E-learning Matematika, GRATIS

Transkripsi

1 Penyusun : Arik Murwanto, S.Pd. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. Standar Kompetensi: Menggunakan konsep turunan fungsi dalam pemecaan masala Kompetensi Dasar:. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam peritungan turunan fungsi.. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecakan masala.. Menyelesaikan model matematika dari masala yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya. A. DASAR DASAR TURUNAN Jika f() -, seingga f(+) (+)-+- Jika f() -, seingga f(+) (+) -(+) (6-)+( -) Jika f() sin, seingga f(+) sin (+) sin (+) Jika f() cos (- π), seingga f(+) cos [((+)-π ] (+y) + y+y +y (-y) - y+y -y (+y) + y+6 y +y +y (-y) - y+6 y -y +y B. PENGERTIAN Turunan ( differensial ) adala perubaan suatu fungsi untuk setiap perubaan variabelnya. Jika terdapat fungsi yf(), maka turunan fungsi itu didefinisikan sbb : f '( ) dy d f ( + ) f ( ) dy f ( + ) atau f '( ) 0 d 0 f ( )

2 dy y y Catatan: y m tg α d Kesimpulan: Jadi, turunan suatu fungsi juga merupakan gradien suatu garis lurus yang menyinggung grafiks dari fungsi yang bersangkutan di suatu titik tertentu. C. TURUNAN FUNGSI ALJABAR Conto : Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut :. y + [( + ) + ] [ + ] y. y + 0 [( + ) ] [ ] [( + ) + ] [ + ] 0. y 7. y a + b [ 7( + )] [ 7] 0 a + a + b a b [ a( + ) + b] [ a + b] 0 a + a a b 0 a a 0 Kesimpulan :. y b y 0. y a y a LATIHAN SOAL : Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut!. y 6. y 9 9. y +. y y y y y b + 9. y + 0. y a + c -----Good Luck----- Modul Matematika Teknik Kelas XII SMK

3 Conto : Tentukan turunan berikut :. y ( + ) y ( + ) Kesimpulan :. y y 6. y y. y y 6 Jadi :. y a n y a.n. n- an n- Conto (Penerapan) Tentukan turunan berikut!. y y y y y 6 ( + ) y

4 LATIHAN SOAL : Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut!. y 9. y y + 6. y 6. y y y y 9. y y Good Luck----- TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI : Conto: Tentukan turunan fungsi berikut!. y sin a. y cos a Jawab sin a( + ) sin a.. 0 cos a( + ) cos a 0 sin( a + a) sin a cos( a + a) cos a 0 0 cos (a + a)sin ( a) sin (a + a)sin ( a) 0 0 cos (a). a a cos a -sin (a) a sin a Kesimpulan : y sin a y a cos a y cos a y a sin a Conto Tentukan turunan dari soal-soal berikut :. y sin. y cos. y + sin cos Jawab :. y sin y 6 cos. y cos y - sin. y + sin cos y 6 + cos + 8 cos Modul Matematika Teknik Kelas XII SMK

5 LATIHAN SOAL : Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut!. y sin 6. y + sin + cos. y sin 7. y cos sin 6. y cos 8. y sin 0 + cos. y cos 9. y 6 cos +. y + sin cos 0. y 0 sin cos Good Luck----- E. TURUNAN FUNGSI PERKALIAN: Bentuk Umum: y u(). v() y u. v + u. v Conto : Tentukan turunan berikut :. y sin. y cos Jawab.. y sin y ()sin +.( cos ) sin + 6 cos. y cos y (6) cos + (- sin ) 6 cos 6 sin. y ( +) ( + ) LATIHAN SOAL : Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut!. y sin. y 8 sin. y cos. y 0 cos. y ( + ) ( ) F. TURUNAN FUNGSI PEMBAGIAN Bentuk Umum: u( ) u'. v u. v' y v( ) v. y ( +) ( + ). y ( + ) cos ( 6) y ( )( + ) + ( + ) (6 + ) y ( + ) cos ( 6) y (8 +) cos ( 6) ( + 8) sin ( 6) 6. y ( +) ( + ) 7. y (6 ) 8. y ( + ) cos( ) 9. y ( + 6 ) sin ( ) 0. y ( 6) cos ( 6) -----Good Luck----- Conto Tentukan turunan dari. y tan. y tan a. y. y Sin Cos. y Cos

