SEMI DISKRITISASI METODE GALERKIN PADA PERSAMAAN PANASDUA DIMENSI SEMI DISCRETIZATION OF GALERKIN METHOD ON TWO DIMENSIONAL HEAT EQUATION

Transkripsi

1 SEI DISKRITISASI ETODE GAERKI PADA PERSAAA PAASDUA DIESI SEI DISCRETIZATIO OF GAERKI ETHOD O TWO DIESIOA HEAT EQUATIO arwan Sam Jeffr Ksma award Program Sd aemaka Terapan Faklas aemaka dan Ilm Pengeahan Alam Unversas Hasanddn Alama Korespondens: arwan Sam Faklas aemaka dan Ilm Pengeahan Alam Unversas Hasanddn akassar HP: Emal: marwanprvac@gmal.com

2 Absrak Sebah persamaan panas da dmens memlk da bah varabel akn varabel dan ang kedana dpengarh oleh varabel wak. Tan penelan n adalah meredks persamaan panas da dmens menad persamaan panas sa dmens. Proses redks n menggnakan berbaga macam cara salah sana dengan menggnakan meode Sem Dskrsas dar meode Galerkn ang merpakan salah sa dar berbaga macam meode ang erdapa dalam meode Elemen Hngga. Persamaan panas da dmens akan ddskrsas erhadap koordna. eode Galerkn dapa dgnakan dengan mengambl fngs erbobo sebaga fngs nerpolas. Unk memenh sara pada fngs nerpolas maka dlakkan redks dengan menerapkan eorema Green Gass. Dar sn dperoleh sebah persamaan panas anbg hana memlk sa varabel. Dnamakan persamaan panas sa dmens. Berkna hasl ang dperoleh akan ddskrsas erhadap koordna. Dskrsas erhadap memngknkan sols dar beberapa marks koefsen. Dapa dlha bahwa marks marks erseb adalah marks smers. Da danarana posf defn dan ang lanna posf sem-defn ang menandakan kesablan dar meode n. Dar penelan n dapa dsmplkan bahwa persamaan panas da dmens dapa dredks menad persamaan panas sa dmens dengan menggnakan ehnk sem-dskrsas dar eode Galerkn. Kaa Knc : persamaan panas da dmens sem dskrsas meode Galerkn Absrac A wo dmensonal hea eqaon have wo varable. The are dan ha boh of hem are nflenced b mes varable. The prpose of hs research s o redce a wo dmensonal hea eqaon be a one dmensonal hea eqaon. Ths proccess can be done b man mehods one of hem s sem dscrezaon of Galerkn ehod whch are he par of Fne Elemen mehod. The wo dmensonal hea eqaon wll be dscrezaed n coordna. Galerkn ehod can be sed b akng he weghed fncon as an nerpolaon fncon. To sasf he condon of he fncon he fncon wll be redced b Green Gass Theorem. From here we fnd an eqaon whch have s one varable. I s called one dmensonal hea eqaon. Ths resl wll be dscrezaed b -coordnae. Some marces can be fond b dscrezaon of. I can be seen ha he marces are all smmerc. One of hem s posve sem defne and he ohers are posve defne. So I can be sad ha he wo dmensonal hea eqaon can be redced o be an one dmenonal hea eqaon b sng sem-dscrezaon echnqe from Galerkn ehod. Keword : wo dmensonal hea eqaon sem dscrezaon Galerkn mehod

3 PEDAHUUA Persamaan dfferensal basa mncl secara alam keka memodelkan fenomena fsk seper oslas mekank dan oslas elekrk. Jka sebah fenomena melp fngs fngs ang lebh dar sa varabel maka permodelan akan melp beberapa rnan parsal dan mengarahkanna ke sebah persamaan dfferensal parsal. Persamaan dfferensal parsal mncl dalam sd enang gearan gearan.seper mekanka membran balok dan fla mgras persamaan gelombang alran panas eor poensal elekromagnes elassas dan ang seensna (Hoffman 3). Terdapa beberapa conoh ang menark nk dbahas berkaan dengan persamaan dfferensal parsal adalah ang berkaan dengan perpndahan panas dan persamaan gelombang (Asmar 5). Salah sa ens persamaan dfferensal parsal a mgras persamaan gelombang D dselesakan dengan menggnakan meode Sem Dskrsas Galerkn ang dambl dar gabngan eode Elemen Hngga dan Beda Hngga dalam doman spasal. Dengan menggnakan eknk sem-dskrsas galerkn dar eode Elemen Hngga dalam doman spasal persamaan gelombang D erseb dapa dlskan sebaga persamaan dfferensal parsal dengan dmens ang lebh rendah ang secara konn berganng pada rang dan wak. eode Beda Hngga dgnakan nk menelesakan PDP erseb (Bancrof dkk. 3). Semenara persamaan panas dselesakan dengan menggnakan eknk sem-dskrsas dar eode Elemen Hngga dengan sara baas eman dan Drchle ang kemdan dlankan dengan eode Elemen Hngga Thea (Tamaz Szabo 9). Persamaan panas ang berdmens da ang dapa dselesakan dengan menggnakan eode Elemen Hngga dan Beda Hngga dapa dselesakan dengan cepa dan mdah dengan menggnakan gabngan keda meode erseb ang pada eode Elemen Hngga menggnakan Sem Dskrsas Galerkn sehngga dmens dar persamaan panas menad lebh rendah sehngga ah lebh mdah nk dselesakan. Dalam penelan n akan dlakkan Sem Dskrsas erhadap koordna dengan menggnakan eode Galerkn (Yang dkk. 5). Tan penelan n adalah mengbah dmens dar persamaan panas ang awalna da dmens menad sa dmens dengan menggnakan eode Galerkn sehngga lebh mdah dselesakan dengan meode meode ang lanna.

