PENGARUH FAKTOR PERTUMBUHAN POPULASI TERHADAP EPIDEMI DEMAM BERDARAH DENGUE

Transkripsi

1 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Uniersitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 PENGARUH FAKTOR PERTUMBUHAN POPULASI TERHADAP EPIDEMI DEMAM BERDARAH DENGUE Kusbudiono Dan Basuki Widodo Jurusan Matematika ITS Surabaya Abstrak Demam Berdara Dengue tela menjadi sala satu penyakit yang tergolong epidemik dan endemik serta belum ditemukan obatnya. Pada daera dengan tingkat kepadatan penduduk tinggi tingkat penyebaran juga akan semakin tinggi. Sala satu model pertumbuan penduduk adala model pertumbuan populasi logistik akan dapat meramalkan tingkat kepadatan penduduk. Selama ini antara pertumbuan penduduk dengan epidemik suatu penyakit dianggap sebagai sesuatu yang terpisa. Ole karena itu, pada kesempatan kali ini penulis akan mencoba mengaitkan antara laju pertumbuan populasi dari model pertumbuan populasi logistik dengan epidemi penyakit demam berdara Dengue. Metode penelitian pada tesis ini adala studi pustaka dan simulasi model, nantinya akan dikaji model pertumbuan populasi logistik. Selain itu juga akan dibaas kaitan antara pertumbuan populasi dengan epidemi penyakit demam berdara Dengue. Hasil dari penelitian ini adala penyelesaian dan simulasi model pertumbuan logistik dan model epidemi penyakit demam berdara Dengue. Selain itu juga diasilkan bawa laju pertumbuan populasi berpengaru dalam epidemi penyakit demam berdara Dengue. Kata kunci: laju pertumbuan populasi, model pertumbuan populasi logistik PENDAHULUAN Perubaan jumla populasi populasi setiap waktu merupakan sala satu penanda terjadinya pertumbuan populasi yang dipengarui ole jumla kelairan, kematian dan migrasi. Sala satu model pertumbuan adala model pertumbuan kontinu kususnya model logistik. Dimana model pertumbuan logistik tersebut tentunya mempunyai kelebian dan kekurangan. Dengan diketauinya banyaknya kelairan, kematian dan migrasi maka laju perubaan populasi dapat diitung. Kembali pada model pertumbuan logistik, model ini merupakan pengembangan dari model pertumbuan eksponensial yang pertama kali dicetuskan ole Maltus. Model pertumbuan logistik ini pertama kali dicetuskan ole Pierre Velust pada taun 1838.(Mucyidin, 2009) Sala satu conto terapan model matematika yang diambil dalam penelitian ini adala bidang keseatan, yaitu terjadinya penyebaran penyakit demam berdara. Penyakit demam berdara Dengue merupakan sala satu penyakit menular yang dapat menimbulkan Kejadian Luar Biasa / waba. Nyamuk penularnya (Aedes aegypti) dan irus Dengue tersebar luas, seingga penularan penyakit demam berdara dengue terjadi di semua tempat / wilaya yang terdapat nyamuk penular penyakit tersebut. (Agusybana, 2005) Untuk itu perlu dikembangkan suatu sistem sureilans yang didukung ole sistem komputer dan teknologi informasi. Sebelum digunakan, diberikan pelatian kepada para tenaga yang akan mengoperasikannya.(agusybana, 2005). Sala satu alat untuk menunjang sistem tersebut adala model matematika yang berbentuk sistem persamaan differensial biasa order satu. Dalam penelitian ini akan dilakukan simulasi dan analisa dengan menyelesaikan model tersebut secara numerik dengan metode Runge-Kutta. Pada daera dengan tingkat kepadatan penduduk tinggi maka akan mening-katkan angka kejadian. (Djallalluddin dkk, 2004). Laju kelairan dan kematian tidak anya berpengaru teradap perubaan jumla populasi. Akan tetapi keduanya juga berpengaru teradap epidemi penyakit. M-209

