KONDISI MINIMAL BAGI KESETIMBANGAN DUOPOLI COURNOT DAN STACKELBERG

Transkripsi

1 KONDISI MINIMAL BAGI KESETIMBANGAN DUOPOLI COURNOT DAN STACKELBERG Oleh: NITA ARIANI G54009 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 007

2 ABSTRAK NITA ARIANI Kondii Minimal Bagi Keetimbangan Duopoli Cournot dan Stackelberg Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan SISWANDI Dalam model duopoli, dimana dalam paar terdapat dua peruahaan yang aling beraing, etiap peruahaan bertujuan memperoleh imbalan yang makimum Untuk mewujudkan tujuan terebut diperlukan trategi Kuantita merupakan alah atu trategi peruahaan Strategi terebut dapat dimainkan ecara imultan atau ekuenial Permainan imultan terjadi jika para pemain memutukan bergerak pada aat yang ama, edangkan permainan ekuenial terjadi jika para pemain memutukan bergerak pada waktu yang berbeda Permainan imultan dengan kuantitaebagai trategi yang dipilih akan menghailkan model duopoli Cournot, edangkan permainan ekuenial dengan kuantitaebagai trategi yang dipilih akan menghailkan model duopoli Stackelberg Karya tuli ini membaha bagaimana uatu kondii minimal pada harga paar dan fungi biaya peruahaan akan menyebabkan peruahaan lebih memilih model duopoli Cournot atau Stackelberg, ehingga imbalan yang didapatnya makimum Harga paar yang log konkaf akan menimbulkan model duopoli Cournot Pada kau ini pilihan koreponden tanggapan terbaiknya merupakan fungi turun Jika harga paarnya log konvek dan tak ada biaya produki, pilihan koreponden tanggapan terbaiknya merupakan fungi naik dan akan menimbulkan model duopoli Stackelberg

3 KONDISI MINIMAL BAGI KESETIMBANGAN DUOPOLI COURNOT DAN STACKELBERG Skripi Sebagai alah atu yarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sain pada Fakulta Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Intitut Pertanian Bogor Oleh : NITA ARIANI G54009 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 007

4 Judul : Kondii Minimal Bagi Keetimbangan Duopoli Cournot dan Stackelberg Nama : Nita Ariani NRP : G54009 Menyetujui: Pembimbing I, Pembimbing II, Ir Retno Budiarti, MS NIP Dr Siwandi, MSi NIP Mengetahui: Dekan Fakulta Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Intitut Pertanian Bogor Prof Dr Ir Yonny Koemaryono, MS NIP Tanggal Lulu :

5 KATA PENGANTAR Puji yukur penuli haturkan kehadirat Allah SWT yang telah memberi egala limpahan rahmat ehingga penuli dapat menyeleaikan penulian karya ilmiah ini Shalawat erta alam tercurah kepada junjungan kita, Nabi Muhamad SAW Skripi yang berjudul Kondii Minimal Bagi Keetimbangan Duopoli Cournot dan Stackelberg ini merupakan alah atu yarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Sain Penyuunan kripi ini tentunya tidak akan eleai dengan baik tanpa adanya dorongan dan bantuan yang diberikan oleh berbagai pihak Penuli mengucapkan terima kaih yang tak terhingga kepada Ibu Ir Retno Budiarti, MS dan Bapak Dr Siwandi, MSi elaku pembimbing yang dengan penuh keabaran memberikan bimbingan kepada penuli dan Bapak Dr Effendi Syahril, Grad Dipl elaku penguji yang telah memberikan aran dan kritik Tak lupa penuli ucapkan terima kaih kepada: Kedua orantua tercinta dan adik terayang, Ari, untuk emua doa dan dukungannya elama ini Rabah Amir, terima kaih ata bantuan refereninya Bapak Doni, terima kaih untuk kiriman jurnalnya 3 Dyana Terima kaih untuk perahabatan yang maih terjalin indah hingga kini Ocha, terima kaih untuk emua aran yang telah diberikan 4 Lina, Hani, Kiki, Leni, Nia, dan Venti Terima kaih telah membuat maa arama menjadi teraa menyenangkan 5 Ikhe, Wenny, Mega, Dina, Tami, Dei, Rany, Tika dan kawan-kawan di Matematika 39 Semoga keceriaan dan perahabatan ini tetap terjaga Dei, terima kaih untuk keediaannya menguru konumi eminar Dina, terima kaih ataemua bantuannya elama ini, terutama aat menjelang idang Ikhe, terima kaih elalu ada diaat-aat genting 6 Vina, Indah, Uli, terima kaih untuk keediaannya menjadi pembaha 7 Ibu Sui, Ibu Ade erta eluruh taf Departemen matematika Terima kaih ataemua bantuannya elama ini Serta emua pihak yang telah membantu ampai eleainya kripi ini Bogor, Januari 007 Nita Ariani

6 RIWAYAT HIDUP Penuli lahir di Bogor, Jawa Barat pada tanggal 3 Juli 984 ebagai anak pertama dari dua beraudara, anak dari paangan Sarwono dan Rochana Partiningih yang beralamat di Jalan Veteran III Rt 06/0 Banjarari Kecamatan Ciawi Kabupaten Bogor Tahun 00, penuli lulu dari SMUN I Ciawi, Bogor dan pada tahun yang ama lulu eleki mauk IPB melalui jalur Undangan Seleki Mauk IPB Penuli memilih Program Studi Matematika, Fakulta Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penuli pernah aktif menjadi anggota himpunan profei matematika yang dikenal dengan nama GUMATIKA dalam Departemen Keekretariatan maa kepenguruan 003/004

7 DAFTAR ISI Halaman I PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan 3 Sitematika Penulian II LANDASAN TEORI Teori Permainan Model Cournot dan Stackelberg 3 3 Fungi Konvek dan Fungi Konkaf 3 4 Interior Solution 3 5 Fungi Naik dan Fungi Turun 4 6 Kekompakan 4 7 Titik Tetap Tarki 5 III PEMODELAN 3 Keetimbangan Cournot-Nah dan Stackelberg 6 IV PEMBAHASAN 4 Aumi 8 4 Permainan Supermodular 8 43 Permainan Duopoli Cournot 44 Permainan Duopoli Stackelberg 3 V SIMPULAN 5 VI DAFTAR PUSTAKA 5

