III MODEL OPTIMALISASI ALOKASI ASET

Transkripsi

1 6 III MODEL OPTIMALISASI ALOKASI ASET Dskipsi Pmasalahan Misalkan invsasi as i alam kning anuias vaiabl ipisah mnjai ua subkning, yaiu sub-kning as bbas isiko an sub-kning as bisiko. Dalam kaya ilmiah ini imolkan suau sagi kpuusan alam mngopimalkan alokasi as i alam konak anuias vaiabl shingga ipolh hasil yang maksimal saa imn. Fomulasi Mol Tahap opimalisasi alokasi as i alam konak anuias vaiabl, yaiu :. Alokasi as sblum imn. Pnapaan ai anuias saa imn 3. Alokasi as saa imn. 3. Alokasi As Sblum Rimn Diasumsikan soang iniviu mmulai suau konak anuias vaiabl ngan invsasi awal sbsa W. Invsasi as i alam kning anuias vaiabl kmuian isimpan sampai waku T (imn). Aus simpanan bau yang masuk k alam kning anuias vaiabl iasumsikan sbsa s, ngan s. Slama ahap pngumpulan/ pngakumulasian as, sluuh ivin, bunga, an kunungan moal yang iapa iinvsasikan kmbali k alam kning, an sluuh pajak iangguhkan sampai ahap pnimaan pnapaan imulai kika imn. Paa saa imn ahap pngumpulan as bakhi an ahap pnimaan pnapaan ai anuias sga imulai. Dalam kning anuias vaiabl, invsasi as ipisah mnjai ua sub-kning, yaiu sub-kning as bbas isiko an subkning as bisiko. Invsasi as i alam sub-kning bbas isiko akan bupa anuias ap yang akan mnghasilkan angkaian pnapaan ngan jumlah yang ap siap pio. Invsasi as i alam sub-kning bisiko akan bupa anuias vaiabl yang akan mnghasilkan pmbayaan pnapaan iak ap (naik aau uun) siap pio, bganung paa flukuasi haga saham i pasa busa. Poposi alokasi as paa sub-kning as bisiko iasumsikan sbsa α an poposi unuk sub-kning as bbas isiko. Poposi kua sub-kning iu ialokasikan paa waku. Jumlah nominal α ialokasikan k alam sbsa ( α ) W ( ) as bbas isiko, ngan ingka imbal hasil konsan sbsa p pio. Sisa ai alokasi as bbas isiko imasukkan k alam sub-kning as bisiko sjumlah W α, ngan ingka imbal hasil yang ihaapkan sbsa an volailiasnya sbsa σ p pio. Akumulasi as/kkayaan paa kning anuias vaiabl mngikui psamaan ifnsial sokasik -imnsi: W W ( αµ + ( α) ) + s + ασwb () ngan: α, < T B : gak Bown -imnsi. Volailias σ mnyaakan ingka kacakan haga saham, an B aalah bagian yang mnganung kacakan/kiakpasian ai haga saham. Smakin bsa nilai volailias, smakin ak uga pgakan haga saham. Sbaliknya, smakin kcil nilai volailias, smakin muah unuk mnuga haga saham sbu. Siap iniviu akan mngopimalkan alokasi as paa ahap sblum imn alam konak anuias vaiabl unuk mmaksimalkan kpuasan yang ihaapkan aas kkayaan saa imn (T). Fungsi kpuasan alam hal ini iasumsikan sbagai ip Consan laiv isk avsion (CRRA) alam bnuk psamaan biku: UW ( ) ( ) W γ T, γ > an γ, γ ngan γ mupakan kofisin ai consan laiv isk avsion. Nilai haapan fungsi kpuasan yang maksimal sblum imn ipsnasikan alam bnuk: max W γ α Ε T. () γ Dai Psamaan () ipolh alokasi opimal unuk as bisiko: * α min,. (3) γσ Buki: liha Lampian.