2 Kusbudiono / Pengaru Faktor Pertumbuan Sala satunya adala penyakit demam berdara Dengue. Selama ini antara pertumbuan penduduk dengan epidemik suatu penyakit dianggap sebagai sesuatu yang terpisa. Ole karena itu, pada kesempatan kali ini penulis akan mencoba mengaitkan antara laju pertumbuan populasi dari model pertumbuan populasi logistik dengan epidemi penyakit demam berdara Dengue. Pada bagian awal akan dikaji macam-macam model pertumbuan populasi. Selanjutnya dari baasan mengenai pertumbuan populasi penduduk ini diperole permasalaan sebagai berikut a. Bagaimana pengaru laju pertumbuan logistik teradap dinamika penyebaran penyakit demam berdara Dengue? b. Bagaimana penyelesaian dan simulasi model pertumbuan logistik dan model penyebaran penyakit demam berdara? Tujuan utama dari penulisan tugas akir ini adala untuk menganalisa model pertumbuan populasi dan kaitannya dengan epidemi penyakit demam berdara. Untuk mencapai tujuan tersebut, terlebi daulu akan dikaji model pertumbuan populasi kontinu yang didalamnya membaas model pertumbuan eksponensial dan logistik kemudian dikaji juga model penyebaran demam berdara. Tujuan berikutnya adala dari data-data yang diperole dilakukan simulasi dengan terlebi daulu membuat program penyelesaian dari model logistik dan model penyebaran demam berdara tersebut. Manfaat yang dapat diperole dari penelitian ini adala sebagai berikut: a. bagi peneliti akan diperole tambaan informasi mengenai pengaru dari laju pertumbuan penduduk teradap penyebaran penyakit demam berdara dengue, b. bagi Dinas Keseatan Kabupaten kususnya puskesmaspuskesmas dengan menggunakan metode pada penelitian ini akan diperole taksiran jumla penderita demam berdara Dengue. METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penelitian ini yaitu metode kajian pustaka dengan melakukan studi literature dan pengumpulan referensi mengenai teori-teori yang mendukung penyelesaian penelitian ini, antara lain : a. penyakit demam berdara dengue, b. model matematika dari pertumbuan logistik, c. model matematika dari penyebaran penyakit demam berdara dengue, d. penyelesaian dari model matematika penyebaran penyakit demam berdara. ANALISIS DAN PEMBAHASAN Model Pertumbuan Populasi Logistik Model pertumbuan populasi logistik ini merupakan penyempurnaan dari model pertumbuan eksponensial diatas. Pada model ini jumla populasi dipengarui ole besar kecilnya daya dukung lingkungan seperti suplai makanan, tempat tinggal, kualitas bangunan dan lain sebagainya. Dengan al tersebut diarapkan model ini mempunyai penyimpangan data populasi yang sangat kecil atau mempunyai kemiripan dengan data yang sebenarnya. Untuk mengkonstruksi model pertumbuan ini diasumsikan bawa besarnya perubaan populasi ( t ) dalam selang waktu t sebanding dengan: (1) banyaknya populasi pada saat t, y( t ) (2) selang waktu t (3) proporsi sisa banyaknya indiidu dalam populasi yang belum digunakan (1 adala jumla maksimum banyaknya indiidu dalam suatu populasi. y K ). Dengan K berarti Seingga dari asumsi-asumsi diatas diperole ubungan ( ) y( t) y( t) 1 y t t yang K M-210