8 I PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam teori ekonomi, etiap peruahaan diaumikan bertujuan memperoleh imbalan yang makimum Imbalan yang didapat bergantung pada trategi yang diambil peruahaan Kuantita merupakan alah atu trategi peruahaan Dalam model duopoli dimana dalam paar terdapat dua peruahaan yang aling beraing, etiap peruahaan dapat memilih trategi ecara imultan atau ekuenial Model duopoli dengan kuantita ebagai trategi yang dipilih diebut duopoli kuantita ( Amir dan Grilo 999 Hamilton dan Slutky (990 mengkontruki ebuah permainan yang diperlua dengan model endogenou timing pada duopoli Endogenou timing adalah uatu permainan dimana etiap pemainnya memiliki dua periode untuk memilih trategi Permainan yang diperlua terebut dikontruki dari model duopoli ederhana, dimana ebelum permainan berlangung peruahaan memutukan di periode ke berapakah memilih trategi Model duopoli ederhana kemudian dimainkan menurut keputuan waktu terebut, ecara imultan atau ekuenial Jika para pemain memutukan bergerak pada aat yang ama, terjadi permainan imultan Tetapi jika para pemain memutukan bergerak pada waktu yang berbeda, terjadi permainan ekuenial Duopoli Cournot dan Stackelberg maingmaing merupakan aplikai permainan imultan dan ekuenial dengan kuantita ebagai trategi untuk memakimumkan imbalan Mialkan dalam paar terdapat dua peruahaan dengan produk yang dihailkan adalah air kemaan Untuk memakimumkan imbalannya peruahaan dapat memutukan berproduki pada periode atau periode Jika kedua peruahaan berproduki pada periode yang ama maka terjadi model duopoli Cournot, edangkan jika kedua peruahaan berproduki pada periode yang berbeda terjadi model duopoli Stackelberg Dalam karya ilmiah ini akan dibaha uatu kondii minimal yang menyebabkan peruahaan lebih memilih model duopoli Cournot atau duopoli Stackelberg agar imbalan yang didapat makimum Karya ilmiah ini merupakan rekontruki dari tulian Rabah Amir dan Iabel Grilo (999 yang berjudul Stackelberg veru Cournot equilibrium Tujuan Penulian Tujuan dari penulian karya ilmiah ini adalah menunjukkan bahwa dengan memberikan uatu kondii minimal pada harga paar dan fungi biaya, peruahaan akan lebih memilih model duopoli Cournot atau duopoli Stackelberg untuk memakimumkan imbalannya 3 Sitematika Penulian Pada bab pertama dijelakan latar belakang dan tujuan dari penulian karya ilmiah ini Bab dua berii landaan teori yang menjadi konep daar dalam penyuunan pembahaan Pada bab tiga diberikan pemodelan keetimbangan Cournot dan Stackelberg yang akan digunakan dalam pembahaan Bab empat berii tentang kondii minimal yang akan menyebabkan terjadinya model duopoli Cournot dan Stackelberg Kemudian bab lima berii impulan dari karya ilmiah ini II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan teori yang menjadi landaan pengerjaan karya ilmiah ini Berikut ini adalah definii-definii mengenai itilah ekonomi yang digunakan Teori Permainan Secara umum, uatu permainan terdiri ata himpunan pemain, himpunan trategi, dan imbalan yang diperoleh etiap pemain dari trategi yang dipilih Definii [Himpunan Strategi] Himpunan trategi pemain-i A i adalah a yang himpunan dari pilihan trategi i dapat diambil oleh pemain-i dalam uatu permainan Jadi A i = { ai } (Ramuen 990

9 Definii [ Pemain] Pemain adalah individu atau kelompok yang membuat keputuan dari uatu himpunan trategi Dalam uatu permainan, diaumikan etiap pemain mempunyai tujuan untuk memakimumkan imbalan yang didapat (Ramuen 990 Definii 3 [Kombinai Strategi] Kombinai trategi A adalah himpunan terurut yang terdiri dari atu trategi untuk maing-maing n pemain dalam permainan Jadi A = { a,, a n } Untuk model duopoli, kombinai trateginya adalah A = { a, a } (Ramuen 990 Definii 4 [Fungi Imbalan] Fungi imbalan pemain-i ( π i adalah hail yang diterima oleh pemain-i dari kombinai trategi yang telah diambil Dalam model duopoli, fungi imbalan pemain-i dapat dipetakan dengan π i ( a, a : [ 0, [ 0, R (Ramuen 990 Definii 5 [Bentuk Ektenif] Bentuk ektenif permainan menjabarkan: Para pemain a Kapan tiap pemain berproduki b Strategi yang diambil pemain pada tiap keempatan dia boleh berproduki c Apa yang diketahui tiap pemain pada keempatan dia boleh berproduki 3 Imbalan yang diterima tiap pemain untuk etiap kombinai trategi yang dapat dipilih para pemain (Gibbon 99 Bentuk ektenif dapat digambarkan dalam bentuk pohon permainan Berikut ini adalah contoh uraian permainan dalam bentuk ektenif Pemain- memilih trategi a dari himpunan trategi A = { a, a} Pemain- mengamati a kemudian memilih a dari A = { a, a } 3 Imbalannya adalah π ( a, a dan π ( a, a yang akan ditunjukkan dalam pohon permainan dibawah ini a a a a a ( a ( a π, a π, a ( a ( a π, a π, a Gambar π ( a, a, ( π a, a Pohon permainan ini dimulai dari titik impul keputuan untuk pemain- dimana a pemain- dapat memilih trategi a atau Jika pemain- memilih a, maka dicapai titik impul keputuan untuk pemain- dimana dia memilih trategi a atau a Demikian pula jika pemain- memilih a, maka dicapai titik impul keputuan untuk pemain- dimana dia dapat memilih trategi a atau a Berdaarkan pilihan trategi dari maing-maing pemain, dicapai titik impul akhir yang menunjukkan imbalan yang diterima pemain Mial imbalan yang diterima pemain diperlihatkan eperti pada Gambar Bari pertama menunjukkan imbalan untuk pemain-, edangkan bari kedua menunjukkan imbalan untuk pemain- Jika pemain- memilih a dan pemain- memilih a, maka imbalan yang diterima pemain- adalah π ( a, a dan imbalan untuk pemain- adalah π ( a, a, dan eterunya Definii 6 [Subgame] Subgame adalah bagian dari permainan yang dimulai dari uatu titik impul pada permainan yang berbentuk ektenif (Ramuen 990 Definii 7 [Keetimbangan Nah] Keetimbangan Nah adalah kombinai trategi A * dimana tidak ada dorongan bagi etiap pemain untuk melakukan perubahan trategi apabila pemain-pemain lain tidak melakukan perubahan trategi, yang dapat dirumukan dengan: a π ( a,a π ( a,a

