ε 2 > 0 da jika x y < δ, aka berakibat P x P y < ε. Jadi P kotiu utuk setia N. Berdasarka (a) da (b) l eruaka ruag-bk. Dega kata lai (i), (ii), (iii) da (iv) teorea 3.7 terbukti. Teorea 3..8 Ruag barisa ruag-bk l 2, c 0 2, c 2 da l 2 eruaka Teorea 3..9 Ruag barisa l, c 0, c da l eruaka ruag-bk Defiisi 3..2: Ruag barisa E dikataka solid (oral) jika x k E aka α k x k E utuk sebarag barisa skalar dega α k utuk setia k N 4

16 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 Teorea 3..0 Ruag barisa l, c 0, c da l solid Bukti: i). l solid sebab x l x l su k x k <. Utuk sebarag barisa bilaga α k dega α k utuk setia k dieroleh barisa α k x k dega sifat su k α k x k su k α k x k su k x k <. Dega kata lai α k x k l atau l solid. ii). c O solid sebab x c 0 x c 0 li k x k+ x k = 0 Utuk sebarag barisa skalar α k dega α k utuk setia k dieroleh barisa α k x k dega sifat li α k x k = li α kx k+ α k x k = li k k k α k x k+ x k = α k li k x k+ x k = α k. 0 = 0. Dega kata lai α k x k c 0 atau c 0 solid. iii). c solid sebab x c x c li k x k+ x k =. Utuk sebarag barisa skalar α k dega α k utuk setia k dieroleh barisa α k x k dega sifat li α k x k = li α kx k+ α k x k = li k k k α k x k+ x k = α k li k x k+ x k = α k. ada. Dega kata lai α k x k c atau c solid. iv). l P solid sebab 5

17 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 x l x l k= x k <. Jadi utuk sebarag barisa skalar α k dega α k utuk setia k dieroleh barisa α k x k dega sifat α k x k α k x k x k <. k= k= k= Dega kata lai α k x k l atau l solid. Dari (i), (ii), (iii) da (iv) teorea terbukti. Teorea 3.. Ruag barisa l 2, c 0 2, c 2 da l 2 solid Teorea 3..2 Ruag barisa l, c 0, c da l solid 3.2 Orator Liear da Kotiu Teorea 3.2.: Oerator A l l bersifat liear da kotiu jika da haya jika ada atriks α ij dega α ij = su j = a ij da Ax = j = α ij x j l, x l i= Bukti: Diketahui A liear da kotiu Ditujuka α ij da Ax = j = α ij x j l Diabil sebarag barisa x l da ej eruaka basis dari l. Sehigga utuk setia x l daat ditulis juga sebagai x = x, x 2, x 3, = x, 0, 0, 0, + 0, x 2, 0, 0, 0, + 0, 0, x 3, 0, 0, 0, + = x e + x 2 e 2 + x 3 e 3 + = x j ej j = dega ej adalah barisa bilaga real yag usur ke-j saa dega da seua usur yag laiya saa dega 0; jadi ej = 0,0,0,,0,,0 0,0,0,. 6

18 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 Karea A liear da kotiu, aka dieroleh A x = A x j ej = x j A ej = x j a ij ej = a ij x j ej j = j = j = i= j = i= dega A ej = a ij ej i= da su i j = a ij x j su i j = a ij x <. Dega kata lai terbukti bahwa ada atrik α ij dega j = α ij x j l utuk setia x l. su i= j = a ij < da Ax = Diketahui atriks α ij dega su i= l utuk setia x l. a ij j = j = < da Ax = α ij x j Ditujuka A bersifat liear da kotiu. (i) A bersifat liear sebab: Utuk sebarag x, y l da utuk setia α da β skalar berlaku A αx + βy = α ij α x j + β y j j = su i j = α ij α x j + β y j α su i j = α ij x j + β su i j = α ij y j = α Ax + β Ay. Jadi A bersifat liear. (ii) Selajutya diketahui su i= j = a ij <. Dutujuka A bersifat terbatas. Meurut yag diketahui dieroleh Ax = j = a ij x j = su i= j = a ij x j su i= j = a ij. x j j = 7

19 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 = A x <, dega A = su i= j = a ij <. Dega kata lai A terbatas atau orator A kotiu. Dari (i) da (ii) dieroleh bahwa orator A adalah suatu orator liear da kotiu. Teorea : Orator A l l dega <, < dega kojugat bersifat liear da kotiu jika da haya jika ada atriks tak berhigga α ij dega α ij = Bukti: α j = ij i= < da Ax = j = α ij x j l, utuk setia x l Diketahui A liear da kotiu. Ditujuka ada α ij dega α ij = α i= j = ij <. Diabil sebarag barisa x l dega <, <. Karea l da l ( kojugat da <, < ) asig-asig ruag barisa aka orator liear A dega atriks tak berhigga α ij da A x = α α 2 α 3 α 2 α 22 α 22 α 3 α 32 α 33 x x 2 x 3 = j = j = j = α j x j α 2j x j α 3j x j Dega ketaksaaa Holder dieroleh dega <, < dega kojugat A x = α ij x j j = = α ij x j i= j = α ij i= j = j = x j = α ij i= j = j = x j = α ij i= j = = A x dega A = α ij Dega kata lai terbukti bahwa ada α ij da i= j = x α i= j = ij <. 8