3 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Uniersitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 y y( t) = ry( t) 1 t (3.1) K dengan r merupakan konstanta kesebandingan. Hasil tersebut memberikan laju pertumbuan populasi logistik sebagai berikut dy y( t) = ry( t) 1 (3.2) K Dengan cara yang sama pada persamaan pertumbuan ekspoennsial didapat solusi kusus persamaan (3.2) ( ) Ky y t = (3.3) K y e rt + y ( ) 0 ( ) dari persamaaan (3.3) untuk t didapat Ky yt = lim = K x K y e + y rt 0 0 Hal tersebut berarti untuk jangka waktu yang sangat lama terdapat jumla maksimum dari populasi tersebut yang membatasi pertumbuan populasinya. Sebagai ilustrasi akan dilakukan simulasi model dengan menggunakan data penduduk Indonesia antara taun yang ditunjukkan ole tabel 1. Tabel 1. Daftar Jumla Penduduk Indonesia Taun Jumla Penduduk Indonesia Dari tabel 1. terliat bawa dari mulai taun jumla penduduk Indonesia mengalami kenaikan. Secara umum terliat dari awal taun pada tabel bila dibandingkan dengan akir taun pada tabel tela terjadi kenaikan jumla penduduk. Untuk menentukan model logistik dengan data jumla penduduk Indonesia pada tabel 1, terlebi daulu arus diketaui nilai K dan r. Sala satu caranya adala melakukan pelinieran solusi persaman logistik pada persamaan (3.3). Pelinieran solusi tersebut dapat mengunakan metode nonlinier least squares estimation yang memenui persamaan berikut: β 1 yi = + εi (3.5) 2 3t 1 e β + + β β1 dengan y i merupakan jumla populasi pada saat t, β 1 adala nilai asimtotik pertumbuan populasi, β 2 jumla populasi pada saat t = 0 dan β 3 kontrol laju pertumbuan populasi. Pada tabel 1, jumla penduduk Indonesia masi berada dibawa , dengan demikian dapat dipili nilai β 1 = Selanjutnya dimisalkan t = 0 adala taun 1961 dengan satuan waktu 10 taun kemudian substitusikan kedalam persamaan (3.5) dan menggunakan nilai y 0 = dari data tabel 1 serta diasumsikan error adala 0, maka diperole β 2 = 1,137 (3.6) dengan cara yang sama, untuk t 1 = 1 pada taun 1971 diperole β 3 = 0,281. Dan dengan memadankan persamaan (3.3) dengan persamaan (3.5) diperole M-211 (3.4)

4 Kusbudiono / Pengaru Faktor Pertumbuan K = (3.7) r = 0,281 Selanjutnya dengan mensubtitusikan nilai pada persamaan (3.7) kedalam persamaan (3.3) serta mensubtitusikan persamaan (3.6) dan (3.7) kedalam persamaan (3.5), diperole y( t) = (3.8) 0,281t ( ) untuk persamaan logistik dan y( t) = (3.9) 0,454 0,0361t 1 + e untuk persamaan logistic least square. Tabel 2. Daftar Perbandingan Jumla Penduduk Indonesia Hasil Sensus dan Hasil Model Taun Sensus Model LLS e Gambar 1. Grafik Perbandingan Jumla Penduduk Indonesia Hasi Sensus dan Hasil Model Dari persamaan (3.8) dan (3.9) diatas diperole jumla taksiran model pertumbuan logistik seperti pada tabel diatas. Dari tabel (2) maupun seperti terliat dari gambar (1) diatas, model pertumbuan logistik dan metode LLS cukup signifikan untuk menaksir pertumbuan populasi antara taun Kajian Model Penyebaran Demam Berdara Dengue Model Matematika Model transmisi demam berdara Dengue yang digunakan dalam penelitian ini adala sebagai berikut: M-212

5 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Uniersitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 d bβ S = α N S I µ S T d bβ I = S I ( µ + r ) I d R = ri µ R d bβ S = D S I µ S d bβ I = S I µ I (3.10) Dengan kondisi-kondisi: = S + I + R dan N = S + I (3.11) dimana: S : sub populasi seat yang dapat ternfeksi demam berdara Dengue, I : sub populasi indiidu yang terinfeksi ole irus demam berdara Dengue, R : sub populasi indiidu yang sembu dari penyakit demam berdara Dengue, S : sub populasi nyamuk seat yang rentan terinfeksi, I : sub populasi nyamuk yang terinfeksi. Jumla total populasi diasumsikan konstan untuk kedua populasi manusia dan ektor. Jadi tingkat perubaan bagi manusia total dan populasi ektor sama dengan nol. Untuk populasi D manusia diperole λ = µ. Sedangkan jumla populasi ektor adala N =. Kemudian dengan µ S I memisalkan S =, I N = T N, R S I R =, S = dan I = persamaan (3.10) dinormalkan T N T N N menjadi ds = λ γ SI µ S di = γ SI ( µ + r) I (3.12) di = γ ( 1 I ) I µ I D µ dengan γ = bβ dan γ = bβ n untuk n = dan semuanya memenui kondisi S + I + R = 1 dan S + I =1. Hubungan Pertumbuan Populasi dengan Epidemi Demam Berdara Dengue. Menentukan Laju Pertumbuan Penduduk Laju pertumbuan penduduk berubungan erat dengan dengan jumla kelairan dan kematian pada suatu populasi. Untuk menentukan laju pertumbuan penduduk yang dapat M-213