6 6.. Jawab sin y tan cos cos (cos ) (sin )( sin ) cos cos + sin sec cos sin a y cos a ( a cos a)(cosa) (sin a)( asin a) cos a a cos a + asin a asec a cos a -. y - ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) -. y sin sin ( )(cos ) sin sin + (8-6)cos sin cos. y cos ( sin )(cos) (cos)( sin ) cos LATIHAN SOAL : - sincos + cossin cos Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut!. y tan. y 0 tan. y cos. tan. y. y 8 6. y + 7. y 8. y 9. y 0. y Sin Sin Cos Cos Cos Cos G. TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI Dasar-dasar :. y ( ) dapat diuba : y u dy dimana u, seingga : u du dan du d. y sin (+) dapat diuba : y u dy dimana u sin (+), seingga : u du du dan cos (+) d Modul Matematika Teknik Kelas XII SMK

7 7. y y u dapat diuba : dimana u seingga : dy du dan du u d. y dapat diuba + y u dimana u + seingga : dy du u u dan du d Konsep : Jika y f(u) ; u f(v) ; dan v f() maka dy d dy du du dv dv d dy y l dirumuskan : d Conto : Tentukan turunan fungsi berikut!. y ( + 7) 6. y sin ( 8). y 6. y -. y ( - ) ( + ) 6 6. y sin ( )cos ( + ). y ( + 7) 6 u 6, u +7 y (6u )() (+7). y sin ( 8) u, usin( 8) y (u )[ cos( 8)] sin ( 8) cos( 8). y y u, dimana u u ( 6 ) ( ) ( ). y 6-6 y 6u, - dimana u u ( ) - ( - ) -

8 8. y ( - ) ( + ) 6 6 ( - ) ()( + ) + ( - ) (6)( + ) () 6 8( - ) ( + ) + 0 ( ) ( + ) 6. y sin ( )cos ( + ) u(). v() y u. v + u. v y u. v + u. v sin( )[cos( )]cos ( + ) + sin ( )[cos( + )][ sin( + )].sin( ) cos( )cos ( + ) - sin ( )[sin( + ) cos( + )] sin(6 - )cos ( + ) sin ( ) sin(8 + 6) LATIHAN SOAL 6: Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut!. y ( + ). y ( ) 6. y cos (-π). y sin (-π). y 6. y 8 7. y - 8. ( )( ) y y sin ( )cos ( + ) 0. y sin ( + )cos ( ) H. TAFSIRAN GEOMETRI DARI TURUNAN Dari pengertian: dy y y y m tg α, dimana m gradien d y f() Maka dapat disimpulkan: dy y y. f '() m, m suatu gradien d. Jika terdapat persamaan kurva y f() maka garis singgung kurva pada titik singgung (, y ) adala y m + (y m. ), dimana m f ( ). Beberapa keadaan garis : a. Jika gradiennya > 0, maka keadaan garis naik. b. Jika gradiennya < 0, maka keadaan garis turun. c. Jika gradiennya 0, maka keadaan garis mendatar. Modul Matematika Teknik Kelas XII SMK

9 9. Hubungan kurva dengan garis singgung kurva : a. Jika garis singgung kurva bergradien > 0, kurva naik. b. Jika garis singgung kurva bergradien < 0, kurva turun. c. Jika garis singgung kurva bergradien 0, kurva pada titik singgungnya mencapai stasioner ( tidak naik dan tidak turun / mendatar ).. Beberapa keadaan di sekitar titik stasioner pada kurva : a. f ( ) + 0 Keadaan / \ Bentuk gambarnya: b. Berarti titik stasionernya maksimum di (, f( )), maka nilai maksimum fungsi adala y maks f( ) f ( ) 0 + Keadaan \ / Bentuk gambarnya: c. Berarti titik stasioner minimum di titik (, f( )). Maka nilai minimum fungsi adala : y min f( ) f ( ) Keadaan / / Bentuk gambarnya: d. Berarti titik stasioner merupakan titik belok di (, f( )) f ( ) 0 Keadaan \ \ Bentuk gambarnya: Berarti titik stasioner merupakan titik belok di titik (, f( ))