2 7 ( ) Pmi isiko iunjukkan ngan yang slalu bnilai posiif an γ >, shingga * ijamin nilai α. 3. Pnapaan ai Anuias Saa Rimn Diasumsikan paa saa imn sluuh as yang kumpul ialokasikan kmbali k alam bnuk anuias. Paa saa imn ahap pngakumulasian as bakhi, an ahap pnimaan ai anuias sga imulai. Paa ahap pnimaan ai anuias, invsasi as yang kumpul i alam sub-kning bbas isiko akan mnghasilkan pmbayaan anuias ap sga an invsasi as i alam sub-kning bisiko akan mnghasilkan pmbayaan anuias vaiabl sga. 3.. Anuias Tap Sga (ATS) Anuias ap sga aalah angkaian pnimaan pnapaan ngan jumlah yang ap paa siap akhi pio. Diasumsikan paa saa imn ssoang busia x mmiliki kkayaan sbsa W. Jika sluuh kkayaan W igunakan unuk mmpolh anuias ap sga, maka iniviu sbu akan mnima pnapaan konsan sumu hiup p ahun sbsa: W c ax () (4) ngan a x () ifinisikan sbagai anuias ap sga: x x a () ( p ) (5) ngan: : ingka bunga bbas isiko p x : pluang iniviu bumu x akan mncapai usia x +. Anuias ap sga a () mupakan nilai x skaang ai angkaian pmbayaan siap akhi ahun ngan fako bunga sbsa an fungsi inikao bahan hiup iniviu inyaakan ngan p x. Difinisikan pcpaan kmaian: η x ln G() (6) ngan G( ) mupakan fungsi sbaan yang mnyaakan pluang ssoang bumu x mninggal alam kuun waku ahun. Pluang soang bumu x akan mncapai usia x + ipolh mlalui pnuunan psamaan (6) an iapa: px xp η s s. (7) Buki: liha Lampian. Jumlah pnapaan pioik sumu hiup juga bganung paa sbaan sisa hiup iniviu. Dalam kaya ulis ini hanya akan ibahas kasus kika sisa hiup iniviu mnyba scaa ksponn ATS Kika Sisa Hiup Mnyba Scaa Eksponn Jika sisa hiup iasumsikan mnyba scaa ksponn, maka pcpaan kmaian: ηx ln G() ln λ ( ) ln λ (8) [ λ ] [ λ] λ. Psamaan (7) mnjai: λ s px s ( λ ) s (9) λ s. Anuias ap sga paa Psamaan (5) mnjai: x x λ a () ( p ) ( ) + ( + λ ) ( λ ) ( λ) + (), λ + ngan: λ >. Nilai haapan hiup iniviu yang bumu x ifinisikan: x E( T( x) ) g()

3 8 ngan g () mupakan fungsi kpkaan pluang ai pubah acak T. Paa kasus sisa hiup mnyba scaa ksponn, fungsi kpkaan pluang g ( ) mnjai: g shingga: ( ) λ λ Misalkan: u u v λ λ v λ maka: λ λ x λ λ. x v u λ λ λ λ uv λ + () λ Dai Psamaan (4) an () pnapaan konsan sumu hiup ai anuias ap sga paa waku mnjai: W c ax () () ( λ + W ). Psamaan (8), () an () apa mnangkan bahwa smakin inggi pcpaan kmaian akan bakiba paa pnuunan haapan hiup an pnapaan konsan sumu hiup akan mngalami pningkaan. 3.. Anuias Vaiabl Sga (AVS) Pilihan lain ai anuias ap sga aalah anuias vaiabl sga. Anuias vaiabl sga aalah anuias vaiabl yang sga icaikan paa iap akhi pio slah ahap pngakumulasian ana bakhi. Anuias vaiabl sga mnghasilkan jumlah pnapaan bflukuasi bganung haga saham i pasa busa. Suau invsasi awal sbsa W yang ialokasikan unuk mnapakan anuias vaiabl sga akan mnghasilkan pnimaan sumu hiup p ahun sbsa: W c ax ( h ), (3) ngan ax ( h) ifinisikan sbagai anuias vaiabl sga: h ax( h) ( px), (4) ngan h aalah ingka iskon. Diasumsikan ingka iskon h bubah-ubah api masih alam kisaan isbu assum ins a (AIR). Anuias vaiabl sga a h () mupakan nilai skaang ai angkaian pmbayaan siap akhi ahun ngan fako bunga sbsa h an fungsi inikao bahan hiup iniviu inyaakan ngan px. Unuk siap pnapaan ai AVS, iniviu akan mmpolh pnapaan vaiabl (acak) yang bganung paa ingka imbal hasil ai as bisiko yang ipilih. Jika ingka imbal hasil paa as bisiko alam pio nu lbih nah aipaa AIR, maka pnapaan vaiabl akan mnuun. Sbaliknya, ingka imbal hasil ai as bisiko lbih bsa aipaa AIR, pnapaan vaiabl akan mningka. Misalkan alokasi as sluuhnya masuk k alam as bisiko ( shingga α ) ngan ingka iskon sbsa h, i mana inamika haganya mngikui Psamaan (): W W ( µ h) + σwb; W W (5) W ( µ h) + σ B. W Pngingalan kua uas mnjai: Ws ( µ h) + σ B,( B ) (6) Ws Pnylsaian sisi kii ai Psamaan (6) mnggunakan Toma Fomula Io -Dimnsi. Misalkan: g(, w) ln w ; w> Y g(, W) Y lnw g g Y ( W, ) + ( W, ) W w g + (, )( ), W W w