6 Kusbudiono / Pengaru Faktor Pertumbuan digunakan sebagai acuan memprediksi dinamka penduduk dimasa yang akan datang memerlukan data relatif omogen. Selanjutnya dari data laju pertumbuan ini akan diola sebagai informasi dn pada model epidemi penyakit demam berdara Dengue. Misalkan r( t) = merupakan laju N pertumbuan yang bergantung pada waktu. Untuk mengestimasi laju pertumbuan populasi r(t) dengan interpolasi linier dari data suatu populasi dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut: a) Misalkan N i dan N i+1 adala ukuran sensus yang berurutan dari jumla populasi saat t i dan t i+1. Dengan N = Ni+ 1 Ni, t = ti+ 1 ti dan δ N = N ( t + δ t) N ( t), b) jika, N δ N N t = ti ti+ 1 =, maka diperole estimasi r( t), t δt tn( t) δt c) aproksimasi yang baik diperole dengan mengganti N(t) dengan N t + 2. Selanjutnya persamaan pada pernyataan ke-2 diatas dapat ditulis dalam bentuk 1 t r( t) N ( t) dan dengan menggunakan deret Taylor diperole δt δt dn N t + = N( t) +. N 2 2 Dan berdasarkan persamaan diatas, laju pertumbuan penduduk dapat diaproksimasi dengan persamaan berikut: δt N( t) t r( t) + (3.13) 2 N Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (3.13) dan data pada tabel (1) didapat data r(t) pada tabel 3. Dari tabel (3) terliat bawa laju pertumbuan penduduk Indonesia antara taun bernilai positif. Hal tersebut berarti bawa pada kurun waktu tersebut tela terjadi kenaikan jumla penduduk. Sedangkan dari gambar (2) tampak bawa laju pertumbuan memiliki kecenderungan turun dengan laju pertumbuan tertinggi terjadi pada taun 1971 dan terenda terjadi pada taun Turunnya laju pertumbuan ini menggambarkan jumla penduduk Indonesia meskipun semakin bertamba tetapi pertambaannya semakin sedikit. Selanjutnya apabila diliat lebi teliti terliat laju pertumbuan penduduk pada taun memiliki kecenderungan naik. Sedangkan taun memiliki kecenderungan turun. Penurunan laju pertumbuan penduduk ini dipengarui ole berbagai faktor sala satunya adala kesadaran dalam merencanakan kelairan anak. Selain itu juga penundaan usia perkawinan dengan alasan pendidikan dan tentu saja jumla kematian dan kelairan juga ikut berkontribusi teradap penurunan laju pertumbuan penduduk ini. Akan tetapi mulai taun 1990 mulai terjadi kenaikan laju pertumbuan. Tabel 3. Laju Pertumbuan Penduduk Indonesia Taun Taun Jumla Penduduk Nilai r(t) ,0204 0,0236 0,0195 0,0134 0, M-214

7 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Uniersitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 Gambar 2. Grafik Laju Pertumbuan Penduduk Indonesia Simulasi Numerik Kaitan Laju Pertumbuan Penduduk dan Epidemi Demam Berdara Dengue. Berikut ini disajikan simulasi numerik berikut asilnya untuk beberapa kondisi parameter tertentu. Keterangan: (1) Garis warna ungu, ketika kelairan dianggap masi normal. (2) Garis warna ijau, ketika kelairan naik dua kali dari keadaan normal. (3) Garis warna mera, ketika kelairan naik empat kali dari keadaan normal. (4) Garis biru, ketika kelairan naik sepulu kali dari keadaan normal. dari gambar (3), dengan menggunakan parameter data saat angka kelairan dan kematian sama, kemudian sejalan dengan waktu populasi S turun menuju ke titik kesetimbangan. Pada saat kelairan dinaikkan menjadi dua kali lipatnya, jumla I dan I tidak mengalami kenaikan yang signifikan seperti yang terliat pada gambar (4) dan gambar (5). Juga terliat seiring dengan berjalannya waktu jumla I dan I cenderung mengalami kenaikan yang cukup signifikan jika dibandingkan dengan saat kelairan berada dalam keadaan normal. Begitu pula saat kelairan dinaikkan menjadi sepulu kali lipat. KESIMPULAN Model pertumbuan logistik merupakan penyempurnaan dari model ekponensial. Hasil estimasi dengan model ini mempunyai penyimpangan tidak sebesar model ekponensial. Jumla populasi menurut mkodel ini akan selalu menuju ke suatu nilai yang disebut carryingcapasity. Pada model epidemi demam berdara dapat disimpulkan bawa jika laju pertumbuan membesar, maka peluang jumla pnduduk yang terindikasi terinfeksi demam berdara juga akan membesar. Namun jika laju pertumbuan penduduk tinggi, indiidu menjadi seat mempunyai peluang yang lebi besar jika dibandingkan dengan model dengan peluang terinfeksi konstan. Gambar 3. Grafik Simulasi Epidemi Demam Berdara Untuk S M-215