10 0 Conto : Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut!. y + pada (, ). y + 6 pada (, ). y + ++ pada (a, ) sejajar garis y - Gambarla persamaan kurva berikut ini:. y y + pada (, ) m y 6 m 6() Pers. garis singgung : y m + c c y m. y + (.). y + 6 pada (, ) m 6 m () 6() 0 Pers. garis singgung : y m + c c y m. y 0. + ( 0.) y. y m y ( )( ) 0,. y + ++ pada (a, ) sejajar garis y - y + ++ m +6+ y - m - m m - a m a +6a+ - a +6a+0 (a +)(a+)0 a - titik singgung (-, ) (-, ) y - + [ (-)(-)] y - + Tabel bantuan 0 y (,y) (0, ) (, ) (, ) Gambar yang sebenarnya dari soal di atas! LATIHAN SOAL 7: Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut!. y pada (, ). y + 0 pada (, ). y pada (a, ) sejajar garis y 7 Gambarla persamaan kurva berikut ini:. y y Good Luck----- Modul Matematika Teknik Kelas XII SMK

11 I. PENERAPAN DEFERENSIAL Luas Maksimum Suatu Daera Permasalaan untuk diskusi bersama : Titik A(, y) pada garis + y 6 (kuadran I). Dari titik A ditarik garis berpotongan dengan sumbu di titik P dan ditarik garis berpotongan dengan sumbu y di titik Q. Terbentuk segiempat OPAQ. Tentukan luas maksimum segiempat yang terbenruk? Jawab : Luas dalam fungsi y L(y).y (6 y)y 6y y Syarat ekstrim : f (y) 0 6 y 0 y / y / L(y) (6 y)y [6 (/)] (/) (/) 9/ Jadi luas maksimum 9/ satuan luas Q A(,y) P Kecepatan dan Percepatan: Untuk fungsi yang menyatakan sebagai jarak umumnya disimbolkan sebagai s(t), s satuan jarak, dan t satuan waktu. maka: Kecepatan v(t) s (t) Percepatan a(t) v (t) Conto: Terdapat lintasan bola yang sedang menggelinding dengan persamaan lintasannya berbentuk (t) t t + 0 dengan ketinggian bola dalam meter dan t dalam detik. a. Berapaka ketinggian bola pada saat detik? b. Berapaka kecepatan bola pada saat detik? c. Berapaka percepatan bola pada saat detik? d. Kapanka ketinggiannya mencapai minimum? Jawab : a. () () () meter b. V(t) (t) 6t 6() 6 m/det c. a(t) v (t) m/det d. Syarat ekstrim: (t) 0 6t 0 t detik Jadi ketinggian minimum tercapai pada saat t detik.

12 LATIHAN SOAL 8:. Sebua roket ditembakkan ke atas, mencapai tinggi meter setela t detik, dirumuskan dengan Ht 00t t Tentukan tinggi maksimum roket tersebut.. Sebua peluru ditembakkan vertikal ke atas. Jika tinggi meter setela t detik dirumuskan dengan (t) t + t + t + 0, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adala.... Sebua benda ditembakkan tegak lurus ke atas. Keting-gian yang dicapai pada waktu t detik, dinyatakan dalam meter, diberikan sebagai (t) 0t t. Lama benda itu berada pada ketinggian yang tidak kurang dari meter adala. Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus dengan pan-jang lintasan meter selama t detik ditentukan dengan rumus S t t. Percepatannya pada saat kecepatan 0 adala. Sebua titik materi bergerak dengan persamaan : S t + t t ( t waktu, S jarak tempu ). Titik materi ini mempunyai kecepatan tertinggi pada saat t 6. Titik O, P dan Q terletak pada satu garis lurus, letak O di antara P dan Q. Dengan titik O tetap pada tempatnya, titik P dan Q bergerak sepanjang garis lurus tersebut se-ingga pada tiap saat t jarak dari P ke Q adala t 6t + 0 dan jarak P ke Q adala t t + 9. Tentukan jarak terdekat dari Q sampai O. 7. Seekor semut merayap pada bidang XOY. Pada saat t ia berada di titik ( (t), y(t)) dengan (t) t dan y (t) t t +. Semut itu akan berjarak minimum ke sumbu pada saat jarak semut itu dari sumbu y sama dengan 8. Sebua roda berputar membentuk sudut θ radian dalam waktu t detik sedemikian seingga θ 0t 6t. Maka kecepatan sudut pada akir detik ke- 9. Rusuk suatu kubus bertamba panjang dengan laju 7 cm/detik. Laju bertambanya volume pada saat rusuk panjangnya cm adala Luas sebua lingkaran adala fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebua lingkaran adala, maka laju perubaan luas lingkaran teradap kelilingnya adala -----Good Luck----- ooo Modul Matematika Teknik Kelas XII SMK