4 BAHA DA ETODE okas dan Wak Penelan Penelan n dlaksanakan d Program Sd aemaka Terapan Faklas aemaka dan Ilm Pengeahan Alam selama sa blan a pada blan e hngga Jl 3. Smber Daa Daa ang dgnakan pada penelan n dambl dar hasl rnnng medengan sara baas dan sara awal ang sdah denkan. Rancangan Penelan eode ang dgnakan adalah eode Galerkn ang merpakan bagan dar eode Elemen Hngga. Selanna persamaan persamaan ang ada dselesakan dengan menggnakan banan program aple. Persamaan Perambaan Panas Persamaan kondks pada ga dmens dapa drnkan dar benk conrol volme ang ss ssna dan z masng masng seaar dengan smb dan z seper ang dnkkan pada gambar.karena volme dar elemen erseb adalah V z maka massana adalah (Ardan ) m V z Jmlah panas pada elemen n saa wak adalah : Q( z z) cmu ( z ) c zu ( z )... () Gambar. Conrol volme benda pada koordna Caress dmens ga. Raa raa perbahan mlah panas pada elemen n dberkan oleh : dq d U cz ( z )... ()

5 Sesa dengan prnsp kekekalan energ a raa raa perbahan panas hars sama dengan alran panas ang mask dkrang alran panas ang kelar maka dperoleh (Asmar 5) dq d q q q z q q q zz... (3) Kanas panas ang mask dan ang kelar pada elemen volme arah smb adalah (Holman 3) : q U kz... (4) q U U k k z... (5) Kanas panas ang mask dan ang kelar pada elemen volme arah smb adalah (Holman 3) : q q U kz... (6) U U k k z... (7) Sedangkan kanas panas ang mask dan ang kelar pada elemen volme arah smb z adalah (Holman 3) : q z U k... (8) z q zz U U k k z... z z z (9) Sbsskan persamaan () dan persamaan (4) sampa persamaan (9) ke persamaan (3) kemdan bag dengan z dperoleh (Holman 3) : U c U U k U... () z karena kondkvas ermalna eap maka persamaan () dapa dls (Ksharana 3) :

6 U U U U z U... () dengan c adalah konsana penghambran panas aa koefsen dfs hermal dan k U adalah operaor aplace. Persamaan () nlah ang dseb sebaga persamaan panas pada benda dmens ga dalam koordna caress (Ardan ). Dar persamaan () d aas dapa denkan pla benk persamaan panas benda sa dmens dengan menghlangkan varabel dan z pada U dan persamaan panas pada benda dmens da dengan menghlangkan varabel z padau. Persamaan Panas Sa Dmens Persamaan panas benda sa dmens berdasarkan persamaan () adalah : U U... () Persamaan Panas Da Dmens Sedangkan persamaan panas benda da dmens berdasarkan persamaan () adalah : U U U... (3) Persamaan (3) nlah ang dmensna akan dbah menad persamaan panas sa dmens seper pada persamaan () dengan sara baas dan sara awal nk U ( ) dsepanang nerval dberkan melal ( ) U ( ) U ( ) ( ).(4) U ( T ) eode Sem Dskrsas Galerkn