4 9 shingga: ( lnw) ( lnw) ( lnw) + W w ( lnw ) ( W ) + w W + W W ai Psamaan (5): W W µ h + σw B ( W ) (7) ( ) ( W) ( W ( µ h) + σwb) ( W ( µ h) ) + ( σwb ) + ( W ( µ h) )( σwb ) ( W) ( W ( µ h) ) ( ) + ( σw) ( B ) + ( W ( µ h) )( σw )( B ) W σ ngan: B B, B B. Shingga Psamaan (7) mnjai: ( lnw) W σ W W W W σ W aau: W ( ln W ) + σ W Pngingalan kua uas mnjai: Ws W ln + σ. (8) Ws W Dai Psamaan (6) an Psamaan (8) iapa psamaan: W ln + σ ( µ h) + σb W W ln ( µ h) σ + σb W W ln µ h σ + σb W W xp µ h σ + σb W W W xp µ h σ + σb. Kana invsasi awal W W maka invsasi as bisiko paa saa mnjai: W W xp µ h σ + σb. (9) Psamaan (9) mnunjukkan bahwa invsasi as bisiko ipngauhi volailias σ yang mnyaakan ingka kacakan haga saham ai as pokok yang ipilih, an B aalah bagian yang mnganung kacakan/ kiakpasian ai haga saham. Dngan mnggunakan nilai W ai Psamaan (9), maka pnapaan ai anuias vaiabl sga paa Psamaan (3) mnjai: W σ c xp h +σb. () a x ( h) 3... AVS Kika Sisa Hiup Mnyba Scaa Eksponn Anuias vaiabl sga kika sisa hiup mnyba scaa ksponn paa Psamaan (4) mnjai: h a ( h) ( P ) x x h λ h + ( ) ( h + λ ) ( λ) ( λ ) h+ (). λ + h Aus pnapaan sumu hiup ai anuias vaiabl sga paa Psamaan () mnjai: σ c ( λ+ h) W xp h +σb. () Jika AIR sama ngan ingka bbas isiko, shingga h, an as yang aa mupakan as bbas isiko, maka an σ, shingga oal pnapaan p pio akan sama ngan kasus anuias ap sga sbsa: c ( λ + ) W. Tingka imbal hasil yang ihaapkan yang smakin nah akan mnuunkan pnimaan pnapaan sumu hiup. 3.3 Alokasi As Saa Rimn Paa saa imn kpuusan mmilih anaa alian pmbayaan ap an vaiabl bukanlah pilihan muah. Iniviu apa mmilih kombinasi apapun ai alian pmbayaan ap an vaiabl. Jika α mnunjukkan poposi alokasi paa as α sbagai poposi alokasi bisiko an ( )