13 LATIHAN PEMANTAPAN (Soal-Soal Deferensial yang Perna Keluar dalam UN) 0. Bila F() + 0 maka F () A. + B C E Diketaui f() C. 8 ( + ) E. ( + ) 8 ( + ), maka 06. Turunan pertama dari fungsi F() adala... f( + t)-f(t) lim adala t 0 t A. A. 6 B. B. C. 6 C. E Turunan pertama dari fungsi F() E. adala F () 07. Diketaui f () + dan g () + Jika () f () g A. (), maka () adala 0 A. 8 B. B. 0 C. 0 C. E Turunan pertama dari fungsi E. f() ( ) ( + ) adala... A f ( ), maka f ' () B. + + A. C. + B. + C. 6 E Jika f() : +, maka nilai E. 8 f () A Turunan dari f() adala ( + ) B. 8 C. 7 f ( ) 6 A. ( + ) E. B. 8 ( + )

14 0. Apabila f() + maka f' () adala A. B. + C. + E. +. Turunan pertama dari fungsi f yang ditentukan ole f() ( ) adala... A. ( ) 8 B. 8 ( ) 8 C. 8 ( ) ( ) 8/ ( ) E. ( ). Turunan dari f() ( + ) ( ) adala f () A. ( + ) ( ) (0) B. ( + ) ( ) (0 + 8) C. ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) (6 0 ) E. ( + ) ( ) (8 0 + ). y ( + ) ( ) maka y ' A. B. + C. + E. +. Turunan pertama dari y ( + ) ( + ) adala A B C E Turunan pertama dari fungsi yang dinyatakan dengan... f () adala f () + 0 A. ( ) B. ( ) C. ( ) ( ) Modul Matematika Teknik Kelas XII SMK E. ( ) 6. Turunan pertama dari f() adala f () + A. ( ) + + B. ( + ) C. ( ) + ( ) + E. + ( ) 7. Jika f() A. 9 B. 9 C E. +, maka f () Jika f ( ) -, maka: + 6 f (0) + 6 f (0) A. B. C. 0 E.

15 - 9. Jika f () + f () adala 8-0 A. (- ) B. C. 0 ( ) 8 ( ) 8 ( ), maka turunan dari + E.. Jika f () A. 6 B. C. 6 6 E. +, maka f ()... E.. Jika nilai maksimum fungsi ( ) 0. Jika f() y + p adala, maka p a + 7 dan f () 0, maka f ()... A. A. B. B. C. C. 7 6 E. 8 E. 8. Fungsi y mencapai nilai maksimum untuk nilai + 6. Diketaui fungsi f() A. 0, Turunan pertama fungsi f() adala B., 6 A. + C., B. E. 6. Nilai maksimum dari fungsi C. f() ( ) adala A. 8 + B. C. 6 E. E Turunan dari f() 7. Nilai minimum relatif fungsi f() + adala f ( ) adala + A. A. B. B. C. C. E. 8. Fungsi f () turun untuk semua yang memenui