10 3 i, π i π * * * * * ( a,, ai, ai, ai+,, an * * ( a,, a, a, a,, a i * i i * i+ untuk emua kemungkinan trategi ai Ai Untuk model duopoli, keetimbangan Nah dapat dirumukan dengan: * * * π a, a π a a ( ( * * * ( a, a π ( a a, π, n (Ramuen 990 Definii 8 [Keetimbangan Nah Subgame-Perfect ] Suatu keetimbangan Nah merupakan ubgame-perfect jika trategi para pemain merupakan keetimbangan Nah di etiap ubgame (Gibbon 99 Model Cournot dan Stackelberg Definii 9 [Model Cournot] Model Cournot adalah model permainan imultan, etiap peruahaan memilih kuantitaebagai trategi untuk memakimumkan imbalan, barang yang diproduki homogen, dan fungi imbalan maing-maing pemain diketahui oleh emua pemain (Gibbon 99 Definii 0 [Model Stackelberg] Model Stackelberg adalah ebuah model dinami, yaitu pemain (leader bergerak lebih dulu, kemudian diikuti oleh pemain lainnya (follower Secara umum, langkah pada permainan ini adalah: Pemain- (leader memilih trategi a A Pemain- (follower mengamati a dan menentukan trategi a A 3 Fungi imbalan maing-maing pemain adalah π ( a, a dan π ( a, a (Gibbon 99 Duopoli Cournot merupakan aplikai permainan imultan edangkan duopoli Stackelberg merupakan aplikai permainan ekuenial Berikut adalah definii, teorema dan lemma yang digunakan untuk pembuktian lemma dan teorema dalam pembahaan 3 Fungi konvek dan Fungi Konkaf Definii [Fungi Konvek] Mialkan f adalah fungi bernilai real yang terdefinii pada elang I Fungi f dikatakan konvek di I jika: f ( λx + ( λ x λf ( x + ( λ f ( x, untuk etiap x, x I dan untuk etiap λ dengan 0 λ (Pereini, Sullivan dan Uhl Jr 988 Definii [Fungi Konkaf] Mialkan f adalah fungi bernilai real yang terdefinii pada elang I Fungi f dikatakan konkaf di I jika: f ( λx + ( λ x λf ( x + ( λ f ( x, untuk etiap x, x I dan untuk etiap λ dengan 0 λ (Pereini, Sullivan dan Uhl Jr 988 Definii 3 [Log Konkaf dan Log Konvek] Fungi F : R + R adalah log konkaf jika fungi log F adalah konkaf Fungi F : R + R adalah log konvek jika fungi log F adalah konvek (Amir Interior Solution Definii 4 [Daerah Fiibel] Mialkan f, g,, g m adalah fungi bernilai real yang didefiniikan pada n C R Mialkan program nonlinear: Minimumkan f ( x terhadap ( P g ( x 0, g ( x 0,, g m ( x 0, n dimana x C R Fungi f diebut fungi objektif dari (P dan ketakamaan g ( x 0,, g ( x 0 m diebut kendala untuk (P Titik x C yang memenuhi emua kendala dari program (P diebut titik fiibel untuk (P, dan himpunan emua titik fiibel untuk (P diebut daerah fiibel untuk (P (Pereini, Sullivan dan Uhl Jr 988 Definii 5 [Interior Solution] Interior olution adalah olui dari uatu maalah optimiai yang terjadi didalam daerah fiibel (Chiang dan Wainwright 005

11 4 5 Fungi Naik dan Fungi Turun Definii 6 [Fungi Naik dan Fungi Turun] a Fungi f diebut naik pada elang I jika f ( x < f ( x bilamana x < x pada I b Fungi f diebut turun pada elang I jika f ( x > f ( x bilamana x < x pada I (Stewart Kekompakan Definii 7 [Fungi Kontinu] Sebuah fungi f kontinu pada ebuah bilangan a jika lim f x = f a (Stewart 998 x a ( ( Definii 8 [Ruang Metrik] Mialkan M embarang himpunan dan ρ adalah fungi dengan ρ : M M [ 0, edemikian ehingga x, y, z M memenuhi: a ρ ( x, x = 0 b ρ ( x, y > 0, x y c ρ ( x, y = ρ( y, x d ρ ( x, y ρ( x, z + ρ( z, y maka ρ diebut metrik untuk M dan ( M, ρ diebut ruang metrik (Goldberg 976 Definii 9 [Barian Cauchy] Barian bilangan real { x } n n= diebut barian Cauchy jika: ε > 0, n N m n n x x < ε 0, 0 m n (Goldberg 976 Definii 0 [Kekonvergen Barian] x dikatakan Barian bilangan real { } n n= konvergen ke L jika { } n n= x mempunyai limit L (Goldberg 976 Definii [Ruang Metrik Lengkap] Mialkan ( M, ρ ruang metrik M diebut ruang metrik lengkap jika etiap barian Cauchy di M konvergen di M (Goldberg 976 Definii [Supremum dan Infimum] Suatu bilangan u R diebut upremum (bata ata terkecil dari S R jika memenuhi dua kondii berikut: i u S ii Jika v S, maka u v Suatu bilangan w R diebut infimum (bata bawah terbear dari S R jika memenuhi dua kondii berikut: i w S ii Jika v S, maka v w (Bartle dan Sherbert 98 Definii 3 [Terbata] Mialkan ( M, ρ ruang metrik Himpunan A M dikatakan terbata jika L > 0 ehingga ρ ( x, y L x, y A Jika A terbata, maka didefiniikan diameter A ebagai : diam A = up x, y x, y A ( Jika A tidak terbata, maka didefiniikan diameter A ebagai: diam A = + (Goldberg 976 Definii 4 [Terbata Total] Mialkan ( M, ρ ruang metrik dan A M Himpunan A diebut terbata total jika ε > 0, Ai, i =,, n dimana A i M dengan diam A i < ε ehingga A Ai n i= (Goldberg 976 Sebagai ilutrai, ruang metrik [ a, b] dengan a, b R adalah terbata total Definii 5 [Kompak] Ruang metrik ( M, ρ diebut ruang metrik kompak jika ( M, ρ lengkap dan terbata total (Goldberg 976 Teorema [Ruang Metrik Lengkap] Jika ( M, ρ adalah ruang metrik lengkap dan A M, maka ( A, ρ adalah lengkap (Goldberg 976 Bukti dapat dilihat pada Goldberg (976 Dari Teorema, karena R lengkap maka [ a, b] R adalah lengkap Karena [ a, b] juga terbata total, maka menurut Definii 5 [ a, b] merupakan ruang metrik kompak dengan metrik ρ nilai mutlak