8 Kusbudiono / Pengaru Faktor Pertumbuan Gambar 4. Grafik Simulasi Epidemi Demam Berdara Untuk I Gambar 4. Grafik Simulasi Epidemi Demam Berdara Untuk I SARAN Untuk mengasilkan estimasi suatu populasi dengan menggunakan model pertumbuan populasi logistik arus dipili data jumla populasi dengan jumla migrasi yang tidak terlalu besar. Untuk mengkaitkan laju pertumbuaan dengan epidemi demam berdara, diperlukan data yang lebi lengkap dari data sekarang. DAFTAR PUSTAKA Agusybana, F. dan Purnami, C. T. (2007), Sistem Sureilans Demam Berdara Dengue (DBD) Berbasis Komputer untuk Perencanaan, Pencegaan dan Pemberantasan DBD di Kota Semarang, INOVASI, Vol. 4, al Dinata, A., (2006), Pengendalian Terpadu Nyamuk Demam Berdara., ttp:// 21 Nopember 2006 Djallalluddin, Hasni, H.B., Riana, W. dan Lisda, H. (2004), Gambaran Penderita Pada Kejadian Luar Biasa Demam Berdara Dengue Di Kabupaten Banjar Dan Kota Banjarbaru Taun 2001., DEXA MEDIA., No. 2, Vol. 17, al Graam, R.R., Juffrie, M., Tan, R., Hayes, C.G., Laksono, I., Ma roef, C., Sutaryo, Erlin, Porter, M-216

9 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Uniersitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 K.R. dan Halstead, S.B. (1999), A prospoectie Seroepidemiologic Study on Dengue in Cildren Four to Nine Years of Age in Yogyakarta, Indonesia. Studies in , Am. J. Trop. Med. Hyg., Vol. 61, No. 3, al Guzman, M.G. dan Kouri, G. (2002 ), Dengue: an update, Te Lancent Infectious Diseases., Januari 2, Kristina, Ismina dan Wulandari, L. (2004), Kajian Masala Keseatan: Demam Berdara Dengue, Badan Penelitian dan Pengembangan Keseatan, Departemen Keseatan, Jakarta. Mucyidin, A. (2009), Model Pertumbuan Populasi dan Kaitannya dengan Epidemi Penyakit Tuberkolosis, Tesis Magister, Institut Teknologi Bandung, Bandung. Nuraini, N., Soewono, E. dan Sidarto, K.A. (2007), Matematical Model of Dengue Disease Transmission wit Seere DHF Compartment, Bull. Malays. Mat. Sci. Soc, Vol. 30, No. 2. al Pongsumpun, P. (2006), Transmission Model for Dengue Disease Wit and Witout Te Effect of Extrinsic Incubation Period, KMITL sci. Tec. J., Vol. 6, No. 2. al Purnomo, K.D. (2001), Model Pertumbuan Populasi dengan Memodifikasi Model Pertumbuan Logistik, Majala Ilmia Matematika dan Statistika, Vol. 1,No. 1, al Santoso, W. (1994), Persamaan Differensial Biasa dengan Penerapan Modern, Erlangga, Jakarta. Timuneno, H.M., Utomo, R.H.S. dan Widowati (2007), Model Pertumbuan Logistik dengan Waktu Tunda, Jurnal Matematika, Vol. 11, No. 1, al Utama, A., (2004), Dengue, Permasalaan dan Solusinya, Lembaga Ilmu Pengetauan Indonesia. World Healt Organizaton (1997), Dengue Haemorragic Feer: Diagnosis, Treatment, Preention and Control, Genea. M-217

10 Kusbudiono / Pengaru Faktor Pertumbuan M-218