Pertemuan ke-3 Persamaan Non-Linier: Metode ½ Interval (Bisection) 27 September 2012

Transkripsi

1 Perteuan ke-3 Persaaan Non-Linier: Metode ½ Interval (Bisection) 7 Septeber 01 Analisa Terapan Terapan:: Metode Nuerik Dr.Eng. Agus S. Muntohar Metode Bisection Dasar Teorea: Suatu persaaan ()0, diana () adalah ungsi kontinyu real, eiliki akar-akar antara l dan u bila (l) (u) < 0. () l u Gabar 1 Setidaknya satu akar persaaan berada diantara dua titik bila ungsi real, kontinyu, dan berbeda tanda. Dr.Eng. Agus S. Muntohar 1

2 Metode Bisection Dasar () l u Gabar Jika ungsi () tidak berubah tanda antara dua titik, akar-akar persaaan () 0 asih berada diantara dua titik 3 Metode Bisection Dasar () () l u l u ( ) ( ) 0 Gabar 3 Bila ungsi () tidak berubah tanda diantara dua titik, akar- akar persaaan () 0 tidak berada diantara dua titik 4

3 Metode Bisection Dasar () l u Gabar 4 Bila ungsi () berubah tanda diantara dua titik, lebih dari satu akar persaaan () 0 berada diantara dua titik 5 Persaaan Non-Linier: Metode Bisection Algorita etode Bisection

4 Langkah 1 Pilih dan l u sebagai dua akar perkiraan sehingga ( l ) ( u ) < 0, atau () tanda yang berbeda antara l dan u. Seperti pada Gabar () l u Gabar Langkah Perkirakan akar dari persaaan () 0 sebagai titik tengah (id point) antara and l u yaitu l + u () l u Gabar 5 Perkiraan 8

5 Langkah 3 Periksa kondisi berikut: a) Bila ( l ) ( ) < 0, aka akar berada diantara dan l ; dan l l ; u. b) Bila ( l ) ( ) > 0, aka akar persaaan berada diantara dan u ; dan l ; u u. c) Bila ( l ) ( ) 0; aka akar persaaan adalah. Hentikan algorita bila benar. 9 Langkah 4 Hitung nilai perkiraan baru untuk akar persaaan: l + new u Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relati diana, a old new old 0 nilai perkiraan akar sebelunya new nilai perkiraan baru akar

6 Langkah 5 Bandingkan nilai absolut dari kesalahan perkiraan relati ε a dengan toleransi kesalahan yang ditetapkan ε s Is a > s? Yes No Ke Langkah gunaka nilai perkiraan baru atas dan bawah Stop algorita Julah iterasi perlu dicek bila elebihi julah iterasi aksiu yang diijinkan. Bila kondisi ini tercapai, algorita perlu dihentikan penghitungannya. 11 Contoh1 Suatu bola terapung seperti Gabar 6 eiliki berat jenis 0.6 dan jari-jari 5.5 c. Tentukan kedalaan bola yang terenda dala air! Gabar 6 Diagra bola terapung 1

7 Contoh1 (Cont.) Kedalaan bola yang terenda air dinyatakan dengan persaaan berikut a) Gunakan etode bisection untuk enentukan akar-akar persaaan kedalaan bola yang terenda air. Lakukan tiga kali iterasi untuk eperkirakan akar-akar persaaan terebut. b) Tentukan nilai absolut dari kesalahan perkiraan relati pada asing-asing iterasi, dan julah digit pentingnya. 13 Contoh 1 (Cont.) Secara isik, bagian bola yang terenda air eiliki kedalaan antara 0 dan R, yaitu dengan R jari-jari bola, R 0.11 ( 0.055) Gabar 6 Diagra bola terapung 14

8 Contoh1 (Cont. ) Solusi Penyelesaian: Untuk ebantu peahaan tentang bagaiana etode ini digunakan untuk encari akar-akar persaaan, ditapilkan graik ungsi (), diana Fungs si () () 3-4 ( ) Gabar 7 Graik dari ungsi () () 15 Contoh1 (Cont.) Solusi Asusikan nilai awal terendah dan teratas l u Cek bila ungsi () berubah tanda antara l and u. Maka 3 ( l ) ( 0) ( 0) 0.165( 0) ( ) ( 0.11) ( 0.11) 0.165( 0.11) u ( ) ( ) ( 0) ( 0.11) ( )(.66 ) < 0 l u Jadi, terdapat sediikitnya satu akar persaaan berada diantara l and u, yaitu antara 0 dan