12 5 7 Titik Tetap Tarki Definii 6 [Lattice] Himpunan S dikatakan lattice jika untuk x, y, ada etiap himpunan dua titik { } S upremum untuk { x, y} (dinotaikan dengan x y, dikatakan gabungan x dan y dan infimum (dinotaikan dengan x y, dikatakan irian x dan y dalam S (Milgrom dan Robert 990 Definii 7 [Complete Lattice] Mialkan himpunan S adalah lattice Lattice S diebut complete jika untuk emua himpunan bagian tak koong T S, Inf ( T S dan Sup ( T S (Milgrom dan Robert 990 Definii 8 [Titik Tetap] Mial diberikan item peramaan diferenial (SPD ebagai berikut: dx n = x = f ( x, x R dt * Titik x diebut titik tetap jika f ( x * = 0 Titik tetap diebut titik kriti atau keetimbangan (Tu 994 Teorema [Titik Tetap Tarki] Jika T adalah complete lattice dan f : T T adalah fungi tak turun, maka f mempunyai titik tetap Selain itu, himpunan titik tetap f mempunyai Sup{ x T f ( x x} ebagai anggota terbearnya dan Inf { x T f ( x x} ebagai anggota terkecilnya (Tarki 955 Bukti dapat dilihat pada Tarki (955 Definii 9 [Order Upper Semi- Continuou] Mialkan diberikan complete lattice S dan C S edemikian ehingga untuk embarang x C dan y C, x y atau y x Fungi f : S R adalah order upper emi-continuou jika ( ( ( up f x f inf C dan ( C up f ( x f ( up( C ( C (Milgrom dan Robert 990 lim x C, x inf lim x C, x up Mialkan M adalah himpunan pemain dimana M finite atau infinite Maing-maing pemain m M mempunyai himpunan trategi A m = { a m } dan trategi peaingnya dinotaikan dengan a m Fungi π a, a imbalan pemain-m adalah ( m m m Teorema 3 [Keetimbangan] Mialkan a m dan a m adalah anggota terkecil dan terbear dari A m, y dan z adalah dua keetimbangan dengan y z Jika π m ( a m, a m naik dalam a m, maka π m ( y π m ( z Jika π m ( a m, a m turun dalam a m, maka π m ( y π m ( z Jika kondii ( dipenuhi untuk beberapa himpunan bagian pemain M dan kondii ( dipenuhi untuk pemain lain M \ M, maka keetimbangan terbear adalah keetimbangan terpilih untuk pemain di M dan pilihan terkecil untuk para pemain lainnya, ementara keetimbangan terkecil adalah pilihan terkecil pemain di M dan pilihan terbear para pemain ia (Milgrom dan Robert 990 Bukti dapat dilihat pada Milgrom dan Robert (990 Definii 30 [ Arg mak] Arg mak (Argumen makimum adalah himpunan nilai yang menyebabkan uatu fungi mencapai nilai makimum, yaitu: argmakf x x y : y x f y < f x x ( { ( ( ( } (Wikipedia 006

13 6 III PEMODELAN 3 Keetimbangan Cournot-Nah dan Stackelberg Mialkan P ( adalah harga paar dalam model duopoli dengan produk homogen, C ( : [ 0, [ 0, adalah fungi biaya peruahaan-, C ( : [ 0, [ 0, adalah fungi biaya peruahan-, x adalah kuantita peruahaan- dan y adalah kuantita peruahaan- Imbalan dari peruahaan- adalah: π ( x, y = xp( x + y C( x dan imbalan peruahaan- adalah: π ( x, y = yp( x + y C ( y Definii 3: Keetimbangan Cournot- Nah Keetimbangan Cournot-Nah adalah paangan ( x N, y N edemikian ehingga x, y 0 berlaku: N N N N N N π x y π x, y dan π x, y x, y ( ( ( (, π Mialkan permainan dilakukan ecara ekuenial dan peruahaan- ebagai leader Dalam etiap tahap permainan, pemain mengetahui apa yang telah terjadi atau yang telah dilakukan oleh pemain lain pada tahap ebelumnya dimana follower mengamati tindakan leader ebelum bertindak Definii 3: Keetimbangan Stackelberg Keetimbangan Stackelberg ( x, g ( adalah keetimbangan ubgame perfect dari permainan dua tahap, edemikian ehingga: i π x, g x π x, g x x 0 ( ( ( ( ( ( ii π ( x, g ( x π ( x, y y 0 Keetimbangan Stackelberg ini terletak pada koreponden tanggapan terbaik pemain-, yang didefiniikan ebagai: r ( x = arg makπ ( x, y y 0 dimana tidak ada x 0, x x edemikian π x, y > π x, y y r x ehingga ( ( (, Selanjutnya akan diberikan uatu bentuk ektenif dari permainan yang diperlua, Digambarkan dalam pohon permainan berikut ini e l e l e l Gambar Permainan yang diperlua dikontruki dari model duopoli ederhana, dimana ebelum permainan berlangung, peruahaan memutukan di periode ke berapakah memilih trategi Mialkan jika peruahaan memilih trategi pada periode pertama

14 7 dinotaikan dengan early (e, edangkan bila peruahaan memilih trategi pada periode kedua dinotaikan dengan late (l Model duopoli ederhana kemudian dimainkan menurut keputuan waktu terebut, ecara ekuenial atau imultan Permainan imultan terjadi jika kedua pemain memutukan bergerak pada periode yang ama Aplikai dari permainan ini adalah model duopoli Cournot Jika kedua pemain memutukan bergerak pada periode yang berbeda terjadi permainan ekuenial, dimana dalam etiap periode permainan, pemain mengetahui apa yang telah terjadi atau yang telah dilakukan oleh pemain lain pada periode ebelumnya Model duopoli Stackelberg merupakan aplikai permainan imultan Diberikan model duopoli ederhana Mialkan N adalah himpunan trategi keetimbangan Nah, S i adalah himpunan trategi keetimbangan Stackelberg dengan pemain-i ebagai leader, dan E adalah himpunan ubgame perfect Nah equilibria dari permainan yang diperlua Elemen dari himpunan E dapat dituliebagai paangan waktu (early (e atau late (l dan model duopoli ederhana (imultan atau ekuenial Propoii Mial diberikan himpunan trategi keetimbangan ubgame perfect dari permainan yang diperlua E dan model duopoli ederhana dengan N dan, i =, π e l > l, l dan S i Ketika ( (, π ( l e ( l, l π, > π, maka pernyataan berikut benar: a Jika π ( e, e > π ( l, e dan π ( e, e > π ( e, l, maka diperoleh E = {( e, e, N} b Jika π ( l, e > π ( e, e dan π ( e, l > π ( e, e, maka diperoleh E = e, l, S l, e S {( } {( }, Bukti a Dari hipotei diketahui bahwa pemain- lebih baik berada pada kombinai trategi (e,l daripada (l,l Hal yang ama berlaku untuk pemain- yang lebih baik berada pada kombinai trategi (l,e daripada (l,l Pemain- juga akan lebih memilih imbalan pada kombinai trategi (e,e daripada (l,e dan pemain- lebih memilih imbalan pada kombinai trategi (e,e daripada (e,l Maka e adalah trategi dominan untuk kedua pemain terebut ehingga E = {( e, e, N} b Dari hipotei diperoleh bahwa pemain- lebih memilih hail kombinai trategi (e,l daripada (l,l dan bahwa pemain- lebih memilih hail kombinai trategi (l,e daripada (l,l Tak ada keuntungan yang akan diperoleh pemain- jika mengubah trateginya, demikian pula pemain- Akibatnya diperoleh E = e, l, S l, e S {( } {( },