16 6 A. > 0 B. < C. < < 0 0 < < E. < 0 atau > 9. Grafik fungsi f() naik untuk nilai yang memenui A. < < B. < < C. < < > E. > 0. Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien A. B. C. 0 E.. Persamaan garis singgung kurva y di titik dengan absis adala A. y B. y + 6 C. y y + E. y. Ditentukan kurva dengan persamaan y + p + q. Garis y menyinggung kurva di titik dengan absis. Nilai p A. B. C. E. 8. Garis singgung pada kurva y + 6 di titik yang berabsis adala A. + y B. + y + 0 C. + y 7 0 y 0 E. y 0. Persamaan garis singgung pada kurva y melalui titik (, ) adala A. y 0 0 B. y + 0 C. y 0 + y 0 0 E. y + 0. Untuk <, gradien garis singgung kurva y A. dapat positif atau negatif B. dapat sama dengan nol C. selalu positif selalu negatif E. sama dengan nol 6. Nilai stasioner dari f() 9 + dicapai pada A.,0 atau B. atau C. 9,8 dan 9 8,9 dan 8 E. 8 dan 9 7. Grafik fungsi f dengan f() pada interval 0 akan memiliki A. titik balik minimum di (, ) B. titik belok di titik (, ) C. titik balik maksimum di (, ) titik balik minimum di (, ) E. titik balik maksimum di (, ) 8. Diketaui f() + a +. Fungsi f mempu-nyai nilai stasioner pada untuk nilai a A. B. 0 C. E. 9. Ditentukan fungsi f() +. Dalam interval, nilai minimum fungsi itu adala A. 0 B. C. E. Modul Matematika Teknik Kelas XII SMK

17 0. Titik belok dari fungsi y adala A. (, ) B. (, 7) C. (, ) (, 0) E. (, ). Turunan dari f() sin adala A. cos B. 0 cos C. cos cos E. 0 cos 7 C. y (6 ) cos ( ) y (6 ) sin ( ) E. y (6 ) sin ( ) 6. Turunan pertama dari y cos adala A. cos B. cos C. cos cos sin E. cos sin 7. Turunan pertama dari y cos ( π), adala y A. sin ( π) B. sin ( π). Turunan pertama dari y sin C. sin ( π) cos ( π) adala sin ( π) E. sin ( π) cos ( π) A. y cos 8. Turunan pertama dari B. y cos f() sin (, f () A. cos ( 6) C. y cos B. sin ( 6) y cos C. cos ( 6) E. y cos sin ( 6). f() sin + cos ( dalam radial), E. sin ( ) maka f ( π) 9. Diketaui fungsi f() sin ( + ) dan turunan dari f adala f. A. Maka f () B. A. sin ( + ) cos ( + ) C. B. sin ( + ) cos ( + ) C. sin ( + ) cos ( + ) E. 0 sin ( + ) cos ( + ) dy. Jika y cos, maka E. sin ( + ) cos ( + ) d + cos dy A. sin 0. Bila y maka - sin d B. sin - sin A. - cos C. sin - sin B. tan - cos sin sin + cos + cos C. - sin E. sin sin + cos + cos. Turunan pertama fungsi sin y cos ( ) iala sin - cos - cos A. y sin ( ) E. B. y sin ( sin )