5 as bbas isiko, maka pmbayaan anuias sga paa saa imn mupakan suau kombinasi imbal hasil ai kua anuias sbu. Pmilihan AIR ai anuias vaiabl sga paa ingka bbas isiko akan mnghasilkan alian kombinasi anuias ngan pnapaan sumu hiup yang ipsnasikan paa Psamaan (3). W σ c xp α + ασb. a x () (3) Psamaan (3) ipolh mlalui pnylsaian psamaan: c c c α + ( α). c c c (4) Buki: liha Lampian 3. Paa Psamaan (4), apa iliha bahwa c mupakan fungsi ai α, yang mnunjukkan bagian ai ksluuhan ingka alian uang alam waku koninu yang masuk k alam anuias vaiabl sga. Hal ini apa mngaskan bahwa kika α, alian pnapaan mnjai vaiabl sluuhnya. Paa saa α pnapaan ai anuias akan mnjai ap. Nilai apapun ai α yang mungkin jai i anaa nol an sau, akan mnghasilkan bbagai ingka vaiasi kombinasi alokasi as anaa kuanya. Paa ahap konsumsi, iniviu akan mmaksimalkan haapan kpuasan konsumsi yang lah iiskon, imana fungsi kpuasan iasumsikan alam bnuk CRRA: uc () (/( γ )) c γ ngan fako iskon ρ. Kpuasan konsumsi yang lah iiskon mupakan pubah acak, shingga fungsi kpuasan konsumsi yang lah iiskon apa iuliskan alam psamaan: T ρ γ U( α) c γ ngan ρ, γ,anc spi yang ifinisikan sblumnya. Nilai haapan kpuasan konsumsi yang lah iiskon mnjai: T ρ γ EU ( α) E c γ ngan: T E g( B) E g( B) { T> } (5) E g( B)( px). Psamaan (5) mnunjukkan bahwa T iak bganung paa B, sbagai conoh pgakan haga saham iak mmpngauhi kshaan iniviu, an mnunjukkan { T > } fungsi inikao ai kjaian kmaian yang jai slah, shingga: ρ γ EU ( α) E c ( px). (6) γ 3.3. Alokasi Opimal Kika Sisa Hiup Mnyba Scaa Eksponn Dngan mnggunakan nilai c ai Psamaan (3) an nilai a x () ai Psamaan (), maka nilai haapan kpuasan konsumsi yang lah iiskon paa kasus sisa hiup mnyba scaa ksponn ipsnasikan paa Psamaan (7). γ ρ λ ασ EU ( α) E λ W xp α ασ B + + γ γ γ ( ). (7) Pnyhanaan Psamaan (7): ( λ + ) γ γ W EU ( α) ( γ) λ+ ρ ( γ) α ( γ) ασ ngan: α ; γ > an γ ( ασ ) ( ) ( ασ ) ( ) ( ) λ+ ρ ( γ) α γ ασ > < λ+ ρ +. Buki: liha Lampian 4. (8)

6 Psamaan (8) mmbikan nilai haapan kpuasan konsumsi sbagai suau fungsi ai vaiabl α ngan α yang mnunjukkan pilihan unuk mmpolh anuias ap sga an anuias vaiabl sga. Kpuasan konsumsi yang maksimal ( ) ' λ+ W) ( γασ ) EU ( α) λ ρ ( γ) α ασ + ( ) (( γ) ασ) ngan: α ; γ > an γ < λ+ ρ +. Buki: liha Lampian 5. γ ai EU ( α ), ipolh ngan mnuunkan EU ( α ) haap α an mnyaakan ngan nilai nol, EU '( α ). Dai pnuunan EU ( α ) paa Psamaaan (8) maka ipolh Psamaaan (9). (9) Nilai α yang opimal icapai saa EU '( α ), an ipolh: α γσ, (3) Buki : liha Lampian 6. kana α, shingga kpuasan konsumsi yang maksimal capai saa: ** α min,. γσ (3) Psamaan (3) mnjlaskan alokasi as opimal saa imn iak bganung paa ingka iskon ρ maupun fako kmaian λ. Hal ini analog ngan alokasi as opimal sblum imn yang iunjukkan paa Psamaan (3). Uji uunan kua ai nilai haapan kpuasan konsumsi yang lah iiskon EU ( α ) ipolh: " ** EU ( α ) <, (3) Buki: liha Lampian 7. ** shingga α mupakan nilai yang opimal unuk EU ( α ). IV CONTOH PENERAPAN 4. Conoh Pnapan Sblum Rimn Diasumsikan poposi alokasi as bisiko sbsa α an poposi alokasi as bbas isiko sbsa ( α ). Misalkan: kofisin CRRA γ.5 volailias σ % ingka imbal hasil yang ihaapkan % ingka imbal hasil konsan 5%. Pngauh pningkaan γ, σ,, an haap α apa iliha paa Tabl,, 3 an 4. Tabl. Pngauh kofisin CRRA γ haap α %, 5% an σ % γ α γ α