15 8 IV PEMBAHASAN 4 Aumi Berikut ini adalah aumi yang digunakan dalam memodelkan permainan a Harga paar P ( merupakan fungi turun dan P ( kontinu b Fungi biaya peruahaan- C ( dan fungi biaya peruahaan- C ( merupakan fungi naik, C ( dan C ( C 0 = kontinu dengan ( 0 4 Permainan Supermodular Berikut ini beberapa pegertian mengenai permainan Supermodular yang digunakan untuk menyeleaikan maalah utama yang akan dibaha dalam tulian ini Definii 33 [Fungi Supermodular dan Submodular] Suatu fungi F : R + R dikatakan upermodular jika untuk emua x x, y y, F x, y F x, y F x, y F x y i ( ( ( (, F R + Suatu fungi : R dikatakan ubmodular jika untuk emua x x, y y, F( x, y F( x, y F( x, y F( x, y (Amir 996 Definii 34 [Fungi Supermodular empurna dan Submodular empurna] Suatu fungi F : R + R adalah upermodular empurna jika untuk emua x x, y y, F x, y F x, y > F x, y F x y ( ( ( (, F R + Suatu fungi : R adalah ubmodular empurna jika untuk emua x x, y y, F( x, y F( x, y < F( x, y F( x, y (Amir 996 Bila dilihat dari turunan keduanya, Definii 34 dapat dituliebagai berikut: Definii 35 [Fungi Supermodular empurna dan Submodular Sempurna] Jika F mempunyai turunan kedua yang F kontinu dan > 0, x, y maka F x y adalah upermodular empurna Jika F mempunyai turunan kedua yang F kontinu dan < 0, x, y maka F x y adalah ubmodular empurna (Amir 996 Definii 36 [Strict Single-Croing Property (SSCP dan Dual Strict Single-Croing Property (Dual SSCP ] Fungi F : [ 0, R mempunyai Strict Single-Croing Property atau SSCP di ( x, y jika: F x, y F x y F x, y > F x y ( ( ( (,, untuk emua x > x, y > y F : 0, mempunyai Fungi [ R dual SSCP di ( x, y jika: F ( x, y F( x y F( x, y < F( x y,, untuk emua x > x, y > y (Amir 996 Teorema 4 [Permainan Supermodular] Duopoli Cournot adalah permainan ordinally upermodular jika memenuhi aumi berikut: P ( merupakan fungi turun dan log konkaf C i (, i =, merupakan fungi naik dan kontinu kiri 3 kuantita Q > 0 edemikian ehingga QP( Q Ci ( Q < 0, i =, untuk emua Q > Q (Amir 996 Bukti dapat dilihat pada Amir (996 Teorema 5 [Koreponden Tanggapan Terbaik yang Tak Naik dan Tak Turun] * x y arg mak F x, y Setiap fungi ( ( x 0 adalah tak turun di y jika F mempunyai SSCP

16 9 * Setiap fungi x ( y arg mak F( x, y x 0 adalah tak naik di y jika F mempunyai dual SSCP (Milgrom dan Shannon 994 Bukti dapat dilihat pada Milgrom dan Shannon (994 Lemma [Fungi Supermodular dan Submodular] Mial f, g : R R, f adalah fungi konkaf dan g adalah fungi konvek, maka fungi bernilai real ( x, y f ( x + y adalah ubmodular pada R + R + ; ( x, y f ( x y upermodular pada lattice ϕ = {( x, y : y 0 dan x y} 3 ( x, y g( x + y upermodular pada R + R + Mial f, g : R R, f adalah fungi konkaf empurna dan g adalah fungi konvekempurna, maka fungi bernilai real ( x, y f ( x + y adalah ubmodular empurna pada R + R + ; ( x, y f ( x y upermodular empurna pada lattice ϕ = {( x, y : y 0 dan x y} ; 3 ( x, y g( x + y upermodular empurna pada R + R + (Amir 996 Bukti dapat dilihat pada Amir (996 Lemma Jika P ( adalah log-konkaf atau P ( " memenuhi P ( x + xp ( x < 0 untuk etiap x 0 dan ada kuantita monopoli optimal untuk peruahaan-i K i edemikian ehingga KP K C K K P K C K, K, i =, ( i( i ( i i( i, maka emua kuantita pada elang ( K, adalah tindakan terdominai untuk peruahaan-i dan etiap pilihan dari korepondeni tanggapan terbaik r i ( merupakan fungi tak naik di kuantita peaingnya Bukti Akan dibuktikan bahwa: Setiap pilihan dari koreponden i tanggapan terbaik r i ( merupakan fungi tak naik di kuantita peaing (Jika π i adalah dual SSCP maka etiap pilihan ri ( merupakan fungi tak naik di kuantita peaing K i, adalah tindakan terdominai untuk peruahaani Semua kuantita di ( Dari hipotei diketahui bahwa P adalah log-konkaf, maka log P ( adalah konkaf Berdaarkan Lemma log P ( x + y adalah ubmodular di + ( x, y R + R, maka untuk embarang x > x, y > y : log log P( x log + y log P( x + y + y log log P( x P( x + y + y ( P( x P( x + y Mial diaumikan bahwa: x + y C ( x xp( x + y C ( x ( Subtitui ( ke rua kanan (, ehingga didapat: x + y C( x + y x P( x C( x Kemudian kali ilang dengan + y x C( x + y x P( x C( x + y Karena x > x, y > y dan berdaarkan hipotei P ( < 0 ( P fungi turun, C ( fungi naik, maka P ( x + y < P ( x + y dan C ( x > C( x, ehingga diperoleh: x C ( x < xp( x C ( x ( 3 Karena ( berimplikai (3 maka π mempunyai dual trict ingle-croing property (dual SSCP