9 Contoh 1 (Cont.) Solusi Fu ungsi () () () l u Gabar 8 Graik yang enunjukkan ungsi beribah tanda diantara batas awal l dan u 17 Contoh 1 (Cont.) Solusi + l u 3 ( ) ( 0.055) ( 0.055) 0.165( 0.055) Iterasi 1 Nilai perkiraan akar persaaan ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( )( ) > 0 l Maka, akar-akar persaaan berada diantara dan u, yaitu, antara dan Jadi, nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar persaaan l 0.055, 0.11 u Pada titik ini, nilai absolut dari kesalahan perkiraan relati ε a belu bisa dihitung karena belu diperoleh nilai perkiraan sebelunya 5 18

10 Contoh 1 (Cont.) Solusi Fung gsi () () () l u,1 Gabar 9 Perkiraan akar persaaan Iterasi 1 19 Contoh 1 (Cont.) Solusi + l u ( ) ( 0.085) ( 0.085) 0.165( 0.085) Iterasi Nilai perkiraan akar persaaan 5 ( ) ( ) ( 0.055) (0.085) ( 1.6 )( ) < 0 l Maka, akar-akar persaaan berada diantara dan u, yaitu, antara dan Jadi, nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar persaaan l 0.055, u 0

11 Contoh 1 (Cont.) Solusi Fungs si () () () l u, Gabar Perkiraan akar persaaan Iterasi 1 Contoh 1 (Cont.) Solusi Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relati ε a pada Iterasi ke- ( ) ( 1) a 0 ( ) % Julah digit penting akar persaaan belu eberikan hasil yang tepat karena nilai ε a > 5%.

12 Contoh 1 (Cont.) Solusi Iterasi 3 Nilai perkiraan akar persaaan + l u ( ) ( ) ( ) 0.165( ) ( ) ( ) ( 0.055) ( ) ( )( ) < 0 l 5 Maka, akar-akar persaaan berada diantara dan u, yaitu, antara and Jadi, nilai baru terendah dan teratas dari akar-akar persaaan l 0.055, u 3 Contoh 1 (Cont.) Solusi Fung gsi () () () l u,3 Gabar 11 Perkiraan akar persaaan Iterasi 3 4

13 Contoh 1 (Cont.) Solusi Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relati ε a pada Iterasi ke-3 ( ) 3 ( ) a 0 ( 3 ) % Julah digit penting belu eberikan hasil yang benar karena ε a asih > 5%. Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1. 5 Contoh 1 (Cont.) Solusi Table 1 Akar persaaan dari ungsi ()0 dengan iterasi enggunakan Metode Bisection Iteration l u a % ( )

14 Contoh 1 (Cont.) Solusi Akar pe ersaaan, X Iterasi ke-n Kesalahan perkiraan relati (%) Iterasi ke-n ea 7 Contoh 1 (Cont.) Solusi Julah digit penting yang eberikan hasil benar dihitung sebagai nilai terbanyak yaitu : log Jadi, a ( 0.344) log ( 0.344). 463 Julah digit terakhir dari akar persaaan pada iterasi ke- adalah. 8

15 Kelebihan Metode Bisection Selalu konvergen. Akar persaaan berkurang pada setiap iterasi. 9 Kekurangan Metode Bisection Mencapai konvergen relati laa Bila nilai perkiraan akar awal terlalu dekat dengan nilai akarnya, konverge dicapai lebih laa. 30

16 Kekurangan Metode Bisection Bila ungsi () sedeikian rupa sehingga hanya enyentuh subu, aka tidak diperoleh nilai perkiraan terendah dan tertinggi. () ( ) 31 Kekurangan Metode Bisection Fungsi berubah tanda, tetapi tidak eiliki akar-akar persaaan. () ( ) 1 3