20 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 Diketahui α ij da i= j = α ij < Ditujuka A bersifat liear da kotiu (i) Orator A bersifat liear sebab: Diabil utuk setia x, y l da skalar α, β R aka berlaku A x = j = A αx + βy = α ij x j i= α = α ij x j j = i= i= j = α ij αx j + βy j j = α ij x j = α A x + β A x. = α ij αx j + α ij βy j i= j = + β α ij x j Jadi A liear. (3.2.2.) (ii ) Selajutya diketahui Ditujuka A terbatas. i= j = Meurut yag diketahui berakibat α ij <. i= j = j = A x = α ij x j = α ij x j α ij x j j = i= j = i= j = j = i= j = α ij j = x j = A x <, dega A = α ij <. i= j = Jadi terbukti A terbatas atau A kotiu. ( ) Dari (3.2.2.) da ( ) terbukti bahwa A bersifat liear da kotiu. 9

21 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 Teorea 3.2.3: Orator A l l bersifat liear da kotuu jika da haya jika ada atrik α ij dega α ij = su j = a ij da Ax = j = α ij x j l, x l. Teorea : Orator A l l dega <, < dega kojugat bersifat liear jika da haya jika ada atriks takberhigga α ij dega α j = ij i= < da α ij x = j = α ij x j l x l IV. Kesiula Berdasarka ada ebahasa bab sebeluya, aka ada bagia ii bahwa l, c 0, c da l dega N da oerator liear da kotiu daat disiulka sebagai berikut:. Telah dibuktika bahwa l, c 0 da c eruaka ruag Baach. 2. Telah dibuktika bahwa l eruaka ruag Baach. 3. Telah dibuktika bahwa l, c 0, c da l eruaka ruag-bk (Baach Kotiu). 4. Telah dibuktika bahwa l, c 0, c da l eruaka ruag solid (oral). 5. Telah dibuktika bahwa l 2, c 0 2 da c 2 eruaka ruag Baach. 6. Telah dibuktika bahwa l 2 eruaka ruag Baach. 7. Telah dibuktika bahwa l 2, c 0 2, c 2 da l 2 eruaka ruag-bk (Baach Kotiu). 8. Telah dibuktika bahwa l 2, c 0 2, c 2 da l 2 eruaka ruag Solid (oral). 9. Telah dibuktika bahwa l, c 0 da c dega N eruaka ruag Baach. 0. Telah dibuktika bahwa l dega N eruaka ruag Baach.. Telah dibuktika bahwa l, c 0, c da l dega N, eruaka ruag-bk (Baach Kotiu). 2. Telah dibuktika bahwa l, c 0, c da l dega N, eruaka ruag Solid (oral). 3. Oerator A l l bersifat liear da kotiu jika da haya jika ada atrik α ij dega A = su j = a ij da Ax = j = α ij x j l, x l. i= 4. Orator A l l dega <, < dega kojugat bersifat liear jika da haya jika ada atriks tak berhigga α ij dega α j = ij i= < da Ax = j = α ij x j l, utuk setia x l. 20

22 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber Orator A l l bersifat liear da kotiu jika da haya jika ada atriks α ij dega A = su j = a ij da Ax = j = α ij x j l utuk setia x l. 6. Orator A l l, dega <, < dega kojugat, bersifat liear jika da haya jika ada atriks tak berhigga α ij dega α j = ij i= < da Ax = j = α ij x j l utuk setia x l. Referesi []. Alsaedi, R. S., Bataieh, A. H. A., O a Geeralized Differece Seuece Saces Defied by a Seuece of Orlicz Fuctios, Iteratioal Matheatical Foru (2007), [2]. Berberia, S. K., Itroductio to Hilbert Saces,Oxford Uiversity Press, New York (96). [3]. Darawijaya, S., Aalisis Abstrak, FMIPA UGM, Yogyakarta (2007). [4]. Et, M., Ayha, E., O Köthe-Toelitz Duals of Geeralized Differece Seuece Saces, Bulleti of the Malaysia Matheatical Scieces Society (2000), [5]. Et, M., Colak, R., O A New Tye Of Geeralized Differece Cesa ro Seueces Saces, Soochow Joural Of Matheatics (995), [6]. Et, M., Colak, R., O Soe Differece Seuece Sets ad Their Toological Proerties, Bulleti of the Malaysia Matheatical Scieces Society (2005), [7]. Hu, Sze-Tse, Real Aalysis Holde-Day, Ic., Sa Fracisco (967). [8]. Khatha, P.K., Guta, M., Seueces Saces ad Series, Marcel Dekker INC., New York ad Basel (98). [9]. Kreyszig, E., Itroductory Fugtioal Aalysis With Alicatios, Jho Wiley&Sos, New York (978). [0]. Niasu, P., Lebury Y., M r -Faktors ad Q r -Faktors For Near Quasior o Cetrai Seuece Saces, Iteratioal Joural of Matheatics ad Matheatical Scieces (2005), [].Triathy, B.C., A New Tye Of Differece Seuece Saces, Iteratioal Joural of Sciece & Techology (2006), -4. [2]. Triathy, B.C., O A New Tye Of Geeralized Differece Cesa ro Seueces Soochow Joural Of Matheatics (2005), [3]. Triathy, B.C., Sara, B., Soe Classes of Differece Paraored Seuece Saces Defied by Orlicz Fuctios, Thai Joural of Matheatics (2005),

23 IfiityJural Iliah Progra Studi Mateatika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.2, Seteber 203 [4]. Royde, H.L, Real Aalysis, Macilla Pub. Co., New York, Collier Macilla Pub., Lodo (989). [5]. Wilasky, A., Suability through Fuctioal Aalysis, North-Holad, Asterda (984). 22