17 0 Mial diaumikan bahwa: y P x + y C y ( ( P( x + y C ( y ( 4 y Subtitui ( ke rua kanan (4, ehingga didapat: yp( x C ( y + y y P( x C ( y Kemudian kali ilang dengan P( x y C ( y P( x y + y C ( y P( x Karena x > x, y > y, P ( fungi turun dan C ( fungi naik, maka P ( x < P( x dan C ( y > C ( y, ehingga diperoleh : y C ( y < y + y C ( y ( 5 Karena (4 berimplikai (5 maka π mempunyai dual SSCP, ehingga π i mempunyai dual SSCP Akibatnya berdaarkan Teorema 5 etiap pilihan i ( r merupakan fungi tak naik di kuantita peaing Berdaarkan hipotei diketahui bahwa K i adalah kuantita monopoli optimal untuk peruahaan-i, maka K i r( 0 Akibatnya imbalan akan menurun jika peruahaan memilih kuantita lebih dari K i, ehingga kuantita di ( K i, tidak dapat menjadi tanggapan terbaik Jadi emua kuantita di ( K i, adalah tindakan terdominai untuk peruahaani Lemma 3 Berdaarkan hipotei Lemma, duopoli kuantita adalah permainan upermodular, maka N tidak koong dan terdapat titik ( x, y dimana peruahaan- (peruahaan- menghailkan kuantita yang lebih tinggi (lebih rendah pada N Titik ( x, y terletak pada ( min r ( r = dan merupakan pilihan keetimbangan Nah peruahaan- yang terendah Bukti Akan dibuktikan bahwa: Duopoli kuantita adalah permainan upermodular dengan N dan terdapat titik ( x, y dimana peruahaan- (peruahaan- menghailkan kuantita yang lebih tinggi (lebih rendah pada N Titik ( x, y terletak pada ( min r ( r = dan merupakan pilihan keetimbangan Nah peruahaan- yang terendah Berdaarkan hipotei Lemma, duopoli kuantita memenuhi Teorema 4 untuk menjadi permainan upermodular yaitu: a P ( merupakan fungi turun dan log konkaf b C i ( merupakan fungi naik dan kontinu kiri, i =, c Karena K i adalah kuantita monopoli optimal untuk peruahaan-i, maka imbalan akan menurun jika peruahaan memilih lebih dari K i Akibatnya ada kuantita pada elang ( K i,, mial Q, yang menyebabkan peruahaan merugi atau QP( Q Ci ( Q < 0 Berdaarkan Lemma duopoli kuantita menjadi permainan upermodular dengan himpunan tindakan efektif [ 0, K ] [ 0, K ] 0, Karena itu, N tidak koong dan [ K i ] merupakan elang tertutup ehingga merupakan complete lattice, dan menurut Teorema, N mempunyai anggota terbear Mialkan diberikan anggota terbear yaitu ( x, y Tetapi berdaarkan Teorema, peruahaan- ekurang-kurangnya memilih ( x, y dari emua keetimbangan di N, maka pada titik ( x, y peruahaan- menghailkan kuantita tertinggi di N, edangkan peruahaan- menghailkan kuantita terendah di N ( y x, ( r karena pada titik ( x, y peruahaan- menghailkan kuantita tertinggi di N, edangkan peruahaan- menghailkan kuantita terendah di N

18 Berdaarkan Teorema untuk pemetaaan, y r y r x yang tak turun akan ( ( ( ( x, mempunyai titik tetap terbear Mialkan ( x y, N titik tetap terbear x, y dan y < y dengan ( r ( Kontradiki dengan titik ektrim ( x, y, maka ( x, y merupakan pilihan keetimbangan Nah peruahaan- yang terkecil Lemma 4 Berdaarkan hipotei Lemma, jika etiap titik ( x, y S haru terletak di r ( dan S = arg mak{ π ( x, y : ( x, y r (}, x 0 dengan r ( adalah pilihan keetimbangan Nah peruahaan- yang terendah, maka π x y x, y ( (, π Bukti Akan dibuktikan: Setiap titik (, y r ( S = arg mak{ π ( x, y : ( x, y r (} x 0 π ( x y ( x, y, π x dan Pertama akan ditunjukkan bahwa etiap titik ( x, y r ( Karena imbalannya kontinu, maka mempunyai pilihan minimum r ( kontinu kanan Mialkan ada keetimbangan Stackelberg x y r edemikian ehingga (, ( r ( x y > Dari Lemma diketahui bahwa etiap pilihan r ( adalah tak naik Karena itu, himpunan titik di r ( tidak bernilai tunggal erupa dengan himpunan titik di pilihan ( r r yang tak kontinu ( bernilai banyak di x Karena itu dapat ditentukan bahwa untuk ε > 0 edemikian ehingga pilih x + ε untuk leader yang akan membawa pada tanggapan terbaik follower yang unik yaitu r ( bernilai tunggal di + ε > r x dan x Karena y ( r kontinu kanan maka ( ( Diketahui pula ( x, y r x + ε < y π kontinu di x dan turun di y, maka menghailkan imbalan leader yaitu: ( ( ( π x + ε r x + ε > x, y, π Kontradiki dengan hipotei bahwa ( x, y adalah keetimbangan Stackelberg Karena itu harulah ( x, y r ( dan S = arg mak{ π ( x, y : ( x, y r ( } x 0 ( terpenuhi atau S arg makπ x r ( x =, x 0 Jadi emua titik di S menghailkan imbalan yang ama untuk leader Dari Lemma 3, ( x, y adalah keetimbangan Cournot-Nah peruahaan- paling terpilih dan π x y x, y ( y, maka ( ( r x, (, π 43 Model Duopoli Cournot Teorema berikut memberikan uatu kondii minimal pada harga paar yang akan menghailkan model duopoli Cournot Teorema 6 Jika diketahui bahwa: Tidak ada keetimbangan Cournot-Nah yang terletak di bata daerah P P ( adalah log-konkaf atau ( " memenuhi P ( x + xp ( x < 0, x 0 3 kuantita K edemikian ehingga KP ( K C i ( K K i P( K i C i ( K i, K, i =, 4 P adalah log-konkaf empurna yaitu " P ( P( P ( < 0 atau C i ( > 0, E = e, e, N maka {( } Sebelum membuktikan Teorema 6 akan diberikan terlebih dahulu lemma berikut ini Lemma 5 Jika aumi Teorema 6 dipenuhi, maka titik x, y S ektrim keetimbangan Nah ( Bukti Akan dibuktikan bahwa: r ( < 0 di embarang titik pada fungi tanggapan minimal r (, epanjang titik terebut terletak di dalam daerah fiibel x, y S (