18 8. Sebua empat persegi panjang ( siku empat) pada mu-lanya berukuran 0. Karena sesuatu al panjangnya senantiasa berkurang dengan laju konstan V > 0, sedangkan lebarnya bertamba dengan laju konstan V yang sama. Dalam proses ini luas empat persegi panjang tersebut A. senantiasa berkurang sampai akinya abis B. berkurang sampai suatu waktu tertentu, kemudian membesar C. bertamba sampai suatu waktu tertentu, kemudian mengecil sampai akirnya abis senantiasa bertamba E. senantiasa konstan, untuk suatu nilai V > 0. Dari seelai karton akan dibuat sebua kotak tanpa tutup dengan alas bujur sangkar. Jika jumla luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak ditentukan sebesar cm, maka volume kotak terbesar yang mungkin adala A. cm 86 cm B. 69 cm E. 97 cm C. 76 cm. Bagi suatu empat persegi panjang, dengan panjang dan lebar y yang ubungan + y a, luasnya akan paling besar apabila A. a B. y a C. y a y a E. y a. Persegi panjang dengan keliling (+) cm dan lebar (8 )cm. Agar luasnya maksimum, maka panjangnya A. cm cm B. 8 cm E. cm C. 0 cm. Dua kandang berdampingan masingmasing dengan ukuran m, y m dan luasnya m. Agar panjang pa-gar yang diperlukan sesedikit mungkin maka panjang dan y berturut-turut A. m dan 6 m B. 6 m dan m C. m dan m m dan m E. m dan m 6. Untuk memproduksi unit barang per ari diperlukan biaya ( ) rupia. Jika barang itu arus diproduksikan maka biaya produksi per unit yang paling renda tercapai bila per ari diproduksi A. 000 unit 000 unit B. 00 unit E. 000 unit C. 000 unit 7. Suatu perusaaan memiliki karyawan yang masing-masing memperole gaji (0 ) rupia. Total gaji seluru karyawan akan mencapai maksimum jika caca karyawan itu... A. 0 C.70 E.90 B Jika suatu proyek akan diselesaikan dalam ari, maka biaya proyek perari 00 menjadi + 60 ribu rupia Biaya proyek minimum adala A..00 ribu rupia B. 900 ribu rupia C. 800 ribu rupia 70 ribu rupia E. 70 ribu rupia 9. Sebua benda diluncurkan ke bawa suatu permukaan yang miring dengan persamaan gerak S t 6t + t + Waktu yang dibutukan agar percepatan benda 8 m/s adala A. 6 sekon sekon B. 8 sekon E. 0 sekon C. 0 sekon 60. Sebua roket ditembakkan ke atas, mencapai tinggi meter setela t detik, dirumuskan dengan Ht 00t t Tinggi maksimum roket tersebut adala A meter.000 meter B..00 meter E meter C..800 meter Modul Matematika Teknik Kelas XII SMK

19 Bagaimana Mendapatkan Modul Ini Di Internet Secara GRATIS? 9 Modul ini bersama modul-modul yang lain, serta semua informasi tentang E-Learning matematika SMA-SMK dapat kalian manfaatkan secara GRATIS. Semua modul merupakan asil karya semua anggota MGMP Matematika SMK Kota Pasuruan. Moon maaf apabila ada kesalaan penulisan. Taun pelajaran 00/0 merupakan taun pertama kami merintis. Akan kami revisi di taun pelajaran berikutnya. Kritik dan saran kami terima lewat mgmpmtk_smkpasuruan@yaoo.co.id Bagaimana caranya memanfaatkannya : A. Weblog : (i) Buka browser internet (conto : Mozilla Firefo, Opera, Internet Eplorer, Google Crome, dll) (ii) Pada Addres (alamat) gantila dengan : lalu tekan Enter (iii) Untuk mendapatkan Modul Ini secara GRATIS, pili menu Modul, lalu pili Modul yang sesuai & klik (iv)terubung (Link) dengan ziddu.com. Ikuti saja perintanya. Ulangi beberapa kali jika gagal. B. Facebook (i) Masuk akun facebook (ii) Pada menu Searc, ketik : Matematika SMA/SMK lalu tekan Enter (iii) Klik (Pili) Matematika SMA/SMK dengan gambar kubus ajaib bertuliskan E-Learning (iv)terubung ke Page (alaman) E-learning Matematika SMA/SMK, Klik Suka (Like) (v) Semua Informasi E-Learning (Pembelajaran Elektronik) matematika tanpa tatap muka dikelas secara otomatis akan masuk di Beranda (Home) akun facebook kalian. (vi) Segera ajak teman-teman facebook kalian untuk bergabung disini. Tidak semua Internet itu tidak baik, banyak sisi positif yang dapat diambil dari sana. Hanya keyakinan kita pada ajaran agama masing-masing yang dapat membentenginya. Kami suda dapat membuktikannya melalui E-LEARNING MATEMATIKA dengan memanfaatkan Weblog dan Facebook. Semoga Bermanfaat.