7 eode Sem Dskrsas Galerkn adalah eknk analss nmerk rnan dar Elemen Hngga dan Beda Hngga ang menggnakan elemen hngga nk varabel spasal dan memodelkan wak aa varabel ang seper wak dengan menggnakan beda hngga. eode Pengmplan Daa Pengmplan daa dlakkan dengan memperhakan sara awal dan sara baas dar persamaan panas da dmens ang akan dsem-dskrsas dengan menggnakan meode galerkn. Analss Daa Daa daa dar hasl observas akan danalss dengan menggnakan sara awal dan sara baas ang elah denkan. HASI Hasl dar penelan n adalah persamaan panas sa dmens ang berasal dar persamaan panas da dmens dengan sem-dskrsas dar meode galerkn dengan sara baas dan sara awal ang elah denkan. Berk merpakan persamaan panas sa dmens ang dhaslkan K H... (5) dengan sara baas dan sara awal f ( ) ( ) ( ) g( ).(6) ( T) Dar persamaan (5) dan (6) dapa dlha bahwa varabel ang erssa adalah varabel beg pn dengan sara baas dan sara awalna. PEBAHASA Penelan n mennkkan perbahan ang erad pada persamaan panas da dmens dengan sara baas dan sara awal ang dberkan berbah menad persamaan panas sa

8 dmens. Perbahan persamaan panas dar da dmens menad persamaan panas sa dmens n dk dengan perbahan sara awal dan sara baas dengan meredks varabel sehngga ang erssa adalah sara baas dan sara awal dengan varabel dan. Sbsskan sebah sols pendekaan nk U )... ( ) ( ) ( (7) ke dalam persamaan (3) dan erapkan meode resd erbobo sehngga dperoleh : W (8) Kemdan gnakan meode galerkn klask dengan mengambl fngs erbobo sebaga fngs nerpolas : () W Oleh karena persamaan (8) menad... (9) Agar memenh sara kekonnan nk fngs nerpolas lnear maka perl dredks persamaan (9) dengan menerapkan Teorema Green Gass. Teorema green gass menederhanakan benk negral sehngga dperoleh (eade 3) d

9 ... d () Sbsskan sols pendekaan nk dan berk d ke dalam persamaan () menghaslkan persamaan elemen hngga berk :... d d () kemdan msalkan d d A dan B () maka dar persamaan () dperoleh benk sebaga berk:... B B A (3)

10 Dskrsas wak erhadap memngknkan sols dar A dan B dperoleh erlebh dahl. Unsr nsrdar marks A dan B dapa dselesakan secara eac dengan menggnakan kadrar Gassan ka pangka polnomal ang lebh rendah dplh sebaga fngs nerpolas (nr 3). salkan B K A H B... (4) dan maka persamaan (3) berbah benk menad K H dengan sara baas dan sara awal f ( ) ( ) ( ) g( ) ( T) KESIPUA DA SARA Dar penelan d aas dapa dsmplkan bahwa sem-dskrsas galerkn dapa mengbah dmens dar sebah persamaan panas dar da dmens menad sa dmens.demkan pla halna persamaan gelombang ang mempna sfa dan karaker ang mrp dengan persamaan panas.

11 amn meode n mash perl penemprnaan nk menghaslkan sols nmerc ang lebh akra dengan menggabngkanna dengan meode meode ang lan salah sana adalah dengan meode Beda Hngga. DAFTAR PUSTAKA Ardan.().Analsa Persamaan Panas dan la Serlsas pada Proses Serlsas akanan Kaleng. Srabaa: Jrsan aemaka ITS. Asmar akhle H.(5).Paral Dfferenal Eqaons wh Forer Seres and Bondar Vale Problems; nd Edon. ew Jerse: Upper Saddle Rver. Bancrof John C;sD Xang;Dong Yan.(3).D Wave-Eqaon graon b Jon Fne Elemen ehod and Fne Dfference ehod. UK: CREWES Research Repor.Volme 5. Hoffman Joe D.(3).mercal ehods for Engneers and Scens; nd Edon.Indana: Deparmen of echancal Engneerng Prde Unvers. Holman J.P.(3).Perpndahan Kalor. Jakara: Erlangga. Ksharana Krna A.(3).Efek Dskrsas eode Galerkn Sem Dskre Terhadap Akras dar Sols odel Rambaan Panas Tanpa Konveks. Indonesa: Jrnal aemaka dan Komper Vol. 4. o eade Andrew J.(3).The Sem-Dscree Galerkn Fne Elemen odellng of Compressble Vscos Flow Pas an Arfol. Teas: Deparmen of echancal Engneerng Rce Unvers. nr Rnald.(3).eode merk Revs kega. Bk Teks Ilm Komper. Bandng: Informaka. Szabo Tamaz.(9).On The Dscrezaon Tme-Sep n The Fne Elemen Thea-ehod of The wo Dmensonal Dscree Hea Eqaon. Hngara: Eovos orand Unvers. Yang Won Y;Cao Wenw;Chng Tae-Sang;orrs John.(5).Appled mercal ehods Usng ATAB. UK: Wle-Inerscence.