19 Berdaarkan Lemma, etiap pilihan r tak naik, maka r ( 0 dari ( Imbalan untuk peruahaan- pada embarang titik di r ( adalah: [ r ( x ] = r ( x P x + r ( x [ ] C [ r ( x ] π x, Untuk etiap x 0 edemikian ehingga r, maka firt-order condition ( 0 > diberikan oleh: π [ x, r ( x ] = 0 r x P ( ( x [ x + r ] + r ( x P [ x + r ( x ] C [ r ( x ] 0 ( 6 = Turunkan (6 terhadap x, ehingga didapat: + r x P x + r x + r x P x + r x + r x ( ( [ ( ] ( [ ( ] ( " " ( + r ( x P [ x+ r ( x ] C [ r ( x ] r ( x = 0 ( 7 Subtitui (6 ke (7 ( + r ( x P x + r ( x C r ( x P x + r + P x + r ( x " C [ ] + r ( x P [ x + r ( x ] [ ] [ ( x ] " ( [ ] ( + r x P [ x + r ( x ] [ r ( x ] r ( x = 0 < Akan dibuktikan ( 0 r Andaikan untuk uatu 0 P P [ x + r ( x ] [ x + r ( x ] = 0 " C + 0 = x, r ( x 0 [ r ( x0 ] P x0 + r ( x0 P x + r ( x [ ] [ ] 0 0, maka: " P [ x0 + r ( x0 ] + P [ x0 + r ( x0 ] { P[ x + r ( x ] C [ r ( x ]} = 0 ( Berdaarkan hipotei ( 0 P x + r ( x + r x P x + 0 P < dan dari (6 [ 0 0 ] ( 0 [ 0 r ( x0 ] C [ r ( x ] = 0 0 Karena ( < 0 P [ x + r ( x ] > C r ( P dan r ( 0, maka > [ ] 0 0 x0 Sehingga (8 kontradiki dengan hipotei yaitu P ( adalah log-konkaf empurna " ( P ( + P ( P( < 0 atau ( 0 C, > ehingga harulah r ( 0 untuk ( 0 r > < Dan berdaarkan Lemma maka ( 0 Mialkan ( r ( x x r, adalah keetimbangan Stackelberg dengan peruahaan- ebagai leader Karena ( x, y adalah interior olution berdaarkan aumi, maka haru π ( x, y memenuhi: = 0 x Jika ( x, r ( x juga merupakan interior olution, maka akan memenuhi: π ( x, r ( x π ( x, r ( x + r ( x 0 x y π ( Diketahui r ( < 0 dan x, y = y xp ( x + y, karena P ( < 0 dan x 0 π maka < 0 Sehingga diperoleh y π ( x, r ( x < 0 Akibatnya x x dan x r ( x r ( x Terbukti bahwa titik ektrim x, y S keetimbangan Nah ( Bukti Teorema 6 Akan dibuktikan bahwa : E = {( e, e, N} Menurut Propoii (a akan dibuktikan: Maing-maing peruahaan-i lebih baik berada pada embarang titik di S daripada di embarang titik pada N Maing-maing peruahaan-i lebih memilih imbalan pada embarang titik terburuk di N daripada embarang imbalan ebagai follower Lemma dan Lemma 3 menunjukkan bahwa duopoli kuantita adalah permainan upermodular Jadi keetimbangan Cournot- Nah ada Karena ruang trategi efektif [ 0,Ki ] R merupakan elang tertutup, akibatnya [ 0, K i ] lengkap dan terbata total (lihat Teorema Sehingga ruang trategi [ 0, K i ] merupakan ruang metrik kompak dengan metrik ρ nilai mutlak Diketahui pula fungi imbalan kontinu, maka keetimbangan Stackelberg juga ada yaitu S dan S tidak koong Sudah dibuktikan di Lemma 4 Mialkan ( y x, adalah embarang keetimbangan Stackelberg dengan peruahaan- ebagai leader dan ( x, y adalah titik ektrim keetimbangan Cournot-Nah Sebagaimana ditunjukkan di Lemma 5 i

20 3 x P x ( x y ( x, y, Berdaarkan Lemma 3 dan Lemma 4 kedua titik terletak pada r fungi tanggapan minimal ( peruahaan- ( + y C ( x > xp( x + y C ( x x P( x + y C ( x ( 9 dimana pertidakamaan pertama mengikuti ifat keetimbangan Stackelberg yang digambarkan dalam Lemma 4 dan menurut Lemma 5 ( x, y S Pertidakamaan kedua mengikuti ifat keetimbangan Nah Karena π menurun pada y, maka pertidakamaan (9 menghailkan r ( x = y < y = r ( x dan r ( merupakan fungi turun ehingga menghailkan x > x Maka untuk etiap y, keuntungan pemain- memenuhi: ( + y C ( y > yp( x + y C ( ( 0 yp x y Ambil up y 0 pada kedua ii dari pertidakamaan (0, berdaarkan definii ( x, y dan Lemma 4 menghailkan: P( x + y C ( y > y P( x + y C ( y y Ini berarti follower lebih memilih keetimbangan Cournot-Nah terburuk daripada keetimbangan Stackelberg Cara yang ama dilakukan untuk peruahaan- ebagai leader dengan ( x, y ebagai titik ektrim keetimbangan Cournot-Nah 44 Model Duopoli Stackelberg Teorema berikut memberikan uatu kondii minimal pada harga paar dan biaya yang akan menghailkan model duopoli Stackelberg Teorema 7 Jika P ( log-konvekempurna yaitu " P ( P( P ( > 0, C i ( = 0 untuk i=, dan lim xp( x + y = 0, y tetap, maka x {( e, l, S } {( l, e S } E =, Bukti Dari hipotei diketahui P ( log konvek empurna maka log P konvekempurna Berdaarkan Lemma, karena log P konvekempurna maka upermodular empurna di ( x, y, maka untuk embarang x > x, y > y : log log P( x > log + y log P( x + y + y log > log P( x P( x + y + y > ( P( x P( x + y Mial diaumikan bahwa: x + y C( x xp( x + y C( x ( Subtitui ( ke (, didapat: x + y C( x + y > x P( x C( x Kemudian kali ilang dengan + y x C( x + y > x P( x C( x + y Karena x > x, y > y, P fungi turun dan C ( fungi naik, maka P ( x < + y dan C x > C, ehingga diperoleh: ( ( x ( x C( x P( x + y C ( x ( 3 xp x Karena ( berimplikai (3 maka π adalah SSCP Untuk membuktikan π adalah SSCP dilakukan cara yang ama, ehingga π i mempunyai SSCP Akibatnya r berdaarkan Teorema 5 etiap pilihan ( merupakan fungi tak turun di kuantita peaing Diberikan permainan imetri, karena lim xp x + y = maka berdaarkan x ( 0 Teorema 3 diketahui bahwa kedua pemain lebih memilih keetimbangan Cournot terkecil ( x, x daripada emua keetimbangan Cournot yang lain Selanjutnya akan dibedakan menjadi dua kau i

21 4 Kau : Jika x finite Dengan menggunakan propoii (b akan dibuktikan bahwa : Maing-maing peruahaan-i lebih baik berada pada embarang titik di S i daripada di embarang titik pada N Maing-maing peruahaan-i lebih memilih imbalan follower terburuk daripada embarang titik di N Bukti bagian Dibuktikan di lemma 6 Mialkan ( x, y adalah embarang keetimbangan Stackelberg dengan peruahaan- ebagai leader ( x, y N, analog eperti pada lemma 5 Didapat : x P x ( + y > xp( x + y x P( x + y dimana pertidakamaan pertama mengikuti ifat Stackelberg dan pertidakamaan kedua dari ifat Nah Karena y < y dan analog dengan Lemma 5, r ( adalah fungi naik, maka x < x Untuk etiap y berlaku : yp( x + y > yp( x + y ( 4 Ambil up y 0 pada kedua ii pertidakamaan (4 menghailkan : y P( x + y > xp( x Ini berarti follower lebih memilih embarang keetimbangan Stackelberg daripada keetimbangan Cournot terbaik Kau : Jika x = + Berdaarkan aumi, keetimbangan Cournot yang berhubungan dengan ( x, x limxpx limxpx+ y =, adalah 0, karena ( ( 0 x x yang juga imbalan terkecil untuk pemain Karena itu leader elalu mengambil kuantita finite maka follower akan bereaki dengan kuantita finite ebab xp ( x + y 0 untuk x, y tetap Akibatnya menghailkan imbalan keetimbangan Stackelberg lebih dari 0 untuk kedua pemain Maka follower akan memilih embarang keetimbangan Stackelberg daripada Keetimbangan Nah yang unik Lemma 6 Berdaarkan aumi Teorema 7, keimpulan Lemma 4 diperoleh Bukti Akan dibuktikan: Setiap titik (, y r ( S = arg mak{ π ( x, y : ( x, y r ( } x 0 π ( x y ( x, y, π x dan Pertama akan ditunjukkan bahwa etiap titik ( x, y r ( Karena imbalannya kontinu, maka mempunyai pilihan minimum r ( kontinu kiri Mialkan ada keetimbangan Stackelberg x y r edemikian ehingga (, ( r ( x y > Dari Teorema 7 diketahui bahwa etiap pilihan ( Karena itu, himpunan titik di ( r adalah tak turun r tidak bernilai tunggal erupa dengan himpunan r titik di pilihan r ( yang tak kontinu ( bernilai banyak di x Karena itu dapat ditentukan bahwa untuk ε > 0 edemikian ehingga pilih x ε untuk leader yang akan membawa pada tanggapan terbaik follower yang unik yaitu r ( bernilai tunggal di x ε Ini tidak fiibel jika x = 0, walaupun π ( 0, y = 0, y Karena itu harulah x > 0 > r x dan r ( kontinu kiri Karena y ( maka ( r x ε < y Diketahui pula π ( x, y kontinu di x dan turun di y, maka menghailkan imbalan leader yaitu: π ( x ε, r ( x ε > π ( x, y Kontradiki dengan hipotei bahwa ( x, y adalah keetimbangan Stackelberg Karena itu harulah ( x, y r ( dan S = arg mak π x r x Jadi emua titik keetimbangan Cournot-Nah peruahaan- paling terpilih dan ( x, y r (, maka π ( x y ( x, y ( (, x 0 di S menghailkan imbalan yang ama untuk leader Dari Teorema 7, ( x, y adalah, π

22 5 V SIMPULAN Dalam tulian ini dibaha model duopoli, dengan trategi yang dipilih adalah kuantita Setiap peruahaan dapat memilih trategi ecara imultan atau ekuenial agar imbalan yang didapat makimum Permainan imultan terjadi jika para pemain memutukan bergerak pada aat yang ama Permainan ekuenial terjadi jika para pemain memutukan bergerak pada waktu yang berbeda Duopoli Cournot dan Stackelberg maing-maing merupakan aplikai permainan imultan dan ekuenial dengan kuantitaebagai trategi untuk memakimumkan imbalan Harga paar yang log konkaf akan menimbulkan model duopoli Cournot Pada kau ini pilihan koreponden tanggapan terbaiknya merupakan fungi turun Jika harga paarnya log konvek dan tak ada biaya produki, pilihan koreponden tanggapan terbaiknya merupakan fungi naik dan akan menimbulkan model duopoli Stackelberg VI DAFTAR PUSTAKA Amir R 996 Cournot oligopoly and the theory of upermodular game Game and economic behavior 5:3-48 Amir R, Grilo I 999 Stackelberg veru cournot equilibrium Game and economic behavior 6: - Bartle RG, Sherbert DR 98 Introduction to real analyi New York: John Wiley and Son, Inc Chiang AC, Wainwright K 005 Fundamental method of mathematical economic Ed Ke-4 New York: Mc Graw-Hill Companie, Inc Gibbon R 99 Game theory for applied economit New Jerey: Princeton Univerity Pre Goldberg RR 976 Method of real analyi Ed Ke- Canada: John Wiley and Son, Inc Hamilton J, Slutky S 990 Endogenou timing in duopoly game: tackelberg or cournot equilibria Game and economic behavior :9-46 Milgrom P, Robert J 990 Rationalizability, learning and equilibrium game with trategic complementaritie Econometrica 58:55-77 Milgrom P, Shannon C 99 Monotone comparative tatic IMSSS Paper, Stanford Univerity Milgrom P, Shannon C 994 Monotone comparative tatic Econometrica 6:57-80 Pereini AL, Sullivan FE, Uhl, Jr JJ 988 The mathematic of nonlinear programming New York: Springer- Verlag New York Inc Ramuen E 990 Game and information Cambridge: Blackwell Stewart J 00 Kalkulu Ed Ke-4, jilid Gunawan N & Suila IN, penerjemah ; Hardani W, Mahanani N, editor Jakarta: Erlangga Terjemahan dari: Calculu Fourth Edition Tarki A 955 A lattice-theoritical fixpoint theorem and it application Pacific J Math 5: Tu PNV 994 Dynamical ytem an introduction with application in economic and biologi Germany: Springer-Verlag Wikipedia 006 Arg max [3 Deember 006]